ทำไมเราถึงหารด้วยศูนย์ไม่ได้? - TED-Ed: บทเรียนภาษาอังกฤษ
TED-Ed
ภาพรวมวิดีโอ: วิดีโอนี้อธิบายว่า การที่ผลหารมุ่งสู่อนันต์เมื่อค่าตัวหารเข้าใกล้ศูนย์ ไม่ได้หมายความว่าการหารด้วยศูนย์มีค่าเท่ากับอนันต์ โดยนิยามการหารผ่านอินเวอร์สการคูณ แล้วแสดงว่าหากกำหนดให้อนันต์เป็นอินเวอร์สของศูนย์ จะเกิดข้อขัดแย้งอย่าง 1 = 2 แม้ระบบคณิตศาสตร์อื่นอาจเปลี่ยนกฎได้ก็ตาม ประเด็นภาษาอังกฤษสำคัญ: 1. all we really know is that — วาทกรรม การเล่าเรื่อง และวาทศิลป์: เรียนรู้การจำกัดข้อสรุปให้อยู่เฉพาะสิ่งที่หลักฐานรองรับจริง ในที่นี้วลีดังกล่าวแยกข้อความเรื่องลิมิต ซึ่งค่าจะเพิ่มขึ้นอย่างไร้ขอบเขตเมื่อตัวหารเข้าใกล้ศูนย์ ออกจากข้ออ้างที่ยังพิสูจน์ไม่ได้ว่าการหารด้วยศูนย์เท่ากับอนันต์ 2. If we want to divide by zero, we need to find its multiplicative inverse, — ไวยากรณ์และรูปแบบประโยค: เข้าใจและใช้ If we want to..., we need to... เพื่อเชื่อมเป้าหมายกับเงื่อนไขหรือขั้นตอนที่จำเป็น โครงสร้างนี้ช่วยอธิบายกระบวนการและข้อกำหนดเชิงตรรกะได้ชัดเจน โดยไม่ทำให้ขั้นตอนถัดไปดูเป็นการเลือกโดยพลการ 3. make up a new rule? — กริยาวลี: เข้าใจว่า make up ในที่นี้หมายถึงคิดค้นหรือกำหนดขึ้น ไม่ใช่ประกอบสิ่งของ คำถามนี้เสนอให้ตั้งกฎสมมุติเพื่อทดสอบผลที่ตามมา และยังใช้กริยานี้กับกฎ เรื่องราว คำอธิบาย หรือระบบที่แต่งขึ้นได้ด้วย
คำอธิบายในบทเรียนนี้
In the world of math: การกำหนดขอบเขตของหัวข้อ
In the world of math เป็นกรอบเปิดเรื่องที่บอกผู้ฟังว่าข้อความถัดไปอยู่ในสาขาใด คำว่า world ในที่นี้เป็นการใช้เชิงเปรียบเทียบ หมายถึงขอบเขตของแนวคิด วิธีปฏิบัติ และกฎที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ ไม่ใช่โลกอีกใบที่เป็นสถานที่จริง เมื่อวลีนี้อยู่ต้นประโยคและปิดด้วยเครื่องหมายจุลภาค จึงช่วยกำหนดขอบเขตก่อนเข้าสู่ใจความหลัก คุณสามารถใช้โครงสร้าง In the world of + สาขา เพื่อเกริ่นถึงสิ่งที่พบได้ทั่วไป สำคัญ หรือเป็นไปได้ในหัวข้อหนึ่ง
แบบฝึกหัด
เติมประโยคเปิดด้วยกรอบกำหนดหัวข้อแบบเดียวกับในบทเรียนทุกประการ: ____ robotics, even tiny errors can matter.
ดูคำตอบ
In the world of
many strange results are possible when we change the rules. สำนวน
0:09ผลลัพธ์แปลกๆ มากมายเป็นไปได้เมื่อเราเปลี่ยนกฎ
change the rules: การเปลี่ยนเงื่อนไขพื้นฐานของระบบ
ในที่นี้ change the rules หมายถึงการเปลี่ยนเงื่อนไขพื้นฐานที่กำหนดว่าสิ่งใดสามารถเกิดขึ้นได้ในระบบหนึ่ง ในคณิตศาสตร์ กฎเหล่านั้นอาจเป็นสมมติฐาน นิยาม หรือการดำเนินการที่อนุญาต ดังนั้นกฎที่ต่างกันจึงอาจทำให้เกิดผลลัพธ์ที่ต่างกันได้ สำนวนนี้ยังใช้ได้นอกคณิตศาสตร์ เมื่อมีคนตั้งใจเขียนวิธีทำงานของเกม องค์กร หรือกระบวนการขึ้นใหม่
แบบฝึกหัด
นักออกแบบเกมเขียนวิธีนับคะแนนขึ้นใหม่ ประโยคใดอธิบายสถานการณ์นี้ได้ถูกต้อง?
- The designer decides to break the rules.
- The designer decides to follow the rules.
- The designer decides to change the rules.
ดูคำตอบ
The designer decides to change the rules.
But there's one rule that most of us have been warned not to break. ไวยากรณ์
0:13แต่มีกฎหนึ่งข้อที่พวกเราส่วนใหญ่ถูกเตือนว่าอย่าฝ่าฝืน
have been warned not to + คำกริยา
“have been warned” เป็นรูป present perfect แบบ passive ของ “warn” โดยเน้นคนที่ได้รับคำเตือน ไม่ใช่คนที่เป็นผู้เตือน รูป present perfect บอกว่ามีการเตือนก่อนเวลาปัจจุบันและคำเตือนนั้นยังเกี่ยวข้องอยู่ในตอนนี้ โครงสร้างแบบ active คือ “warn someone not to do something” และเมื่อเปลี่ยนเป็น passive จะเป็น “someone has/have been warned not to do something” ในที่นี้ “not to break” ระบุการกระทำที่ห้าม ส่วน “break a rule” หมายถึงฝ่าฝืนกฎ ในประโยคนี้ โครงสร้างดังกล่าวสื่อว่าคนส่วนใหญ่ได้รับคำเตือนนี้มาแล้ว
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยโครงสร้างคำเตือนแบบ passive: For safety, visitors ____ enter the closed area.
ดูคำตอบ
have been warned not to
divide A by B: นำ A หารด้วย B
ในคณิตศาสตร์ “divide A by B” หมายถึงคำนวณ A ÷ B โดย A คือตัวตั้งหรือจำนวนที่ถูกหาร ส่วน B ที่อยู่หลัง “by” คือตัวหาร ดังนั้น “divide by zero” จึงหมายถึงใช้ศูนย์เป็นตัวหาร ในเลขคณิตทั่วไป การคำนวณนี้ไม่มีนิยาม จึงเป็นเหตุผลที่ประโยคบอกว่าอย่าทำ
แบบฝึกหัด
วลีใดอ่านนิพจน์ 18 ÷ 6 ได้ถูกต้อง
- eighteen divided into six
- six divided by eighteen
- eighteen divided by six
ดูคำตอบ
eighteen divided by six
How can the simple combination of an everyday number and a basic operation cause such problems? ลำดับความ
0:19การรวมกันง่ายๆ ของตัวเลขในชีวิตประจำวันและการดำเนินการพื้นฐานทำให้เกิดปัญหาเช่นนี้ได้อย่างไร
How can ... cause such problems? ในฐานะคำถามเปิดเรื่องเพื่อนำเข้าสู่คำอธิบาย
คำถามรูปแบบ How can X cause Y? ไม่ได้มีไว้ถามวิธีการเท่านั้น ในประโยคนี้ ผู้พูดนำตัวเลขธรรมดาและการคำนวณพื้นฐานไปวางเทียบกับปัญหาที่ไม่คาดคิดซึ่งสิ่งเหล่านี้ก่อขึ้น ทำให้เห็นความขัดแย้งที่น่าประหลาดใจ เมื่อใช้เป็นคำถามเปิดเรื่อง ประโยคนี้จะเสนอปริศนาก่อนให้คำอธิบาย จึงช่วยจัดข้อมูลเป็นลำดับอย่างชัดเจน: เริ่มจากผลลัพธ์ที่คาดไม่ถึง แล้วจึงอธิบายว่ามันเกิดขึ้นได้อย่างไรหรือเพราะเหตุใด
แบบฝึกหัด
คำถามเปิดเรื่องข้อใดใช้ How can...? ได้เหมาะที่สุดเพื่อเสนอปริศนาที่น่าประหลาดใจและสามารถตอบได้ด้วยคำอธิบาย
- How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?
- Where is the packet of seeds?
- Can you put this seed in the blue pot?
ดูคำตอบ
How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?
