Vetores | Capítulo 1, A essência da álgebra linear: material de estudo de inglês

The fundamental root of it all building block for linear algebra is the vector.

A raiz fundamental de todo o bloco de construção da álgebra linear é o vetor.

So, it's worth making sure that we're all on the same page Notas

Portanto, vale a pena garantir que estamos todos na mesma página

about what exactly a vector is.

sobre o que exatamente é um vetor.

You see, broadly speaking, Discurso

Veja bem, de um modo geral,

there are three distinct but related ideas about vectors,

existem três ideias distintas, mas relacionadas, sobre vetores,

which I'll call the physics student perspective,

que eu chamarei de a perspectiva do estudante de física,

the computer science student perspective,

a perspectiva do estudante de ciência da computação

and the mathematician's perspective.

e a perspectiva do matemático.

The physics student perspective is that vectors are arrows pointing in space.

A perspectiva do estudante de física é que os vetores são setas apontando no espaço.

What defines a given vector is its length and the direction it's pointing.

O que define um dado vetor é o seu comprimento e a direção para a qual ele aponta.

But as long as those two facts are the same, Gramática

Mas desde que esses dois fatos sejam os mesmos,

you can move it all around and it's still the same vector.

você pode movê-lo por toda parte e ele ainda será o mesmo vetor.

Vectors that live in the flat plane are two-dimensional,

Os vetores que vivem no plano são bidimensionais,

and those sitting in broader space that you and I live in are three-dimensional.

e aqueles situados no espaço mais amplo em que você e eu vivemos são tridimensionais.

The computer science perspective is that vectors are ordered lists of numbers.

A perspectiva da ciência da computação é que os vetores são listas ordenadas de números.

For example, let's say you were doing some analytics about house prices,

Por exemplo, digamos que você esteja fazendo algumas análises sobre preços de casas,

and the only features you cared about were square footage and price.

e as únicas características com as quais você se importa sejam a metragem quadrada e o preço.

You might model each house with a pair of numbers,

Você poderia modelar cada casa com um par de números,

the first indicating square footage and the second indicating price.

o primeiro indicando a metragem quadrada e o segundo indicando o preço.

Notice the order matters here.

Note que a ordem importa aqui.

In the lingo, you'd be modeling houses as two-dimensional vectors,

No jargão, você estaria modelando casas como vetores bidimensionais,

where in this context vector is pretty much just a fancy word for list,

onde neste contexto vetor é praticamente apenas uma palavra chique para lista,

and what makes it two-dimensional is the fact that the length of that list is two.

e o que a torna bidimensional é o fato de que o comprimento dessa lista é dois.

The mathematician, on the other hand, seeks to generalize both these views, Discurso

O matemático, por outro lado, busca generalizar ambas essas visões,

basically saying that a vector can be anything where there's a sensible notion

dizendo basicamente que um vetor pode ser qualquer coisa onde haja uma noção sensata

of adding two vectors and multiplying a vector by a number,

de somar dois vetores e multiplicar um vetor por um número,

operations that I'll talk about later on in this video.

operações sobre as quais falarei mais adiante neste vídeo.

The details of this view are rather abstract

Os detalhes dessa visão são bastante abstratos

and I actually think it's healthy to ignore it until the last video of this series,

e eu realmente acho que é saudável ignorá-la até o último vídeo desta série,

favoring a more concrete setting in the interim. Vocabulário

favorecendo uma configuração mais concreta no ínterim.

But the reason I bring it up here Verbos frasais

Mas a razão pela qual eu trago isso aqui

is that it hints at the fact that the ideas of vector addition

é que isso sugere o fato de que as ideias de adição de vetores

and multiplication by numbers will play an important role

e multiplicação por números desempenharão um papel importante

throughout linear algebra.

em toda a álgebra linear.

But before I talk about these operations,

Mas antes que eu fale sobre essas operações,

let's just settle in on a specific thought to have in mind

vamos apenas nos fixar em um pensamento específico para ter em mente

when I say the word vector.

quando eu disser a palavra vetor.

Given the geometric focus that I'm shooting for here, Verbos frasais

Dado o foco geométrico que estou buscando aqui,

whenever I introduce a new topic involving vectors,

sempre que eu introduzir um novo tópico envolvendo vetores,

I want you to first think about an arrow,

eu quero que você primeiro pense em uma seta,

and specifically, think about that arrow inside a coordinate system,

e especificamente, pense nessa seta dentro de um sistema de coordenadas,

like the XY plane,

como o plano XY,

with its tail sitting at the origin.

com sua cauda situada na origem.

This is a little bit different from the physics student perspective,

Isso é um pouco diferente da perspectiva do estudante de física,

where vectors can freely sit anywhere they want in space.

onde os vetores podem se situar livremente em qualquer lugar que quiserem no espaço.

