เวกเตอร์ | บทที่ 1 แก่นแท้ของพีชคณิตเชิงเส้น: บทเรียนภาษาอังกฤษ

The fundamental root of it all building block for linear algebra is the vector.

รากฐานสำคัญและองค์ประกอบหลักของพีชคณิตเชิงเส้นก็คือเวกเตอร์

So, it's worth making sure that we're all on the same page โน้ต

ดังนั้น จึงคุ้มค่าที่จะทำให้แน่ใจว่าพวกเราทุกคนมีความเข้าใจที่ตรงกัน

about what exactly a vector is.

เกี่ยวกับสิ่งที่เวกเตอร์เป็นอย่างแท้จริง

You see, broadly speaking, ลำดับความ

คุณรู้ไหม ถ้าพูดกว้างๆ

there are three distinct but related ideas about vectors,

มีแนวคิดที่แตกต่างกันแต่เชื่อมโยงกันอยู่สามแนวคิดเกี่ยวกับเวกเตอร์

which I'll call the physics student perspective,

ซึ่งผมจะเรียกมันว่า มุมมองของนักศึกษาฟิสิกส์

the computer science student perspective,

มุมมองของนักศึกษาวิทยาการคอมพิวเตอร์

and the mathematician's perspective.

และมุมมองของนักคณิตศาสตร์

The physics student perspective is that vectors are arrows pointing in space.

มุมมองของนักศึกษาฟิสิกส์คือ เวกเตอร์เป็นลูกศรที่ชี้ไปในอวกาศ

What defines a given vector is its length and the direction it's pointing.

สิ่งที่นิยามเวกเตอร์นั้นๆ ก็คือความยาวและทิศทางที่มันชี้ไป

But as long as those two facts are the same, ไวยากรณ์

แต่ตราบใดที่ข้อเท็จจริงสองประการนั้นยังเหมือนเดิม

you can move it all around and it's still the same vector.

คุณก็สามารถย้ายมันไปรอบๆ ได้และมันก็ยังคงเป็นเวกเตอร์เดิม

Vectors that live in the flat plane are two-dimensional,

เวกเตอร์ที่อยู่ในระนาบแบนนั้นเป็นแบบสองมิติ

and those sitting in broader space that you and I live in are three-dimensional.

และพวกที่อยู่ในอวกาศที่กว้างขึ้นซึ่งคุณและผมอาศัยอยู่นั้นเป็นแบบสามมิติ

The computer science perspective is that vectors are ordered lists of numbers.

มุมมองของวิทยาการคอมพิวเตอร์คือ เวกเตอร์คือรายการของตัวเลขที่จัดเรียงลำดับ

For example, let's say you were doing some analytics about house prices,

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณกำลังทำการวิเคราะห์บางอย่างเกี่ยวกับราคาบ้าน

and the only features you cared about were square footage and price.

และคุณสมบัติเดียวที่คุณสนใจคือพื้นที่ใช้สอยและราคา

You might model each house with a pair of numbers,

คุณอาจสร้างแบบจำลองบ้านแต่ละหลังด้วยตัวเลขหนึ่งคู่

the first indicating square footage and the second indicating price.

ตัวแรกระบุพื้นที่ใช้สอยและตัวที่สองระบุราคา

Notice the order matters here.

โปรดสังเกตว่าลำดับนั้นมีความสำคัญในที่นี้

In the lingo, you'd be modeling houses as two-dimensional vectors,

ในภาษาเฉพาะทาง คุณจะจำลองบ้านเป็นเวกเตอร์สองมิติ

where in this context vector is pretty much just a fancy word for list,

โดยในบริบทนี้ เวกเตอร์เป็นเพียงแค่คำเก๋ๆ สำหรับเรียกว่ารายการเท่านั้น

and what makes it two-dimensional is the fact that the length of that list is two.