Normally, dividing by smaller and smaller numbers gives you bigger and bigger answers. ไวยากรณ์
0:26โดยปกติ การหารด้วยตัวเลขที่น้อยลงเรื่อยๆ จะให้คำตอบที่มากขึ้นเรื่อยๆ
smaller and smaller ... bigger and bigger เพื่อแสดงการเปลี่ยนแปลงที่ต่อเนื่อง
ใน smaller and smaller และ bigger and bigger มีการใช้ and เชื่อมรูปคำคุณศัพท์ขั้นกว่าแบบเดิมซ้ำกัน โครงสร้าง “ขั้นกว่า + and + ขั้นกว่า” หมายถึงคุณสมบัติบางอย่างเปลี่ยนไปในทิศทางเดียวอย่างต่อเนื่องตามเวลาหรือตามลำดับ ในประโยคนี้ smaller and smaller บอกว่าจำนวนเล็กลงทีละขั้น ส่วน bigger and bigger บอกว่าคำตอบใหญ่ขึ้นทีละขั้น โครงสร้างนี้แสดงแนวโน้มที่ดำเนินต่อไป ไม่ได้เพียงบอกว่าบางสิ่งเล็กมากหรือใหญ่มาก
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยโครงสร้างขั้นกว่าแบบซ้ำที่หมายถึง “ดังขึ้นเรื่อย ๆ”: The music grew ____ as the parade came closer.
ดูคำตอบ
louder and louder
การละคำใน By 1 ... By 1 millionth
By 1 และ By 1 millionth เป็นส่วนที่ย่อในรายการที่มีโครงสร้างขนานกัน การคำนวณแรกวางกรอบที่ซ้ำกันคือ 10 divided by ... ดังนั้นส่วนถัดมาจึงหมายถึง 10 divided by 1 และ 10 divided by one millionth นี่คือการละคำ: ข้อมูลที่ใช้ร่วมกันถูกละไว้ เพราะผู้ฟังเติมกลับได้ง่ายจากรายการ เมื่อฟังคำอธิบายที่รวดเร็ว ให้คงกรอบร่วมไว้แล้วแทนตัวหารตัวใหม่แต่ละตัว
แบบฝึกหัด
ในรายการคำนวณนี้ By 1 millionth เมื่อเขียนเต็มคือข้อใด
- 10 divided by 1 millionth
- 10 multiplied by 1 millionth
- 1 millionth divided by 10
ดูคำตอบ
10 divided by 1 millionth
การใช้ And so on เพื่อจบรายการที่ยังไม่ครบ
And so on อยู่ท้ายรายการหรือชุดข้อมูล หมายความว่ายังมีสิ่งหรือขั้นตอนประเภทเดียวกันหรือตามรูปแบบเดียวกันต่อไป แต่ผู้พูดจะไม่กล่าวทุกอย่าง ผู้ฟังต้องสามารถคาดเดาสิ่งที่จะตามมาได้จากตัวอย่างหรือกฎที่บอกไว้แล้ว
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยวลีในบทเรียนที่แสดงว่ารายการยังดำเนินต่อไป: We need paper, pencils, folders, ____.
ดูคำตอบ
and so on
So it seems like if you divide by numbers that keep shrinking all the way down to zero, โน้ต
0:40ดังนั้นดูเหมือนว่าถ้าคุณหารด้วยตัวเลขที่หดตัวลงเรื่อยๆ จนถึงศูนย์
it seems like if ...: การอนุมานแบบมีเงื่อนไขที่ยังไม่ยืนยัน
ใน it seems like if ... วลี it seems like ทำให้แนวคิดที่ตามมามีสถานะเป็นข้อสังเกตจากสิ่งที่เห็นหรือรู้ในตอนนี้ ไม่ใช่ข้อสรุปที่พิสูจน์แล้ว ส่วน if ใช้เปิดเงื่อนไขที่ข้อสังเกตนั้นอาศัยอยู่ การพูดแบบนี้ช่วยให้ผู้พูดเสนอรูปแบบที่อาจเป็นไปได้ พร้อมเปิดโอกาสให้ตรวจสอบ จำกัดขอบเขต หรือแก้ไขภายหลัง
แบบฝึกหัด
ประโยคใดเสนอเงื่อนไขในฐานะข้อสรุปชั่วคราว ไม่ใช่ข้อเท็จจริงที่พิสูจน์แล้ว
- We have proved that every battery runs down faster in the cold.
- It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.
- Every battery definitely runs down faster in the cold.
ดูคำตอบ
It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.
keep shrinking: ใช้ keep + -ing เพื่อบอกการเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินต่อไป
keep + รูปกริยา -ing บอกว่าการกระทำหรือการเปลี่ยนแปลงยังดำเนินต่อไปหรือเกิดซ้ำ ที่นี่ keep shrinking หมายถึง “เล็กลงต่อไป” โครงสร้างนี้บอกแนวโน้มที่กำลังดำเนินอยู่ ไม่ใช่สภาพที่เล็กคงที่ กริยาต้องสอดคล้องกับประธาน: numbers keep shrinking แต่ a number keeps shrinking
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยรูปที่ถูกต้องของ keep + changing: The weather ____ throughout the day.
ดูคำตอบ
keeps changing
all the way down to zero: เน้นช่วงการลดลงทั้งหมด
ใน all the way down to zero คำว่า all the way เน้นขอบเขตของการเปลี่ยนแปลงว่าเกิดขึ้นตลอดช่วงจนถึงจุดปลายที่ระบุไว้ down บอกทิศทางที่ลดลง และ to zero ระบุว่าจุดปลายคือศูนย์ โครงสร้าง all the way down to + จุดต่ำ สามารถใช้อธิบายปริมาณ ระดับ อุณหภูมิ หรือการเคลื่อนที่จริงได้ โดยเน้นกระบวนการลดลงทั้งหมด ไม่ใช่แค่ค่าสุดท้าย
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยวลีจากบทเรียนที่หมายถึง “ลดลงตลอดทั้งช่วงจนถึงศูนย์”: The gauge fell ____.
ดูคำตอบ
all the way down to zero
the answer will grow to the largest thing possible.
0:45คำตอบจะเพิ่มขึ้นเป็นสิ่งที่มีค่ามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
Then isn't the answer to 10 / 0 actually infinity? น้ำเสียง/เจตนา
0:48ถ้าอย่างนั้นคำตอบของ 10 / 0 ไม่ใช่ความเป็นอนันต์หรอกหรือ
Then isn't ... actually ...?: เสนอข้อสรุปที่คาดไว้
Then เชื่อมคำถามเข้ากับเหตุผลที่เพิ่งกล่าวไปว่า ถ้าสิ่งนั้นเป็นจริง ข้อสรุปนี้ก็ดูเหมือนจะตามมา รูปคำถามปฏิเสธ isn't ...? ไม่ได้เป็นกลางทั้งหมด แต่เสนอคำตอบว่าเป็นอนันต์ในฐานะคำตอบที่ผู้พูดคาดว่าจะฟังดูสมเหตุสมผล Actually เพิ่มน้ำเสียงท้าทายสมมติฐานก่อนหน้าเล็กน้อย ราวกับถามว่านี่ต่างหากหรือไม่คือผลลัพธ์ที่แท้จริง คำถามนี้เชิญให้ยืนยันหรือเสนอแนวคิดเพื่อตรวจสอบ แต่ไม่ได้พิสูจน์ว่าข้อสรุปนั้นถูกต้อง
แบบฝึกหัด
คำถามปฏิเสธในประโยคนี้สื่ออะไรเป็นหลัก?
- เสนอว่าอนันต์คือข้อสรุปที่ผู้พูดคาดว่าจะฟังดูสมเหตุสมผล
- พิสูจน์ว่าการหารด้วยศูนย์เท่ากับอนันต์
- ถามหาคำตอบใดก็ได้โดยไม่ได้ชี้นำคำตอบหนึ่งเป็นพิเศษ
ดูคำตอบ
เสนอว่าอนันต์คือข้อสรุปที่ผู้พูดคาดว่าจะฟังดูสมเหตุสมผล
may sound plausible: ตอนแรกฟังดูสมเหตุสมผล แต่ยังไม่ได้พิสูจน์
ในประโยคนี้ may sound plausible หมายถึง “อาจฟังดูสมเหตุสมผลหรือน่าเชื่อถือ” may ทำให้การตัดสินยังไม่แน่นอน sound กล่าวถึงความรู้สึกที่แนวคิดนั้นสร้างขึ้น และ plausible บอกว่าแนวคิดนั้นอาจเป็นจริงได้จากข้อมูลที่มีอยู่ วลีนี้มักใช้ยอมรับก่อนว่าข้อโต้แย้งดูน่าเชื่อในตอนแรก แล้วจึงตรวจสอบอย่างละเอียดขึ้น ไม่ได้หมายความว่าข้อโต้แย้งนั้นถูกต้อง
แบบฝึกหัด
ประโยคใดบอกว่าคำอธิบายดูสมเหตุสมผล แต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์?
- The explanation may sound plausible, but we still need evidence.
- The explanation is certainly true, so no evidence is needed.
- The explanation is easy to hear, but hard to understand.
