차원 간의 변환으로서의 비정방행렬 | 제8장, 선형대수학의 본질: 영어 학습 노트

Hey everyone,

여러분 안녕하세요,

I've got another quick footnote for you between chapters today. 전개 흐름

오늘은 챕터 사이에 간단한 보충 설명을 하나 준비했습니다.

When I've talked about linear transformations so far,

지금까지 제가 선형 변환에 대해 이야기할 때,

I've only really talked about transformations from 2D vectors to other 2D vectors

2D 벡터에서 다른 2D 벡터로의 변환으로서

represented with 2x2 matrices

2x2 행렬로 표현되는 것이나,

or from 3D vectors to other 3D vectors

3D 벡터에서 다른 3D 벡터로의 변환으로서

represented with 3x3 matrices.

3x3 행렬로 표현되는 것에 대해서만 주로 이야기했습니다.

But several commenters have asked about non-square matrices, 문화 배경

하지만 여러 댓글에서 비정방 행렬에 대한 질문이 있었기 때문에,

so I thought I'd take a moment to just show what those mean geometrically. 해설

그것들이 기하학적으로 무엇을 의미하는지 잠깐 보여드릴까 합니다.

By now in the series,

이 시리즈의 현재 지점이라면,

you actually have most of the background you need to start pondering a question like this on your own, 표현 묶음

사실 여러분은 이런 질문을 스스로 고민하기 시작하는 데 필요한 배경 지식을 대부분 갖추고 있습니다만,

but I'll start talking through it just to give a little mental momentum. 해설

약간의 사고의 추진력을 드리기 위해 먼저 설명을 시작하겠습니다.

It's perfectly reasonable to talk about transformations between dimensions 표현 묶음

다른 차원 간의 변환에 대해 이야기하는 것은 완전히 타당합니다.

such as one that takes 2D vectors to 3D vectors.

예를 들어 2D 벡터를 3D 벡터로 가져가는 변환 같은 것 말이죠.

Again, what makes one of these linear is that gridlines remain parallel and evenly spaced 문법

다시 말하지만, 이러한 변환을 선형으로 만드는 조건은 격자선이 평행하고 일정한 간격을 유지하며,

and that the origin maps to the origin. 어휘 쓰임

원점이 원점으로 매핑된다는 것입니다.

What I have pictured here is the input space on the left, 해설

여기 그림에서 보여드리는 것은 왼쪽에 있는 입력 공간으로,

which is just 2D space,

이는 단순한 2D 공간이며,

and the output of the transformation shown on the right.

변환의 출력은 오른쪽에 표시되어 있습니다.

The reason I'm not showing the inputs move over to the outputs like I usually do 문법

평소처럼 입력이 출력으로 이동하는 것을 보여드리지 않는 이유는

is not just animation laziness.

단지 애니메이션을 만들기 귀찮아서가 아닙니다.

It's worth emphasizing that 2D vector inputs are very different animals from these 3D vector outputs 해설

2D 벡터 입력은 완전히 분리되고 연결되지 않은 공간에 존재하는

living in a completely separate unconnected space.

이러한 3D 벡터 출력과는 매우 다른 존재라는 점을 강조할 가치가 있습니다.

Encoding one of these transformations with a matrix is really just the same thing as what we've done before. 표현 묶음

이러한 변환 중 하나를 행렬로 인코딩하는 것은 사실 우리가 전에 했던 것과 똑같습니다.

You look at where each basis vector lands 해설

각 기저 벡터가 어디에 도착하는지 보고

and write the coordinates of the landing spots as the columns of a matrix. 표현 묶음

도착 지점의 좌표를 행렬의 열로 쓰면 됩니다.

For example, what you're looking at here is an output of a transformation that takes i-hat

예를 들어, 지금 여러분이 보고 계신 것은 i-hat을

to the coordinates 2 -1 -2

좌표 2 -1 -2로,

and j-hat to the coordinates 0 1 1.

j-hat을 좌표 0 1 1로 가져가는 변환의 출력입니다.

Notice, this means the matrix encoding our transformation has three rows and two columns, 전개 흐름

참고로, 이는 변환을 인코딩하는 행렬이 3개의 행과 2개의 열을 가지고 있음을 의미하며,

which, to use standard terminology, makes it a 3x2 matrix. 해설

표준 용어를 사용하자면 3x2 행렬이 됩니다.

In the language of last video, 전개 흐름

지난 영상의 용어를 빌리자면,

the column space of this matrix, the place where all the vectors land, 문화 배경

모든 벡터가 도착하는 장소인 이 행렬의 열 공간은

is a 2D plane slicing through the origin of 3D space. 어휘 쓰임

3D 공간의 원점을 통과하는 2D 평면이 됩니다.

