Por que não se pode dividir por zero? - TED-Ed: material de estudo de inglês
TED-Ed
Visão geral do vídeo: O vídeo explica por que um quociente tender ao infinito quando o divisor se aproxima de zero não significa que a divisão por zero seja igual ao infinito. Ele define a divisão por meio do inverso multiplicativo e mostra que declarar o infinito como inverso de zero gera contradições como 1 = 2, embora outros sistemas matemáticos possam alterar as regras. Principais pontos de inglês: 1. all we really know is that — Discurso, narrativa e retórica: Aprenda a restringir um argumento à conclusão que as evidências realmente sustentam. Aqui, a expressão separa uma afirmação sobre limite—os valores crescem sem parar quando o divisor se aproxima de zero—da alegação não comprovada de que a própria divisão por zero é igual ao infinito. 2. If we want to divide by zero, we need to find its multiplicative inverse, — Gramática e padrões de frase: Reconheça e use If we want to..., we need to... para ligar um objetivo a uma condição ou etapa necessária. A estrutura permite explicar procedimentos e exigências lógicas com clareza, sem fazer a próxima ação parecer uma escolha arbitrária. 3. make up a new rule? — Phrasal verbs: Entenda make up como inventar ou definir algo, e não como montar fisicamente. A pergunta apresenta uma regra hipotética para que suas consequências sejam testadas; o mesmo phrasal verb pode ser usado com regras, histórias, explicações ou sistemas inventados.
Nesta lição
In the world of math: como delimitar o campo do assunto
In the world of math é uma estrutura de abertura que mostra ao ouvinte a qual área pertence a afirmação seguinte. Aqui, world é figurativo: significa o conjunto de ideias, práticas e regras ligadas à matemática, e não um lugar físico separado. Como a expressão vem no início e termina com uma vírgula, ela define o escopo antes da afirmação principal. Você pode reutilizar In the world of + área para apresentar o que é comum, importante ou possível dentro de um tema.
Prática
Complete a abertura com a mesma estrutura de delimitação do tema usada na lição: ____ robotics, even tiny errors can matter.
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In the world of
many strange results are possible when we change the rules. Figurado
0:09muitos resultados estranhos são possíveis quando mudamos as regras.
change the rules: mudar as condições básicas de um sistema
Aqui, change the rules significa alterar as condições básicas que determinam o que pode acontecer em um sistema. Na matemática, essas regras podem ser suposições, definições ou operações permitidas; por isso, regras diferentes podem tornar possíveis resultados diferentes. A expressão também pode ser usada fora da matemática quando alguém reescreve de propósito o funcionamento de um jogo, uma organização ou um processo.
Prática
Um criador de jogos reescreve a forma de contar os pontos. Qual frase descreve isso corretamente?
- The designer decides to change the rules.
- The designer decides to break the rules.
- The designer decides to follow the rules.
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The designer decides to change the rules.
But there's one rule that most of us have been warned not to break. Gramática
0:13Mas há uma regra que a maioria de nós foi avisada para não quebrar.
have been warned not to + verbo
“Have been warned” é a forma passiva do present perfect de “warn”. Ela põe o foco nas pessoas que receberam o alerta, e não em quem o deu. O present perfect situa o alerta antes de agora e mostra que ele continua relevante. A estrutura ativa “warn someone not to do something” passa para “someone has/have been warned not to do something” na voz passiva. Aqui, “not to break” indica a ação proibida, e “break a rule” significa descumprir uma regra. Nesta frase, a estrutura apresenta o alerta como algo que a maioria das pessoas já recebeu.
Prática
Complete a frase com a estrutura passiva de alerta: For safety, visitors ____ enter the closed area.
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have been warned not to
divide A by B: dividir A por B
Em matemática, “divide A by B” significa calcular A ÷ B. A é o dividendo, o número que será dividido, e B, depois de “by”, é o divisor. Portanto, “divide by zero” significa usar zero como divisor. Na aritmética comum, essa operação não é definida, por isso a frase diz para não fazê-la.
Prática
Qual frase lê corretamente a expressão 18 ÷ 6?
- eighteen divided into six
- six divided by eighteen
- eighteen divided by six
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eighteen divided by six
How can the simple combination of an everyday number and a basic operation cause such problems? Discurso
0:19Como a simples combinação de um número cotidiano e uma operação básica pode causar tais problemas?
How can ... cause such problems? como pergunta de abertura para uma explicação
A pergunta How can X cause Y? faz mais do que perguntar sobre um método. Aqui, ela contrapõe um número comum e uma operação básica aos problemas inesperados que eles causam, criando um contraste surpreendente. Como abertura, a pergunta apresenta o enigma antes da explicação. Assim, ela organiza as informações com clareza: primeiro mostra o resultado surpreendente e depois explica como ou por que ele acontece.
Prática
Qual pergunta de abertura usa melhor How can...? para apresentar um enigma surpreendente que possa ser respondido com uma explicação?
- Where is the packet of seeds?
- How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?
- Can you put this seed in the blue pot?
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How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?
Normally, dividing by smaller and smaller numbers gives you bigger and bigger answers. Gramática
0:26Normalmente, dividir por números cada vez menores dá a você respostas cada vez maiores.
smaller and smaller ... bigger and bigger para expressar mudança contínua
Em smaller and smaller e bigger and bigger, a mesma forma comparativa é repetida com and. O padrão comparativo + and + comparativo indica que uma qualidade continua mudando na mesma direção ao longo do tempo ou de uma sequência. Aqui, smaller and smaller descreve números que diminuem passo a passo, enquanto bigger and bigger descreve respostas que aumentam passo a passo. O padrão mostra uma tendência contínua, não apenas que algo é muito pequeno ou muito grande.
