Combinações lineares, espaço gerado e vetores de base | Capítulo 2, A Essência da Álgebra Linear: material de estudo de inglês

In the last video, along with the ideas of vector addition and scalar multiplication, I described vector coordinates

No último vídeo, junto com as ideias de adição de vetores e multiplicação por escalar, descrevi as coordenadas de vetores,

where there's this back and forth between, Figurado

onde há essa relação de ida e volta entre,

for example,

por exemplo,

pairs of numbers and two-dimensional vectors.

pares de números e vetores bidimensionais.

Now, I imagine the vector coordinates were already familiar to a lot of you,

Agora, imagino que as coordenadas de vetores já eram familiares para muitos de vocês,

but there's another kind of interesting way to think about these coordinates, Discurso

mas há outro tipo interessante de maneira de pensar sobre essas coordenadas,

which is pretty central to linear algebra.

que é bastante central para a álgebra linear.

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, Gramática

Quando você tem um par de números que serve para descrever um vetor,

like 3 -2,

como 3 -2,

I want you to think about each coordinate as a scalar, Gramática

quero que você pense em cada coordenada como um escalar,

meaning think about how each one stretches or squishes vectors.

ou seja, pense em como cada uma estica ou comprime os vetores.

In the XY coordinate system,

No sistema de coordenadas XY,

there are two very special vectors.

existem dois vetores muito especiais.

The one pointing to the right with length one,

O que aponta para a direita com comprimento um,

commonly called i-hat or the unit vector in the X direction,

comumente chamado de i-hat, ou o vetor unitário na direção X,

and the one pointing straight up with length one,

e aquele que aponta para cima com comprimento um,

commonly called j-hat, or the unit vector in the Y direction.

comumente chamado de j-hat, ou o vetor unitário na direção Y.

Now, think of the X coordinate of our vector as a scalar that scales i-hat,

Agora, pense na coordenada X de nosso vetor como um escalar que dimensiona o i-hat,

stretching it by a factor of 3, Frases

esticando-o por um fator de 3,

and the Y coordinate as a scalar that scales j-hat,

e na coordenada Y como um escalar que dimensiona o j-hat,

flipping it and stretching it by a factor of 2.

invertendo-o e esticando-o por um fator de 2.

In this sense,

Nesse sentido,

the vector that these coordinates describe

o vetor que essas coordenadas descrevem

is the sum of two scaled vectors.

é a soma de dois vetores dimensionados.

That's a surprisingly important concept,

Esse é um conceito surpreendentemente importante,

this idea of adding together two scaled vectors.

essa ideia de somar dois vetores dimensionados.

Those two vectors i-hat and j-hat have a special name,

Esses dois vetores, i-hat e j-hat, têm um nome especial,

by the way.

a propósito.

Together, they're called the basis of a coordinate system.

Juntos, eles são chamados de base de um sistema de coordenadas.

What this means basically

O que isso significa basicamente

is that when you think about coordinates as scalars,

é que quando você pensa em coordenadas como escalares,

the basis vectors are what those scalars actually,

os vetores base são o que esses escalares na verdade,

you know, scale.

sabe, dimensionam.

There's also a more technical definition,

Há também uma definição mais técnica,

but I'll get to that later.

mas chegarei a isso mais tarde.

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors, Frases

Ao estruturar nosso sistema de coordenadas em termos desses dois vetores base especiais,

it raises a pretty interesting and subtle point. Frases

levanta-se um ponto bastante interessante e sutil.

We could have chosen different basis vectors Gramática

Poderíamos ter escolhido vetores base diferentes

and gotten a completely reasonable new coordinate system.

e obtido um novo sistema de coordenadas completamente razoável.

For example, take some vector pointing up and to the right,

Por exemplo, pegue um vetor apontando para cima e para a direita,

along with some other vector pointing down and to the right in some way.

junto com algum outro vetor apontando para baixo e para a direita de alguma forma.

Take a moment to think about all the different vectors that you can get

Reserve um momento para pensar em todos os diferentes vetores que você pode obter

by choosing two scalars,

escolhendo dois escalares,

using each one to scale one of the vectors,

usando cada um para dimensionar um dos vetores,

then adding together what you get.

e, em seguida, somando o que você obtém.