ดูคำตอบ
The explanation may sound plausible, but we still need evidence.
but all we really know is that if we divide 10 by a number that tends towards zero, โน้ต
0:54แต่สิ่งที่เราทราบจริงๆ คือ หากเราหาร 10 ด้วยตัวเลขที่เข้าใกล้ศูนย์
all we really know is that: จำกัดข้อสรุปให้อยู่ในขอบเขตของหลักฐาน
โครงสร้าง all we really know is that... จำกัดการอภิปรายไว้เฉพาะเนื้อหาที่หลักฐานรองรับจริง ๆ ในทางไวยากรณ์ all we really know เป็นประธาน และอนุประโยคที่ขึ้นต้นด้วย that ระบุเนื้อหาทั้งหมดที่เรารู้ได้ ในที่นี้ all มีหน้าที่จำกัดความหมายใกล้เคียงกับ “สิ่งเดียว” ส่วน really เน้นสิ่งที่แน่นอนจริง ๆ ผู้พูดใช้กรอบนี้เพื่อหยุดการอนุมานที่มั่นใจเกินไป แล้วแทนที่ด้วยข้อความที่ระมัดระวังและอิงหลักฐาน
แบบฝึกหัด
รอยเท้าเพียงรอยเดียวแสดงว่ามีใครบางคนอยู่ที่นั่น แต่ไม่บอกว่าเป็นใคร ประโยคใดสรุปอยู่ภายในขอบเขตของหลักฐาน?
- The footprint proves that nobody was here.
- We know exactly who was here.
- All we really know is that someone was here.
ดูคำตอบ
All we really know is that someone was here.
tends towards zero ... tends towards infinity: เข้าใกล้ค่าลิมิต
ในที่นี้ tends towards หมายถึง “เข้าใกล้มากขึ้นเรื่อย ๆ” ขณะที่อีกค่าหนึ่งเปลี่ยนแปลง คำหรือปริมาณที่ตามหลัง towards ระบุเป้าหมายหรือทิศทางของลิมิต โดย tends towards zero และ tends towards infinity ต่างก็บอกทิศทางของการเปลี่ยนแปลง ในคณิตศาสตร์ สำนวนนี้อธิบายพฤติกรรมที่มุ่งสู่ลิมิต ไม่ใช่ค่าที่ไปถึงแล้ว ตัวส่วนอาจเข้าใกล้ศูนย์โดยไม่เท่ากับศูนย์ ส่วนผลลัพธ์ที่มุ่งสู่อนันต์จะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต ไม่ได้กลายเป็นจำนวนธรรมดาที่ชื่อว่าอนันต์
แบบฝึกหัด
ค่าหนึ่งเข้าใกล้ศูนย์มากขึ้นเรื่อย ๆ แต่อาจไม่เท่ากับศูนย์เลย ประโยคใดอธิบายได้แม่นยำที่สุด
- The value is equal to zero.
- The value tends towards zero.
- The value moves away from zero.
ดูคำตอบ
The value tends towards zero.
And that's not the same thing as saying that 10 / 0 is equal to infinity. โน้ต
1:03และนั่นไม่เหมือนกับการบอกว่า 10 / 0 เท่ากับอนันต์
not the same thing as saying: ปฏิเสธการเหมารวมว่าเท่ากัน
โครงสร้าง that's not the same thing as saying that X ใช้ปฏิเสธการเหมารวมสองสิ่งว่าเท่ากันอย่างไม่ถูกต้อง โดยบอกผู้ฟังว่าข้อความก่อนหน้าไม่เพียงพอที่จะสนับสนุนข้อสรุปที่แรงกว่าหรือแตกต่างออกไปหลัง saying that โครงสร้างนี้จัดลำดับเหตุผลเป็นสองขั้น ขั้นแรกคงข้อความเดิมไว้ แล้วจึงขีดขอบเขตว่าข้อความนั้นไม่ได้กล่าวอะไร ในประโยคนี้ การมุ่งเข้าใกล้อนันต์ถูกแยกออกจากคำกล่าวที่ว่าการหารด้วยศูนย์เท่ากับอนันต์
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยโครงสร้างที่เน้นไว้: The forecast says rain is possible. That is ____ it will definitely rain.
ดูคำตอบ
not the same thing as saying
is equal to สำหรับบอกความเท่ากันทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน
is equal to บอกความเท่ากันอย่างแน่นอน โดยนิพจน์ที่อยู่ข้างหน้ามีค่าเท่ากับนิพจน์ที่อยู่ข้างหลังทุกประการ โครงสร้างคือ A + be + equal to + B ดังนั้น be ต้องเปลี่ยนให้สอดคล้องกับ A ในประโยคนี้ วลีดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของข้อกล่าวอ้างเกี่ยวกับ 10 / 0 ผู้พูดกำลังบอกว่าแนวคิดหนึ่งไม่เหมือนกับการกล่าวอ้างสมการนั้น is equal to เพียงระบุความสัมพันธ์ที่ถูกกล่าวอ้าง แต่ไม่ได้พิสูจน์ว่าข้อกล่าวอ้างนั้นถูกต้อง
แบบฝึกหัด
เติมสมการด้วยโครงสร้าง be equal to: Twelve divided by three ____ four.
ดูคำตอบ
is equal to
Well, let's take a closer look at what division really means. วลี
1:11เอาล่ะ เรามาดูความหมายที่แท้จริงของการหารกันดีกว่า
take a closer look at เพื่อเปลี่ยนเข้าสู่การวิเคราะห์ที่ลึกขึ้น
take a closer look at หมายถึงตรวจสอบบางสิ่งอย่างระมัดระวังหรือมีรายละเอียดมากขึ้น สิ่งที่ตามหลัง at อาจเป็นสิ่งที่จับต้องได้ เช่น รูปภาพ หรือสิ่งที่เป็นนามธรรม เช่น แนวคิดหรือปัญหา เมื่อใช้กับ Let's ผู้พูดจะชวนผู้ฟังให้สำรวจหัวข้อนั้นด้วยกัน ในการอธิบาย วลีนี้มักใช้เป็นคำเชื่อมจากการตั้งคำถามไปสู่การวิเคราะห์คำถามนั้น
แบบฝึกหัด
เติมคำชวนด้วยวลีเป้าหมาย take a closer look at: Let's ____ the evidence.
ดูคำตอบ
take a closer look at
How many times must we ... to make ...?:ถามจำนวนครั้งที่ต้องทำซ้ำเพื่อให้ได้ผลลัพธ์
How many times ใช้ถามจำนวนครั้งที่ทำซ้ำ ในโครงสร้าง How many times must we + คำกริยารูปพื้นฐาน ... to + คำกริยารูปพื้นฐาน ...? คำว่า must แสดงว่าจำเป็นต้องทำการกระทำนั้น และอนุประโยคที่ขึ้นต้นด้วย to บอกผลลัพธ์เป้าหมาย ในที่นี้ add 2 together หมายถึงการเพิ่ม 2 เข้าไปในผลบวกซ้ำ ๆ จนได้ผลรวมเป็น 10 คำถามนี้เปลี่ยน 10 ÷ 2 ให้เป็นการถามว่า “ต้องใช้เลข 2 กี่ตัวจึงจะได้ 10” คำตอบคือห้าตัว
แบบฝึกหัด
เติมวลีที่ใช้ถามจำนวนครั้งที่จำเป็นลงในคำถาม: ____ must we add 4 together to make 20?
ดูคำตอบ
How many times
Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it in the following way. การใช้คำ
1:26การหารด้วยตัวเลขใดๆ โดยพื้นฐานแล้วคือส่วนกลับของการคูณด้วยตัวเลขนั้นในลักษณะต่อไปนี้
the reverse of multiplying by it / in the following way: การแบ่งโครงสร้าง
the reverse of + คำนามหรือรูป -ing ใช้เรียกกระบวนการที่ย้อนผลของอีกกระบวนการหนึ่ง หรือดำเนินไปในทิศทางตรงข้าม ในโครงสร้าง A is the reverse of B จะนำเสนอ A และ B ว่าเป็นกระบวนการที่ย้อนกัน ที่นี่ it อ้างถึง a number โดยอธิบายว่าการหารด้วยจำนวนนั้นเป็นกระบวนการย้อนกลับของการคูณด้วยจำนวนนั้น คำว่า in ตัวสุดท้ายในช่วงที่เน้นไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ the reverse of แต่เป็นจุดเริ่มต้นของ in the following way ซึ่งส่งสัญญาณว่าจะมีคำอธิบายหรือการสาธิตตามมา
แบบฝึกหัด
ประโยคใดแสดงอย่างชัดเจนว่ากระบวนการหนึ่งย้อนผลของอีกกระบวนการหนึ่ง?
- Unzipping a jacket is similar to zipping it up.
- Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.
- Unzipping a jacket happens after zipping it up.
ดูคำตอบ
Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.
If we multiply any number by a given number x, การใช้คำ
1:32ถ้าเราคูณตัวเลขใดๆ ด้วยตัวเลข x ที่กำหนด
a given number x: จำนวน x ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
ในที่นี้ given เป็นคำคุณศัพท์ หมายถึง “ที่ระบุหรือเลือกไว้ล่วงหน้า” ใน a given number x ตัว x แทนจำนวนที่ถือว่ากำหนดไว้แล้ว แม้จะไม่ได้เขียนค่าจริงของมันไว้ก็ตาม ในงานเขียนด้านคณิตศาสตร์และเทคนิค given มักใช้ชี้ข้อมูลที่โจทย์กำหนดไว้แล้ว ไม่ได้หมายความว่ามีคนมอบจำนวนนั้นให้เป็นของขวัญ
แบบฝึกหัด
คำว่า given ในคำสั่ง “Choose a given value for x” หมายถึงอะไร?
