Matrizes não quadradas como transformações entre dimensões | Capítulo 8, A essência da álgebra linear: material de estudo de inglês

Hey everyone,

Olá a todos,

I've got another quick footnote for you between chapters today. Discurso

hoje tenho outra rápida nota de rodapé para vocês entre os capítulos.

When I've talked about linear transformations so far,

Quando falei sobre transformações lineares até agora,

I've only really talked about transformations from 2D vectors to other 2D vectors

eu só falei realmente sobre transformações de vetores 2D para outros vetores 2D

represented with 2x2 matrices

representadas por matrizes 2x2

or from 3D vectors to other 3D vectors

ou de vetores 3D para outros vetores 3D

represented with 3x3 matrices.

representadas por matrizes 3x3.

But several commenters have asked about non-square matrices, Cultura

Mas vários comentaristas perguntaram sobre matrizes não quadradas,

so I thought I'd take a moment to just show what those mean geometrically. Notas

então pensei em tirar um momento para apenas mostrar o que elas significam geometricamente.

By now in the series,

A essa altura da série,

you actually have most of the background you need to start pondering a question like this on your own, Frases

vocês já têm praticamente toda a base necessária para começar a ponderar sobre uma questão como essa por conta própria,

but I'll start talking through it just to give a little mental momentum. Notas

mas vou começar a falar sobre isso apenas para dar um pouco de impulso mental.

It's perfectly reasonable to talk about transformations between dimensions Frases

É perfeitamente razoável falar sobre transformações entre dimensões,

such as one that takes 2D vectors to 3D vectors.

como uma que leva vetores 2D a vetores 3D.

Again, what makes one of these linear is that gridlines remain parallel and evenly spaced Gramática

Mais uma vez, o que torna uma destas linear é que as linhas de grade permanecem paralelas e uniformemente espaçadas

and that the origin maps to the origin. Vocabulário

e que a origem é mapeada para a origem.

What I have pictured here is the input space on the left, Notas

O que eu ilustrei aqui é o espaço de entrada à esquerda,

which is just 2D space,

que é apenas o espaço 2D,

and the output of the transformation shown on the right.

e a saída da transformação mostrada à direita.

The reason I'm not showing the inputs move over to the outputs like I usually do Gramática

A razão pela qual não estou mostrando as entradas se moverem para as saídas como costumo fazer

is not just animation laziness.

não é apenas por preguiça de animar.

It's worth emphasizing that 2D vector inputs are very different animals from these 3D vector outputs Notas

Vale a pena enfatizar que as entradas de vetores 2D são animais muito diferentes dessas saídas de vetores 3D

living in a completely separate unconnected space.

que vivem em um espaço completamente separado e desconectado.

Encoding one of these transformations with a matrix is really just the same thing as what we've done before. Frases

Codificar uma dessas transformações com uma matriz é, na verdade, a mesma coisa que já fizemos antes.

You look at where each basis vector lands Notas

Você observa onde cada vetor de base aterrissa

and write the coordinates of the landing spots as the columns of a matrix. Frases

e escreve as coordenadas dos pontos de aterrissagem como as colunas de uma matriz.

For example, what you're looking at here is an output of a transformation that takes i-hat

Por exemplo, o que você está vendo aqui é a saída de uma transformação que leva i-hat

to the coordinates 2 -1 -2

para as coordenadas 2 -1 -2

and j-hat to the coordinates 0 1 1.

e j-hat para as coordenadas 0 1 1.

Notice, this means the matrix encoding our transformation has three rows and two columns, Discurso

Note que isso significa que a matriz que codifica nossa transformação tem três linhas e duas colunas,

which, to use standard terminology, makes it a 3x2 matrix. Notas

o que, para usar a terminologia padrão, faz dela uma matriz 3x2.

In the language of last video, Discurso

Na linguagem do último vídeo,

the column space of this matrix, the place where all the vectors land, Cultura

o espaço coluna dessa matriz, o lugar onde todos os vetores aterrissam,

is a 2D plane slicing through the origin of 3D space. Vocabulário

é um plano 2D que corta a origem do espaço 3D.