Prática
Complete a frase com o padrão de comparativo repetido que significa “cada vez mais alto”: The music grew ____ as the parade came closer.
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louder and louder
A elipse em By 1 ... By 1 millionth
By 1 e By 1 millionth são itens paralelos abreviados. O primeiro cálculo estabelece a estrutura repetida 10 divided by ..., então os itens seguintes significam 10 divided by 1 e 10 divided by one millionth. Isso é uma elipse: a informação compartilhada é omitida porque pode ser recuperada facilmente pela lista. Em uma explicação rápida, mantenha mentalmente a estrutura comum e insira cada novo divisor.
Prática
Nesta lista de cálculos, qual é a forma completa de By 1 millionth?
- 1 millionth divided by 10
- 10 divided by 1 millionth
- 10 multiplied by 1 millionth
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10 divided by 1 millionth
And so on para encerrar uma lista incompleta
And so on aparece no fim de uma lista ou série. A expressão indica que outros itens ou passos do mesmo tipo ou padrão continuam, mas o falante não citará todos. O ouvinte precisa conseguir deduzir o que viria depois com base nos exemplos ou na regra já apresentados.
Prática
Complete a frase com a expressão da lição que mostra que a lista continua: We need paper, pencils, folders, ____.
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and so on
So it seems like if you divide by numbers that keep shrinking all the way down to zero, Notas
0:40Então parece que se você dividir por números que continuam encolhendo até zero,
it seems like if ...: uma inferência condicional provisória
Em it seems like if ..., it seems like apresenta a ideia seguinte como uma impressão baseada no que se vê ou sabe até o momento, e não como uma conclusão comprovada. A palavra if introduz a condição por trás dessa impressão. Essa formulação permite apresentar um possível padrão e deixa espaço para testá-lo, restringi-lo ou corrigi-lo.
Prática
Qual frase apresenta uma condição como uma inferência provisória, e não como um fato comprovado?
- We have proved that every battery runs down faster in the cold.
- It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.
- Every battery definitely runs down faster in the cold.
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It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.
keep shrinking: keep + -ing para expressar uma mudança contínua
Keep + uma forma em -ing indica que uma ação ou mudança continua ou se repete. Aqui, keep shrinking significa “continuar diminuindo”. A estrutura descreve uma tendência em andamento, não um estado fixo de tamanho pequeno. O verbo concorda com o sujeito: numbers keep shrinking, mas a number keeps shrinking.
Prática
Complete a frase com a forma correta de keep + changing: The weather ____ throughout the day.
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keeps changing
all the way down to zero: ênfase em toda a trajetória de queda
Em all the way down to zero, all the way intensifica a extensão da mudança: ela percorre toda a faixa até o ponto final indicado. Down mostra a direção descendente, e to zero indica que o ponto final é zero. O padrão all the way down to + um ponto baixo pode descrever quantidades, níveis, temperaturas ou movimento físico. Ele destaca todo o percurso de queda, não apenas o valor final.
Prática
Complete a frase com a expressão da lição que significa “por toda a trajetória de queda até zero”: The gauge fell ____.
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all the way down to zero
the answer will grow to the largest thing possible.
0:45a resposta crescerá para a maior coisa possível.
Then isn't the answer to 10 / 0 actually infinity? Intenção
0:48Então a resposta para 10 / 0 não é na verdade o infinito?
Then isn't ... actually ...?: apresentar uma conclusão esperada
Then liga a pergunta ao raciocínio apresentado antes: se aquilo for verdade, esta conclusão parece ser a consequência. A pergunta negativa isn't ...? não é totalmente neutra; ela apresenta infinito como a resposta que o falante espera que pareça natural. Actually acrescenta um pequeno desafio à suposição anterior, como se perguntasse se esse é o resultado verdadeiro. A pergunta convida à confirmação ou apresenta uma ideia para análise, mas não prova que a conclusão esteja correta.
Prática
O que a pergunta negativa comunica principalmente nesta frase?
- Ela apresenta infinito como a conclusão que o falante espera que pareça natural.
- Ela prova que dividir por zero é igual a infinito.
- Ela pede qualquer resposta sem sugerir nenhuma.
Ver resposta
Ela apresenta infinito como a conclusão que o falante espera que pareça natural.
may sound plausible: razoável à primeira vista, mas não comprovado
Nesta frase, may sound plausible significa “pode parecer razoável ou convincente”. May mantém a avaliação incerta, sound descreve a impressão causada pela ideia e plausible indica que ela poderia ser verdadeira com base no que se sabe. A expressão costuma reconhecer que um argumento parece convincente à primeira vista antes de examiná-lo com mais cuidado. Ela não afirma que o argumento está correto.
Prática
Qual frase diz que uma explicação parece razoável, mas ainda não foi comprovada?
- The explanation is certainly true, so no evidence is needed.
- The explanation may sound plausible, but we still need evidence.
- The explanation is easy to hear, but hard to understand.
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The explanation may sound plausible, but we still need evidence.
but all we really know is that if we divide 10 by a number that tends towards zero, Notas
0:54mas tudo o que realmente sabemos é que se dividirmos 10 por um número que tende a zero,
all we really know is that: limitar uma afirmação às evidências
A estrutura all we really know is that... restringe a discussão ao conteúdo que as evidências realmente sustentam. Gramaticalmente, all we really know funciona como sujeito, e a oração introduzida por that apresenta todo o conteúdo do que pode ser conhecido. Aqui, all tem uma força restritiva próxima de “a única coisa”, enquanto really enfatiza a certeza real. Essa estrutura é usada para interromper uma inferência excessivamente confiante e substituí-la por uma afirmação cuidadosa e baseada em evidências.