- ได้รับเป็นของขวัญ
- เปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา
- ระบุหรือเลือกไว้ล่วงหน้า
ดูคำตอบ
ระบุหรือเลือกไว้ล่วงหน้า
we can ask if there's a new number we can multiply by afterwards
1:35เราสามารถถามได้ว่ามีตัวเลขใหม่ที่เราสามารถคูณในภายหลังได้หรือไม่
get back to where we started: กลับสู่สภาพเดิม
ใน get back to where we started คำว่า get back to หมายถึง “กลับไปยัง” และ where we started หมายถึงจุดหรือสภาพเดิมในตอนเริ่มต้น ในประโยคนี้เป็นการใช้เชิงเปรียบเทียบ: หลังจากคูณอีกครั้ง ค่าจะกลับเป็นค่าเดิมก่อนทำการคำนวณ สำนวนเดียวกันนี้ใช้พูดถึงการคืนสู่สภาพก่อนหน้าในแผน การสนทนา หรือกระบวนการได้ โดยไม่จำเป็นต้องมีการเคลื่อนที่จริง
แบบฝึกหัด
ประโยคใดหมายความว่าการเลิกทำการแก้ไขช่วยให้กลับสู่สภาพเดิม?
- Undoing the update forced us to start from scratch.
- Undoing the update got us back to where we started.
- Undoing the update moved us to a new stage.
ดูคำตอบ
Undoing the update got us back to where we started.
the new number is called the multiplicative inverse of x. การใช้คำ
1:43ตัวเลขใหม่จะเรียกว่าตัวผกผันการคูณของ x
อินเวอร์สการคูณของ x
ในคณิตศาสตร์ อินเวอร์สการคูณของ x คือจำนวนที่เมื่อนำไปคูณกับ x แล้วได้ 1 สำหรับ x ที่ไม่ใช่ศูนย์ ค่านี้คือ 1/x เช่น อินเวอร์สการคูณของ 5 คือ 1/5 คำว่า of x ระบุว่าจำนวนตั้งต้นคือ x ศูนย์ไม่มีอินเวอร์สการคูณ เพราะไม่มีจำนวนใดคูณกับศูนย์แล้วได้ 1
แบบฝึกหัด
จำนวนใดเป็นอินเวอร์สการคูณของ 5
- 0
- -5
- 1/5
ดูคำตอบ
1/5
ใช้ As you might notice, เพื่อนำไปสู่การสังเกตอย่างนุ่มนวล
As you might notice, เป็นวลีเปิดประโยคที่นำความสนใจของผู้ฟังไปยังรูปแบบหรือลักษณะที่สังเกตได้จากข้อมูลซึ่งแสดงไปแล้ว วลีนี้เชื่อมหลักฐานหรือตัวอย่างก่อนหน้ากับความคิดเห็นถัดไปของผู้พูด might ช่วยลดความหนักแน่นของข้อสันนิษฐานว่าผู้ฟังสังเกตเห็นแล้ว ผู้ฟังอาจเห็นแล้วก็ได้ แต่ผู้พูดไม่ได้ยืนยันว่าทุกคนต้องเห็น จึงฟังนุ่มนวลกว่าคำสั่งตรง ๆ ที่เริ่มด้วย Notice that
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยวลีภาษาอังกฤษสี่คำที่นำผู้ฟังไปสู่ลักษณะที่สังเกตได้อย่างนุ่มนวล: ____, both bars reach the same height.
ดูคำตอบ
As you might notice
the product of any number and its multiplicative inverse is always 1. การใช้คำ
2:05ผลคูณของตัวเลขใดๆ และตัวผกผันการคูณของตัวเลขนั้นจะเป็น 1 เสมอ
ผลคูณของ A และ B
ในคณิตศาสตร์ the product of A and B หมายถึงผลที่ได้จากการนำ A มาคูณกับ B ในที่นี้ A คือ any number และ B คือ its multiplicative inverse คำว่า product เป็นคำนามทางคณิตศาสตร์ที่หมายถึง “ผลคูณ” ไม่ใช่ความหมายทั่วไปว่า “สินค้า” หรือ “ผลิตภัณฑ์” นามวลีที่เน้นไว้ทั้งหมดเป็นประธานของประโยค ส่วน is always 1 ที่ตามมาระบุค่าของผลคูณนั้น
แบบฝึกหัด
เติมคำนามที่ใช้เรียกผลลัพธ์ของการคูณในประโยคคณิตศาสตร์นี้: The ____ of 4 and 3 is 12.
ดูคำตอบ
product
ถ้าเราต้องการ… เราจำเป็นต้อง…
โครงสร้าง If we want to + คำกริยา, we need to + คำกริยา เชื่อมเป้าหมายเข้ากับการกระทำที่จำเป็น อนุประโยคที่มี if ระบุเป้าหมาย ส่วนประโยคหลักที่มี need to ระบุสิ่งที่ต้องเกิดขึ้นหรือสิ่งที่ต้องทำเพื่อไปสู่เป้าหมายนั้น ในประโยคนี้ โครงสร้างดังกล่าวใช้วางขั้นตอนหนึ่งของการให้เหตุผล กล่าวคือ หากจะพิจารณาการหารด้วยศูนย์ ผู้พูดต้องหาอินเวอร์สการคูณของศูนย์ก่อน โครงสร้างนี้ระบุข้อกำหนด แต่ไม่ได้รับประกันว่าจะทำตามข้อกำหนดนั้นได้จริง
แบบฝึกหัด
เติมโครงสร้างที่เชื่อมเป้าหมายกับการกระทำที่จำเป็นให้สมบูรณ์: If we want to protect our passwords, we ____ keep them private.
ดูคำตอบ
need to
This would have to be such a number that multiplying it by zero would give 1. ไวยากรณ์
2:19นี่จะต้องเป็นตัวเลขที่เมื่อคูณด้วยศูนย์แล้วจะได้ 1
such a number that... สำหรับบอกคุณสมบัติที่จำเป็น
ในที่นี้ such a number that... หมายถึงจำนวนชนิดที่ต้องการ โดยบอกคุณสมบัติของจำนวนนั้นไว้ด้านหลัง โครงสร้างคือ such + a/an + คำนามนับได้เอกพจน์ + อนุประโยค that ส่วน multiplying it by zero would give 1 บอกว่าจำนวนสมมตินั้นต้องมีคุณสมบัติอะไร แม้ such...that มักใช้บอกผลลัพธ์ แต่ในประโยคนี้ใช้กำหนดเงื่อนไขในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ให้เข้าใจอนุประโยค that ว่าเป็นเกณฑ์ที่จำนวนนั้นต้องเป็นไปตาม
แบบฝึกหัด
เติมคำอธิบายทางคณิตศาสตร์โดยใช้รูปแบบ such a number that ให้ตรงตามบทเรียน: We need ____ doubling it gives twelve.
ดูคำตอบ
such a number that
But because anything multiplied by zero is still zero, ไวยากรณ์
2:25แต่เนื่องจากอะไรก็ตามที่คูณด้วยศูนย์ยังคงเป็นศูนย์
anything multiplied by zero ในรูปอนุประโยคสัมพันธ์แบบถูกกระทำที่ย่อแล้ว
multiplied by zero เป็นวลีรูปกริยาช่องที่สามที่วางไว้หลัง anything และมีความหมายแบบถูกกระทำ กล่าวคือ anything เป็นสิ่งที่ได้รับการกระทำ รูปเต็มคือ anything that is multiplied by zero นี่คืออนุประโยคสัมพันธ์แบบถูกกระทำที่ย่อแล้ว โดยตัด that is ออกแต่คง multiplied ไว้ การขยายคำนามแบบสั้นและวางไว้ด้านหลังเช่นนี้พบได้บ่อยในงานเขียนทางคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และงานอธิบายอื่น ๆ
แบบฝึกหัด
อนุประโยคสัมพันธ์แบบเต็มข้อใดมีความหมายเหมือน anything multiplied by zero
- anything that has multiplied zero
- anything that multiplies zero
- anything that is multiplied by zero
ดูคำตอบ
anything that is multiplied by zero
has no + คำนาม ใน zero has no multiplicative inverse
ใน zero has no multiplicative inverse โครงสร้าง has no + คำนาม นำเสนอสิ่งที่ขาดไปว่าเป็นสิ่งที่ประธานไม่มี ประโยคนี้กล่าวถึงข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ว่า ไม่มีจำนวนใดที่คูณกับศูนย์แล้วได้ 1 ใช้ ประธาน + has/have no + คำนาม เพื่อบอกโดยตรงว่าสิ่งหนึ่งไม่มีวัตถุ ผลลัพธ์ หรือคุณสมบัติบางอย่าง no ทำให้กลุ่มคำนามเป็นปฏิเสธอยู่แล้ว จึงไม่ต้องเติม not
แบบฝึกหัด
เติมวลี has no + คำนาม ที่ตรงกับความหมายว่า รูปสามเหลี่ยมไม่มีด้านที่สี่: In ordinary geometry, a triangle ____.