But the matrix is still full rank since the number of dimensions in this column space Cultura

Mas a matriz ainda é de posto máximo, já que o número de dimensões neste espaço coluna

is the same as the number of dimensions of the input space.

é o mesmo que o número de dimensões do espaço de entrada.

So, if you see a 3x2 matrix out in the wild, Notas

Então, se você vir uma matriz 3x2 por aí,

you can know that it has the geometric interpretation of mapping two dimensions to three dimensions.

já pode saber que ela tem a interpretação geométrica de mapear duas dimensões para três dimensões.

Since the two columns indicate that the input space has two basis vectors

Uma vez que as duas colunas indicam que o espaço de entrada tem dois vetores de base

and the three rows indicate that the landing spots for each of those basis vectors

e as três linhas indicam que os pontos de aterrissagem para cada um desses vetores de base

is described with three separate coordinates.

são descritos com três coordenadas separadas.

Likewise, if you see a 2x3 matrix with two rows and three columns,

Da mesma forma, se você vir uma matriz 2x3 com duas linhas e três colunas,

what do you think that means?

o que você acha que isso significa?

Well, the three columns indicate that you're starting in a space that has three basis vectors,

Bem, as três colunas indicam que você está começando em um espaço que tem três vetores de base,

so we're starting in three dimensions.

então estamos começando em três dimensões.

And the two rows indicate that the landing spot for each of those three basis vectors

E as duas linhas indicam que o local de aterrissagem para cada um desses três vetores de base

is described with only two coordinates,

é descrito com apenas duas coordenadas,

so they must be landing in two dimensions. Gramática

então eles devem estar aterrissando em duas dimensões.

So, it's a transformation from 3D space onto the 2D plane. Cultura

Portanto, é uma transformação do espaço 3D para o plano 2D.

A transformation that should feel very uncomfortable if you imagine going through it. Figurado

Uma transformação que deve parecer muito desconfortável se você se imaginar passando por ela.

You could also have a transformation from two dimensions to one dimension.

Você também poderia ter uma transformação de duas dimensões para uma dimensão.

One-dimensional space is really just the number line, Cultura

O espaço unidimensional é, na verdade, apenas a reta numérica,

so a transformation like this takes in 2D vectors and spits out numbers. Verbos frasais

então uma transformação como essa recebe vetores 2D e cospe números.

Thinking about grid lines remaining parallel and evenly spaced is a little bit messy due to all of the squishification happening here. Vocabulário

Pensar em linhas de grade permanecendo paralelas e uniformemente espaçadas é um pouco confuso devido a todo o esmagamento que acontece aqui.

So, in this case,

Então, neste caso,

the visual understanding for what linearity means is that if you have a line of evenly spaced dots, Gramática

a compreensão visual do que significa linearidade é que se você tiver uma linha de pontos uniformemente espaçados,

it would remain evenly spaced once they're mapped onto the number line.

eles permaneceriam uniformemente espaçados assim que fossem mapeados na reta numérica.

One of these transformations is encoded with a 1x2 matrix,

Uma dessas transformações é codificada com uma matriz 1x2,

each of whose two columns has just a single entry. Notas

onde cada uma de suas duas colunas tem apenas um único elemento.

The two columns represent where the basis vectors land,

As duas colunas representam onde os vetores de base aterrissam,

and each one of those columns requires just one number,

e cada uma dessas colunas requer apenas um número,

the number that that basis vector landed on.

o número no qual esse vetor de base aterrissou.

This is actually a surprisingly meaningful type of transformation with close ties to the dot product, Frases

Esse é, na verdade, um tipo de transformação surpreendentemente significativo com laços estreitos com o produto escalar,

and I'll be talking about that next video.

e eu estarei falando sobre isso no próximo vídeo.

Until then, I encourage you to play around with this idea on your own, Notas

Até lá, encorajo vocês a brincarem com essa ideia por conta própria,

contemplating the meanings of things like matrix multiplication and linear systems of equations

contemplando os significados de coisas como multiplicação de matrizes e sistemas de equações lineares

in the context of transformations between different dimensions. Frases

no contexto de transformações entre dimensões diferentes.

Have fun.

Divirtam-se.