Which two-dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

Quais vetores bidimensionais você pode alcançar alterando as escolhas de escalares?

The answer is that you can reach every possible two-dimensional vector,

A resposta é que você pode alcançar todos os vetores bidimensionais possíveis,

and I think it's a good puzzle to contemplate why.

e acho que é um bom quebra-cabeça contemplar o porquê.

A new pair of basis vectors like this

Um novo par de vetores base como este

still gives us a valid way to go back and forth between pairs of numbers

ainda nos dá uma maneira válida de ir e voltar entre pares de números

and two-dimensional vectors,

e vetores bidimensionais,

but the association is definitely different from the one that you get

mas a associação é definitivamente diferente daquela que você obtém

using the more standard basis of i-hat and j-hat.

usando a base mais padrão de i-hat e j-hat.

This is something I'll go into much more detail on later, Verbos frasais

Isso é algo em que entrarei em muitos mais detalhes mais tarde,

describing the exact relationship between different coordinate systems,

descrevendo a relação exata entre diferentes sistemas de coordenadas,

but for right now, I just want you to appreciate the fact that

mas, por enquanto, só quero que você aprecie o fato de que

any time we describe vectors numerically,

sempre que descrevemos vetores numericamente,

it depends on an implicit choice of what basis vectors we're using. Frases

isso depende de uma escolha implícita de quais vetores base estamos usando.

So, any time that you're scaling two vectors and adding them like this,

Então, sempre que você está dimensionando dois vetores e os somando assim,

it's called a linear combination of those two vectors. Vocabulário

isso é chamado de combinação linear desses dois vetores.

Where does this word linear come from?

De onde vem essa palavra linear?

Why does this have anything to do with lines? Frases

Por que isso tem a ver com linhas?

Well, this isn't the etymology,

Bem, essa não é a etimologia,

but one way I like to think about it is that Discurso

mas uma maneira que gosto de pensar sobre isso é que

if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,

se você fixar um desses escalares e deixar o outro mudar seu valor livremente,

the tip of the resulting vector draws a straight line.

a ponta do vetor resultante desenha uma linha reta.

Now, if you let both scalars range freely Gramática

Agora, se você deixar ambos os escalares variarem livremente

and consider every possible vector that you can get,

e considerar cada vetor possível que você pode obter,

there are two things that can happen.

há duas coisas que podem acontecer.

For most pairs of vectors,

Para a maioria dos pares de vetores,

you'll be able to reach every possible point in the plane.

você será capaz de alcançar todos os pontos possíveis no plano.

Every two-dimensional vector is within your grasp. Figurado

Todo vetor bidimensional está ao seu alcance.

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up, Verbos frasais

No entanto, no caso azarado em que seus dois vetores originais se alinham,

the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the origin.

a ponta do vetor resultante é limitada apenas a esta única linha que passa pelo origem.

Actually, technically, there's a third possibility, too.

Na verdade, tecnicamente, há uma terceira possibilidade também.

Both your vectors could be zero,

Ambos os vetores podem ser zero,

in which case you'd just be stuck at the origin. Gramática

nesse caso você ficaria apenas preso na origem.

Here's some more terminology.

Aqui está um pouco mais de terminologia.

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors

O conjunto de todos os vetores possíveis que você pode alcançar com uma combinação linear de um dado par de vetores

is called the span of those two vectors. Vocabulário

é chamado de espaço gerado (span) desses dois vetores.

So, restating what we just saw in this lingo,

Então, reafirmando o que acabamos de ver neste jargão,

the span of most pairs of 2D vectors is all vectors of 2D space,

o espaço gerado da maioria dos pares de vetores 2D é todos os vetores do espaço 2D,

but when they line up,

mas quando eles se alinham,

their span is all vectors whose tip sit on a certain line.

seu espaço gerado é todos os vetores cuja ponta se assenta em uma determinada linha.

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication? Figurado

Lembra como eu disse que a álgebra linear gira em torno da adição de vetores e multiplicação por escalar?

