ผลคูณไขว้ (Cross products) | บทที่ 10, แก่นแท้ของพีชคณิตเชิงเส้น: บทเรียนภาษาอังกฤษ

Last video, I talked about the dot product,

ในวิดีโอที่แล้ว ฉันได้พูดถึงผลคูณจุด

showing both the standard introduction to the topic, ไวยากรณ์

โดยแสดงทั้งการแนะนำเรื่องนี้ในแบบมาตรฐาน

as well as a deeper view of how it relates to linear transformations.

และมุมมองที่ลึกซึ้งขึ้นว่ามันเกี่ยวข้องกับการแปลงเชิงเส้นอย่างไร

I'd like to do the same thing for cross products,

ฉันอยากจะทำแบบเดียวกันนี้กับผลคูณไขว้

which also have a standard introduction

ซึ่งก็มีการแนะนำในแบบมาตรฐานเช่นกัน

along with a deeper understanding in the light of linear transformations. สำนวน

พร้อมกับความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นในแง่ของการแปลงเชิงเส้น

But this time, I'm dividing it into two separate videos.

แต่คราวนี้ ฉันจะแบ่งออกเป็นสองวิดีโอแยกกัน

Here, I'll try to hit the main points that students are usually shown about the cross product. สำนวน

ในวิดีโอนี้ ฉันจะพยายามเจาะประเด็นหลักที่นักเรียนมักจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับผลคูณไขว้

And in the next video,

และในวิดีโอต่อไป

I'll be showing a view which is less commonly taught,

ฉันจะแสดงมุมมองที่มักจะไม่มีการสอนกันมากนัก

but really satisfying when you learn it.

แต่จะทำให้รู้สึกพึงพอใจมากเมื่อคุณได้เรียนรู้มัน

We'll start in two dimensions.

เราจะเริ่มต้นในสองมิติ

If you have two vectors V and W,

ถ้าคุณมีเวกเตอร์สองตัวคือ V และ W

think about the parallelogram that they span out. กริยาวลี

ให้ลองนึกถึงรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่พวกมันสร้างขึ้น

What I mean by that is that if you take a copy of V and move its tail to the tip of W, โน้ต

สิ่งที่ฉันหมายถึงก็คือ ถ้าคุณทำสำเนาของ V แล้วย้ายหางของมันไปที่ปลายของ W

and you take a copy of W and move its tail to the tip of V,

และคุณทำสำเนาของ W แล้วย้ายหางของมันไปที่ปลายของ V

the four vectors now on the screen enclose a certain parallelogram.

เวกเตอร์ทั้งสี่ที่อยู่บนหน้าจอตอนนี้จะล้อมรอบรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่ง

The cross product of V and W,

ผลคูณไขว้ของ V และ W

written with the X-shaped multiplication symbol,

ซึ่งเขียนด้วยสัญลักษณ์การคูณรูปตัว X

is the area of this parallelogram.

คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้

Well, almost. ลำดับความ

อืม เกือบจะใช่

We also need to consider orientation.

เรายังต้องพิจารณาเรื่องทิศทางด้วย

Basically, if V is on the right of W,

โดยพื้นฐานแล้ว ถ้า V อยู่ทางขวาของ W

then V cross W is positive and equal to the area of the parallelogram.

ผลคูณไขว้ของ V กับ W จะเป็นบวกและเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

But if V is on the left of W,

แต่ถ้า V อยู่ทางซ้ายของ W

then the cross product is negative,

ผลคูณไขว้จะเป็นลบ

namely the negative area of that parallelogram.

กล่าวคือ เป็นพื้นที่ที่เป็นลบของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้น

Notice, this means that order matters. วลี

ข้อสังเกต สิ่งนี้หมายความว่าลำดับมีความสำคัญ

If you swapped V and W,

ถ้าคุณสลับที่ V กับ W

instead taking W cross V,

โดยเปลี่ยนเป็นผลคูณไขว้ของ W กับ V แทน

the cross product would become the negative of whatever it was before. ไวยากรณ์

ผลคูณไขว้จะกลายเป็นค่าลบของสิ่งที่มันเคยเป็น

The way I always remember the ordering here is that when you take the cross product of the two basis vectors in order,

วิธีที่ฉันมักจะจำการเรียงลำดับนี้ก็คือ เมื่อคุณหาผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ฐานสองตัวตามลำดับ

i-hat cross j-hat, the result should be positive.

i-hat ครอส j-hat ผลลัพธ์ที่ได้ควรจะเป็นบวก

In fact, the order of your basis vectors is what defines orientation.

