인터랙티브하게 배우는 쿼터니언과 3D 회전: 영어 학습 노트

In a moment, I'll point you to a separate website hosting a short sequence of what we're calling explorable videos. 어휘 쓰임

잠시 후, 우리가 탐색형 비디오라고 부르는 짧은 비디오 시리즈를 호스팅하는 별도의 웹사이트를 소개해 드리겠습니다.

It was done in collaboration with Ben Eater, 표현 묶음

이 작업은 Ben Eater와의 협업으로 이루어졌습니다.

who some of you may know is that guy who runs the excellent computer engineering channel.

여러분 중 일부는 그를 아주 훌륭한 컴퓨터 공학 채널을 운영하는 사람으로 알고 계실 것입니다.

And if you don't know who he is,

만약 그가 누군지 모르신다면,

viewers of this channel would certainly enjoy the content of his.

이 채널의 시청자분들이라면 분명 그의 콘텐츠도 좋아하실 겁니다.

So do check it out. 해설

그러니 꼭 확인해 보세요.

This collaboration was something a little different though,

하지만 이번 협업은 조금 달랐습니다.

for both of us.

우리 둘 모두에게 말이죠.

And all of the web development that made these explorable videos possible

이러한 탐색형 비디오를 가능하게 만든 모든 웹 개발 작업은

is completely thanks to Ben.

전적으로 Ben 덕분입니다.

I don't want to say too much about it here.

여기서 너무 많은 말을 하지는 않겠습니다.

It's really something you have to experience for yourself.

이것은 정말 여러분이 직접 경험해 보셔야 할 무언가입니다.

Certainly one of the coolest projects I've had the pleasure of working on. 표현 묶음

제가 지금까지 참여한 프로젝트 중 단연코 가장 멋진 프로젝트 중 하나입니다.

Before that though,

하지만 그전에,

if you can contain your excitement, 말투와 의도

여러분이 흥분을 가라앉힐 수 있다면,

I want to use this video as a chance to tee things up with a little bit of surrounding context. 구동사

이 비디오를 통해 약간의 배경 지식과 함께 기초를 다지는 기회로 삼고자 합니다.

So to set the stage, 관용구

자, 무대를 설정하기 위해,

last video I described quaternions,

지난 비디오에서 저는 쿼터니언(사원수)에 대해 설명했습니다.

a certain four-dimensional number system

그것은 특정한 4차원 수 체계로,

that the 19th century versions of Wolverine and the old man from Home Alone

19세기 버전의 울버린과 '나 홀로 집에'의 노인이

called evil for how convoluted it seemed at the time.

당시에는 너무 복잡해 보여서 사악하다고 불렀던 것입니다.

And perhaps you too are wondering

아마 여러분도 궁금해하실 겁니다.

why on earth anyone would bother with such an alien seeming number system. 해설

도대체 왜 사람들이 그렇게 외계인처럼 보이는 수 체계를 신경 쓰는 것일까 하고 말이죠.

Well,

글쎄요,

one of the big reasons,

가장 큰 이유 중 하나는,

especially for programmers,

특히 프로그래머들에게,

is that they give a really nice way for describing 3D orientation,

이것이 3D 방향을 설명하는 아주 좋은 방법을 제공하기 때문입니다.

which is not susceptible to the bugs and edge cases of other methods. 해설

다른 방법들에서 나타나는 버그나 예외적인 경우에 영향을 받지 않는 방법 말이죠.

I mean,

제 말은,

they're interesting mathematically for a lot of reasons,

이것들이 수학적으로 흥미로운 이유는 여러 가지가 있지만,

but this application for computer graphics and robotics and virtual reality

컴퓨터 그래픽, 로봇 공학, 가상 현실,

and anything involving 3D orientation is probably the biggest use case for quaternions. 어휘 쓰임

그리고 3D 방향과 관련된 모든 응용 분야야말로 쿼터니언의 가장 큰 사용 사례일 것입니다.

To take one example, 전개 흐름

한 가지 예를 들자면,

a friend of mine who used to work at Apple, 문법

예전에 Apple에서 일했던 제 친구인

Andy Matuschak,

Andy Matuschak은

delighted in telling me about shipping code to hundreds of millions of devices that uses quaternions to track the phone's model for how it's oriented in space. 어휘 쓰임

수억 대의 기기에 배포된 코드에서 휴대폰이 공간에서 어떤 방향을 향하는지 추적하는 모델에 쿼터니언을 사용한다고 즐겁게 이야기해 주었습니다.

That's right.

맞습니다.

Your phone almost certainly has software running somewhere inside of it that relies on quaternions.

여러분의 휴대폰 내부 어딘가에도 거의 확실히 쿼터니언에 의존하는 소프트웨어가 실행되고 있을 것입니다.