ดูคำตอบ
has no fourth side
Does that really settle things though? เพื่อเปลี่ยนไปสู่ข้อสงสัย
settle things หมายถึงแก้ประเด็นให้จบอย่างสมบูรณ์ คำถามนี้ไม่ได้ใช้เพื่อขอข้อมูลเท่านั้น แต่ really ใช้ตั้งข้อสงสัยว่าข้อสรุปก่อนหน้านั้นเพียงพอหรือไม่ การวาง though ไว้ท้ายประโยคเพิ่มความขัดแย้งที่คล้ายกับ “ถึงอย่างนั้น” หรือ “แต่” เมื่อนำมารวมกัน คำถามนี้จึงเปิดการอภิปรายขึ้นอีกครั้ง และพาคำอธิบายจากคำตอบที่ดูเหมือนจะได้ข้อสรุปแล้วไปสู่ประเด็นที่ลึกกว่า
แบบฝึกหัด
ในการอภิปราย ผู้พูดกำลังทำอะไรเมื่อถามว่า Does that really settle things though?
- ยืนยันว่าการอภิปรายจบลงอย่างแน่นอนแล้ว
- ขอให้ใครบางคนจัดสิ่งของหลายชิ้นให้เป็นระเบียบ
- ตั้งข้อสงสัยว่าข้อสรุปก่อนหน้านี้แก้ประเด็นได้ครบถ้วนหรือไม่
ดูคำตอบ
ตั้งข้อสงสัยว่าข้อสรุปก่อนหน้านี้แก้ประเด็นได้ครบถ้วนหรือไม่
After all, mathematicians have broken rules before. ลำดับความ
2:37ท้ายที่สุดแล้ว นักคณิตศาสตร์เคยฝ่าฝืนกฎมาก่อน
After all ในฐานะคำเชื่อมที่นำเสนอเหตุผลสนับสนุน
After all ใช้นำเสนอข้อเท็จจริงที่สนับสนุนหรือเสริมความหนักแน่นให้กับความคิดที่เพิ่งกล่าวไป โดยเตือนให้ผู้ฟังนึกถึงเหตุผลที่น่าจะยอมรับได้ และไม่ได้แสดงลำดับเวลา ในประโยคนี้ คำดังกล่าวชี้ให้ผู้ฟังเชื่อมโยงการที่นักคณิตศาสตร์เคยฝ่าฝืนกฎกับข้อกล่าวอ้างหรือคำถามก่อนหน้า รูปแบบการจัดข้อมูลที่พบบ่อยคือ ข้อกล่าวอ้างหรือข้อเสนอ + after all + ข้อเท็จจริงสนับสนุน
แบบฝึกหัด
ประโยคใดใช้ after all เพื่อนำเสนอข้อเท็จจริงที่สนับสนุนข้อความก่อนหน้า
- We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.
- After all the meetings, we finally made a decision.
- We cleaned the room after all.
ดูคำตอบ
We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.
for a long time there was no such thing as taking the square root of negative numbers. โน้ต
2:41เป็นเวลานานแล้วที่ไม่มีสิ่งที่เรียกว่าการถอดรากที่สองของตัวเลขติดลบ
There was no such thing as ... เพื่อบอกว่าสิ่งหนึ่งยังไม่มีในอดีต
There was no such thing as ... บอกว่าวัตถุ การปฏิบัติ หรือแนวคิดประเภทหนึ่งไม่มีอยู่ ใช้งานไม่ได้ หรือยังไม่ได้รับการยอมรับ ณ ช่วงเวลาหนึ่งในอดีต โครงสร้างที่นำไปใช้ต่อได้คือ there was no such thing as + คำนามหรือรูป -ing ในประโยคนี้ taking the square root of negative numbers เป็นวลี -ing ที่ใช้เรียกการปฏิบัติหรือแนวคิดทางคณิตศาสตร์ หากพูดถึงปัจจุบัน ให้ใช้ there is no such thing as ...
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยโครงสร้างอดีต no such thing as: In 1900, ____ online banking.
ดูคำตอบ
there was no such thing as
taking the square root of negative numbers: การหารากที่สองของจำนวนลบ
take the square root of X เป็นสำนวนมาตรฐานทางคณิตศาสตร์ หมายถึงการหาจำนวนที่เมื่อคูณกับตัวเองแล้วได้ X ในที่นี้ใช้ taking เพราะการคำนวณทั้งหมดอยู่หลัง no such thing as และถูกกล่าวถึงในฐานะกิจกรรมหรือแนวคิด ในสำนวนคณิตศาสตร์นี้ take ไม่ได้หมายถึงการพาหรือเอาสิ่งของออกไปจริง ๆ
แบบฝึกหัด
เติมคำสั่งให้สมบูรณ์โดยใช้โครงสร้าง take + the square root + of: To find the side length, ____ 81.
ดูคำตอบ
take the square root of
But then mathematicians defined the square root of -1 as a new number called i, วลี
2:47แต่แล้วนักคณิตศาสตร์ก็ได้นิยามรากที่สองของ -1 ว่าเป็นตัวเลขใหม่ที่เรียกว่า i
defined X as Y ... a new number called i: การนิยามและการตั้งชื่อ
Define X as Y หมายถึงการกำหนดความหมายหรือสถานะที่ชัดเจนของ X ตามที่ Y ระบุ ในประโยคนี้ X คือ the square root of -1 และ Y คือ a new number ดังนั้นโครงสร้างนี้จึงใช้เสนอคำนิยามทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ Called i เป็นอนุประโยคกรรมวาจกแบบย่อที่ขยาย a new number โดยรูปเต็มคือ a new number that is called i ทั้งสองส่วนร่วมกันบอกทั้งคำนิยามและชื่อของจำนวนนั้น
แบบฝึกหัด
เติมประโยคที่มีทั้งคำนิยามและชื่อโดยใช้ define X as Y และ called: We ____ a polygon with three equal sides ____ a special triangle ____ an equilateral triangle.
ดูคำตอบ
define · as · called
opening up a whole new mathematical world of complex numbers. โน้ต
2:53เป็นการเปิดโลกใหม่ทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงซ้อน
open up a whole new world of: เปิดโลกแห่งความเป็นไปได้ใหม่ ๆ
ในที่นี้ opening up หมายถึงการทำให้ผู้คนเข้าถึงความเป็นไปได้ใหม่ ๆ หรือองค์ความรู้แขนงใหม่ ไม่ได้หมายถึงการเปิดสิ่งของจริง ๆ ส่วน a whole new mathematical world of... ช่วยเน้นความหมายนี้โดยเปรียบแขนงใหม่นั้นเป็นโลกที่รอให้สำรวจ รูปแบบที่นำไปใช้ได้คือ open up a whole new world of + คำนาม ใช้บอกว่าบางสิ่งทำให้ผู้คนเข้าถึงความเป็นไปได้ใหม่ ๆ มากมายในด้านนั้น
แบบฝึกหัด
ประโยคใดใช้ opened up a whole new world of เพื่อหมายถึงการมีความเป็นไปได้ใหม่ ๆ มากมายเกิดขึ้น?
- Amir opened the kitchen window.
- Amir opened up a box of old photographs.
- Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.
ดูคำตอบ
Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.
complex numbers: ศัพท์คณิตศาสตร์สำหรับจำนวนเชิงซ้อน
complex numbers เป็นศัพท์คณิตศาสตร์มาตรฐานสำหรับจำนวนที่เขียนในรูป a + bi ได้ โดย a และ b เป็นจำนวนจริง และ i² = -1 ตัวอย่างเช่น 3 + 2i เป็นจำนวนเชิงซ้อน ในที่นี้ complex เป็นส่วนหนึ่งของศัพท์เฉพาะที่ตายตัว ไม่ได้หมายถึงเพียงว่าเข้าใจยาก ให้เข้าใจ complex number เป็นชื่อทางคณิตศาสตร์หนึ่งคำที่สมบูรณ์
แบบฝึกหัด
เติมศัพท์คณิตศาสตร์มาตรฐานสำหรับจำนวนในรูป a + bi ลงในประโยค: Numbers such as 3 + 2i are called ____.
ดูคำตอบ
complex numbers
make up a new rule: คิดกฎใหม่ขึ้นมา
ใน make up a new rule คำว่า make up หมายถึงคิดหรือสร้างกฎที่ไม่เคยมีมาก่อน ตรงนี้เป็นกริยาวลี จึงไม่ควรแยกตีความ make กับ up ตามความหมายตรงตัว กรรม a new rule บอกว่าสิ่งที่คิดขึ้นมาคืออะไร การใช้นี้พบบ่อยเมื่อสร้างกฎสำหรับเกม สถานการณ์สมมติ หรือวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหน้า
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยสำนวนที่เน้นไว้ซึ่งหมายถึง “คิดกฎใหม่ขึ้นมา”: Before our new game begins, let's ____.