Prática
Uma única pegada mostra que alguém esteve presente, mas não revela quem. Qual frase se limita ao que as evidências permitem afirmar?
- All we really know is that someone was here.
- We know exactly who was here.
- The footprint proves that nobody was here.
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All we really know is that someone was here.
tends towards zero ... tends towards infinity: aproximar-se de um limite
Aqui, tends towards significa “aproximar-se cada vez mais de” à medida que outro valor muda. A palavra ou quantidade depois de towards indica o alvo ou a direção do limite: tends towards zero e tends towards infinity descrevem a direção da mudança. Na matemática, essa expressão descreve um comportamento limite, não um valor que já foi alcançado. Um denominador pode tender a zero sem ser zero; um resultado que tende ao infinito cresce sem limite, em vez de se tornar um número comum chamado infinito.
Prática
Um valor está se aproximando cada vez mais de zero, mas talvez nunca seja igual a zero. Qual frase expressa isso com mais precisão?
- The value is equal to zero.
- The value moves away from zero.
- The value tends towards zero.
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The value tends towards zero.
And that's not the same thing as saying that 10 / 0 is equal to infinity. Notas
1:03E isso não é a mesma coisa que dizer que 10 / 0 é igual ao infinito.
not the same thing as saying: rejeitar uma equivalência falsa
A estrutura that's not the same thing as saying that X rejeita uma equivalência falsa. Ela mostra ao ouvinte que a afirmação anterior não justifica a conclusão mais forte ou diferente apresentada depois de saying that. Ela organiza o argumento em duas etapas: primeiro mantém a afirmação original e depois delimita o que ela não afirma. Nesta frase, “tender ao infinito” é separado da afirmação de que uma divisão por zero é igual ao infinito.
Prática
Complete a frase com a estrutura destacada: The forecast says rain is possible. That is ____ it will definitely rain.
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not the same thing as saying
is equal to para expressar uma igualdade matemática exata
Is equal to expressa uma igualdade exata: a expressão anterior tem o mesmo valor que a expressão posterior. A estrutura é A + be + equal to + B, portanto be concorda com A. Aqui, a expressão faz parte de uma afirmação sobre 10 / 0. O falante diz que uma ideia não é o mesmo que fazer essa afirmação de igualdade; is equal to marca a relação afirmada, mas não prova que ela seja verdadeira.
Prática
Complete a equação com a estrutura be equal to: Twelve divided by three ____ four.
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is equal to
Well, let's take a closer look at what division really means. Frases
1:11Bem, vamos dar uma olhada mais de perto no que a divisão realmente significa.
take a closer look at como transição para uma análise mais profunda
Take a closer look at significa examinar algo com mais cuidado ou detalhe. O elemento depois de at pode ser algo físico, como uma imagem, ou abstrato, como uma ideia ou um problema. Com Let's, o falante convida o público a examinar o assunto em conjunto. Em uma explicação, a expressão costuma funcionar como transição entre apresentar uma pergunta e analisá-la.
Prática
Complete o convite com a expressão-alvo take a closer look at: Let's ____ the evidence.
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take a closer look at
how many times must we add 2 together to make 10? Gramática
1:18quantas vezes devemos somar 2 juntos para dar 10?
How many times must we ... to make ...?: perguntar quantas repetições são necessárias para atingir um resultado
How many times pergunta o número de repetições. Em How many times must we + verbo na forma base ... to + verbo na forma base ...?, must apresenta a ação como necessária, e a oração com to indica o resultado desejado. Aqui, add 2 together significa incluir repetidamente outro 2 na soma até o total chegar a 10. A pergunta reformula 10 ÷ 2 como “quantos números 2 formam 10”: cinco.
Prática
Complete a pergunta com a expressão que pede o número necessário de repetições: ____ must we add 4 together to make 20?
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How many times
Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it in the following way. Vocabulário
1:26Dividir por um número é essencialmente o reverso de multiplicar por ele da seguinte maneira.
the reverse of multiplying by it / in the following way: divisão da estrutura
The reverse of + substantivo ou forma em -ing dá nome a um processo que desfaz outro ou segue na direção oposta. Em A is the reverse of B, A e B são apresentados como processos inversos. Aqui, it retoma a number: dividir por esse número é descrito como o inverso de multiplicar por ele. O in no final do trecho destacado não faz parte de the reverse of. Ele inicia in the following way, que sinaliza que uma explicação ou demonstração virá em seguida.
Prática
Qual frase apresenta claramente um processo como algo que desfaz outro?
- Unzipping a jacket is similar to zipping it up.
- Unzipping a jacket happens after zipping it up.
- Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.
Ver resposta
Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.
If we multiply any number by a given number x, Vocabulário
1:32Se multiplicarmos qualquer número por um determinado número x,
a given number x: um número x definido de antemão
Aqui, given é um adjetivo que significa “especificado ou escolhido de antemão”. Em a given number x, x representa um número considerado já definido, mesmo que seu valor exato não esteja escrito. Em textos matemáticos e técnicos, given costuma indicar uma informação que o problema já estabeleceu. Não significa que alguém tenha dado o número de presente.
Prática
O que given significa na instrução “Choose a given value for x”?
- Especificado ou escolhido de antemão
- Que muda o tempo todo
- Recebido como presente
Ver resposta
Especificado ou escolhido de antemão
we can ask if there's a new number we can multiply by afterwards
1:35podemos perguntar se há um novo número pelo qual podemos multiplicar depois
get back to where we started: voltar ao estado inicial
Em get back to where we started, get back to significa “voltar a”, e where we started indica o ponto ou estado inicial. Aqui, a frase é figurada: depois de outra multiplicação, o valor volta a ser o que era antes das operações. A mesma expressão pode descrever a recuperação de um estado anterior em um plano, uma conversa ou um processo; ela não exige movimento físico.
