Transformações lineares tridimensionais | Capítulo 5, A essência da álgebra linear: material de estudo de inglês

Hey folks, I've got a relatively quick video for you today,

Olá pessoal, hoje trago um vídeo relativamente curto para vocês,

just sort of a footnote between chapters. Notas

apenas uma espécie de nota de rodapé entre os capítulos.

In the last two videos, I talked about linear transformations and matrices,

Nos últimos dois vídeos, falei sobre transformações lineares e matrizes,

but I only showed the specific case of transformations

mas mostrei apenas o caso específico de transformações

that take two-dimensional vectors to other two-dimensional vectors.

que levam vetores bidimensionais a outros vetores bidimensionais.

In general throughout this series, we'll work mainly in two dimensions,

Em geral, ao longo desta série, trabalharemos principalmente em duas dimensões,

mostly because it's easier to actually see on the screen and wrap your mind around. Figurado

principalmente porque é mais fácil de ver na tela e de entender.

But more importantly than that, Discurso

Mas, mais importante do que isso,

once you get all the core ideas in two dimensions,

uma vez que você entenda todas as ideias centrais em duas dimensões,

they carry over pretty seamlessly to higher dimensions. Verbos frasais

elas se transferem quase perfeitamente para dimensões superiores.

Nevertheless, it's good to peek our heads outside of flatland now and then Notas

No entanto, é bom espiarmos para fora deste mundo plano de vez em quando

to, you know, see what it means to apply these ideas

para ver, sabe, o que significa aplicar essas ideias

in more than just those two dimensions. Gramática

em mais do que apenas nessas duas dimensões.

For example, consider a linear transformation

Por exemplo, considere uma transformação linear

with three-dimensional vectors as inputs

com vetores tridimensionais como entradas

and three-dimensional vectors as outputs.

e vetores tridimensionais como saídas.

We can visualize this by smooshing around all the points in three-dimensional space Vocabulário

Podemos visualizar isso espremendo todos os pontos no espaço tridimensional

as represented by a grid in such a way that keeps the grid lines parallel and evenly spaced Gramática

representados por uma grade de tal forma que mantenha as linhas da grade paralelas e uniformemente espaçadas

and which fixes the origin in place. Vocabulário

e que fixe a origem no lugar.

And just as with two dimensions,

E assim como nas duas dimensões,

every point of space that we see moving around is really just a proxy for a vector Vocabulário

cada ponto do espaço que vemos se movendo é, na verdade, apenas um representante de um vetor

who has its tip at that point

que tem sua ponta naquele ponto

and what we're really doing is thinking about input vectors moving over to their corresponding outputs. Discurso

e o que realmente estamos fazendo é pensar sobre os vetores de entrada se movendo para suas saídas correspondentes.

And just as with two dimensions,

E assim como com duas dimensões,

one of these transformations is completely described by where the basis vectors go. Frases

uma dessas transformações é completamente descrita por para onde os vetores de base vão.

But now, there are three standard basis vectors that we typically use.

Mas agora, existem três vetores de base padrão que usamos normalmente.

The unit vector in the x direction, i-hat,

O vetor unitário na direção x, i-hat,

the unit vector in the y direction, j-hat,

o vetor unitário na direção y, j-hat,

and a new guy, Vocabulário

e um cara novo,

the unit vector in the z direction, called k-hat.

o vetor unitário na direção z, chamado k-hat.

In fact, I think it's easier to think about these transformations by only following those basis vectors

Na verdade, acho que é mais fácil pensar nessas transformações acompanhando apenas esses vetores de base

since the full 3D grid representing all points can get kind of messy.

já que a grade 3D completa representando todos os pontos pode ficar meio bagunçada.

By leaving a copy of the original axes in the background, Gramática

Deixando uma cópia dos eixos originais no fundo,

we can think about the coordinates of where each of these three basis vectors lands. Vocabulário

podemos pensar nas coordenadas de onde cada um desses três vetores de base aterrissa.