ดูคำตอบ
make up a new rule
ใช้ Say that ... เพื่อเสนอข้อสมมติชั่วคราว
Say that ... ที่ต้นประโยคนี้หมายถึง “สมมติว่า” หรือ “ให้ถือว่า” ไม่ได้เป็นการขอให้ใครพูดถ้อยคำนั้นออกเสียง โครงสร้างนี้ตั้งคำนิยามหรือเงื่อนไขชั่วคราว แล้วชวนผู้ฟังสำรวจผลที่จะตามมา มักพบในการอธิบายแบบพูดและการทดลองทางความคิด
แบบฝึกหัด
ประโยคใดใช้ Say เพื่อเสนอข้อสมมติชั่วคราว
- Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?
- Say the number five clearly.
- Lena said that each box was heavy.
ดูคำตอบ
Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?
see what happens: สังเกตผลลัพธ์ที่ยังไม่รู้
ในประโยคนี้ see what happens หมายถึง “ลองทำบางอย่างแล้วสังเกตผลลัพธ์” คำว่า see ในที่นี้หมายถึง “หาคำตอบด้วยการสังเกต” ไม่ได้หมายถึงเพียง “มองด้วยตา” what happens เป็นคำถามทางอ้อมที่ตามหลัง see ทำให้ผลลัพธ์ยังเปิดกว้างอยู่ ผู้พูดยังไม่ได้บอกว่ารู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้น
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยสำนวนสามคำจากบทเรียนที่หมายถึง “สังเกตผลลัพธ์ที่ยังไม่รู้”: Let's change one setting and ____.
ดูคำตอบ
see what happens
imagining we don't know anything about infinity already. ไวยากรณ์
3:08ลองจินตนาการว่าเรายังไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับอนันต์
imagining we don't know... เพื่อเพิ่มข้อสมมติ
Imagining we don't know anything about infinity already เป็นอนุประโยค present participle ที่เพิ่มข้อสมมติซึ่งใช้ระหว่างการกระทำหลัก ผู้พูดขอให้เราวางความรู้เดิมไว้ชั่วคราวเพื่อทำการทดลองทางความคิด ประธานที่ละไว้ของ imagining คือ we ซึ่งเป็นคนกลุ่มเดียวกับที่ทำการกระทำหลักในบริบท ในประโยคเต็มสามารถขยายความได้เป็น while we imagine that we don't know anything about infinity already
แบบฝึกหัด
ประโยคใดแสดงชัดเจนว่าประธานของประโยคหลักคือผู้ที่ทำการ imagining ด้วย
- The problem appeared on the screen, imagining that we knew nothing about the usual solution.
- Imagining that we knew nothing, the answer surprised us.
- We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.
ดูคำตอบ
We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.
Based on the definition of: ระบุนิยามที่ใช้เป็นฐานของข้อสรุป
Based on the definition of ... หมายความว่าข้อสรุปที่ตามมาเกิดจากความหมายของคำศัพท์ตามนิยาม โดยวลีนี้จะระบุนิยามที่ใช้เป็นฐานของการให้เหตุผลก่อน โครงสร้างคือ Based on the definition of + นามวลี แล้วจึงตามด้วยข้อสรุป ในคำบรรยาย นิยามของอินเวอร์สการคูณเป็นฐานสำหรับขั้นตอนต่อไปของผู้พูด
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยวลีเป้าหมายที่หมายถึง “ใช้นิยามเป็นฐาน”: ____ a square, we know that it has four equal sides.
ดูคำตอบ
Based on the definition of
must be equal to: แสดงผลลัพธ์ที่จำเป็นตามตรรกะ
ในที่นี้ must แสดงความจำเป็นตามตรรกะ ไม่ใช่คำสั่งหรือหน้าที่ must be equal to 1 หมายความว่าผู้พูดเสนอว่า 1 เป็นผลลัพธ์เดียวที่นิยามหรือการให้เหตุผลยอมให้เป็นไปได้ โครงสร้าง ประธาน + must be equal to + ค่า พบได้บ่อยในคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ โดยแสดงความเท่ากันที่ได้จากการอนุมาน แต่ตัววลีเองไม่ได้พิสูจน์ว่าการให้เหตุผลนั้นถูกต้อง
แบบฝึกหัด
ประโยคใดสื่อชัดที่สุดว่ากฎทำให้ผลลัพธ์นั้นจำเป็นตามตรรกะ
- The result must be equal to ten.
- The result should be equal to ten.
- The result is equal to ten.
ดูคำตอบ
The result must be equal to ten.
That means 0 * infinity + 0 * infinity should equal 2. ไวยากรณ์
3:18นั่นหมายความว่า 0 * อนันต์ + 0 * อนันต์ควรเท่ากับ 2
should equal 2: ผลลัพธ์ที่คาดไว้ตามเหตุผล
ใน “should equal 2” คำว่า should แสดงผลลัพธ์ที่คาดไว้จากสมมติฐานหรือการคำนวณปัจจุบัน ความหมายคือ “ถ้าการให้เหตุผลจนถึงตอนนี้ถูกต้อง ผลลัพธ์ก็คือ 2” should ในที่นี้แสดงความคาดหมายเชิงตรรกะ ไม่ใช่คำแนะนำหรือหน้าที่ โครงสร้างคือ should + กริยารูปพื้นฐาน จึงใช้ should equal ไม่ใช่ should to equal
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วย should equal เพื่อแสดงผลลัพธ์ที่คาดไว้: After counting both teams' points, the total ____ thirty.
ดูคำตอบ
should equal
by the distributive property: การอ้างกฎที่ใช้เป็นเหตุผล
ใน “by the distributive property” คำว่า by หมายถึง “ตาม” หรือ “โดยอาศัย” วลีนี้ระบุกฎทางคณิตศาสตร์ที่ใช้เป็นเหตุผลรองรับขั้นตอนถัดไป เมื่อวาง by + กฎ/ทฤษฎีบท/คำนิยาม ไว้ต้นประโยคหรือขั้นตอน จะเป็นการจัดลำดับคำอธิบายโดยให้เหตุผลก่อนบอกผลลัพธ์
แบบฝึกหัด
ใช้ by + ชื่อกฎ เพื่อเติมคำอธิบายให้สมบูรณ์: ____, 3(x + 2) = 3x + 6.
ดูคำตอบ
By the distributive property
the left side of the equation can be rearranged to 0 + 0 * infinity. ไวยากรณ์
3:26ด้านซ้ายของสมการสามารถจัดเรียงใหม่เป็น (0 + 0) * อนันต์
can be rearranged to + รูปที่ได้หลังจัดใหม่
can be rearranged to มีโครงสร้างเป็น modal can + รูปถูกกระทำ be rearranged + to โดยนิพจน์เป็นสิ่งที่ถูกเปลี่ยน จึงไม่จำเป็นต้องระบุว่าใครเป็นผู้ทำการคำนวณทางพีชคณิต to ใช้นำหน้ารูปที่ได้หลังจากจัดใหม่ ในทางคณิตศาสตร์ โดยทั่วไปหมายถึงการเขียนนิพจน์ใหม่ให้อยู่ในรูปที่สมมูลกัน ไม่ใช่การเปลี่ยนค่าของนิพจน์
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วย can + รูปถูกกระทำของ rearrange + to: The equation ____ x = 6.
ดูคำตอบ
can be rearranged to
reduces down to + ผลลัพธ์ที่ย่อให้ง่ายขึ้น
reduces down to หมายถึง “กลายเป็นรูปที่ง่ายขึ้นหลังจากย่อหรือจัดรูป” ประธานคือนิพจน์เดิม และ to ใช้นำหน้าผลลัพธ์ที่ง่ายกว่า ในประโยคนี้ that อ้างกลับไปถึงนิพจน์ที่กำลังถูกย่อ
แบบฝึกหัด
ใช้วลีแบบภาษาพูดที่ตรงกับความหมายว่า “ย่อได้เป็น” เติมประโยค: After combining like terms, the expression ____ 3x.
ดูคำตอบ
reduces down to
Unfortunately, we've already defined this as equal to 1,
3:39น่าเสียดายที่เราได้กำหนดให้มันเท่ากับ 1 แล้ว
while the other side of the equation is still telling us it's equal to 2. ลำดับความ
3:43ในขณะที่อีกด้านหนึ่งของสมการยังคงบอกเราว่ามันเท่ากับ 2
while the other side of the equation...: นำเสนอผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกัน
ในที่นี้ while หมายถึง “ในขณะที่” หรือ “แต่ในทางตรงกันข้าม” คล้าย whereas หรือ by contrast ไม่ได้หมายถึง “ระหว่างเวลาที่” คำนี้นำข้อมูลจากอีกข้างของสมการมาเทียบกับผลที่พูดถึงก่อนหน้า ทำให้เห็นว่าข้อมูลขัดแย้งกัน การวางผลลัพธ์ที่สองไว้ในอนุประโยค while ช่วยให้สังเกตความไม่สอดคล้องได้ง่าย is still telling us เป็นการทำให้สมการดูเหมือนพูดได้ หมายความว่าสมการยังคงแสดงหรือบ่งชี้ว่าค่านั้นเท่ากับ 2
แบบฝึกหัด
ประโยคใดใช้ while เพื่อเปรียบเทียบผลการรายงานสองอย่างที่ขัดแย้งกัน
- We waited inside while the storm passed.
- While the printer was running, I answered an email.
- The first report says the road is open, while the second says it is closed.
ดูคำตอบ
The first report says the road is open, while the second says it is closed.