Prática
Qual frase significa que desfazer as alterações restaurou o estado original?
- Undoing the update moved us to a new stage.
- Undoing the update got us back to where we started.
- Undoing the update forced us to start from scratch.
Ver resposta
Undoing the update got us back to where we started.
the new number is called the multiplicative inverse of x. Vocabulário
1:43o novo número é chamado de inverso multiplicativo de x.
o inverso multiplicativo de x
Na matemática, o inverso multiplicativo de x é um número que, quando multiplicado por x, resulta em 1. Para qualquer x diferente de zero, ele é 1/x; por exemplo, o inverso multiplicativo de 5 é 1/5. A expressão of x identifica o número original. Zero não tem inverso multiplicativo, pois nenhum número multiplicado por zero é igual a 1.
Prática
Qual número é o inverso multiplicativo de 5?
- 1/5
- -5
- 0
Ver resposta
1/5
For example, if you multiply 3 by 2 to get 6,
1:47Por exemplo, se você multiplicar 3 por 2 para obter 6,
you can then multiply by 1/2 to get back to 3.
1:51você pode então multiplicar por 1/2 para voltar a 3.
As you might notice, para orientar uma observação
As you might notice, é uma expressão usada no início da frase para direcionar a atenção dos ouvintes a um padrão ou característica que eles podem observar em informações já mostradas. Ela liga evidências ou exemplos anteriores ao próximo comentário de quem fala. Might suaviza a suposição: os ouvintes talvez já tenham percebido, mas quem fala não afirma que isso necessariamente aconteceu. Por isso, soa mais gentil do que uma ordem direta iniciada por Notice that.
Prática
Complete a frase com a expressão de quatro palavras que orienta gentilmente o público para uma característica observável: ____, both bars reach the same height.
Ver resposta
As you might notice
the product of any number and its multiplicative inverse is always 1. Vocabulário
2:05o produto de qualquer número e seu inverso multiplicativo é sempre 1.
o produto de A e B
Em matemática, the product of A and B significa o resultado de multiplicar A por B. Aqui A corresponde a any number e B a its multiplicative inverse; product é o substantivo matemático “produto”, não o sentido cotidiano de “item fabricado ou vendido”. Todo o sintagma nominal destacado é o sujeito da frase. As palavras seguintes is always 1 indicam o valor desse produto.
Prática
Complete a frase matemática com o substantivo que indica o resultado de uma multiplicação: The ____ of 4 and 3 is 12.
Ver resposta
product
Se quisermos..., precisamos...
A estrutura If we want to + verbo, we need to + verbo liga um objetivo a uma ação necessária. A oração com if apresenta o objetivo, e a oração principal com need to indica o que precisa acontecer ou ser feito para buscá-lo. Aqui, a estrutura inicia uma etapa do raciocínio: para considerar a divisão por zero, o falante primeiro procura o inverso multiplicativo de zero. A estrutura apresenta um requisito; ela não garante que esse requisito possa realmente ser atendido.
Prática
Complete a estrutura de objetivo e ação necessária: If we want to protect our passwords, we ____ keep them private.
Ver resposta
need to
This would have to be such a number that multiplying it by zero would give 1. Gramática
2:19Este teria que ser um número tal que, multiplicando-o por zero, daria 1.
such a number that... para indicar uma propriedade necessária
Aqui, such a number that... significa um número do tipo exigido, cuja propriedade é apresentada em seguida. A estrutura é such + a/an + substantivo contável no singular + oração com that. A oração multiplying it by zero would give 1 indica a propriedade que esse número hipotético teria de possuir. Embora such...that frequentemente introduza um resultado, aqui sua função é definir uma condição em um raciocínio matemático. Entenda a oração com that como o teste que o número deve satisfazer.
Prática
Complete a descrição matemática com a estrutura exata such a number that: We need ____ doubling it gives twelve.
Ver resposta
such a number that
But because anything multiplied by zero is still zero, Gramática
2:25Mas como qualquer coisa multiplicada por zero ainda é zero,
anything multiplied by zero como oração relativa passiva reduzida
Multiplied by zero é um sintagma de particípio passado colocado depois de anything. Ele tem sentido passivo: anything recebe a ação. A forma completa é anything that is multiplied by zero. Trata-se de uma oração relativa passiva reduzida: that is é omitido, mas multiplied permanece. Esse modificador posposto e compacto é comum em textos matemáticos, científicos e explicativos.
Prática
Qual oração relativa completa tem o mesmo significado que anything multiplied by zero?
- anything that is multiplied by zero
- anything that multiplies zero
- anything that has multiplied zero
Ver resposta
anything that is multiplied by zero
has no + substantivo em zero has no multiplicative inverse
Em zero has no multiplicative inverse, has no + substantivo apresenta o que falta como algo que o sujeito não possui. Aqui, a frase declara um fato matemático: não existe nenhum número que, multiplicado por zero, resulte em 1. Use sujeito + has/have no + substantivo para afirmar diretamente que algo não possui um objeto, resultado ou propriedade. No já torna o sintagma nominal negativo, portanto não acrescente not.
Prática
Complete a frase com a expressão exata com has no + substantivo que significa que um triângulo não tem um quarto lado: In ordinary geometry, a triangle ____.
Ver resposta
has no fourth side
Does that really settle things though? como transição de dúvida
Settle things significa resolver completamente a questão. A pergunta faz mais do que pedir informação: really questiona se a conclusão anterior é suficiente. Colocar though no fim acrescenta um contraste semelhante a “mesmo assim” ou “mas”. Em conjunto, a pergunta reabre a discussão e leva a explicação de uma resposta aparente para uma questão mais profunda.