ในความเป็นจริง ลำดับของเวกเตอร์ฐานของคุณคือสิ่งที่กำหนดทิศทาง

So, since i-hat is on the right of j-hat,

ดังนั้น เนื่องจาก i-hat อยู่ทางขวาของ j-hat

I remember that V cross W has to be positive whenever V is on the right of W.

ฉันจึงจำไว้ว่า V ครอส W ต้องเป็นบวกเสมอเมื่อ V อยู่ทางขวาของ W

So, for example, with the vectors shown here,

ยกตัวอย่างเช่น ด้วยเวกเตอร์ที่แสดงอยู่นี้

I'll just tell you that the area of that parallelogram is seven.

ฉันจะบอกคุณเลยว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นคือเจ็ด

And since V is on the left of W,

และเนื่องจาก V อยู่ทางซ้ายของ W

the cross product should be negative.

ผลคูณไขว้จึงควรเป็นลบ

So, V cross W is negative seven.

ดังนั้น V ครอส W คือลบเจ็ด

But of course, you want to be able to compute this without someone telling you the area.

แต่แน่นอนว่า คุณต้องการที่จะสามารถคำนวณสิ่งนี้ได้โดยที่ไม่มีใครมาบอกพื้นที่แก่คุณ

This is where the determinant comes in. กริยาวลี

นี่คือจุดที่ดีเทอร์มิแนนต์เข้ามามีบทบาท

So, if you didn't see chapter five of this series, ไวยากรณ์

ดังนั้น ถ้าคุณยังไม่ได้ดูบทที่ห้าของซีรีส์นี้

where I talk about the determinant,

ซึ่งเป็นตอนที่ฉันพูดถึงดีเทอร์มิแนนต์

now would be a really good time to go take a look.

ตอนนี้จะเป็นเวลาที่ดีมากที่คุณควรจะไปดูกัน

Even if you did see it, but it was a while ago,

ถึงแม้ว่าคุณจะดูแล้ว แต่มันก็ผ่านมาสักพักแล้ว

I'd recommend taking another look just to make sure those ideas are fresh in your mind. สำนวน

ฉันขอแนะนำให้กลับไปดูอีกครั้งเพื่อทบทวนความจำให้สดใหม่

For the 2D cross product, V cross W,

สำหรับผลคูณไขว้ 2 มิติ ของ V กับ W

what you do is you write the coordinates of V as the first column of a matrix,

สิ่งที่คุณต้องทำคือเขียนพิกัดของ V ให้เป็นคอลัมน์แรกของเมทริกซ์

and you take the coordinates of W and make them the second column.

แล้วนำพิกัดของ W มาทำให้เป็นคอลัมน์ที่สอง

Then you just compute the determinant.

จากนั้นคุณก็แค่คำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์

This is because a matrix whose columns represent V and W corresponds with a linear transformation that moves the basis vectors i-hat and j-hat to V and W.

นี่เป็นเพราะเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เป็น V และ W นั้น สอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้นที่ย้ายเวกเตอร์ฐาน i-hat และ j-hat ไปที่ V และ W

The determinant is all about measuring how areas change due to a transformation.

ดีเทอร์มิแนนต์เกี่ยวข้องกับการวัดว่าพื้นที่เปลี่ยนไปอย่างไรจากการแปลง

And the prototypical area that we look at is the unit square resting on i-hat and j-hat.

และพื้นที่ต้นแบบที่เราดูก็คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วยที่วางอยู่บน i-hat และ j-hat

After the transformation,

หลังจากการแปลง

that square gets turned into the parallelogram that we care about. กริยาวลี

สี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นจะกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เราสนใจ

So, the determinant, which generally measures the factor by which areas are changed, ไวยากรณ์

ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งโดยทั่วไปจะวัดสัดส่วนการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่

gives the area of this parallelogram,

จะให้ค่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้

since it evolved from a square that started with area one.

เพราะมันพัฒนามาจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เริ่มต้นด้วยพื้นที่เท่ากับหนึ่ง

What's more, if V is on the left of W,

ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า V อยู่ทางซ้ายของ W

it means that orientation was flipped during that transformation,

มันหมายความว่าทิศทางถูกพลิกกลับระหว่างการแปลงนั้น

which is what it means for the determinant to be negative. ไวยากรณ์

ซึ่งนั่นก็คือความหมายของการที่ดีเทอร์มิแนนต์ติดลบ

As an example, let's say V has coordinates negative three one,

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า V มีพิกัดลบสามกับหนึ่ง

and W has coordinates two one.

และ W มีพิกัดสองกับหนึ่ง

The determinant of the matrix with those coordinates as columns is negative three times one minus two times one,

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีพิกัดเหล่านี้เป็นคอลัมน์คือ ลบสามคูณหนึ่งลบสองคูณหนึ่ง

which is negative five.

ซึ่งเท่ากับลบห้า

So, evidently, the area of the parallelogram they define is five.

ดังนั้น เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่พวกมันกำหนดขึ้นคือห้า

And since V is on the left of W,

และเนื่องจาก V อยู่ทางซ้ายของ W

it should make sense that this value is negative.

มันจึงสมเหตุสมผลที่ค่านี้จะติดลบ

As with any new operation you learn,

เช่นเดียวกับการดำเนินการใหม่ ๆ ที่คุณได้เรียนรู้

I'd recommend playing around with this notion a bit in your head just to get kind of an intuitive feel for what the cross product is all about. โน้ต

ฉันขอแนะนำให้ลองเล่นกับแนวคิดนี้ในหัวสักหน่อย เพื่อทำความเข้าใจตามสัญชาตญาณว่าผลคูณไขว้นั้นเกี่ยวกับอะไร

For example, you might notice that when two vectors are perpendicular,

ตัวอย่างเช่น คุณอาจสังเกตเห็นว่าเมื่อเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกัน

or at least close to being perpendicular,

หรืออย่างน้อยก็เกือบจะตั้งฉากกัน

their cross product is larger than it would be if they were pointing in very similar directions, ไวยากรณ์

ผลคูณไขว้ของพวกมันจะใหญ่กว่าตอนที่พวกมันชี้ไปในทิศทางที่คล้ายกันมาก ๆ

because the area of that parallelogram is larger when the sides are closer to being perpendicular.

เพราะพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นจะใหญ่กว่าเมื่อด้านต่าง ๆ เกือบจะตั้งฉากกัน

Something else you might notice is that if you were to scale up one of those vectors, กริยาวลี

อีกสิ่งหนึ่งที่คุณอาจสังเกตเห็นก็คือ ถ้าคุณต้องขยายขนาดหนึ่งในเวกเตอร์เหล่านั้น

perhaps multiplying V by three,

เช่น อาจจะคูณ V ด้วยสาม

then the area of that parallelogram is also scaled up by a factor of three. วลี

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นก็จะถูกขยายขึ้นสามเท่าด้วย

So, what this means for the operation is that three V cross W will be exactly three times the value of V cross W. ลำดับความ

ดังนั้น สิ่งนี้มีความหมายต่อการดำเนินการคือ สาม V ครอส W จะมีค่าเป็นสามเท่าของ V ครอส W พอดี

Now, even though all of this is a perfectly fine mathematical operation, ไวยากรณ์

ถึงแม้ว่าทั้งหมดนี้จะเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องสมบูรณ์แบบ

what I just described is technically not the cross product. การใช้คำ

แต่สิ่งที่ฉันเพิ่งอธิบายไป ในทางเทคนิคแล้วไม่ใช่ผลคูณไขว้

The true cross product is something that combines two different 3D vectors to get a new 3D vector.

ผลคูณไขว้ที่แท้จริงคือสิ่งที่รวมเวกเตอร์ 3 มิติสองตัวที่ต่างกันเข้าด้วยกัน เพื่อให้ได้เวกเตอร์ 3 มิติตัวใหม่

Just as before, ลำดับความ

เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้

we're still going to consider the parallelogram defined by the two vectors that we're crossing together.

เรายังคงพิจารณารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ถูกกำหนดโดยเวกเตอร์สองตัวที่เรากำลังนำมาไขว้กัน

And the area of this parallelogram is still going to play a big role. สำนวน

และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จะยังคงมีบทบาทสำคัญ

To be concrete, let's say that the area is 2.5 for the vectors shown here. ลำดับความ

เพื่อให้เห็นเป็นรูปธรรม สมมติว่าพื้นที่คือ 2.5 สำหรับเวกเตอร์ที่แสดงอยู่นี้

But as I said, the cross product is not a number,

แต่อย่างที่ฉันได้บอกไป ผลคูณไขว้ไม่ใช่ตัวเลข

it's a vector.

มันคือเวกเตอร์

This new vector's length will be the area of that parallelogram,

ความยาวของเวกเตอร์ตัวใหม่นี้จะเป็นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้น

which in this case is 2.5.

ซึ่งในกรณีนี้คือ 2.5

And the direction of that new vector is going to be perpendicular to the parallelogram.

และทิศทางของเวกเตอร์ตัวใหม่นั้นจะตั้งฉากกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

But which way, right?

แต่ไปทางไหนล่ะ ใช่ไหม?

I mean, there are two possible vectors with length 2.5 that are perpendicular to a given plane.

คือ มันมีเวกเตอร์สองตัวที่เป็นไปได้ที่มีความยาว 2.5 และตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด

This is where the right hand rule comes in. การใช้คำ

นี่คือจุดที่กฎมือขวาเข้ามามีบทบาท

Point the forefinger of your right hand in the direction of V.

ชี้จุดนิ้วชี้ของมือขวาไปในทิศทางของ V

Then stick out your middle finger in the direction of W. กริยาวลี

จากนั้นกางนิ้วกลางออกไปในทิศทางของ W

Then, when you point up your thumb,

แล้วเมื่อคุณชูนิ้วหัวแม่มือขึ้น

that's the direction of the cross product.

นั่นคือทิศทางของผลคูณไขว้

For example, let's say that V was a vector with length two pointing straight up in the Z direction,

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า V เป็นเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับสองซึ่งชี้ตรงขึ้นไปในทิศทาง Z

and W is a vector with length two pointing in the pure Y direction.

และ W เป็นเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับสองซึ่งชี้ไปในทิศทาง Y แบบเพียว ๆ

The parallelogram that they define in this simple example is actually a square,

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่พวกมันกำหนดขึ้นในตัวอย่างง่าย ๆ นี้ แท้จริงแล้วคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส

since they're perpendicular and have the same length. ไวยากรณ์

เพราะพวกมันตั้งฉากกันและมีความยาวเท่ากัน

And the area of that square is four.

และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นคือสี่

So, their cross product should be a vector with length four.

ดังนั้น ผลคูณไขว้ของพวกมันควรจะเป็นเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับสี่

Using the right hand rule,

เมื่อใช้กฎมือขวา

their cross product should point in the negative X direction.

ผลคูณไขว้ของพวกมันควรชี้ไปในทิศทางลบของ X

So, the cross product of these two vectors is negative four times i-hat.

ดังนั้น ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวนี้คือลบสี่คูณด้วย i-hat

For more general computations,

สำหรับการคำนวณทั่วไปเพิ่มเติม

there is a formula that you could memorize if you wanted, น้ำเสียง/เจตนา

มีสูตรที่คุณสามารถท่องจำได้ถ้าคุณต้องการ

but it's common and easier to instead remember a certain process involving the 3D determinant.

แต่มันจะปกติและง่ายกว่าที่จะจำกระบวนการบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับดีเทอร์มิแนนต์ 3 มิติแทน

Now, this process looks truly strange at first.

ทีนี้ กระบวนการนี้อาจดูแปลกประหลาดจริง ๆ ในตอนแรก

You write down a 3D matrix where the second and third columns contain the coordinates of V and W.

คุณเขียนเมทริกซ์ 3 มิติโดยที่คอลัมน์ที่สองและสามประกอบด้วยพิกัดของ V และ W

But for that first column,

แต่สำหรับคอลัมน์แรกนั้น

you write the basis vectors i-hat, j-hat, and k-hat.

คุณเขียนเวกเตอร์ฐาน i-hat, j-hat, และ k-hat ลงไป

Then, you compute the determinant of this matrix.

จากนั้น คุณคำนวณหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้

The silliness is probably clear here.