Oddly enough: ส่งสัญญาณว่าจะมีข้อมูลที่คาดไม่ถึง
Oddly enough เตรียมให้ผู้ฟังรับรู้ว่าข้อมูลต่อไปนี้น่าประหลาดใจหรือไม่เป็นไปตามที่คาด ในประโยคนี้ วลีดังกล่าวบอกให้เราทบทวนความคิดแรกที่ว่าผลลัพธ์นั้นต้องผิดแน่ ๆ วลีนี้แสดงความคิดเห็นต่อข้อความทั้งหมดที่ตามมา enough ในที่นี้ไม่ได้หมายความว่าสิ่งหนึ่ง “แปลกมากพอ” แต่คำทั้งสองทำงานร่วมกันเป็นสำนวนตายตัว
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยสำนวนตายตัวสองคำที่สร้างจาก odd และใช้บอกว่าผลลัพธ์น่าประหลาดใจ: ____, the old battery lasted longer than the new one.
ดูคำตอบ
Oddly enough
not necessarily wrong: ไม่ได้มีความหมายเหมือน definitely right
ใน not necessarily wrong คำว่า not ไปปฏิเสธ necessarily ผู้พูดปฏิเสธความคิดที่ว่าสิ่งนั้นต้องผิดแน่ ๆ จึงยังเปิดไว้ทั้งสองทาง คืออาจผิดหรืออาจไม่ผิด นี่เป็นการแก้ความเข้าใจอย่างระมัดระวัง ไม่ใช่การยืนยันว่าสิ่งนั้นถูกแน่นอน ใช้โครงสร้าง not necessarily + คำคุณศัพท์ เมื่อต้องการตั้งข้อสงสัยกับคำตัดสินแบบเด็ดขาดโดยไม่ยืนยันข้อสรุปตรงข้าม
แบบฝึกหัด
“The plan is not necessarily wrong” หมายความว่าอย่างไร
- แผนนั้นผิดแน่นอน
- แผนนั้นถูกแน่นอน
- แผนนั้นอาจผิดหรืออาจไม่ผิดก็ได้
ดูคำตอบ
แผนนั้นอาจผิดหรืออาจไม่ผิดก็ได้
It's just not true in our normal world of numbers. ลำดับความ
3:54มันแค่ไม่เป็นความจริงในโลกแห่งตัวเลขปกติของเรา
just not true in our normal world of numbers: จำกัดขอบเขตของคำตัดสิน
วลี in our normal world of numbers เชื่อมกับ not true และบอกขอบเขตที่คำตัดสินนี้ใช้ได้ ผู้พูดปฏิเสธข้ออ้างภายในระบบตัวเลขที่คุ้นเคยซึ่งกำลังกล่าวถึง ไม่ได้ประกาศว่าข้ออ้างนั้นเป็นไปไม่ได้ในทุกระบบที่อาจจินตนาการได้ ในที่นี้ just หมายถึง simply และใช้เน้น not true ไม่ได้หมายถึง only ส่วนที่จำกัดขอบเขตคือวลีที่ขึ้นต้นด้วย in รูปแบบ “คำตัดสิน + ขอบเขต” นี้ช่วยจัดลำดับข้อโต้แย้งด้วยการบอกทั้งข้อสรุปและขอบเขตที่ข้อสรุปนั้นใช้ได้
แบบฝึกหัด
ประโยคใดจำกัดข้ออ้างไว้ในขอบเขตหนึ่ง โดยไม่ได้บอกว่าข้ออ้างนั้นผิดในทุกที่
- The rule is never true in any system.
- Ordinary arithmetic is not a true rule.
- The rule is not true in ordinary arithmetic.
ดูคำตอบ
The rule is not true in ordinary arithmetic.
There's still a way it could be mathematically valid การใช้คำ
3:58ยังมีวิธีที่ทำให้มันถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์ได้
mathematically valid: ใช้ได้ตามหลักคณิตศาสตร์
ในประโยคนี้ mathematically valid หมายถึง “ยอมรับได้หรือเป็นไปได้ตามกฎทางคณิตศาสตร์” mathematically เป็นคำวิเศษณ์ที่บอกว่าใช้มาตรฐานใดในการตัดสิน valid ในที่นี้ valid หมายถึงแนวคิดนั้นสอดคล้องกับนิยามและกฎที่เลือกใช้ จึงมีความหมายว่า “สมเหตุสมผลตามหลักตรรกะ” ไม่ใช่ “ยังไม่หมดอายุ” แบบที่ใช้กับตั๋วหรือเอกสาร
แบบฝึกหัด
เติมวลีภาษาอังกฤษสองคำที่หมายถึง “ยอมรับได้ตามกฎทางคณิตศาสตร์” ให้สมบูรณ์: This unusual proof is ____.
ดูคำตอบ
mathematically valid
if 1, 2, and every other number were equal to zero. ไวยากรณ์
4:00หาก 1, 2 และตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์
if ... were equal to zero: การตั้งเงื่อนไขสมมติ
if ใช้เริ่มเงื่อนไขที่จินตนาการขึ้น กล่าวคือ ให้สมมติว่า 1, 2 และจำนวนอื่นทั้งหมดมีค่าเป็นศูนย์ อนุประโยคนี้ไม่ได้บอกว่านี่เป็นข้อเท็จจริง แต่สร้างสถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็นไปตามปกติเพื่อใช้พิจารณาข้อความอีกข้อความหนึ่ง โครงสร้างคือ if + ประธาน + กริยารูปอดีต were equal to หมายถึง “มีค่าเท่ากับ” เนื่องจากประธานกล่าวถึงจำนวนหลายจำนวน were จึงสอดคล้องกับประธานพหูพจน์ด้วย ดังนั้นความหมายเชิงสมมติจึงมาจาก if ทั้งอนุประโยคและบริบท ไม่ใช่จาก were เพียงคำเดียว
แบบฝึกหัด
ประโยคใดนำเสนอเงื่อนไขที่ไม่ใช่ข้อเท็จจริงด้วย if + รูปอดีต และแสดงผลลัพธ์ด้วย would
- Because the map was accurate, we reached the hotel.
- If this map is accurate, we can follow it.
- If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.
ดูคำตอบ
If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.
But having infinity equal to zero is ultimately not all that useful to mathematicians or anyone else. การใช้คำ
4:05แต่การให้ค่าอนันต์เท่ากับศูนย์นั้น ท้ายที่สุดแล้วไม่ได้มีประโยชน์กับนักคณิตศาสตร์หรือใครอื่นๆ มากนัก
not all that useful: การประเมินเชิงลบแบบนุ่มนวล
ใน not all that useful คำว่า all that อยู่ในโครงสร้างปฏิเสธและหมายถึง “ในระดับที่มากขนาดนั้น” ดังนั้นทั้งวลีจึงหมายถึง “ไม่ได้มีประโยชน์มากนัก” หรือ “มีประโยชน์น้อยกว่าที่คาด” โดยปกติไม่ได้หมายความว่าไร้ประโยชน์โดยสิ้นเชิง โครงสร้าง not all that + คำคุณศัพท์ช่วยให้การประเมินเชิงลบฟังนุ่มนวลขึ้น ในประโยคนี้ ผู้พูดกำลังประเมินว่าแนวคิดดังกล่าวมีคุณค่าในทางปฏิบัติจำกัด
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยวลีสี่คำจากบทเรียนนี้ที่มีความหมายว่า “มีประโยชน์น้อยกว่าที่คาด”: The extra feature looks impressive, but it is ____ for most users.
ดูคำตอบ
not all that useful
There actually is something called the Riemann sphere that involves dividing by zero by a different method, วัฒนธรรม
4:13จริงๆ แล้วมีสิ่งที่เรียกว่าทรงกลมรีมันน์ซึ่งเกี่ยวข้องกับการหารด้วยศูนย์ด้วยวิธีที่ต่างออกไป
the Riemann sphere: ชื่อเฉพาะทางคณิตศาสตร์
the Riemann sphere หรือทรงกลมรีมันน์ เป็นชื่อเฉพาะของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยระนาบเชิงซ้อนและจุดเพิ่มเติมอีกหนึ่งจุดซึ่งเรียกว่าจุดที่อนันต์ แบบจำลองนี้สามารถแสดงด้วยทรงกลมได้ จึงมีคำว่า sphere อยู่ในชื่อ ในที่นี้ คำดังกล่าวชี้ถึงกรอบทางคณิตศาสตร์อีกแบบหนึ่งสำหรับอธิบายอนันต์ ไม่ได้หมายถึงลูกบอลจริงทั่วไป และไม่ได้กล่าวว่าคณิตศาสตร์พื้นฐานอนุญาตให้หารด้วยศูนย์ได้
แบบฝึกหัด
ชื่อ the Riemann sphere ในประโยคหมายถึงอะไร
- กฎที่อนุญาตให้หารด้วยศูนย์ในคณิตศาสตร์พื้นฐาน
- ลูกบอลจริงทั่วไปที่ใช้สาธิตการหาร
- แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มจุดที่อนันต์หนึ่งจุดลงในระนาบเชิงซ้อน
ดูคำตอบ
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มจุดที่อนันต์หนึ่งจุดลงในระนาบเชิงซ้อน
a story for another day: พักหัวข้อไว้คุยภายหลัง
สำนวน a story for another day หมายถึง “หัวข้อหรือคำอธิบายที่ไว้คุยภายหลัง ไม่ใช่ตอนนี้” คำว่า story ในที่นี้ไม่ได้หมายถึงเรื่องเล่าตามตัวอักษร แต่อาจหมายถึงภูมิหลัง เหตุผล หรือรายละเอียดได้ เมื่อพูดว่า that's a story for another day ผู้พูดยอมรับว่าประเด็นย่อยนั้นน่าพูดถึง แต่หยุดไว้ชั่วคราวเพื่อดำเนินประเด็นหลักต่อ
แบบฝึกหัด
ผู้พูดต้องการพักรายละเอียดที่ไม่เร่งด่วนไว้ก่อนแล้วอธิบายประเด็นหลักต่อ ประโยคใดเป็นธรรมชาติที่สุด
- How the machine learned that trick is a story for another day.
