Produtos vetoriais | Capítulo 10, A essência da álgebra linear: material de estudo de inglês

Last video, I talked about the dot product,

No último vídeo, falei sobre o produto escalar,

showing both the standard introduction to the topic, Gramática

mostrando tanto a introdução padrão ao tópico,

as well as a deeper view of how it relates to linear transformations.

quanto uma visão mais profunda de como ele se relaciona com transformações lineares.

I'd like to do the same thing for cross products,

Eu gostaria de fazer a mesma coisa com os produtos vetoriais,

which also have a standard introduction

que também têm uma introdução padrão

along with a deeper understanding in the light of linear transformations. Figurado

junto com uma compreensão mais profunda à luz das transformações lineares.

But this time, I'm dividing it into two separate videos.

Mas desta vez, vou dividir em dois vídeos separados.

Here, I'll try to hit the main points that students are usually shown about the cross product. Figurado

Aqui, tentarei abordar os pontos principais que geralmente são ensinados aos alunos sobre o produto vetorial.

And in the next video,

E no próximo vídeo,

I'll be showing a view which is less commonly taught,

mostrarei uma visão que é menos ensinada,

but really satisfying when you learn it.

mas muito satisfatória quando você a aprende.

We'll start in two dimensions.

Vamos começar em duas dimensões.

If you have two vectors V and W,

Se você tem dois vetores V e W,

think about the parallelogram that they span out. Verbos frasais

pense no paralelogramo que eles formam.

What I mean by that is that if you take a copy of V and move its tail to the tip of W, Notas

O que quero dizer com isso é que, se você pegar uma cópia de V e mover a base dele para a ponta de W,

and you take a copy of W and move its tail to the tip of V,

e pegar uma cópia de W e mover a base dele para a ponta de V,

the four vectors now on the screen enclose a certain parallelogram.

os quatro vetores agora na tela delimitam um certo paralelogramo.

The cross product of V and W,

O produto vetorial de V e W,

written with the X-shaped multiplication symbol,

escrito com o símbolo de multiplicação em forma de X,

is the area of this parallelogram.

é a área desse paralelogramo.

Well, almost. Discurso

Bem, quase.

We also need to consider orientation.

Também precisamos considerar a orientação.

Basically, if V is on the right of W,

Basicamente, se V estiver à direita de W,

then V cross W is positive and equal to the area of the parallelogram.

então V vetorial W é positivo e igual à área do paralelogramo.

But if V is on the left of W,

Mas se V estiver à esquerda de W,

then the cross product is negative,

então o produto vetorial é negativo,

namely the negative area of that parallelogram.

ou seja, a área negativa desse paralelogramo.

Notice, this means that order matters. Frases

Observe que isso significa que a ordem importa.

If you swapped V and W,

Se você trocasse V e W,

instead taking W cross V,

calculando W vetorial V,

the cross product would become the negative of whatever it was before. Gramática

o produto vetorial se tornaria o negativo do que era antes.

The way I always remember the ordering here is that when you take the cross product of the two basis vectors in order,

A forma como eu sempre me lembro da ordem aqui é que quando você pega o produto vetorial dos dois vetores base em ordem,

i-hat cross j-hat, the result should be positive.

i-hat vetorial j-hat, o resultado deve ser positivo.

In fact, the order of your basis vectors is what defines orientation.

Na verdade, a ordem dos seus vetores base é o que define a orientação.

So, since i-hat is on the right of j-hat,

Então, como i-hat está à direita de j-hat,

I remember that V cross W has to be positive whenever V is on the right of W.

eu lembro que V vetorial W tem que ser positivo sempre que V estiver à direita de W.

So, for example, with the vectors shown here,

Então, por exemplo, com os vetores mostrados aqui,

I'll just tell you that the area of that parallelogram is seven.

eu vou apenas te dizer que a área desse paralelogramo é sete.