But the matrix is still full rank since the number of dimensions in this column space 문화 배경

하지만 이 열 공간의 차원 수가

is the same as the number of dimensions of the input space.

입력 공간의 차원 수와 동일하기 때문에 행렬은 여전히 풀 랭크(full rank)입니다.

So, if you see a 3x2 matrix out in the wild, 해설

따라서 야생에서 3x2 행렬을 보게 된다면,

you can know that it has the geometric interpretation of mapping two dimensions to three dimensions.

그것이 2차원을 3차원으로 매핑한다는 기하학적 해석을 갖는다는 것을 알 수 있습니다.

Since the two columns indicate that the input space has two basis vectors

두 개의 열은 입력 공간에 두 개의 기저 벡터가 있음을 나타내고,

and the three rows indicate that the landing spots for each of those basis vectors

세 개의 행은 각각의 기저 벡터의 도착 지점이

is described with three separate coordinates.

세 개의 개별 좌표로 설명됨을 나타내기 때문입니다.

Likewise, if you see a 2x3 matrix with two rows and three columns,

마찬가지로, 만약 2개의 행과 3개의 열을 가진 2x3 행렬을 본다면,

what do you think that means?

그것이 무엇을 의미한다고 생각하시나요?

Well, the three columns indicate that you're starting in a space that has three basis vectors,

음, 세 개의 열은 여러분이 세 개의 기저 벡터를 가진 공간에서 시작한다는 것을 나타내므로,

so we're starting in three dimensions.

우리는 3차원에서 시작하는 것입니다.

And the two rows indicate that the landing spot for each of those three basis vectors

그리고 두 개의 행은 그 세 개의 기저 벡터 각각의 도착 지점이

is described with only two coordinates,

오직 두 개의 좌표로만 설명된다는 것을 나타내므로,

so they must be landing in two dimensions. 문법

그것들은 반드시 2차원에 도착해야 합니다.

So, it's a transformation from 3D space onto the 2D plane. 문화 배경

따라서 이것은 3D 공간에서 2D 평면으로의 변환입니다.

A transformation that should feel very uncomfortable if you imagine going through it. 관용구

만약 여러분이 직접 그 변환을 겪는다고 상상해보면 매우 불편하게 느껴질 변환이죠.

You could also have a transformation from two dimensions to one dimension.

2차원에서 1차원으로의 변환을 생각할 수도 있습니다.

One-dimensional space is really just the number line, 문화 배경

1차원 공간은 사실 단순한 수직선이므로,

so a transformation like this takes in 2D vectors and spits out numbers. 구동사

이런 변환은 2D 벡터를 받아서 숫자를 뱉어냅니다.

Thinking about grid lines remaining parallel and evenly spaced is a little bit messy due to all of the squishification happening here. 어휘 쓰임

격자선이 평행하고 일정한 간격을 유지하는 것에 대해 생각하는 것은 여기서 일어나는 모든 압축 현상 때문에 조금 까다롭습니다.

So, in this case,

따라서 이 경우에,

the visual understanding for what linearity means is that if you have a line of evenly spaced dots, 문법

선형성이 의미하는 바에 대한 시각적인 이해는, 일정한 간격의 점들로 이루어진 선이 있다면,

it would remain evenly spaced once they're mapped onto the number line.

그것들이 수직선 상에 매핑된 후에도 일정한 간격을 유지한다는 것입니다.

One of these transformations is encoded with a 1x2 matrix,

이러한 변환 중 하나는 1x2 행렬로 인코딩되며,

each of whose two columns has just a single entry. 해설

두 개의 열은 각각 단일 항목만을 가집니다.

The two columns represent where the basis vectors land,

두 열은 기저 벡터가 도착하는 곳을 나타내며,

and each one of those columns requires just one number,

각각의 열은 단 하나의 숫자,

the number that that basis vector landed on.

즉 해당 기저 벡터가 도착한 숫자만 필요로 합니다.

This is actually a surprisingly meaningful type of transformation with close ties to the dot product, 표현 묶음

이것은 사실 내적과 밀접한 관련이 있는 놀랍도록 의미 있는 유형의 변환이며,

and I'll be talking about that next video.

이에 대해서는 다음 영상에서 이야기할 것입니다.

Until then, I encourage you to play around with this idea on your own, 해설

그때까지 여러분 스스로 이 아이디어를 가지고 놀아보시길 권합니다.

contemplating the meanings of things like matrix multiplication and linear systems of equations

다른 차원 간의 변환이라는 맥락에서

in the context of transformations between different dimensions. 표현 묶음

행렬 곱셈이나 선형 연립 방정식 같은 것들의 의미를 깊이 생각해보면서 말이죠.

Have fun.

즐거운 시간 되세요.