การรวมเชิงเส้น สแปน และเวกเตอร์ฐาน | บทที่ 2 แก่นแท้ของพีชคณิตเชิงเส้น: บทเรียนภาษาอังกฤษ

In the last video, along with the ideas of vector addition and scalar multiplication, I described vector coordinates

ในวิดีโอที่แล้ว นอกเหนือจากแนวคิดเรื่องการบวกเวกเตอร์และการคูณด้วยสเกลาร์ ฉันได้อธิบายเกี่ยวกับพิกัดของเวกเตอร์

where there's this back and forth between, สำนวน

ซึ่งมันมีความสัมพันธ์ที่สามารถแปลงกลับไปกลับมาได้ระหว่าง

for example,

ตัวอย่างเช่น

pairs of numbers and two-dimensional vectors.

คู่ของตัวเลข และ เวกเตอร์สองมิติ

Now, I imagine the vector coordinates were already familiar to a lot of you,

ตอนนี้ ฉันคิดว่าพิกัดของเวกเตอร์น่าจะเป็นเรื่องคุ้นเคยสำหรับพวกคุณหลายคนแล้ว

but there's another kind of interesting way to think about these coordinates, ลำดับความ

แต่ยังมีวิธีคิดที่น่าสนใจอีกวิธีหนึ่งเกี่ยวกับพิกัดเหล่านี้

which is pretty central to linear algebra.

ซึ่งถือเป็นหัวใจสำคัญอย่างมากในพีชคณิตเชิงเส้น

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, ไวยากรณ์

เมื่อคุณมีคู่ตัวเลขคู่หนึ่งที่มีไว้เพื่ออธิบายเวกเตอร์

like 3 -2,

เช่น 3 และ -2

I want you to think about each coordinate as a scalar, ไวยากรณ์

ฉันอยากให้คุณมองพิกัดแต่ละตัวในฐานะสเกลาร์

meaning think about how each one stretches or squishes vectors.

หมายความว่า ให้ลองคิดดูว่าแต่ละตัวมันยืดหรือหดเวกเตอร์อย่างไร

In the XY coordinate system,

ในระบบพิกัด XY

there are two very special vectors.

มีเวกเตอร์ที่พิเศษมากอยู่สองตัว

The one pointing to the right with length one,

ตัวหนึ่งชี้ไปทางขวาโดยมีความยาวเท่ากับหนึ่ง

commonly called i-hat or the unit vector in the X direction,

ซึ่งมักจะเรียกว่า i-hat หรือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง X

and the one pointing straight up with length one,

และอีกตัวหนึ่งชี้ขึ้นตรง ๆ โดยมีความยาวเท่ากับหนึ่ง

commonly called j-hat, or the unit vector in the Y direction.

ซึ่งมักจะเรียกว่า j-hat หรือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง Y

Now, think of the X coordinate of our vector as a scalar that scales i-hat,

คราวนี้ ให้มองพิกัด X ของเวกเตอร์เราว่าเป็นสเกลาร์ที่สเกล (ย่อขยาย) i-hat

stretching it by a factor of 3, วลี

โดยยืดมันออกไปเป็น 3 เท่า

and the Y coordinate as a scalar that scales j-hat,

และให้มองพิกัด Y ว่าเป็นสเกลาร์ที่สเกล (ย่อขยาย) j-hat

flipping it and stretching it by a factor of 2.

โดยพลิกกลับทิศทางและยืดมันออกเป็น 2 เท่า

In this sense,

ในแง่นี้

the vector that these coordinates describe

เวกเตอร์ที่พิกัดเหล่านี้อธิบายไว้

is the sum of two scaled vectors.

ก็คือผลบวกของเวกเตอร์ที่ถูกสเกลแล้วสองตัวนั่นเอง

That's a surprisingly important concept,

นี่เป็นแนวคิดที่สำคัญอย่างไม่น่าเชื่อ

this idea of adding together two scaled vectors.

แนวคิดเกี่ยวกับการนำเวกเตอร์ที่ถูกสเกลแล้วสองตัวมาบวกกันนี้

Those two vectors i-hat and j-hat have a special name,

เวกเตอร์สองตัวนั้นคือ i-hat และ j-hat มีชื่อเรียกพิเศษ

by the way.

อ้อ แล้วก็

Together, they're called the basis of a coordinate system.

รวมกันแล้ว พวกมันถูกเรียกว่า ฐาน (basis) ของระบบพิกัด

What this means basically

ซึ่งความหมายพื้นฐานของมันคือ

is that when you think about coordinates as scalars,

เมื่อคุณมองพิกัดต่าง ๆ ว่าเป็นสเกลาร์

the basis vectors are what those scalars actually,

เวกเตอร์ฐานคือสิ่งที่สเกลาร์เหล่านั้น

you know, scale.

คุณรู้ใช่ไหม เข้าไปทำการสเกล (ย่อขยาย) จริง ๆ

There's also a more technical definition,

นอกจากนี้ยังมีคำนิยามที่เป็นทางการทางเทคนิคกว่านี้

but I'll get to that later.