และสิ่งที่ทำให้มันเป็นสองมิติก็คือความจริงที่ว่าความยาวของรายการนั้นคือสอง

The mathematician, on the other hand, seeks to generalize both these views, ลำดับความ

ในทางกลับกัน นักคณิตศาสตร์พยายามที่จะทำให้ทั้งสองมุมมองนี้เป็นรูปทั่วไป

basically saying that a vector can be anything where there's a sensible notion

โดยพื้นฐานแล้วจะกล่าวว่า เวกเตอร์สามารถเป็นอะไรก็ได้ที่มีแนวคิดที่สมเหตุสมผล

of adding two vectors and multiplying a vector by a number,

ของการบวกเวกเตอร์สองตัว และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

operations that I'll talk about later on in this video.

การดำเนินการที่ผมจะพูดถึงในภายหลังในวิดีโอนี้

The details of this view are rather abstract

รายละเอียดของมุมมองนี้ค่อนข้างเป็นนามธรรม

and I actually think it's healthy to ignore it until the last video of this series,

และผมคิดว่าจริงๆ แล้วมันเป็นเรื่องดีที่จะเพิกเฉยมันไปจนกว่าจะถึงวิดีโอสุดท้ายของซีรีส์นี้

favoring a more concrete setting in the interim. การใช้คำ

โดยชอบที่จะใช้การตั้งค่าที่เป็นรูปธรรมมากกว่าในระหว่างนี้

But the reason I bring it up here กริยาวลี

แต่เหตุผลที่ผมหยิบยกขึ้นมาในที่นี้

is that it hints at the fact that the ideas of vector addition

ก็เพื่อจะบอกเป็นนัยถึงความจริงที่ว่าแนวคิดของการบวกเวกเตอร์

and multiplication by numbers will play an important role

และการคูณด้วยตัวเลขจะมีบทบาทสำคัญ

throughout linear algebra.

ตลอดทั้งเรื่องพีชคณิตเชิงเส้น

But before I talk about these operations,

แต่ก่อนที่ผมจะพูดถึงการดำเนินการเหล่านี้

let's just settle in on a specific thought to have in mind

เรามาตกลงกับความคิดเฉพาะอย่างหนึ่งเพื่อเอาไว้ในใจ

when I say the word vector.

เวลาที่ผมพูดคำว่าเวกเตอร์

Given the geometric focus that I'm shooting for here, กริยาวลี

เมื่อพิจารณาถึงจุดมุ่งหมายทางเรขาคณิตที่ผมต้องการจะสื่อในที่นี้

whenever I introduce a new topic involving vectors,

ทุกครั้งที่ผมแนะนำหัวข้อใหม่เกี่ยวกับเวกเตอร์

I want you to first think about an arrow,

ผมอยากให้คุณนึกถึงลูกศรเป็นอันดับแรก

and specifically, think about that arrow inside a coordinate system,

และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง นึกถึงลูกศรนั้นภายในระบบพิกัด

like the XY plane,

เช่น ระนาบ XY

with its tail sitting at the origin.

โดยมีหางของมันอยู่ที่จุดกำเนิด

This is a little bit different from the physics student perspective,

นี่จะแตกต่างไปจากมุมมองของนักศึกษาฟิสิกส์สักเล็กน้อย

where vectors can freely sit anywhere they want in space.

ซึ่งเวกเตอร์สามารถไปอยู่ที่ไหนก็ได้อย่างอิสระในอวกาศ

In linear algebra,

ในพีชคณิตเชิงเส้น

it's almost always the case that your vector will be rooted at the origin.

เกือบจะเสมอไปที่เวกเตอร์ของคุณจะมีรากฐานอยู่ที่จุดกำเนิด

Then, once you understand a new concept

จากนั้น เมื่อคุณเข้าใจแนวคิดใหม่

in the context of arrows in space, วลี

ในบริบทของลูกศรในอวกาศแล้ว

we'll translate it over to the list of numbers point of view,

เราจะแปลมันไปสู่มุมมองที่เป็นรายการของตัวเลข

which we can do by considering the coordinates of the vector.