And since V is on the left of W,

E como V está à esquerda de W,

the cross product should be negative.

o produto vetorial deve ser negativo.

So, V cross W is negative seven.

Então, V vetorial W é menos sete.

But of course, you want to be able to compute this without someone telling you the area.

Mas é claro, você quer ser capaz de calcular isso sem que ninguém lhe diga a área.

This is where the determinant comes in. Verbos frasais

É aqui que entra o determinante.

So, if you didn't see chapter five of this series, Gramática

Então, se você não viu o capítulo cinco desta série,

where I talk about the determinant,

onde falo sobre o determinante,

now would be a really good time to go take a look.

agora seria um ótimo momento para dar uma olhada.

Even if you did see it, but it was a while ago,

Mesmo que você tenha visto, mas já faz um tempo,

I'd recommend taking another look just to make sure those ideas are fresh in your mind. Figurado

eu recomendaria dar outra olhada só para garantir que essas ideias estejam frescas em sua mente.

For the 2D cross product, V cross W,

Para o produto vetorial 2D, V vetorial W,

what you do is you write the coordinates of V as the first column of a matrix,

o que você faz é escrever as coordenadas de V como a primeira coluna de uma matriz,

and you take the coordinates of W and make them the second column.

e você pega as coordenadas de W e faz delas a segunda coluna.

Then you just compute the determinant.

Então você simplesmente calcula o determinante.

This is because a matrix whose columns represent V and W corresponds with a linear transformation that moves the basis vectors i-hat and j-hat to V and W.

Isso acontece porque uma matriz cujas colunas representam V e W corresponde a uma transformação linear que move os vetores base i-hat e j-hat para V e W.

The determinant is all about measuring how areas change due to a transformation.

O determinante serve para medir como as áreas mudam devido a uma transformação.

And the prototypical area that we look at is the unit square resting on i-hat and j-hat.

E a área prototípica que observamos é o quadrado unitário apoiado em i-hat e j-hat.

After the transformation,

Após a transformação,

that square gets turned into the parallelogram that we care about. Verbos frasais

esse quadrado é transformado no paralelogramo com o qual nos importamos.

So, the determinant, which generally measures the factor by which areas are changed, Gramática

Então, o determinante, que geralmente mede o fator pelo qual as áreas são alteradas,

gives the area of this parallelogram,

fornece a área deste paralelogramo,

since it evolved from a square that started with area one.

já que ele evoluiu de um quadrado que começou com área um.

What's more, if V is on the left of W,

Além disso, se V estiver à esquerda de W,

it means that orientation was flipped during that transformation,

isso significa que a orientação foi invertida durante essa transformação,

which is what it means for the determinant to be negative. Gramática

que é o que significa o determinante ser negativo.

As an example, let's say V has coordinates negative three one,

Como exemplo, digamos que V tenha coordenadas menos três e um,

and W has coordinates two one.

e W tenha coordenadas dois e um.

The determinant of the matrix with those coordinates as columns is negative three times one minus two times one,

O determinante da matriz com essas coordenadas como colunas é menos três vezes um menos dois vezes um,

which is negative five.

que é menos cinco.

So, evidently, the area of the parallelogram they define is five.

Então, evidentemente, a área do paralelogramo que eles definem é cinco.

And since V is on the left of W,

E como V está à esquerda de W,

it should make sense that this value is negative.

faz sentido que esse valor seja negativo.

As with any new operation you learn,

Como acontece com qualquer nova operação que você aprenda,

I'd recommend playing around with this notion a bit in your head just to get kind of an intuitive feel for what the cross product is all about. Notas

eu recomendo brincar um pouco com essa noção na sua cabeça apenas para ter uma sensação intuitiva de como o produto vetorial funciona.