The thing is, 전개 흐름

문제는,

there are other ways to think about computing rotations,

회전을 계산하는 방법에 대해 생각할 수 있는 다른 방법들이 있으며,

many of which are way simpler to think about than quaternions. 문법

그중 다수는 쿼터니언보다 훨씬 생각하기 쉽다는 것입니다.

For example,

예를 들어,

any of you familiar with linear algebra will know that 3 x 3 matrices can really nicely describe 3D transformations. 문법

선형 대수학에 익숙한 분이라면 3x3 행렬이 3D 변환을 아주 훌륭하게 설명할 수 있다는 것을 아실 겁니다.

And a common way that many programmers think about constructing a rotation matrix for a desired orientation

그리고 많은 프로그래머들이 원하는 방향을 위한 회전 행렬을 구성할 때 흔히 생각하는 방법은,

is to imagine rotating an object around three easy to think about axes,

상상하기 쉬운 세 개의 축을 중심으로 물체를 회전시키는 것을 상상하는 것입니다.

where the relevant angles for these rotations are commonly called Euler angles.

이러한 회전에 관련된 각도를 흔히 오일러 각이라고 부릅니다.

And this mostly works,

이는 대부분 잘 작동하지만,

but one big problem is that it's vulnerable to something called gimbal lock,

하지만 한 가지 큰 문제는 짐벌 락(Gimbal Lock)이라는 것에 취약하다는 점입니다.

where when two of your axes of rotation get lined up, 구동사

회전축 중 두 개가 정렬될 때

you lose a degree of freedom. 어휘 쓰임

자유도 하나를 잃게 되는 현상입니다.

And it can also cause difficulties and ambiguities

또한 어려움과 모호함을 초래할 수도 있습니다,

when trying to interpolate between two separate orientations. 표현 묶음

두 개의 개별적인 방향 사이를 보간하려고 할 때 말이죠.

If you're curious for more of the details,

세부 사항이 더 궁금하시다면,

there are many great sources online for learning about Euler angles and gimbal lock,

온라인에는 오일러 각과 짐벌 락에 대해 배울 수 있는 훌륭한 자료가 많이 있으며,

and I've left links in the description to a few of them.

설명란에 그중 몇 가지 링크를 남겨 두었습니다.

Not only do quaternions avoid issues like gimbal lock, 문법

쿼터니언은 짐벌 락과 같은 문제를 피할 수 있을 뿐만 아니라,

they give a really seamless way to interpolate between two three-dimensional orientations,

두 개의 3차원 방향 사이를 매끄럽게 보간하는 아주 좋은 방법을 제공하며,

one which lacks the ambiguities of Euler angles, 문법

이는 오일러 각이 가지는 모호함이 없고,

and which avoids the issues of numerical precision and normalization

두 회전 행렬 사이를 보간하려고 할 때 발생하는

that arise in trying to interpolate between two rotation matrices.

수치적 정밀도와 정규화 문제도 피할 수 있습니다.

To warm up to the idea of how multiplication in some higher-dimensional number system 구동사

어떤 고차원 수 체계에서의 곱셈이

might be used to compute rotations,

어떻게 회전을 계산하는 데 사용될 수 있는지에 대한 아이디어에 익숙해지기 위해,

take a moment to remember how it is that complex numbers give a slick method for computing 2D rotations. 문법

복소수가 2D 회전을 계산하는 기발한 방법을 어떻게 제공하는지 잠시 떠올려 보세요.

Specifically,

구체적으로,

let's say you have some point in two-dimensional space, 전개 흐름

2차원 공간에 어떤 점이 있다고 가정해 봅시다.

like 4 1,

예를 들어 (4, 1)이 있고,

and you want to know the new coordinates you'd get if you rotate this point 30 degrees around the origin. 문법

이 점을 원점을 중심으로 30도 회전시켰을 때 얻게 될 새로운 좌표를 알고 싶다고 합시다.

Complex numbers give sort of a snazzy way to do this.

복소수는 이것을 수행하는 꽤 멋진 방법을 제공합니다.

You take the complex number that's 30 degrees off the horizontal with magnitude one,

수평에서 30도 벗어나 있고 크기가 1인 복소수,

cosine 30 degrees plus sine of 30 degrees times I,

코사인 30도 더하기 사인 30도 곱하기 I를 취하고,

and then you just multiply this by your point,

그런 다음 복소수로 표현된 당신의 점에

represented as a complex number.

이것을 곱하기만 하면 됩니다.

The only rule you need to know to carry out this computation is that I squared equals negative one. 구동사

이 계산을 수행하기 위해 알아야 할 유일한 규칙은 I의 제곱이 음수 1이라는 것입니다.

And then,

그리고 나서,

in what might feel like a bit of black magic to those first learning it, 해설

처음 배우는 사람들에게는 약간 흑마술처럼 느껴질 수 있지만,

carrying out this product from that one simple rule gives the coordinates of a new point,

그 하나의 간단한 규칙에서 이 곱을 수행하면 새로운 점의 좌표가 나옵니다.

the point rotated 30 degrees from the original.