ซึ่งเราสามารถทำได้โดยพิจารณาพิกัดของเวกเตอร์

Now, while I'm sure that many of you are already familiar with this coordinate system,

เอาล่ะ แม้ผมจะมั่นใจว่าหลายคนคุ้นเคยกับระบบพิกัดนี้อยู่แล้ว

it's worth walking through explicitly

มันก็คุ้มค่าที่จะอธิบายอย่างละเอียด

since this is where all of the important back and forth happens

เนื่องจากนี่คือที่ที่การเชื่อมโยงไปมาที่สำคัญทั้งหมดเกิดขึ้น

between the two perspectives of linear algebra.

ระหว่างสองมุมมองของพีชคณิตเชิงเส้น

Focusing our attention on two dimensions for the moment,

หากเราพุ่งความสนใจไปที่สองมิติในขณะนี้

you have a horizontal line called the x-axis

คุณจะมีเส้นแนวนอนที่เรียกว่าแกน x

and a vertical line called the y-axis.

และเส้นแนวตั้งที่เรียกว่าแกน y

The place where they intersect is called the origin,

จุดที่พวกมันตัดกันเรียกว่าจุดกำเนิด

which you should think of as the center of space

ซึ่งคุณควรมองว่ามันเป็นศูนย์กลางของอวกาศ

and the root of all vectors.

และรากของเวกเตอร์ทั้งหมด

After choosing an arbitrary length to represent one,

หลังจากเลือกความยาวตามอำเภอใจเพื่อเป็นตัวแทนของหนึ่ง

you make tick marks on each axis to represent this distance.

คุณจะทำเครื่องหมายขีดบนแต่ละแกนเพื่อแสดงระยะทางนี้

When I want to convey the idea of 2D space as a whole,

เมื่อผมต้องการสื่อถึงแนวคิดของอวกาศ 2 มิติโดยรวม

which you'll see comes up a lot in these videos, กริยาวลี

ซึ่งคุณจะเห็นบ่อยมากในวิดีโอเหล่านี้

I'll extend these tick marks to make grid lines.

ผมจะขยายเครื่องหมายขีดเหล่านี้ให้เป็นเส้นตาราง

But right now,

แต่ในตอนนี้

they'll actually get a little bit in the way. สำนวน

จริงๆ แล้วพวกมันจะเกะกะสักเล็กน้อย

The coordinates of a vector is a pair of numbers

พิกัดของเวกเตอร์คือตัวเลขคู่หนึ่ง

that basically gives instructions for how to get

ที่ให้คำแนะนำพื้นฐานว่าควรจะไปอย่างไร

from the tail of that vector at the origin to its tip.

จากหางของเวกเตอร์ที่จุดกำเนิดไปยังจุดปลายของมัน

The first number tells you how far to walk along the x-axis,

ตัวเลขตัวแรกบอกคุณว่าต้องเดินไปตามแกน x ไกลแค่ไหน

positive numbers indicating rightward motion,

ตัวเลขบวกบ่งบอกถึงการเคลื่อนที่ไปทางขวา

negative numbers indicating leftward motion,

ตัวเลขลบบ่งบอกถึงการเคลื่อนที่ไปทางซ้าย

and the second number tells you how far to walk

และตัวเลขตัวที่สองบอกคุณว่าต้องเดินไปไกลแค่ไหน

parallel to the y-axis after that,

ขนานไปกับแกน y หลังจากนั้น

positive numbers indicating upward motion

ตัวเลขบวกบ่งบอกถึงการเคลื่อนที่ขึ้น

and negative numbers indicating downward motion.

และตัวเลขลบบ่งบอกถึงการเคลื่อนที่ลง

To distinguish vectors from points,

เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์กับจุด

the convention is to write this pair of numbers vertically

ธรรมเนียมปฏิบัติคือการเขียนตัวเลขคู่นี้ในแนวตั้ง

with square brackets around them.

โดยมีวงเล็บเหลี่ยมล้อมรอบ

Every pair of numbers gives you one and only one vector,

ทุกๆ คู่ของตัวเลขจะให้เวกเตอร์กับคุณเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

and every vector is associated with one and only one pair of numbers.

และทุกๆ เวกเตอร์ก็จะเชื่อมโยงกับตัวเลขเพียงคู่เดียวเท่านั้น

What about in three dimensions?