For example, you might notice that when two vectors are perpendicular,

Por exemplo, você pode notar que quando dois vetores são perpendiculares,

or at least close to being perpendicular,

ou pelo menos perto de serem perpendiculares,

their cross product is larger than it would be if they were pointing in very similar directions, Gramática

o produto vetorial deles é maior do que seria se eles estivessem apontando em direções muito semelhantes,

because the area of that parallelogram is larger when the sides are closer to being perpendicular.

porque a área daquele paralelogramo é maior quando os lados estão mais perto de serem perpendiculares.

Something else you might notice is that if you were to scale up one of those vectors, Verbos frasais

Outra coisa que você pode notar é que se você fosse escalar um desses vetores,

perhaps multiplying V by three,

talvez multiplicando V por três,

then the area of that parallelogram is also scaled up by a factor of three. Frases

então a área daquele paralelogramo também é dimensionada por um fator de três.

So, what this means for the operation is that three V cross W will be exactly three times the value of V cross W. Discurso

Então, o que isso significa para a operação é que três V vetorial W será exatamente três vezes o valor de V vetorial W.

Now, even though all of this is a perfectly fine mathematical operation, Gramática

Agora, embora tudo isso seja uma operação matemática perfeitamente válida,

what I just described is technically not the cross product. Vocabulário

o que acabei de descrever tecnicamente não é o produto vetorial.

The true cross product is something that combines two different 3D vectors to get a new 3D vector.

O verdadeiro produto vetorial é algo que combina dois vetores 3D diferentes para obter um novo vetor 3D.

Just as before, Discurso

Assim como antes,

we're still going to consider the parallelogram defined by the two vectors that we're crossing together.

ainda vamos considerar o paralelogramo definido pelos dois vetores que estamos multiplicando.

And the area of this parallelogram is still going to play a big role. Figurado

E a área deste paralelogramo ainda terá um papel importante.

To be concrete, let's say that the area is 2.5 for the vectors shown here. Discurso

Para ser concreto, digamos que a área seja 2,5 para os vetores mostrados aqui.

But as I said, the cross product is not a number,

Mas, como eu disse, o produto vetorial não é um número,

it's a vector.

é um vetor.

This new vector's length will be the area of that parallelogram,

O comprimento deste novo vetor será a área daquele paralelogramo,

which in this case is 2.5.

que neste caso é 2,5.

And the direction of that new vector is going to be perpendicular to the parallelogram.

E a direção desse novo vetor será perpendicular ao paralelogramo.

But which way, right?

Mas para que lado, certo?

I mean, there are two possible vectors with length 2.5 that are perpendicular to a given plane.

Quero dizer, existem dois vetores possíveis com comprimento 2,5 que são perpendiculares a um determinado plano.

This is where the right hand rule comes in. Vocabulário

É aqui que entra a regra da mão direita.

Point the forefinger of your right hand in the direction of V.

Aponte o dedo indicador da sua mão direita na direção de V.

Then stick out your middle finger in the direction of W. Verbos frasais

Em seguida, estenda o dedo médio na direção de W.

Then, when you point up your thumb,

Então, quando você apontar o polegar para cima,

that's the direction of the cross product.

essa é a direção do produto vetorial.

For example, let's say that V was a vector with length two pointing straight up in the Z direction,

Por exemplo, digamos que V fosse um vetor com comprimento dois apontando direto para cima na direção Z,

and W is a vector with length two pointing in the pure Y direction.

e W é um vetor com comprimento dois apontando na direção pura do Y.

The parallelogram that they define in this simple example is actually a square,

O paralelogramo que eles definem neste exemplo simples é na verdade um quadrado,

since they're perpendicular and have the same length. Gramática

já que são perpendiculares e têm o mesmo comprimento.

And the area of that square is four.

E a área desse quadrado é quatro.

So, their cross product should be a vector with length four.

Portanto, o produto vetorial deles deve ser um vetor com comprimento quatro.

Using the right hand rule,

Usando a regra da mão direita,

their cross product should point in the negative X direction.

seu produto vetorial deve apontar para a direção X negativa.