- How the machine learned that trick is a story from the other day.
- How the machine learned that trick is a story on another date.
ดูคำตอบ
How the machine learned that trick is a story for another day.
In the meantime: ดึงความสนใจกลับมาที่ปัจจุบัน
In the meantime หมายถึงช่วงเวลาก่อนเหตุการณ์ คำอธิบาย หรือขั้นตอนถัดไปที่คาดไว้ และใช้เกริ่นถึงสิ่งที่เกิดขึ้นหรือทำได้ในช่วงเวลานั้น ในที่นี้ยังเป็นคำเชื่อมที่ช่วยจัดลำดับข้อมูลด้วย หัวข้อย่อยก่อนหน้านี้ถูกเลื่อนไว้ จึงใช้วลีนี้ดึงความสนใจกลับมาที่สิ่งสำคัญในตอนนี้ เมื่ออยู่ต้นประโยคที่สมบูรณ์ โดยทั่วไปจะตามด้วยอนุประโยคเกี่ยวกับสถานการณ์หรือการกระทำปัจจุบัน
แบบฝึกหัด
เลือกคำเชื่อมที่เหมาะสมที่สุด: The software update will finish in an hour. ____, you can back up your files.
- In the meantime
- At the same time
- For the time being
ดูคำตอบ
In the meantime
dividing by zero in the most obvious way doesn't work out so great. กริยาวลี
4:23การหารด้วยศูนย์ในวิธีที่ชัดเจนที่สุดนั้นไม่ได้ผลดีเท่าไหร่นัก
doesn't work out so great: ผลออกมาไม่ค่อยดี
ในที่นี้ work out หมายถึง “ดำเนินไปหรือจบลงด้วยผลลัพธ์แบบหนึ่ง” เมื่อประธานเป็นวิธีการหรือสถานการณ์ doesn't work out หมายความว่าผลลัพธ์ไม่สำเร็จหรือไม่น่าพอใจ Doesn't work out so great เป็นวิธีพูดแบบไม่เป็นทางการและลดความตรงลงเล็กน้อยว่า “ผลออกมาไม่ค่อยดี” จึงฟังเบากว่าการพูดตรง ๆ ว่า “fails”
แบบฝึกหัด
“The experiment didn't work out so great.” หมายความว่าอย่างไร
- การทดลองประสบความสำเร็จอย่างมาก
- การทดลองเกี่ยวข้องกับการออกกำลังกาย
- การทดลองให้ผลลัพธ์ที่น่าผิดหวัง
ดูคำตอบ
การทดลองให้ผลลัพธ์ที่น่าผิดหวัง
But that shouldn't stop us from living dangerously ไวยากรณ์
4:27แต่นั่นไม่ควรหยุดเราจากการใช้ชีวิตอย่างท้าทาย
shouldn't stop us from living dangerously: stop + คน + from + -ing
โครงสร้าง stop + คน + from + -ing หมายถึง “ขัดขวางไม่ให้ใครทำบางอย่าง” ใน shouldn't stop us from living คำว่า us คือผู้ที่ได้รับผล ส่วน from เป็นคำบุพบท ดังนั้น living จึงต้องอยู่ในรูป -ing Shouldn't stop us from ... สื่อว่าไม่ควรปล่อยให้ปัญหาหรือความล้มเหลวมาขัดขวางการกระทำต่อไป ส่วน living dangerously ในที่นี้เป็นการพูดเกินจริงแบบขำ ๆ หมายถึงให้ทดลองต่อไปอย่างกล้า ไม่ใช่คำแนะนำจริงจังให้ละเลยความปลอดภัย
แบบฝึกหัด
เติมประโยคโดยใช้โครงสร้าง stop + คน + from + -ing: One mistake shouldn't ____.
ดูคำตอบ
stop us from trying again
experimenting with breaking: โครงสร้าง experiment with + -ing
experiment with doing something หมายถึงการลองใช้วิธีหรือทำสิ่งหนึ่งเพื่อดูว่าจะเกิดอะไรขึ้น ในที่นี้ breaking mathematical rules คือการกระทำที่นำมาทดลองสำรวจ ไม่ได้หมายความว่ากฎถูกแหกไปแล้ว ในโครงสร้างนี้ with เป็นคำบุพบท ดังนั้นคำกริยาที่ตามหลังจึงใช้รูป -ing คือ experiment with breaking ไม่ใช่ experiment with break
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยรูปที่ถูกต้องของ experiment with + rearrange: The team is ____ the pieces to see what works best.
ดูคำตอบ
experimenting with rearranging
to see if we can invent fun new worlds to explore. โน้ต
4:33เพื่อดูว่าเราสามารถสร้างโลกใหม่ที่สนุกสนานให้สำรวจได้หรือไม่
to see if we can invent: การบอกจุดประสงค์
to see if we can invent บอกจุดประสงค์ของการกระทำก่อนหน้า กล่าวคือ ทำสิ่งนั้นเพื่อหาคำตอบว่าสามารถสร้างอะไรบางอย่างได้หรือไม่ ในที่นี้ see หมายถึง “หาคำตอบ” และ if หมายถึง “ว่า...ได้หรือไม่” ไม่ได้หมายถึง “ถ้า” ที่ใช้ตั้งเงื่อนไข รูปแบบที่นำไปใช้ต่อได้คือ action + to see if + subject + can + base verb หลัง can ใช้กริยารูปพื้นฐาน invent ไม่ใช้ invents หรือ to invent
แบบฝึกหัด
ใช้โครงสร้างบอกจุดประสงค์ to see if... เติมประโยคให้สมบูรณ์: Let's test the materials ____ build a stronger bridge.
ดูคำตอบ
to see if we can
fun new worlds to explore: การเปรียบสาขานามธรรมเป็นโลกที่เข้าไปสำรวจได้
ในที่นี้ fun new worlds ไม่ได้หมายถึงดาวเคราะห์หรือสถานที่จริง แต่เปรียบระบบคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นด้วยกฎใหม่ ๆ เป็นโลกที่ผู้คนสามารถเข้าไปสำรวจและศึกษาได้ ส่วน infinitive อย่าง to explore บอกว่าสามารถทำอะไรกับโลกเหล่านั้นได้ นั่นคือทดลองใช้กฎและค้นหาว่ามีความเป็นไปได้อะไรเกิดขึ้นบ้าง อุปมานี้ทำให้กิจกรรมนามธรรมดูเหมือนการผจญภัย และสื่อถึงความอยากรู้อยากเห็น การทดลอง และการค้นพบ ไม่ใช่การเดินทางจริง ๆ
แบบฝึกหัด
ในประโยคนี้ new worlds น่าจะหมายถึงอะไรมากที่สุด? A good story gives readers new worlds to explore.
- ห้องใหม่ที่ใช้เก็บหนังสือ
- ดาวเคราะห์ที่เพิ่งค้นพบ
- แนวคิดใหม่และความเป็นไปได้ในจินตนาการ
ดูคำตอบ
แนวคิดใหม่และความเป็นไปได้ในจินตนาการ
mind-bending math: คำคุณศัพท์ประสมสำหรับแนวคิดที่ท้าทายความคิด
Mind-bending เป็นคำคุณศัพท์ประสมที่หมายถึงสิ่งที่น่าประหลาดใจ แปลก หรือซับซ้อนมากจนท้าทายวิธีคิดตามปกติ ในที่นี้ mind-bending math หมายถึงคณิตศาสตร์ที่ตอนแรกอาจนึกภาพหรือทำความเข้าใจได้ยาก แต่ก็ทำให้รู้สึกทึ่งด้วย ความหมายนี้ไม่ใช่ตามตัวอักษร เพราะไม่มีสิ่งใดทำให้จิตใจงอจริง ๆ เครื่องหมายยัติภังค์เชื่อม mind กับ bending ให้ทำหน้าที่ร่วมกันเป็นคำคุณศัพท์คำเดียวที่ขยาย math
แบบฝึกหัด
เติมประโยคด้วยคำคุณศัพท์ประสมจากบทเรียนนี้: The science show presents a ____ idea that challenges everything we assume about time.
ดูคำตอบ
mind-bending