Well, the span of two vectors is basically a way of asking,

Bem, o espaço gerado de dois vetores é basicamente uma maneira de perguntar,

what are all the possible vectors you can reach

quais são todos os vetores possíveis que você pode alcançar

using only these two fundamental operations,

usando apenas essas duas operações fundamentais,

vector addition and scalar multiplication?

adição de vetores e multiplicação por escalar?

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

Este é um bom momento para falar sobre como as pessoas comumente pensam nos vetores como pontos.

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line,

Fica realmente lotado pensar em toda uma coleção de vetores assentados em uma linha,

and more crowded still to think about all two-dimensional vectors all at once filling up the plane.

e mais lotado ainda pensar em todos os vetores bidimensionais ao mesmo tempo preenchendo o plano.

So, when dealing with collections of vectors like this,

Então, ao lidar com coleções de vetores como esta,

it's common to represent each one with just a point in space.

é comum representar cada um com apenas um ponto no espaço.

The point at the tip of that vector,

O ponto na ponta desse vetor,

where, as usual, I want you thinking about that vector with its tail on the origin.

onde, como de costume, quero que você pense naquele vetor com sua cauda na origem.

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain line,

Dessa forma, se você quiser pensar em todos os vetores possíveis cuja ponta se assenta em uma determinada linha,

just think about the line itself.

basta pensar na própria linha.

Likewise, to think about all possible two-dimensional vectors all at once,

Da mesma forma, para pensar em todos os vetores bidimensionais possíveis de uma vez,

conceptualize each one as the point where its tip sits.

conceitue cada um como o ponto onde sua ponta se assenta.

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite flat sheet of two-dimensional space itself,

Então, na verdade, o que você estará pensando é na folha plana infinita do próprio espaço bidimensional,

leaving the arrows out of it. Verbos frasais

deixando as setas de fora.

In general, if you're thinking about a vector on its own, Frases

Em geral, se você está pensando em um vetor por conta própria,

think of it as an arrow.

pense nele como uma seta.

And if you're dealing with a collection of vectors,

E se você estiver lidando com uma coleção de vetores,

it's convenient to think of them all as points.

é conveniente pensar neles todos como pontos.

So, for our span example,

Então, para o nosso exemplo de espaço gerado,

the span of most pairs of vectors ends up being the entire infinite sheet of two-dimensional space, Verbos frasais

o espaço gerado da maioria dos pares de vetores acaba sendo toda a folha infinita do espaço bidimensional,

but if they line up,

mas se eles se alinham,

their span is just a line.

seu espaço gerado é apenas uma linha.

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three-dimensional space.

A ideia de espaço gerado fica muito mais interessante se começarmos a pensar sobre vetores no espaço tridimensional.

For example,

Por exemplo,

if you take two vectors in 3D space that are not pointing in the same direction,

se você pegar dois vetores no espaço 3D que não apontam na mesma direção,

what does it mean to take their span?

o que significa tomar seu espaço gerado?

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two vectors,

Bem, seu espaço gerado é a coleção de todas as combinações lineares possíveis desses dois vetores,

meaning all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way

o que significa todos os vetores possíveis que você obtém dimensionando cada um dos dois de alguma forma

and then adding them together.

e, em seguida, somando-os.

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the linear combination, Figurado

Você pode meio que imaginar girando dois botões diferentes para alterar os dois escalares definindo a combinação linear,

adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

somando os vetores dimensionados e acompanhando a ponta do vetor resultante.

That tip will trace out some kind of flat sheet cutting through the origin of three-dimensional space.

Essa ponta traçará algum tipo de folha plana cortando pela origem do espaço tridimensional.

This flat sheet is the span of the two vectors,

Esta folha plana é o espaço gerado dos dois vetores,

or more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on that flat sheet is the span of your two vectors. Discurso

ou mais precisamente, o conjunto de todos os vetores possíveis cujas pontas se assentam nessa folha plana é o espaço gerado dos seus dois vetores.

Isn't that a beautiful mental image?

Não é uma bela imagem mental?

So, what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

Então, o que acontece se adicionarmos um terceiro vetor e considerarmos o espaço gerado de todos os três caras?