Prática
Em uma discussão, o que o falante está fazendo ao perguntar Does that really settle things though?
- Pedindo que alguém coloque vários objetos em ordem
- Questionando se a conclusão anterior resolve completamente a questão
- Confirmando que a discussão terminou definitivamente
Ver resposta
Questionando se a conclusão anterior resolve completamente a questão
After all, mathematicians have broken rules before. Discurso
2:37Afinal, os matemáticos já quebraram regras antes.
After all para introduzir uma razão de apoio
After all introduz um fato que apoia ou reforça a ideia que acabou de ser apresentada. Funciona como um lembrete para considerar uma razão que o ouvinte provavelmente aceitará; não indica ordem no tempo. Aqui, a expressão orienta o ouvinte a ligar o fato de que matemáticos já quebraram regras à afirmação ou pergunta anterior. Um padrão comum de organização é: afirmação ou sugestão + after all + fato que a apoia.
Prática
Qual frase usa after all para introduzir um fato que apoia a afirmação anterior?
- We cleaned the room after all.
- We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.
- After all the meetings, we finally made a decision.
Ver resposta
We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.
for a long time there was no such thing as taking the square root of negative numbers. Notas
2:41por muito tempo não existia tal coisa como tirar a raiz quadrada de números negativos.
There was no such thing as ... para indicar inexistência no passado
There was no such thing as ... indica que um tipo de objeto, prática ou conceito não existia, não estava disponível ou não era reconhecido em determinado momento do passado. A estrutura reutilizável é there was no such thing as + substantivo ou forma em -ing. Nesta frase, taking the square root of negative numbers é uma expressão em -ing que nomeia uma prática ou um conceito matemático. Para falar do presente, use there is no such thing as ....
Prática
Complete a frase com a estrutura no passado no such thing as: In 1900, ____ online banking.
Ver resposta
there was no such thing as
taking the square root of negative numbers: calcular a raiz quadrada de números negativos
Take the square root of X é a expressão matemática padrão para encontrar um número que, multiplicado por ele mesmo, resulta em X. Aqui, taking é usado porque toda a operação vem depois de no such thing as e é tratada como uma atividade ou um conceito. Nessa expressão matemática, take não significa carregar ou retirar algo fisicamente.
Prática
Complete a instrução com a estrutura take + the square root + of: To find the side length, ____ 81.
Ver resposta
take the square root of
But then mathematicians defined the square root of -1 as a new number called i, Frases
2:47Mas então os matemáticos definiram a raiz quadrada de -1 como um novo número chamado i,
defined X as Y ... a new number called i: definir e nomear
Define X as Y significa atribuir a X o significado ou a condição precisa expressa por Y. Nessa frase, X é the square root of -1 e Y é a new number, portanto a estrutura introduz formalmente uma definição matemática. Called i é uma oração passiva reduzida que modifica a expressão a new number; equivale a a new number that is called i. Juntas, as duas partes apresentam tanto a definição quanto o nome do número.
Prática
Complete a frase de definição e nome com define X as Y e called: We ____ a polygon with three equal sides ____ a special triangle ____ an equilateral triangle.
Ver resposta
define · as · called
opening up a whole new mathematical world of complex numbers. Notas
2:53abrindo todo um novo mundo matemático de números complexos.
open up a whole new world of: abrir um mundo de novas possibilidades
Aqui, opening up significa tornar disponíveis novas possibilidades ou uma nova área de conhecimento, e não abrir fisicamente um objeto. A whole new mathematical world of... reforça essa ideia ao apresentar o novo campo como um mundo que pode ser explorado. A estrutura reutilizável é open up a whole new world of + substantivo. Ela indica que algo dá acesso a muitas possibilidades nessa área.
Prática
Qual frase usa opened up a whole new world of para dizer que muitas novas possibilidades ficaram disponíveis?
- Amir opened up a box of old photographs.
- Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.
- Amir opened the kitchen window.
Ver resposta
Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.
complex numbers: o termo matemático para números complexos
A expressão complex numbers é o termo matemático padrão para números que podem ser escritos como a + bi, em que a e b são números reais e i² = -1. Por exemplo, 3 + 2i é um número complexo. Aqui, complex faz parte de um termo fixo; não significa simplesmente que algo é difícil de entender. Interprete complex number como um nome matemático completo.
Prática
Complete a frase com o termo matemático padrão para números da forma a + bi: Numbers such as 3 + 2i are called ____.
Ver resposta
complex numbers
couldn't we just make up a new rule? Verbos frasais
2:59não poderíamos simplesmente inventar uma nova regra?
make up a new rule: inventar uma regra
Em make up a new rule, make up significa inventar ou criar uma regra que não existia antes. Aqui, é um phrasal verb, e não a combinação dos sentidos literais de make e up. O objeto a new rule indica o que é inventado. Esse uso aparece com frequência ao criar regras para um jogo, uma situação imaginária ou uma solução rápida.
Prática
Complete a frase com a expressão destacada que significa “inventar uma nova regra”: Before our new game begins, let's ____.
Ver resposta
make up a new rule
Say that ... para introduzir uma suposição temporária
No início desta frase, Say that ... significa suponhamos ou vamos admitir. Não é um pedido para alguém dizer essas palavras em voz alta. A estrutura estabelece uma definição ou condição temporária e depois convida o ouvinte a explorar o resultado. É comum em explicações faladas e experiências mentais.
Prática
Qual frase usa Say para introduzir uma suposição temporária?
- Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?
- Lena said that each box was heavy.