In linear algebra,

Na álgebra linear,

it's almost always the case that your vector will be rooted at the origin.

é quase sempre o caso de que seu vetor estará enraizado na origem.

Then, once you understand a new concept

Então, uma vez que você entenda um novo conceito

in the context of arrows in space, Frases

no contexto de setas no espaço,

we'll translate it over to the list of numbers point of view,

nós o traduziremos para o ponto de vista da lista de números,

which we can do by considering the coordinates of the vector.

o que podemos fazer considerando as coordenadas do vetor.

Now, while I'm sure that many of you are already familiar with this coordinate system,

Agora, embora eu tenha certeza de que muitos de vocês já estejam familiarizados com este sistema de coordenadas,

it's worth walking through explicitly

vale a pena percorrê-lo explicitamente

since this is where all of the important back and forth happens

já que é aqui que ocorre todo o importante vaivém

between the two perspectives of linear algebra.

entre as duas perspectivas da álgebra linear.

Focusing our attention on two dimensions for the moment,

Focando nossa atenção em duas dimensões por um momento,

you have a horizontal line called the x-axis

você tem uma linha horizontal chamada eixo x

and a vertical line called the y-axis.

e uma linha vertical chamada eixo y.

The place where they intersect is called the origin,

O lugar onde elas se interceptam é chamado de origem,

which you should think of as the center of space

que você deve pensar como o centro do espaço

and the root of all vectors.

e a raiz de todos os vetores.

After choosing an arbitrary length to represent one,

Após escolher um comprimento arbitrário para representar um,

you make tick marks on each axis to represent this distance.

você faz marcas de escala em cada eixo para representar esta distância.

When I want to convey the idea of 2D space as a whole,

Quando eu quiser transmitir a ideia do espaço 2D como um todo,

which you'll see comes up a lot in these videos, Verbos frasais

o que você verá surgir muito nestes vídeos,

I'll extend these tick marks to make grid lines.

eu estenderei essas marcas para fazer linhas de grade.

But right now,

Mas agora,

they'll actually get a little bit in the way. Figurado

elas na verdade vão atrapalhar um pouco.

The coordinates of a vector is a pair of numbers

As coordenadas de um vetor são um par de números

that basically gives instructions for how to get

que basicamente dão instruções de como chegar

from the tail of that vector at the origin to its tip.

da cauda desse vetor na origem até a sua ponta.

The first number tells you how far to walk along the x-axis,

O primeiro número diz o quão longe caminhar ao longo do eixo x,

positive numbers indicating rightward motion,

números positivos indicando movimento para a direita,

negative numbers indicating leftward motion,

números negativos indicando movimento para a esquerda,

and the second number tells you how far to walk

e o segundo número diz o quão longe caminhar

parallel to the y-axis after that,

paralelamente ao eixo y depois disso,

positive numbers indicating upward motion

números positivos indicando movimento para cima

and negative numbers indicating downward motion.

e números negativos indicando movimento para baixo.

To distinguish vectors from points,

Para distinguir vetores de pontos,

the convention is to write this pair of numbers vertically

a convenção é escrever este par de números verticalmente

with square brackets around them.

com colchetes ao redor deles.

Every pair of numbers gives you one and only one vector,

Cada par de números lhe dá um e apenas um vetor,

and every vector is associated with one and only one pair of numbers.

e cada vetor está associado a um e apenas um par de números.

What about in three dimensions?

E quanto a três dimensões?

Well, you add a third axis, called the z-axis,

Bem, você adiciona um terceiro eixo, chamado eixo z,

which is perpendicular to both the x and y-axes,

que é perpendicular a ambos os eixos x e y,

and in this case,

e neste caso,

each vector is associated with an ordered triplet of numbers.

cada vetor está associado a um trio ordenado de números.

The first tells you how far to move along the x-axis,

O primeiro lhe diz o quão longe se mover ao longo do eixo x,

the second tells you how far to move parallel to the y-axis,

o segundo lhe diz o quão longe se mover paralelamente ao eixo y,

and the third one tells you how far to then move

e o terceiro lhe diz o quão longe então se mover

parallel to this new z-axis.

paralelamente a este novo eixo z.

Every triplet of numbers gives you one unique vector in space,

Cada trio de números lhe dá um único vetor no espaço,

and every vector in space gives you exactly one triplet of numbers.

e cada vetor no espaço lhe dá exatamente um trio de números.

All right,

Muito bem,

so back to vector addition and multiplication by numbers.

então de volta à adição de vetores e multiplicação por números.

After all, Discurso

Afinal,

every topic in linear algebra is going to center around these two operations.

cada tópico na álgebra linear vai se centrar em torno dessas duas operações.

Luckily, each one's pretty straightforward to define.