แล้วในสามมิติล่ะเป็นอย่างไร?

Well, you add a third axis, called the z-axis,

ก็แค่เพิ่มแกนที่สามเข้ามา เรียกว่าแกน z

which is perpendicular to both the x and y-axes,

ซึ่งตั้งฉากกับทั้งแกน x และ y

and in this case,

และในกรณีนี้

each vector is associated with an ordered triplet of numbers.

เวกเตอร์แต่ละตัวจะเชื่อมโยงกับชุดตัวเลขสามตัวที่เรียงลำดับ

The first tells you how far to move along the x-axis,

ตัวแรกบอกคุณว่าต้องเคลื่อนที่ไปตามแกน x ไกลแค่ไหน

the second tells you how far to move parallel to the y-axis,

ตัวที่สองบอกคุณว่าต้องเคลื่อนที่ขนานกับแกน y ไกลแค่ไหน

and the third one tells you how far to then move

และตัวที่สามบอกคุณว่าต้องเคลื่อนที่ไปไกลแค่ไหน

parallel to this new z-axis.

ขนานไปกับแกน z ใหม่นี้

Every triplet of numbers gives you one unique vector in space,

ทุกชุดตัวเลขสามตัวจะให้เวกเตอร์ที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งตัวในอวกาศ

and every vector in space gives you exactly one triplet of numbers.

และทุกเวกเตอร์ในอวกาศจะให้ชุดตัวเลขสามตัวมาตรงๆ หนึ่งชุด

All right,

เอาล่ะ

so back to vector addition and multiplication by numbers.

กลับมาที่การบวกเวกเตอร์และการคูณด้วยตัวเลข

After all, ลำดับความ

ท้ายที่สุดแล้ว

every topic in linear algebra is going to center around these two operations.

ทุกหัวข้อในพีชคณิตเชิงเส้นจะมีศูนย์กลางอยู่ที่สองการดำเนินการนี้

Luckily, each one's pretty straightforward to define.

โชคดีที่แต่ละอันมีนิยามที่ค่อนข้างตรงไปตรงมา

Let's say we have two vectors,

สมมติว่าเรามีเวกเตอร์สองตัว

one pointing up and a little to the right

ตัวหนึ่งชี้ขึ้นและไปทางขวาเล็กน้อย

and the other one pointing right and down a bit.

และอีกตัวหนึ่งชี้ไปทางขวาและลงมาหน่อย

To add these two vectors,

ในการบวกเวกเตอร์สองตัวนี้

move the second one so that its tail sits at the tip of the first one.

ให้ย้ายตัวที่สองเพื่อให้หางของมันอยู่ที่ปลายของตัวแรก

Then, if you draw a new vector

จากนั้น หากคุณวาดเวกเตอร์ใหม่

from the tail of the first one to where the tip of the second one now sits,

จากหางของตัวแรกไปยังตำแหน่งที่ปลายของตัวที่สองตั้งอยู่ตอนนี้

that new vector is their sum.

เวกเตอร์ใหม่นั้นก็คือผลบวกของพวกมัน

This definition of addition, by the way, ลำดับความ

อย่างไรก็ตาม นิยามของการบวกนี้

is pretty much the only time in linear algebra

เป็นเพียงเวลาเดียวในพีชคณิตเชิงเส้น

where we let vectors stray away from the origin.

ที่เราปล่อยให้เวกเตอร์เคลื่อนที่ออกจากจุดกำเนิด

Now,

เอาล่ะ

why is this a reasonable thing to do?

ทำไมมันถึงเป็นสิ่งที่สมเหตุสมผลล่ะ?

Why this definition of addition and not some other one?

ทำไมถึงใช้นิยามของการบวกนี้และไม่ใช่อันอื่น?

Well,

อืม

the way I like to think about it is that each vector represents a certain movement,

วิธีที่ผมชอบคิดก็คือ เวกเตอร์แต่ละตัวเป็นการแสดงการเคลื่อนที่อย่างหนึ่ง

a step with a certain distance and direction in space.