- Say the number five clearly.
Ver resposta
Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?
see what happens: observar um resultado desconhecido
Nesta frase, see what happens significa “tentar algo e observar o resultado”. Aqui, see quer dizer “descobrir por meio da observação”, e não apenas “usar os olhos”. What happens é uma pergunta indireta depois de see. Ela deixa o resultado em aberto: quem fala ainda não afirma saber o que acontecerá.
Prática
Complete a frase com a expressão de três palavras da lição que significa “observar o resultado desconhecido”: Let's change one setting and ____.
Ver resposta
see what happens
imagining we don't know anything about infinity already. Gramática
3:08imaginando que não sabemos nada sobre o infinito ainda.
imagining we don't know... como uma suposição adicional
Imagining we don't know anything about infinity already é uma oração com particípio presente que acrescenta a suposição usada durante a ação principal. Quem fala pede que deixemos de lado o conhecimento prévio para fazer o experimento mental. O sujeito subentendido de imagining é we, as mesmas pessoas que realizam a ação principal do contexto. Em uma frase completa, a ideia pode ser desenvolvida como while we imagine that we don't know anything about infinity already.
Prática
Qual frase deixa claro que o sujeito da oração principal é quem realiza a ação de imagining?
- Imagining that we knew nothing, the answer surprised us.
- We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.
- The problem appeared on the screen, imagining that we knew nothing about the usual solution.
Ver resposta
We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.
Based on the definition of a multiplicative inverse, Frases
3:11Com base na definição de um inverso multiplicativo,
Based on the definition of: indicar a definição que fundamenta uma conclusão
Based on the definition of ... indica que a conclusão seguinte decorre do que um termo significa por definição. A expressão primeiro identifica a definição usada como base do raciocínio. A estrutura é Based on the definition of + grupo nominal, seguida da conclusão. Na legenda, a definição de um inverso multiplicativo é a base para o próximo passo do falante.
Prática
Complete a frase com a expressão-alvo que significa “usar a definição como base”: ____ a square, we know that it has four equal sides.
Ver resposta
Based on the definition of
must be equal to: expressar um resultado logicamente necessário
Aqui, must expressa necessidade lógica, não uma ordem nem uma obrigação. must be equal to 1 significa que o falante apresenta 1 como o único resultado permitido pela definição ou pelo raciocínio. A estrutura sujeito + must be equal to + valor é comum em explicações matemáticas. Ela indica uma igualdade inferida, mas não prova por si só que o raciocínio esteja correto.
Prática
Qual frase mostra com mais clareza que uma regra torna o resultado logicamente necessário?
- The result is equal to ten.
- The result should be equal to ten.
- The result must be equal to ten.
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The result must be equal to ten.
That means 0 * infinity + 0 * infinity should equal 2. Gramática
3:18Isso significa que 0 * infinito + 0 * infinito deveria ser igual a 2.
should equal 2: um resultado logicamente esperado
Em “should equal 2”, should marca o resultado esperado com base nas hipóteses ou no cálculo atual. A ideia é: “se o raciocínio até aqui estiver correto, o resultado é 2”. Aqui, should indica uma expectativa lógica, não um conselho nem uma obrigação. A estrutura é should + verbo na forma base; portanto, usa-se should equal, e não should to equal.
Prática
Complete a frase com should equal para expressar o resultado esperado: After counting both teams' points, the total ____ thirty.
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should equal
by the distributive property: citar uma regra
Em “by the distributive property”, by significa “segundo” ou “com base em”. A expressão nomeia a regra matemática que justifica o próximo passo. Colocar by + regra/teorema/definição no início de uma frase ou etapa organiza a explicação ao apresentar a justificativa antes do resultado.
Prática
Use by + o nome da regra para completar a explicação: ____, 3(x + 2) = 3x + 6.
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By the distributive property
the left side of the equation can be rearranged to 0 + 0 * infinity. Gramática
3:26o lado esquerdo da equação pode ser rearranjado para (0 + 0) * infinito.
can be rearranged to + forma resultante
Can be rearranged to segue o padrão modal can + passiva be rearranged + to. A expressão é o elemento que sofre a transformação, por isso não é necessário dizer quem faz a operação algébrica. To introduz a forma resultante. Na matemática, isso normalmente indica que a expressão foi reescrita em uma forma equivalente, e não que seu valor foi alterado.
Prática
Complete com can + a forma passiva de rearrange + to: The equation ____ x = 6.
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can be rearranged to
reduces down to + resultado simplificado
Reduces down to significa “torna-se uma forma mais simples após uma simplificação”. O sujeito é a expressão original, e to introduz o resultado mais simples. Nessa frase, that retoma a expressão que está sendo simplificada.
Prática
Use a frase conversacional exata que significa “é simplificada para”: After combining like terms, the expression ____ 3x.
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reduces down to
Unfortunately, we've already defined this as equal to 1,
3:39Infelizmente, já definimos isso como igual a 1,
while the other side of the equation is still telling us it's equal to 2. Discurso
3:43enquanto o outro lado da equação ainda está nos dizendo que é igual a 2.
while the other side of the equation...: introduzindo um resultado conflitante
Aqui, while significa “ao passo que” ou “em contraste”, e não “durante o tempo em que”. A palavra introduz o outro lado da equação como uma informação que entra em conflito com o resultado que já estava sendo discutido. Ao colocar o segundo resultado em uma oração com while, o falante deixa a incompatibilidade fácil de perceber. is still telling us é uma personificação informal: a equação continua mostrando ou indicando que o valor é 2.
Prática
Qual frase usa while para contrastar duas conclusões conflitantes?
- The first report says the road is open, while the second says it is closed.