원래 위치에서 30도 회전된 점이죠.

Using quaternions to describe 3D rotations is similar,

쿼터니언을 사용하여 3D 회전을 설명하는 것도 비슷합니다.

though the look and feel is slightly different. 표현 묶음

외양과 느낌은 약간 다르지만요.

Let's say you want to rotate some angle about some axis.

어떤 축을 중심으로 특정 각도만큼 회전하고 싶다고 가정해 봅시다.

You first define that axis with a unit vector,

먼저 단위 벡터로 그 축을 정의합니다.

which we'll write as having I, J, and K components,

이 벡터를 I, J, K 성분을 가지는 것으로 작성하고,

normalized so that the sum of the squares of those components is one. 어휘 쓰임

이 성분들의 제곱의 합이 1이 되도록 정규화합니다.

Similar to the case of complex numbers, 전개 흐름

복소수의 경우와 마찬가지로,

you use the angle to construct a quaternion by taking cosine of that angle as the real part,

각도를 사용하여 실수부로 그 각도의 코사인을 취하고,

plus sine of that angle times an imaginary part,

그 각도의 사인에 허수부를 곱한 값을 더하여 쿼터니언을 구성합니다.

except this time the imaginary part has three components,

다만 이번에는 허수부가 세 개의 성분,

the coordinates of our axis of rotation.

즉 우리의 회전축 좌표를 가지고 있다는 점이 다릅니다.

Well, 전개 흐름

글쎄요,

actually you take half of the angle,

사실 여러분은 각도의 절반을 취하게 됩니다.

which might feel totally arbitrary,

이것이 완전히 임의적으로 느껴질 수 있지만,

but hopefully that's going to make some sense by the end of this whole experience.

이 모든 과정이 끝날 때쯤에는 이해가 되기를 바랍니다.

Now let's say you have some 3D point,

이제 3D 점이 있다고 가정해 봅시다.

which we'll write with I, J, K components,

이를 I, J, K 성분으로 작성하고,

and you want to know the coordinates that you'd get when you rotate this point by your specified angle around your specified axis.

지정된 축을 중심으로 지정된 각도만큼 이 점을 회전시켰을 때 얻게 될 좌표를 알고 싶다고 합시다.

What you do is not just a single quaternion product, 문법

여기서 해야 할 일은 단일 쿼터니언 곱이 아니라,

but a sort of quaternion sandwich, 관용구

일종의 쿼터니언 샌드위치 형태입니다.

where you multiply by Q from the left 표현 묶음

왼쪽에서 Q를 곱하고,

and the inverse of Q from the right.

오른쪽에서 Q의 역원을 곱하는 것이죠.

If you know the rules for how I, J, and K multiply amongst themselves,

I, J, K가 서로 어떻게 곱해지는지에 대한 규칙을 알고 있다면,

you can carry out these two products by expanding everything out,

모든 것을 전개하여 이 두 번의 곱셈을 수행할 수 있으며,

or more realistically by having a computer do it for you.

더 현실적으로는 컴퓨터가 대신하도록 할 수 있습니다.

And in what might feel like a bit of black magic,

그리고 약간 흑마술처럼 느껴질 수 있는 방식으로,

this big computation will return for you the rotated version of the point.

이 방대한 계산은 그 점의 회전된 버전을 당신에게 반환할 것입니다.

Our goal is to break this down 구동사

우리의 목표는 이것을 분해하고

and visualize what's happening with each of these two products.

이 두 곱셈 각각에서 무슨 일이 일어나고 있는지 시각화하는 것입니다.

I'll review the method for thinking about quaternion multiplication described last video

지난 비디오에서 설명한 쿼터니언 곱셈에 대해 생각하는 방법을 복습하고,

and explain why half the angle is used

왜 각도의 절반이 사용되는지,

and why you would multiply from the right by the inverse.

그리고 왜 오른쪽에서 역원을 곱하는지 설명하겠습니다.

On the screen now and at the top of the description,

지금 화면과 설명란 상단에

you'll find a link to eater.net/quaternions,

eater.net/quaternions로 연결되는 링크가 있습니다.

which is where Ben set up the explorable video tutorial where I explain what's going on with this rotation computation.

이곳은 Ben이 설정한 탐색형 비디오 튜토리얼이 있는 곳으로, 제가 이 회전 계산에서 어떤 일이 일어나는지 설명합니다.

It's just really cool.

정말 멋집니다.

Eater did something awesome here.

Eater는 여기서 놀라운 일을 해냈습니다.

So at the very least, 표현 묶음

그러니 적어도,

just take a couple minutes to go look at it.

몇 분 정도 시간을 내서 확인해 보세요.

But I'd love it if you went through the full experience. 말투와 의도

하지만 여러분이 전체 과정을 직접 체험해 보셨으면 좋겠습니다.