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two.

Uma combinação linear de três vetores é definida mais ou menos da mesma forma que para dois.

You'll choose three different scalars,

Você escolherá três escalares diferentes,

scale each of those vectors,

dimensionará cada um desses vetores,

and then add them all together.

e, em seguida, somará todos eles.

And again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

E, novamente, o espaço gerado desses vetores é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis.

Two different things could happen here.

Duas coisas diferentes poderiam acontecer aqui.

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two,

Se o seu terceiro vetor acabar por se assentar no espaço gerado dos dois primeiros,

then the span doesn't change.

então o espaço gerado não muda.

You're sort of trapped on that same flat sheet.

Você está meio que preso nessa mesma folha plana.

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination Discurso

Em outras palavras, adicionar uma versão dimensionada desse terceiro vetor à combinação linear

doesn't really give you access to any new vectors.

não lhe dá realmente acesso a nenhum vetor novo.

But if you just randomly choose a third vector,

Mas se você apenas escolher aleatoriamente um terceiro vetor,

it's almost certainly not sitting on the span of those first two.

é quase certeza que ele não estará assentado no espaço gerado desses dois primeiros.

Then, since it's pointing in a separate direction,

Então, como está apontando em uma direção separada,

it unlocks access to every possible three-dimensional vector. Figurado

isso desbloqueia o acesso a todos os vetores tridimensionais possíveis.

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector,

Uma maneira de gostar de pensar nisso é que, à medida que você dimensiona esse novo terceiro vetor,

it moves around that span sheet of the first two,

ele se move ao redor dessa folha do espaço gerado dos dois primeiros,

sweeping it through all of space.

varrendo-a por todo o espaço.

Another way to think about it is that you're making full use of the three freely changing scalars that you have at your disposal Figurado

Outra maneira de pensar sobre isso é que você está fazendo uso total dos três escalares que mudam livremente e que você tem à sua disposição

to access the full three dimensions of space.

para acessar as três dimensões completas do espaço.

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two,

Agora, no caso em que o terceiro vetor já estava assentado no espaço gerado dos dois primeiros,

or the case where two vectors happen to line up,

ou no caso em que dois vetores acabam se alinhando,

we want some terminology to describe the fact that at least one of these vectors is redundant, Vocabulário

queremos alguma terminologia para descrever o fato de que pelo menos um desses vetores é redundante,

not adding anything to our span.

não adicionando nada ao nosso espaço gerado.

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing the span,

Sempre que isso acontece, onde você tem vários vetores e poderia remover um sem reduzir o espaço gerado,

the relevant terminology is to say that they are linearly dependent. Vocabulário

a terminologia relevante é dizer que eles são linearmente dependentes.

Another way of phrasing that would be to say that one of the vectors can be expressed as a linear combination of the others, Frases

Outra maneira de expressar isso seria dizer que um dos vetores pode ser expresso como uma combinação linear dos outros,

since it's already in the span of the others.

já que já está no espaço gerado dos outros.

On the other hand, Discurso

Por outro lado,

if each vector really does add another dimension to the span, Gramática

se cada vetor realmente adicionar outra dimensão ao espaço gerado,

they're said to be linearly independent. Vocabulário

diz-se que eles são linearmente independentes.

So, with all of that terminology and hopefully with some good mental images to go with it,

Então, com toda essa terminologia e esperançosamente com algumas boas imagens mentais para acompanhar,

let me leave you with a puzzle before we go. Frases

deixe-me deixá-lo com um quebra-cabeça antes de irmos.

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that span that space. Vocabulário

A definição técnica de uma base de um espaço é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse espaço.

Now, given how I described a basis earlier,

Agora, dado como descrevi uma base anteriormente,

and given your current understanding of the words span and linearly independent,

e dada a sua compreensão atual das palavras espaço gerado e linearmente independente,

think about why this definition would make sense.

pense por que essa definição faria sentido.

In the next video,

No próximo vídeo,

I'll get into matrices in transforming space.

entrarei nas matrizes na transformação do espaço.

See you then.

Até lá.