- We waited inside while the storm passed.
- While the printer was running, I answered an email.
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The first report says the road is open, while the second says it is closed.
Oddly enough, that's not necessarily wrong. Notas
3:51Por incrível que pareça, isso não é necessariamente errado.
Oddly enough: sinalizando um ponto inesperado
Oddly enough prepara o ouvinte para algo surpreendente ou contrário ao esperado. Nesta frase, indica que devemos reconsiderar a primeira impressão de que o resultado necessariamente está errado. A expressão comenta a afirmação inteira que vem depois. enough não significa que algo atingiu um grau suficiente de estranheza; as duas palavras funcionam juntas como uma expressão fixa.
Prática
Complete a frase com a expressão fixa de duas palavras formada a partir de odd que sinaliza um resultado surpreendente: ____, the old battery lasted longer than the new one.
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Oddly enough
not necessarily wrong: não significa definitely right
Em not necessarily wrong, not recai sobre necessarily. O falante rejeita a ideia de que algo tenha de estar errado, por isso as duas possibilidades continuam em aberto: pode estar errado ou pode não estar. É uma correção cautelosa, não uma afirmação de que algo esteja definitivamente certo. Use o padrão not necessarily + adjetivo quando quiser questionar um julgamento absoluto sem afirmar o contrário.
Prática
O que significa “The plan is not necessarily wrong”?
- O plano está definitivamente certo.
- O plano pode estar errado ou pode não estar.
- O plano está definitivamente errado.
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O plano pode estar errado ou pode não estar.
It's just not true in our normal world of numbers. Discurso
3:54Apenas não é verdade em nosso mundo normal de números.
just not true in our normal world of numbers: limitar o domínio
A expressão in our normal world of numbers liga-se a not true e indica o domínio em que o julgamento se aplica. A afirmação é rejeitada dentro do sistema numérico conhecido que está sendo discutido, em vez de ser declarada impossível em todos os sistemas imagináveis. Aqui, just significa simply e dá ênfase a not true. Não significa only; é a expressão com in que limita o alcance. Esse padrão de julgamento + domínio organiza um argumento ao indicar tanto a conclusão quanto onde ela vale.
Prática
Qual frase limita uma afirmação a um domínio sem dizer que ela é falsa em todos os lugares?
- The rule is not true in ordinary arithmetic.
- The rule is never true in any system.
- Ordinary arithmetic is not a true rule.
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The rule is not true in ordinary arithmetic.
There's still a way it could be mathematically valid Vocabulário
3:58Ainda há uma maneira de ser matematicamente válido
mathematically valid: válido segundo as regras da matemática
Nesta frase, mathematically valid significa “aceitável ou possível segundo as regras da matemática”. Mathematically é um advérbio que indica qual critério está sendo usado para avaliar valid. Aqui, valid significa que a ideia está de acordo com as definições e regras escolhidas. Tem o sentido de “logicamente aceitável”, e não o de “não vencido” usado para um bilhete ou documento.
Prática
Complete a frase com a expressão inglesa de duas palavras que significa “aceitável segundo as regras matemáticas”: This unusual proof is ____.
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mathematically valid
if 1, 2, and every other number were equal to zero. Gramática
4:00se 1, 2 e todos os outros números fossem iguais a zero.
if ... were equal to zero: uma condição hipotética
If introduz uma condição imaginada: suponha que 1, 2 e todos os outros números tivessem o valor zero. A oração não apresenta isso como fato; ela cria uma situação matemática fora do comum na qual outra afirmação poderia ser considerada. A estrutura é if + sujeito + verbo no passado. Were equal to significa “tivessem o mesmo valor que”. Como o sujeito menciona vários números, were também concorda com um sujeito plural; portanto, o sentido hipotético vem de toda a oração com if e do contexto, não apenas de were.
Prática
Qual frase apresenta uma condição não factual usando if + passado e um resultado com would?
- If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.
- Because the map was accurate, we reached the hotel.
- If this map is accurate, we can follow it.
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If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.
But having infinity equal to zero is ultimately not all that useful to mathematicians or anyone else. Vocabulário
4:05Mas ter o infinito igual a zero, no final das contas, não é tão útil para os matemáticos ou para qualquer outra pessoa.
not all that useful: uma avaliação negativa atenuada
Em not all that useful, all that significa “em um grau tão alto” dentro do padrão negativo. Assim, a expressão completa significa “não muito útil” ou “menos útil do que se esperava”; normalmente, não significa que algo seja totalmente inútil. O padrão not all that + adjetivo atenua uma avaliação negativa. Aqui, o falante considera que a ideia tem valor prático limitado.
Prática
Complete a frase com a expressão exata de quatro palavras desta lição que significa “menos útil do que se esperava”: The extra feature looks impressive, but it is ____ for most users.
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not all that useful
There actually is something called the Riemann sphere that involves dividing by zero by a different method, Cultura
4:13Na verdade, existe algo chamado esfera de Riemann que envolve dividir por zero por um método diferente,
the Riemann sphere: um nome próprio da matemática
The Riemann sphere, ou esfera de Riemann, é o nome próprio de um modelo matemático: o plano complexo mais um ponto adicional, chamado ponto no infinito. Esse modelo pode ser representado por uma esfera, o que explica a palavra sphere no nome. Aqui, o termo indica uma estrutura matemática diferente para discutir o infinito. Ele não significa uma bola física comum nem afirma que a aritmética comum permite a divisão por zero.
Prática
A que o nome the Riemann sphere se refere na frase?
- Uma bola física comum usada para demonstrar a divisão.
- Um modelo matemático que acrescenta um ponto no infinito ao plano complexo.
- Uma regra que permite dividir por zero na aritmética comum.