การก้าวหนึ่งครั้งพร้อมระยะทางและทิศทางที่แน่นอนในอวกาศ

If you take a step along the first vector,

ถ้าคุณก้าวไปตามเวกเตอร์แรก

then take a step in the direction and distance

จากนั้นก้าวไปในทิศทางและระยะทาง

described by the second vector,

ที่อธิบายโดยเวกเตอร์ที่สอง

the overall effect is just the same as if you moved

ผลลัพธ์โดยรวมก็เหมือนกับว่าคุณเคลื่อนที่

along the sum of those two vectors to start with. วลี

ไปตามผลบวกของเวกเตอร์สองตัวนั้นตั้งแต่ต้น

You could think about this as an extension

คุณสามารถคิดว่านี่เป็นส่วนขยาย

of how we think about adding numbers on a number line.

ของวิธีคิดเกี่ยวกับการบวกตัวเลขบนเส้นจำนวน

One way that we teach kids to think about this,

วิธีหนึ่งที่เราสอนให้เด็กๆ คิดเกี่ยวกับเรื่องนี้

say with 2 + 5,

สมมติว่าเป็น 2 + 5

is to think of moving two steps to the right,

คือการคิดว่าเป็นการเดินไปทางขวาสองก้าว

followed by another five steps to the right.

ตามด้วยการเดินไปทางขวาอีกห้าก้าว

The overall effect is the same

ผลลัพธ์โดยรวมจะเหมือนกัน

as if you just took seven steps to the right.

กับการที่คุณเพิ่งก้าวไปทางขวาเจ็ดก้าว

In fact,

ในความเป็นจริง

let's see how vector addition looks numerically.

มาดูกันว่าการบวกเวกเตอร์ดูเป็นตัวเลขอย่างไร

The first vector here has coordinates 1 2,

เวกเตอร์แรกที่นี่มีพิกัด 1 2

and the second one has coordinates 3 -1.

และเวกเตอร์ตัวที่สองมีพิกัด 3 -1

When you take the vector sum using this tip-to-tail method, การใช้คำ

เมื่อคุณหาผลบวกเวกเตอร์โดยใช้วิธีหัวต่อหางนี้

you can think of a four-step path

คุณสามารถนึกถึงเส้นทางสี่ขั้นตอน

from the origin to the tip of the second vector.

จากจุดกำเนิดไปยังปลายของเวกเตอร์ตัวที่สอง

Walk one to the right,

เดินหนึ่งก้าวไปทางขวา

then two up,

แล้วสองก้าวขึ้นบน

then three to the right,

แล้วสามก้าวไปทางขวา

then one down.

แล้วลงหนึ่งก้าว

Reorganizing these steps so that you first do all of the rightward motion,

การจัดระเบียบขั้นตอนเหล่านี้ใหม่โดยให้คุณเคลื่อนที่ไปทางขวาทั้งหมดก่อน

then do all the vertical motion,

จากนั้นก็เคลื่อนที่ในแนวตั้งทั้งหมด

you can read it as saying first move 1 + 3 to the right,

คุณสามารถอ่านมันได้ว่า ให้เคลื่อนที่ 1 + 3 ไปทางขวาก่อน

then move 2 -1 up.

จากนั้นเคลื่อนที่ 2 - 1 ขึ้นไป

So,

ดังนั้น

the new vector has coordinates 1 + 3 and 2 + -1.

เวกเตอร์ใหม่มีพิกัด 1 + 3 และ 2 + -1

In general,

โดยทั่วไป

vector addition in this list of numbers conception

การบวกเวกเตอร์ในแนวคิดของรายการตัวเลขนี้

looks like matching up their terms and adding each one together.

ดูเหมือนการจับคู่ส่วนประกอบและบวกแต่ละคู่เข้าด้วยกัน

The other fundamental vector operation

การดำเนินการเวกเตอร์พื้นฐานอีกอย่างหนึ่ง

is multiplication by a number.