แต่ฉันจะอธิบายเรื่องนั้นในภายหลัง

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors, วลี

การวางกรอบระบบพิกัดของเราโดยใช้เวกเตอร์ฐานพิเศษสองตัวนี้

it raises a pretty interesting and subtle point. วลี

ทำให้เกิดประเด็นที่น่าสนใจและลึกซึ้งทีเดียว

We could have chosen different basis vectors ไวยากรณ์

เราสามารถเลือกเวกเตอร์ฐานที่แตกต่างออกไป

and gotten a completely reasonable new coordinate system.

และสร้างระบบพิกัดใหม่ที่สมเหตุสมผลได้อย่างสมบูรณ์

For example, take some vector pointing up and to the right,

ตัวอย่างเช่น ลองเอาเวกเตอร์ตัวหนึ่งชี้ไปทางขวาบน

along with some other vector pointing down and to the right in some way.

ร่วมกับเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งที่ชี้ไปทางขวาล่างในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง

Take a moment to think about all the different vectors that you can get

ลองใช้เวลาสักครู่เพื่อคิดถึงเวกเตอร์ทั้งหมดที่แตกต่างกันที่คุณจะสามารถสร้างได้

by choosing two scalars,

โดยการเลือกสเกลาร์มาสองตัว

using each one to scale one of the vectors,

ใช้แต่ละตัวสเกลเวกเตอร์เหล่านั้นตัวละเส้น

then adding together what you get.

แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้มาบวกกัน

Which two-dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

คุณจะสามารถเข้าถึงเวกเตอร์สองมิติใดได้บ้างจากการเปลี่ยนตัวเลือกของสเกลาร์?

The answer is that you can reach every possible two-dimensional vector,

คำตอบก็คือ คุณสามารถไปถึงทุก ๆ เวกเตอร์สองมิติที่เป็นไปได้

and I think it's a good puzzle to contemplate why.

และฉันคิดว่ามันเป็นปริศนาที่ดีที่จะลองขบคิดดูว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น

A new pair of basis vectors like this

คู่ของเวกเตอร์ฐานคู่ใหม่แบบนี้

still gives us a valid way to go back and forth between pairs of numbers

ยังคงให้วิธีที่ใช้ได้จริงในการแปลงกลับไปกลับมาระหว่างคู่ของตัวเลข

and two-dimensional vectors,

และเวกเตอร์สองมิติ

but the association is definitely different from the one that you get

แต่ความเชื่อมโยงย่อมแตกต่างจากสิ่งที่คุณได้รับ

using the more standard basis of i-hat and j-hat.

เมื่อใช้เวกเตอร์ฐานมาตรฐานอย่าง i-hat และ j-hat อย่างแน่นอน

This is something I'll go into much more detail on later, กริยาวลี

เรื่องนี้เป็นสิ่งที่ฉันจะลงรายละเอียดให้ลึกขึ้นในภายหลัง

describing the exact relationship between different coordinate systems,

ในการอธิบายความสัมพันธ์ที่แน่ชัดระหว่างระบบพิกัดที่แตกต่างกัน

but for right now, I just want you to appreciate the fact that

แต่สำหรับตอนนี้ ฉันแค่อยากให้คุณตระหนักถึงความจริงที่ว่า

any time we describe vectors numerically,

ทุกครั้งที่เราอธิบายเวกเตอร์ด้วยตัวเลข

it depends on an implicit choice of what basis vectors we're using. วลี

มันขึ้นอยู่กับการเลือกโดยนัยว่าเรากำลังใช้เวกเตอร์ฐานอะไร

So, any time that you're scaling two vectors and adding them like this,

ดังนั้น ทุกครั้งที่คุณสเกลเวกเตอร์สองตัวและนำมาบวกกันในลักษณะนี้

it's called a linear combination of those two vectors. การใช้คำ

มันถูกเรียกว่า การจัดหมู่เชิงเส้น (linear combination) ของเวกเตอร์สองตัวนั้น

Where does this word linear come from?

คำว่า 'เชิงเส้น' (linear) คำนี้มาจากไหน?

Why does this have anything to do with lines? วลี

ทำไมมันถึงไปเกี่ยวข้องอะไรกับ 'เส้น' (lines)?

Well, this isn't the etymology,

อืม นี่ไม่ใช่ที่มาของรากศัพท์หรอกนะ

but one way I like to think about it is that ลำดับความ

แต่วิธีหนึ่งที่ฉันชอบใช้ในการคิดเกี่ยวกับมันก็คือ

if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,

หากคุณล็อกค่าสเกลาร์ตัวหนึ่งไว้ และปล่อยให้อีกตัวเปลี่ยนค่าได้อย่างอิสระ

the tip of the resulting vector draws a straight line.

ปลายของเวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ จะวาดออกมาเป็นเส้นตรง

Now, if you let both scalars range freely ไวยากรณ์

ทีนี้ หากคุณปล่อยให้สเกลาร์ทั้งสองตัวเปลี่ยนค่าได้อย่างอิสระ

and consider every possible vector that you can get,

และพิจารณาทุก ๆ เวกเตอร์ที่เป็นไปได้ที่คุณจะได้

there are two things that can happen.