Record the coordinates of these three vectors as the columns of a 3x3 matrix.

Registre as coordenadas desses três vetores como as colunas de uma matriz 3x3.

This gives a matrix that completely describes the transformation using only nine numbers.

Isso nos dá uma matriz que descreve completamente a transformação usando apenas nove números.

As a simple example,

Como um exemplo simples,

consider the transformation that rotates space 90 degrees around the y-axis.

considere a transformação que rotaciona o espaço em 90 graus ao redor do eixo y.

So that would mean that it takes i-hat to the coordinates 0 0 -1 on the z-axis. Vocabulário

Isso significaria que ele leva i-hat para as coordenadas 0 0 -1 no eixo z.

It doesn't move j-hat,

Ele não move j-hat,

so it stays at the coordinates 0 1 0,

então ele fica nas coordenadas 0 1 0,

and then k-hat moves over to the x-axis at 1 0 0.

e então k-hat se move para o eixo x em 1 0 0.

Those three sets of coordinates become the columns of a matrix that describes that rotation transformation.

Esses três conjuntos de coordenadas se tornam as colunas de uma matriz que descreve essa transformação de rotação.

To see where a vector with coordinates x y z lands,

Para ver onde aterrissa um vetor com coordenadas x y z,

the reasoning is almost identical to what it was for two dimensions. Frases

o raciocínio é quase idéntico ao que era para as duas dimensões.

Each of those coordinates can be thought of as instructions for how to scale each basis vector Notas

Cada uma dessas coordenadas pode ser vista como instruções de como dimensionar cada vetor de base

so that they add together to get your vector.

para que se somem para obter o seu vetor.

And the important part, just like the 2D case, Discurso

E a parte importante, assim como no caso 2D,

is that this scaling and adding process works both before and after the transformation. Gramática

é que esse processo de dimensionar e somar funciona tanto antes quanto depois da transformação.

So to see where your vector lands,

Então, para ver onde seu vetor aterrissa,

you multiply those coordinates by the corresponding columns of the matrix Frases

você multiplica essas coordenadas pelas colunas correspondentes da matriz

and then you add together the three results.

e então você soma os três resultados.

Multiplying two matrices is also similar.

Multiplicar duas matrizes também é semelhante.

Whenever you see two 3x3 matrices getting multiplied together, Gramática

Sempre que você vir duas matrizes 3x3 sendo multiplicadas juntas,

you should imagine first applying the transformation encoded by the right one, Vocabulário

você deve imaginar primeiro aplicando a transformação codificada pela da direita,

then applying the transformation encoded by the left one.

e então aplicando a transformação codificada pela da esquerda.

It turns out that 3D matrix multiplication is actually pretty important for fields like computer graphics and robotics Discurso

Acontece que a multiplicação de matrizes 3D é bastante importante para campos como computação gráfica e robótica,

since things like rotations in three dimensions can be pretty hard to describe,

já que coisas como rotações em três dimensões podem ser bem difíceis de descrever,

but they're easier to wrap your mind around if you can break them down Verbos frasais

mas são mais fáceis de entender se você puder dividi-las

as the composition of separate, easier to think about rotations. Vocabulário

como a composição de rotações separadas e mais fáceis de pensar.

Performing this matrix multiplication numerically is, once again,

Realizar essa multiplicação de matrizes numericamente é, mais uma vez,

pretty similar to the two-dimensional case.

muito parecido com o caso bidimensional.

In fact, a good way to test your understanding of the last video Gramática

Na verdade, uma boa maneira de testar sua compreensão do último vídeo

would be to try to reason through what specifically this matrix multiplication should look like, Verbos frasais

seria tentar raciocinar sobre como exatamente essa multiplicação de matrizes deve parecer,

thinking closely about how it relates to the idea of applying two successive transformations in space.

pensando atentamente sobre como isso se relaciona com a ideia de aplicar duas transformações sucessivas no espaço.

In the next video,

No próximo vídeo,

I'll start getting into the determinant. Verbos frasais

começarei a entrar no determinante.