คือการคูณด้วยตัวเลข

Now,

เอาล่ะ

this is best understood just by looking at a few examples. ไวยากรณ์

เราจะเข้าใจสิ่งนี้ได้ดีที่สุดเมื่อดูจากตัวอย่างบางส่วน

If you take the number two and multiply it by a given vector,

ถ้าคุณเอาตัวเลขสองมาคูณกับเวกเตอร์ที่กำหนดให้

it means you stretch out that vector กริยาวลี

มันหมายความว่าคุณยืดเวกเตอร์นั้นออก

so that it's two times as long as when you started. ไวยากรณ์

ให้ยาวเป็นสองเท่าจากตอนที่คุณเริ่ม

If you multiply that vector by, say, 1/3,

ถ้าคุณคูณเวกเตอร์นั้นด้วย สมมติว่า 1/3

it means you squish it down so that it's 1/3 the original length. กริยาวลี

มันหมายความว่าคุณบีบมันลงให้เป็น 1/3 ของความยาวเดิม

When you multiply it by a negative number,

เมื่อคุณคูณมันด้วยตัวเลขติดลบ

like -1.8, then the vector first gets flipped around, กริยาวลี

เช่น -1.8 จากนั้นเวกเตอร์จะถูกพลิกกลับก่อน

then stretched out by that factor of 1.8. วลี

แล้วจึงยืดออกด้วยแฟกเตอร์ 1.8 นั้น

This process of stretching or squishing

กระบวนการยืดออกหรือบีบเข้า

or sometimes reversing the direction of a vector is called scaling.

หรือบางครั้งการกลับทิศทางของเวกเตอร์ เรียกว่าการปรับขนาด (scaling)

And whenever you catch a number, like two or 1/3 or -1.8,

และเมื่อใดก็ตามที่คุณจับตัวเลข เช่น สอง หรือ 1/3 หรือ -1.8

acting like this, scaling some vector,

มาทำหน้าที่แบบนี้ คือการปรับขนาดเวกเตอร์บางตัว

you call it a scalar.

คุณจะเรียกมันว่า สเกลาร์ (scalar)

In fact, throughout linear algebra,

ในความเป็นจริงแล้ว ตลอดทั้งพีชคณิตเชิงเส้น

one of the main things that numbers do is scale vectors.

สิ่งสำคัญอย่างหนึ่งที่ตัวเลขทำคือการปรับขนาดเวกเตอร์

So,

ดังนั้น

it's common to use the word scalar

จึงเป็นเรื่องปกติที่จะใช้คำว่าสเกลาร์

pretty much interchangeably with the word number. วลี

แทนคำว่าตัวเลขเกือบจะในความหมายเดียวกัน

Numerically, stretching out a vector by a factor of, say, two

ในทางตัวเลข การยืดเวกเตอร์ด้วยแฟกเตอร์ สมมติว่าเป็นสอง

corresponds with multiplying each of its components by that factor,

สอดคล้องกับการคูณองค์ประกอบแต่ละตัวด้วยแฟกเตอร์นั้น

two.

คือ สอง

So,

ดังนั้น

in the conception of vectors as lists of numbers,

ในแนวคิดที่ว่าเวกเตอร์เป็นรายการของตัวเลข

multiplying a given vector by a scalar

การคูณเวกเตอร์ที่กำหนดด้วยสเกลาร์

means multiplying each one of those components by that scalar.

หมายถึงการคูณองค์ประกอบแต่ละตัวด้วยสเกลาร์นั้น

You'll see in the following videos what I mean

คุณจะเห็นในวิดีโอถัดๆ ไปว่าผมหมายถึงอะไร

when I say that linear algebra topics tend to revolve วลี

เมื่อผมบอกว่าหัวข้อพีชคณิตเชิงเส้นมีแนวโน้มที่จะหมุนเวียน

around these two fundamental operations,

อยู่รอบการดำเนินการพื้นฐานสองอย่างนี้

vector addition and scalar multiplication.

คือการบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์

And I'll talk more in the last video

และผมจะพูดเพิ่มเติมในวิดีโอสุดท้าย

about how and why the mathematician thinks only about these operations,

เกี่ยวกับวิธีการและเหตุผลที่นักคณิตศาสตร์คิดแต่เฉพาะเรื่องการดำเนินการเหล่านี้

independent and abstracted away from however you choose to represent vectors. กริยาวลี

อย่างเป็นอิสระและเป็นนามธรรม ไม่ว่าคุณจะเลือกนำเสนอเวกเตอร์อย่างไร

In truth,

ความจริงก็คือ

it doesn't matter whether you think about vectors as fundamentally being arrows in space, ไวยากรณ์

มันไม่สำคัญว่าคุณจะคิดถึงเวกเตอร์โดยพื้นฐานแล้วเป็นลูกศรในอวกาศ

like I'm suggesting you do,

เหมือนที่ผมแนะนำให้คุณทำ

that happen to have a nice numerical representation, ไวยากรณ์

ซึ่งบังเอิญมีการเป็นตัวแทนด้วยตัวเลขที่ดี

or fundamentally as lists of numbers

หรือโดยพื้นฐานแล้วเป็นรายการของตัวเลข

that happen to have a nice geometric interpretation.

ซึ่งบังเอิญมีการตีความทางเรขาคณิตที่ดี

The usefulness of linear algebra has less to do with either one of these views ไวยากรณ์

ประโยชน์ของพีชคณิตเชิงเส้นไม่ได้เกี่ยวกับมุมมองใดมุมมองหนึ่งเหล่านี้มากนัก

than it does with the ability to translate back and forth between them. วลี

เมื่อเทียบกับความสามารถในการแปลไปมากลับมาระหว่างพวกมัน

It gives the data analyst a nice way to conceptualize

มันช่วยให้นักวิเคราะห์ข้อมูลมีวิธีที่ดีในการวางแนวคิด

many lists of numbers in a visual way,

รายการตัวเลขจำนวนมากในรูปแบบภาพ

which can seriously clarify patterns in data

ซึ่งสามารถทำให้รูปแบบในข้อมูลชัดเจนขึ้นอย่างมาก

and give a global view of what certain operations do.

และให้มุมมองภาพรวมว่าการดำเนินการบางอย่างทำอะไรได้บ้าง

And on the flip side, ลำดับความ

และในอีกมุมหนึ่ง

it gives people like physicists and computer graphics programmers

มันให้คนอย่างนักฟิสิกส์และโปรแกรมเมอร์กราฟิกคอมพิวเตอร์

a language to describe space

มีภาษาเพื่ออธิบายอวกาศ

and the manipulation of space

และการจัดการกับอวกาศ

using numbers that can be crunched and run through a computer. การใช้คำ

โดยใช้ตัวเลขที่สามารถคำนวณและประมวลผลผ่านคอมพิวเตอร์ได้

When I do math-y animations, for example, การใช้คำ

ตัวอย่างเช่น เมื่อผมทำแอนิเมชันเชิงคณิตศาสตร์

I start by thinking about what's actually going on in space สำนวน

ผมเริ่มด้วยการคิดเกี่ยวกับสิ่งที่กำลังเกิดขึ้นจริงในอวกาศ

and then get the computer to represent things numerically,

จากนั้นก็ให้คอมพิวเตอร์นำเสนอสิ่งต่างๆ เป็นตัวเลข

thereby figuring out where to place the pixels on the screen. ไวยากรณ์

ดังนั้นจึงคำนวณได้ว่าจะวางพิกเซลไว้ที่ใดบนหน้าจอ

And doing that usually relies on a lot of linear algebra understanding.

และการทำเช่นนั้นมักอาศัยความเข้าใจทางพีชคณิตเชิงเส้นอย่างมาก

So,

เอาล่ะ

there are your vector basics,

นี่คือพื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ของคุณ

and in the next video,

และในวิดีโอถัดไป

I'll start getting into some pretty neat concepts surrounding vectors,

ผมจะเริ่มเข้าสู่แนวคิดที่ยอดเยี่ยมบางประการรอบตัวเวกเตอร์

like span, bases, and linear dependence.

เช่น สแปน (span) เบสิส (bases) และการขึ้นต่อกันเชิงเส้น (linear dependence)

See you then.

แล้วพบกันใหม่