Felizmente, cada uma é bastante simples de definir.

Let's say we have two vectors,

Digamos que tenhamos dois vetores,

one pointing up and a little to the right

um apontando para cima e um pouco para a direita

and the other one pointing right and down a bit.

e o outro apontando para a direita e um pouco para baixo.

To add these two vectors,

Para somar esses dois vetores,

move the second one so that its tail sits at the tip of the first one.

mova o segundo de modo que sua cauda fique na ponta do primeiro.

Then, if you draw a new vector

Então, se você desenhar um novo vetor

from the tail of the first one to where the tip of the second one now sits,

da cauda do primeiro para onde a ponta do segundo agora se encontra,

that new vector is their sum.

esse novo vetor é a sua soma.

This definition of addition, by the way, Discurso

Esta definição de adição, a propósito,

is pretty much the only time in linear algebra

é praticamente a única vez na álgebra linear

where we let vectors stray away from the origin.

em que deixamos os vetores se afastarem da origem.

Now,

Agora,

why is this a reasonable thing to do?

por que isso é uma coisa razoável a se fazer?

Why this definition of addition and not some other one?

Por que esta definição de adição e não alguma outra?

Well,

Bem,

the way I like to think about it is that each vector represents a certain movement,

a maneira como eu gosto de pensar nisso é que cada vetor representa um certo movimento,

a step with a certain distance and direction in space.

um passo com uma certa distância e direção no espaço.

If you take a step along the first vector,

Se você der um passo ao longo do primeiro vetor,

then take a step in the direction and distance

e então der um passo na direção e distância

described by the second vector,

descritas pelo segundo vetor,

the overall effect is just the same as if you moved

o efeito geral é exatamente o mesmo como se você se movesse

along the sum of those two vectors to start with. Frases

ao longo da soma desses dois vetores desde o início.

You could think about this as an extension

Você poderia pensar nisso como uma extensão

of how we think about adding numbers on a number line.

de como pensamos sobre a soma de números em uma reta numérica.

One way that we teach kids to think about this,

Uma maneira que ensinamos as crianças a pensar sobre isso,

say with 2 + 5,

digamos com 2 + 5,

is to think of moving two steps to the right,

é pensar em se mover dois passos para a direita,

followed by another five steps to the right.

seguido por mais cinco passos para a direita.

The overall effect is the same

O efeito geral é o mesmo

as if you just took seven steps to the right.

como se você apenas desse sete passos para a direita.

In fact,

De fato,

let's see how vector addition looks numerically.

vamos ver como a adição de vetores se parece numericamente.

The first vector here has coordinates 1 2,

O primeiro vetor aqui tem coordenadas 1 2,

and the second one has coordinates 3 -1.

e o segundo tem coordenadas 3 -1.

When you take the vector sum using this tip-to-tail method, Vocabulário

Quando você calcula a soma dos vetores usando esse método ponta-a-cauda,

you can think of a four-step path

você pode pensar em um caminho de quatro passos

from the origin to the tip of the second vector.

da origem até a ponta do segundo vetor.

Walk one to the right,

Caminhe um para a direita,

then two up,

depois dois para cima,

then three to the right,

depois três para a direita,

then one down.

depois um para baixo.

Reorganizing these steps so that you first do all of the rightward motion,

Reorganizando esses passos de modo que você primeiro faça todo o movimento para a direita,

then do all the vertical motion,

e então faça todo o movimento vertical,

you can read it as saying first move 1 + 3 to the right,

você pode ler isso como dizendo primeiro mova-se 1 + 3 para a direita,

then move 2 -1 up.

então mova-se 2 -1 para cima.

So,

Então,

the new vector has coordinates 1 + 3 and 2 + -1.

o novo vetor tem coordenadas 1 + 3 e 2 + -1.

In general,

Em geral,

vector addition in this list of numbers conception

a adição de vetores nesta concepção de lista de números

looks like matching up their terms and adding each one together.

parece como emparelhar seus termos e somar cada um.

The other fundamental vector operation

A outra operação vetorial fundamental

is multiplication by a number.

é a multiplicação por um número.

Now,

Agora,

this is best understood just by looking at a few examples. Gramática

isso é melhor compreendido apenas olhando para alguns exemplos.

If you take the number two and multiply it by a given vector,

Se você pegar o número dois e multiplicá-lo por um dado vetor,

it means you stretch out that vector Verbos frasais

isso significa que você estica esse vetor

so that it's two times as long as when you started. Gramática

para que ele fique duas vezes mais longo do que quando você começou.

If you multiply that vector by, say, 1/3,

Se você multiplicar esse vetor por, digamos, 1/3,

it means you squish it down so that it's 1/3 the original length. Verbos frasais

isso significa que você o encolhe de forma que ele seja 1/3 do comprimento original.