So, the cross product of these two vectors is negative four times i-hat.

Então, o produto vetorial desses dois vetores é menos quatro vezes i-hat.

For more general computations,

Para cálculos mais gerais,

there is a formula that you could memorize if you wanted, Intenção

há uma fórmula que você pode memorizar se quiser,

but it's common and easier to instead remember a certain process involving the 3D determinant.

mas é comum e mais fácil lembrar-se de um certo processo envolvendo o determinante 3D.

Now, this process looks truly strange at first.

Agora, esse processo parece realmente estranho no começo.

You write down a 3D matrix where the second and third columns contain the coordinates of V and W.

Você escreve uma matriz 3D onde a segunda e a terceira colunas contêm as coordenadas de V e W.

But for that first column,

Mas para aquela primeira coluna,

you write the basis vectors i-hat, j-hat, and k-hat.

você escreve os vetores base i-hat, j-hat e k-hat.

Then, you compute the determinant of this matrix.

Então, você calcula o determinante desta matriz.

The silliness is probably clear here.

O absurdo provavelmente é claro aqui.

What on earth does it mean to put in a vector as the entry of a matrix? Figurado

O que diabos significa colocar um vetor como elemento de uma matriz?

Students are often told that this is just a notational trick.

Muitas vezes, os alunos ouvem que isso é apenas um truque de notação.

When you carry out the computations as if i-hat, j-hat, and k-hat were numbers, Notas

Quando você realiza os cálculos como se i-hat, j-hat e k-hat fossem números,

then you get some linear combination of those basis vectors.

então você obtém alguma combinação linear desses vetores base.

And the vector defined by that linear combination,

E o vetor definido por essa combinação linear,

students are told to just believe, Intenção

pede-se aos alunos que simplesmente acreditem,

is the unique vector perpendicular to V and W whose magnitude is the area of the appropriate parallelogram

é o único vetor perpendicular a V e W cuja magnitude é a área do paralelogramo apropriado

and whose direction obeys the right hand rule.

e cuja direção obedece à regra da mão direita.

And sure, in some sense this is just a notational trick. Intenção

E claro, de certa forma, isso é apenas um truque de notação.

But there is a reason for doing it.

Mas há uma razão para fazer isso.

It's not just a coincidence that the determinant is once again important. Discurso

Não é apenas uma coincidência que o determinante seja mais uma vez importante.

And putting the basis vectors in those slots is not just a random thing to do.

E colocar os vetores base nesses espaços não é apenas uma coisa aleatória a se fazer.

To understand where all of this comes from,

Para entender de onde tudo isso vem,

it helps to use the idea of duality that I introduced in the last video.

ajuda usar a ideia de dualidade que introduzi no último vídeo.

This concept is a little bit heavy, Figurado

No entanto, esse conceito é um pouco denso.

though.

Portanto, vou colocá-lo em um vídeo de acompanhamento separado para qualquer um de vocês que tenha curiosidade em aprender mais.

So, I'm putting it in a separate follow-on video for any of you who are curious to learn more.

Pode-se argumentar que ele está fora da essência da álgebra linear.

Arguably, it falls outside the essence of linear algebra. Notas

A parte importante aqui é saber o que esse vetor do produto vetorial representa geometricamente.

The important part here is to know what that cross product vector geometrically represents.

Portanto, se você quiser pular o próximo vídeo,

So, if you want to skip that next video,

fique à vontade.

feel free. Intenção

Mas para aqueles de vocês que estão dispostos a ir um pouco mais fundo e que estão curiosos sobre a conexão entre esse cálculo e a geometria subjacente,

But for those of you who are willing to go a bit deeper and who are curious about the connection between this computation and the underlying geometry, Figurado

as ideias das quais falarei no próximo vídeo são simplesmente uma parte da matemática muito elegante.

the ideas that I'll talk about in the next video are just a really elegant piece of math.

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