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Um modelo matemático que acrescenta um ponto no infinito ao plano complexo.
a story for another day: deixar um assunto para depois
A expressão idiomática a story for another day significa “um assunto ou uma explicação para discutir mais tarde, não agora”. Aqui, story não é literal: pode se referir a contexto, motivos ou detalhes, e não necessariamente a uma história. Ao dizer that's a story for another day, a pessoa reconhece o assunto secundário e o encerra por enquanto para continuar a discussão principal.
Prática
Uma pessoa quer deixar de lado um detalhe não urgente e continuar a explicação principal. Qual frase soa mais natural?
- How the machine learned that trick is a story from the other day.
- How the machine learned that trick is a story on another date.
- How the machine learned that trick is a story for another day.
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How the machine learned that trick is a story for another day.
In the meantime: voltar a atenção para o presente
In the meantime se refere ao intervalo anterior a um evento esperado, uma explicação ou o próximo passo. A expressão introduz o que acontece ou pode ser feito durante esse intervalo. Aqui, ela também funciona como uma transição que organiza as informações: o assunto secundário anterior foi adiado, então a expressão traz a atenção de volta ao que importa agora. No início de uma frase completa, ela normalmente introduz uma oração sobre a situação ou ação atual.
Prática
Escolha a melhor transição: The software update will finish in an hour. ____, you can back up your files.
- At the same time
- In the meantime
- For the time being
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In the meantime
dividing by zero in the most obvious way doesn't work out so great. Verbos frasais
4:23dividir por zero da maneira mais óbvia não funciona muito bem.
doesn't work out so great: o resultado não é muito bom
Aqui, work out significa “desenvolver-se ou terminar com determinado resultado”. Quando o sujeito é um método ou uma situação, doesn't work out indica que o resultado não teve sucesso ou não foi satisfatório. Doesn't work out so great é uma maneira informal e levemente atenuada de dizer “não dá muito certo”. Ela faz a avaliação negativa soar mais leve do que uma afirmação direta como “fails”.
Prática
O que significa “The experiment didn't work out so great.”?
- O experimento teve um resultado decepcionante.
- O experimento envolveu exercício físico.
- O experimento teve muito sucesso.
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O experimento teve um resultado decepcionante.
But that shouldn't stop us from living dangerously Gramática
4:27Mas isso não deve nos impedir de viver perigosamente
shouldn't stop us from living dangerously: stop + pessoa + from + -ing
O padrão stop + pessoa + from + -ing significa “impedir alguém de fazer algo”. Em shouldn't stop us from living, us é a pessoa afetada, from é uma preposição e, por isso, living fica na forma em -ing. Shouldn't stop us from ... indica que não se deve permitir que um problema ou contratempo bloqueie a próxima ação. Living dangerously é uma exageração bem-humorada aqui: significa continuar experimentando com ousadia, e não dar um conselho sério sobre segurança.
Prática
Complete a frase com stop + pessoa + from + -ing: One mistake shouldn't ____.
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stop us from trying again
and experimenting with breaking mathematical rules Frases
4:30e experimentar quebrar regras matemáticas
experimenting with breaking: estrutura experiment with + -ing
Experiment with doing something significa testar um método ou uma ação para observar o que acontece. Aqui, breaking mathematical rules é a ação testada de forma exploratória; isso não afirma que as regras já foram quebradas. Nessa estrutura, with é uma preposição, portanto o verbo seguinte fica na forma -ing: experiment with breaking, e não experiment with break.
Prática
Complete a frase com a forma correta de experiment with + rearrange: The team is ____ the pieces to see what works best.
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experimenting with rearranging
to see if we can invent fun new worlds to explore. Notas
4:33para ver se podemos inventar mundos novos e divertidos para explorar.
to see if we can invent: expressar finalidade
To see if we can invent expressa a finalidade de uma ação anterior: essa ação é realizada para descobrir se é possível inventar algo. Aqui, see significa “descobrir” e if equivale a whether, isto é, “se” em uma pergunta indireta; não introduz uma condição. O padrão reutilizável é action + to see if + subject + can + base verb. Depois de can, usamos o verbo na forma base, invent, e não invents ou to invent.
Prática
Use o padrão de finalidade to see if... para completar a frase: Let's test the materials ____ build a stronger bridge.
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to see if we can
fun new worlds to explore como metáfora de campos abstratos
Aqui, fun new worlds não significa planetas ou lugares reais. A expressão compara sistemas matemáticos criados com regras novas a mundos nos quais as pessoas podem entrar e investigar. O infinitivo to explore indica o que pode ser feito com esses mundos: testar as regras e descobrir quais possibilidades aparecem. A metáfora transforma uma atividade abstrata em uma aventura. Ela sugere curiosidade, experimentação e descoberta, e não uma viagem comum.
Prática
Nesta frase, o que new worlds provavelmente significa? A good story gives readers new worlds to explore.
- Novas salas usadas para guardar livros
- Planetas recém-descobertos
- Novas ideias e possibilidades imaginadas
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Novas ideias e possibilidades imaginadas
mind-bending math: um adjetivo composto para ideias que desafiam a mente
Mind-bending é um adjetivo composto que descreve algo tão surpreendente, estranho ou complexo que desafia nossa maneira normal de pensar. Aqui, mind-bending math se refere a uma matemática que, à primeira vista, é difícil de imaginar ou entender, mas também causa admiração. O sentido não é literal: nada dobra fisicamente a mente. O hífen une mind e bending para que funcionem juntos como um único adjetivo antes de math.
Prática
Complete a frase com o adjetivo composto desta lição: The science show presents a ____ idea that challenges everything we assume about time.
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mind-bending