When you multiply it by a negative number,

Quando você o multiplica por um número negativo,

like -1.8, then the vector first gets flipped around, Verbos frasais

como -1.8, então o vetor primeiro é invertido,

then stretched out by that factor of 1.8. Frases

e depois esticado por esse fator de 1.8.

This process of stretching or squishing

Esse processo de esticar ou encolher

or sometimes reversing the direction of a vector is called scaling.

ou às vezes inverter a direção de um vetor é chamado de escalonamento.

And whenever you catch a number, like two or 1/3 or -1.8,

E sempre que você vir um número, como dois ou 1/3 ou -1.8,

acting like this, scaling some vector,

agindo assim, escalando algum vetor,

you call it a scalar.

você o chama de escalar.

In fact, throughout linear algebra,

De fato, ao longo da álgebra linear,

one of the main things that numbers do is scale vectors.

uma das principais coisas que os números fazem é escalar vetores.

So,

Então,

it's common to use the word scalar

é comum usar a palavra escalar

pretty much interchangeably with the word number. Frases

quase que de forma intercambiável com a palavra número.

Numerically, stretching out a vector by a factor of, say, two

Numericamente, esticar um vetor por um fator de, digamos, dois

corresponds with multiplying each of its components by that factor,

corresponde a multiplicar cada um de seus componentes por esse fator,

two.

dois.

So,

Então,

in the conception of vectors as lists of numbers,

na concepção de vetores como listas de números,

multiplying a given vector by a scalar

multiplicar um dado vetor por um escalar

means multiplying each one of those components by that scalar.

significa multiplicar cada um desses componentes por esse escalar.

You'll see in the following videos what I mean

Você verá nos vídeos seguintes o que quero dizer

when I say that linear algebra topics tend to revolve Frases

quando digo que os tópicos de álgebra linear tendem a girar

around these two fundamental operations,

em torno dessas duas operações fundamentais,

vector addition and scalar multiplication.

adição de vetores e multiplicação por escalar.

And I'll talk more in the last video

E eu falarei mais no último vídeo

about how and why the mathematician thinks only about these operations,

sobre como e por que o matemático pensa apenas nessas operações,

independent and abstracted away from however you choose to represent vectors. Verbos frasais

independente e abstraído da forma como você escolhe representar os vetores.

In truth,

Na verdade,

it doesn't matter whether you think about vectors as fundamentally being arrows in space, Gramática

não importa se você pensa em vetores fundamentalmente como sendo setas no espaço,

like I'm suggesting you do,

como eu estou sugerindo que você faça,

that happen to have a nice numerical representation, Gramática

que por acaso têm uma boa representação numérica,

or fundamentally as lists of numbers

ou fundamentalmente como listas de números

that happen to have a nice geometric interpretation.

que por acaso têm uma boa interpretação geométrica.

The usefulness of linear algebra has less to do with either one of these views Gramática

A utilidade da álgebra linear tem menos a ver com qualquer uma dessas visões

than it does with the ability to translate back and forth between them. Frases

do que com a capacidade de traduzir de um lado para o outro entre elas.

It gives the data analyst a nice way to conceptualize

Ela dá ao analista de dados uma boa maneira de conceituar

many lists of numbers in a visual way,

muitas listas de números de uma forma visual,

which can seriously clarify patterns in data

o que pode esclarecer seriamente os padrões nos dados

and give a global view of what certain operations do.

e dar uma visão global do que certas operações fazem.

And on the flip side, Discurso

E por outro lado,

it gives people like physicists and computer graphics programmers

ela dá a pessoas como físicos e programadores de computação gráfica

a language to describe space

uma linguagem para descrever o espaço

and the manipulation of space

e a manipulação do espaço

using numbers that can be crunched and run through a computer. Vocabulário

usando números que podem ser processados e executados em um computador.

When I do math-y animations, for example, Vocabulário

Quando eu faço animações de matemática, por exemplo,

I start by thinking about what's actually going on in space Figurado

eu começo pensando sobre o que está realmente acontecendo no espaço

and then get the computer to represent things numerically,

e então faço o computador representar as coisas numericamente,

thereby figuring out where to place the pixels on the screen. Gramática

descobrindo assim onde colocar os pixels na tela.

And doing that usually relies on a lot of linear algebra understanding.

E fazer isso geralmente depende de muito entendimento de álgebra linear.

So,

Então,

there are your vector basics,

aí estão as suas noções básicas de vetores,

and in the next video,

e no próximo vídeo,

I'll start getting into some pretty neat concepts surrounding vectors,

eu começarei a entrar em alguns conceitos muito legais envolvendo vetores,

like span, bases, and linear dependence.

como espaço gerado (span), bases e dependência linear.

See you then.

Vejo vocês lá.