ความไร้สาระนั้นอาจจะชัดเจนตรงนี้

What on earth does it mean to put in a vector as the entry of a matrix? สำนวน

การใส่เวกเตอร์เข้าไปเป็นส่วนประกอบของเมทริกซ์มันหมายความว่าอะไรกันแน่?

Students are often told that this is just a notational trick.

นักเรียนมักจะได้รับคำบอกเล่าว่านี่เป็นเพียงแค่ลูกเล่นทางการเขียน

When you carry out the computations as if i-hat, j-hat, and k-hat were numbers, โน้ต

เมื่อคุณดำเนินการคำนวณราวกับว่า i-hat, j-hat, และ k-hat เป็นตัวเลข

then you get some linear combination of those basis vectors.

แล้วคุณจะได้การรวมเชิงเส้นบางอย่างของเวกเตอร์ฐานเหล่านั้น

And the vector defined by that linear combination,

และเวกเตอร์ที่ถูกกำหนดโดยการรวมเชิงเส้นนั้น

students are told to just believe, น้ำเสียง/เจตนา

ที่นักเรียนถูกบอกให้แค่เชื่อมันเถอะ

is the unique vector perpendicular to V and W whose magnitude is the area of the appropriate parallelogram

คือเวกเตอร์หนึ่งเดียวที่ตั้งฉากกับ V และ W ซึ่งมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สอดคล้องกัน

and whose direction obeys the right hand rule.

และทิศทางของมันเป็นไปตามกฎมือขวา

And sure, in some sense this is just a notational trick. น้ำเสียง/เจตนา

และแน่นอน ในแง่หนึ่งมันเป็นเพียงแค่ลูกเล่นทางการเขียน

But there is a reason for doing it.

แต่มันมีเหตุผลที่ทำเช่นนั้น

It's not just a coincidence that the determinant is once again important. ลำดับความ

มันไม่ใช่แค่เรื่องบังเอิญที่ดีเทอร์มิแนนต์กลับมามีความสำคัญอีกครั้ง

And putting the basis vectors in those slots is not just a random thing to do.

และการนำเวกเตอร์ฐานไปใส่ในช่องเหล่านั้นไม่ใช่แค่การทำอะไรแบบสุ่ม ๆ

To understand where all of this comes from,

เพื่อให้เข้าใจว่าทั้งหมดนี้มาจากไหน

it helps to use the idea of duality that I introduced in the last video.

การใช้แนวคิดของภาวะคู่กัน (duality) ที่ฉันได้แนะนำไปในวิดีโอที่แล้วจะช่วยได้

This concept is a little bit heavy, สำนวน

แต่ว่าแนวคิดนี้มันค่อนข้างจะหนักไปนิดหนึ่ง

though.

ดังนั้น ฉันจึงนำมันไปใส่ไว้ในวิดีโอติดตามผลแยกต่างหากสำหรับใครก็ตามที่อยากรู้อยากเห็นเพื่อที่จะเรียนรู้เพิ่มเติม

So, I'm putting it in a separate follow-on video for any of you who are curious to learn more.

อาจจะพูดได้ว่า มันหลุดออกจากแก่นแท้ของพีชคณิตเชิงเส้น

Arguably, it falls outside the essence of linear algebra. โน้ต

ส่วนที่สำคัญตรงนี้คือต้องรู้ว่าเวกเตอร์ของผลคูณไขว้นั้นหมายถึงอะไรในทางเรขาคณิต

The important part here is to know what that cross product vector geometrically represents.

ดังนั้น ถ้าคุณต้องการข้ามวิดีโอตัวต่อไป

So, if you want to skip that next video,

ก็เชิญตามสบาย

feel free. น้ำเสียง/เจตนา

แต่สำหรับพวกคุณที่เต็มใจจะเจาะลึกลงไปอีกนิด และมีความอยากรู้เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการคำนวณนี้กับเรขาคณิตที่เป็นพื้นฐาน

But for those of you who are willing to go a bit deeper and who are curious about the connection between this computation and the underlying geometry, สำนวน

แนวคิดที่ฉันจะพูดถึงในวิดีโอต่อไปนั้น เป็นคณิตศาสตร์ที่งดงามมากจริง ๆ

the ideas that I'll talk about in the next video are just a really elegant piece of math.

lang_name_reference_keep_safe_but_do_not_use