e^(iπ) em 3,14 minutos, usando dinâmica | DE5: material de estudo de inglês

One way to think about the function e to the t is to ask what properties does it have? Discurso

Uma maneira de pensar sobre a função e elevado a t é perguntar quais propriedades ela tem?

Probably the most important one,

Provavelmente a mais importante,

and from some points of view the defining property, Intenção

e sob alguns pontos de vista a propriedade definidora,

is that it is its own derivative. Gramática

é que ela é sua própria derivada.

Together with the added condition that inputting zero returns one, Vocabulário

Junto com a condição adicional de que a entrada zero retorna um,

it's actually the only function with this property.

ela é na verdade a única função com essa propriedade.

And you can illustrate what this means with a physical model. Frases

E você pode ilustrar o que isso significa com um modelo físico.

If e to the t describes your position on a number line as a function of time, Vocabulário

Se e elevado a t descreve a sua posição numa reta numérica como uma função do tempo,

then you start at the number one,

então você começa no número um,

and what this equation is saying is that your velocity, Gramática

e o que esta equação está dizendo é que a sua velocidade,

the derivative of position,

a derivada da posição,

is always equal to that position.

é sempre igual a essa posição.

The farther away from zero you are, Gramática

Quanto mais longe de zero você está,

the faster you move.

mais rápido você se move.

So even before knowing how to compute e to the t exactly, Gramática

Então, mesmo antes de saber como calcular e elevado a t exatamente,

going from a specific time to a specific position,

indo de um tempo específico para uma posição específica,

this ability to associate each position with a velocity Frases

esta capacidade de associar cada posição com uma velocidade

paints a very strong intuitive picture of how the function must grow. Figurado

pinta uma imagem intuitiva muito forte de como a função deve crescer.

You know that you'll be accelerating,

Você sabe que estará acelerando,

and at an accelerating rate, Frases

e a uma taxa acelerada,

with an all-around feeling of things getting out of hand quickly. Figurado

com uma sensação geral de que as coisas estão saindo do controle rapidamente.

And if you add a constant to that exponent,

E se você adicionar uma constante a esse expoente,

like e to the 2 times t,

como e elevado a 2 vezes t,

the chain rule tells us that the derivative is now 2 times itself.

a regra da cadeia nos diz que a derivada agora é 2 vezes ela mesma.

So at every point on the number line,

Então, em cada ponto na reta numérica,

rather than attaching a vector corresponding to the number itself, Gramática

em vez de anexar um vetor correspondente ao próprio número,

first double the magnitude of the position,

primeiro duplique a magnitude da posição,

then attach it.

depois o anexe.

Moving so that your position is always e to the 2t

Mover-se para que a sua posição seja sempre e elevado a 2t

is the same thing as moving in such a way Gramática

é a mesma coisa que mover-se de tal forma

that your velocity is always twice your position.

que a sua velocidade seja sempre o dobro da sua posição.

The implication of that too

A implicação disso também

is that our runaway growth feels all the more out of control. Frases

é que o nosso crescimento descontrolado parece ainda mais fora de controle.

If that constant was negative,

Se essa constante fosse negativa,

say negative 0.5,

digamos menos 0,5,

then your velocity vector is always negative 0.5 times your position vector,

então o seu vetor velocidade é sempre menos 0,5 vezes o seu vetor posição,

meaning you flip it around 180 degrees

o que significa que você o vira 180 graus

and scale its length by a half. Vocabulário

e reduz o seu comprimento pela metade.

Moving in such a way

Movendo-se de tal forma

that your velocity always matches this flipped and squished copy of your position vector,

que a sua velocidade sempre coincida com esta cópia virada e espremida do seu vetor posição,

you go the other direction,

você vai na outra direção,

slowing down in an exponential decay towards zero. Vocabulário

desacelerando em um decaimento exponencial em direção a zero.

But what about if that constant was i, Intenção

Mas e se essa constante fosse i,

the square root of negative one?

a raiz quadrada de menos um?

If your position was always e to the i t,

Se a sua posição fosse sempre e elevado a i vezes t,

how would you move as the time t ticks forward?

como você se moveria à medida que o tempo t avança?

Well, now the derivative of your position will always be i times itself,

Bem, agora a derivada da sua posição será sempre i vezes ela mesma,

and multiplying by i has the effect of rotating numbers 90 degrees. Frases

e multiplicar por i tem o efeito de rotacionar os números 90 graus.

So, as you might expect, Discurso

Então, como você poderia esperar,

things only make sense here if we start thinking beyond the number line Figurado

as coisas só fazem sentido aqui se começarmos a pensar além da reta numérica

and in the complex plane.

e no plano complexo.

So, even before you know how to compute e to the i times t,

Então, mesmo antes de você saber como calcular e elevado a i vezes t,

you know that for any position this might give for some value of time,

você sabe que para qualquer posição que isso possa dar para algum valor de tempo,

the velocity at that time will be a 90 degree rotation of that position.

a velocidade naquele tempo será uma rotação de 90 graus daquela posição.

Drawing this for all possible positions you might come across, Verbos frasais

Desenhando isso para todas as posições possíveis que você possa encontrar,

you get a vector field,

você obtém um campo vetorial,

where as usual with vector fields,

onde, como de costume com campos vetoriais,

you shrink things down to avoid clutter. Verbos frasais

você encolhe as coisas para evitar a confusão.

At time t equals zero,

No tempo t igual a zero,

e to the i t will be one,

e elevado a i vezes t será um,

that's our initial condition,

essa é a nossa condição inicial,

and there's only one trajectory starting from that position

e há apenas uma trajetória começando dessa posição

where your velocity is always matching the vector that it's passing through,

onde a sua velocidade está sempre combinando com o vetor por onde ela passa,

a 90 degree rotation of the position.

uma rotação de 90 graus da posição.

It's when you go around a circle of radius one

É quando você dá a volta num círculo de raio um

at a speed of one unit per second. Vocabulário

a uma velocidade de uma unidade por segundo.

So, after pi seconds,

Então, depois de pi segundos,

you've traced a distance of pi around.

você traçou uma distância de pi ao redor.

So, e to the i times pi should be negative one. Gramática

Então, e elevado a i vezes pi deve ser menos um.

After tau seconds,

Depois de tau segundos,

you've gone full circle.

você deu uma volta completa.

E to the i times tau equals one.

E elevado a i vezes tau é igual a um.

And more generally, Discurso

E mais geralmente,

e to the i times t equals a number

e elevado a i vezes t é igual a um número

that's t radians around this unit circle in the complex plane.

que está t radianos ao redor desse círculo unitário no plano complexo.

Nevertheless, Discurso

No entanto,

something might still feel immoral about putting an imaginary number up in that exponent. Figurado

algo ainda pode parecer imoral sobre colocar um número imaginário naquele expoente.

And you would be right to question that. Intenção

E você estaria certo em questionar isso.

What we write as e to the t is a bit of a notational disaster, Figurado

O que escrevemos como e elevado a t é um pouco de um desastre notacional,

giving the number e and the idea of repeated multiplication

dando ao número e e à ideia de multiplicação repetida

way more emphasis than they deserve. Gramática

muito mais ênfase do que eles merecem.

But my time is up, Figurado

Mas meu tempo acabou,

so I'll spare you the full rant until the next video. Intenção

então vou poupá-los do desabafo completo até o próximo vídeo.