มันมีสองสิ่งที่สามารถเกิดขึ้นได้

For most pairs of vectors,

สำหรับเวกเตอร์ส่วนใหญ่

you'll be able to reach every possible point in the plane.

คุณจะสามารถเข้าถึงทุกจุดที่เป็นไปได้บนระนาบ

Every two-dimensional vector is within your grasp. สำนวน

ทุกเวกเตอร์สองมิติจะอยู่ในกำมือของคุณ

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up, กริยาวลี

อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่โชคร้ายซึ่งเวกเตอร์ตั้งต้นสองตัวของคุณดันเรียงตัวอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the origin.

ปลายของเวกเตอร์ลัพธ์ที่ได้ จะถูกจำกัดให้อยู่แค่บนเส้นตรงเส้นเดียวที่ลากผ่านจุดกำเนิดนี้เท่านั้น

Actually, technically, there's a third possibility, too.

ความจริงแล้ว ตามหลักเทคนิค มันมีความเป็นไปได้แบบที่สามด้วย

Both your vectors could be zero,

เวกเตอร์ทั้งสองของคุณอาจเป็นศูนย์ทั้งคู่

in which case you'd just be stuck at the origin. ไวยากรณ์

ซึ่งในกรณีนั้น คุณก็จะติดแหง็กอยู่ที่จุดกำเนิดเท่านั้น

Here's some more terminology.

ต่อไปนี้เป็นคำศัพท์เพิ่มเติมอีกนิดหน่อย

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors

เซตของเวกเตอร์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ที่คุณสามารถสร้างได้จากการจัดหมู่เชิงเส้นของคู่เวกเตอร์ที่กำหนดให้

is called the span of those two vectors. การใช้คำ

เรียกว่า สแปน (span) ของเวกเตอร์สองตัวนั้น

So, restating what we just saw in this lingo,

ดังนั้น หากพูดทบทวนสิ่งที่เราเพิ่งเห็นด้วยศัพท์เฉพาะนี้

the span of most pairs of 2D vectors is all vectors of 2D space,

สแปนของเวกเตอร์ 2 มิติส่วนใหญ่ คือทุกเวกเตอร์ในพื้นที่ 2 มิติ

but when they line up,

แต่เมื่อมันเรียงตัวอยู่ในแนวเดียวกัน

their span is all vectors whose tip sit on a certain line.

สแปนของมันก็คือเวกเตอร์ทั้งหมดที่มีปลายจรดอยู่บนเส้นตรงเส้นหนึ่ง

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication? สำนวน

จำได้ไหมว่าฉันเคยบอกว่าพีชคณิตเชิงเส้นโคจรอยู่รอบ ๆ การบวกเวกเตอร์และการคูณด้วยสเกลาร์?

Well, the span of two vectors is basically a way of asking,

ที่จริงแล้ว สแปนของเวกเตอร์สองตัวก็คือรูปแบบหนึ่งของการตั้งคำถามว่า

what are all the possible vectors you can reach

มีเวกเตอร์อะไรที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คุณสามารถไปถึงได้

using only these two fundamental operations,

โดยใช้แค่เพียงปฏิบัติการพื้นฐานสองอย่างนี้เท่านั้น

vector addition and scalar multiplication?

นั่นคือการบวกเวกเตอร์และการคูณด้วยสเกลาร์?

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

ตอนนี้เป็นเวลาที่เหมาะสมที่จะพูดถึงวิธีที่ผู้คนมักมองเวกเตอร์ว่าเป็นเหมือนจุด

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line,

การจินตนาการถึงเวกเตอร์ทั้งกลุ่มใหญ่วางทับกันอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวมันดูแออัดมาก

and more crowded still to think about all two-dimensional vectors all at once filling up the plane.

และยิ่งแออัดหนักเข้าไปอีก หากต้องนึกภาพเวกเตอร์สองมิติทั้งหมดวางรวมกันจนเต็มระนาบในคราวเดียว

So, when dealing with collections of vectors like this,

ดังนั้น เมื่อต้องรับมือกับกลุ่มของเวกเตอร์ลักษณะนี้

it's common to represent each one with just a point in space.

จึงเป็นเรื่องปกติที่จะแทนเวกเตอร์แต่ละตัวด้วยจุดเพียงจุดเดียวในอวกาศ

The point at the tip of that vector,

โดยเป็นจุดที่อยู่ตรงปลายของเวกเตอร์นั้น

where, as usual, I want you thinking about that vector with its tail on the origin.

ซึ่งตามปกติแล้ว ฉันอยากให้คุณนึกภาพว่าเวกเตอร์นั้นมีหางอยู่ที่จุดกำเนิด

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain line,

ด้วยวิธีนั้น หากคุณต้องการนึกถึงทุกเวกเตอร์ที่เป็นไปได้ที่ปลายของมันจรดอยู่บนเส้นตรงเส้นหนึ่ง

just think about the line itself.

คุณก็แค่นึกถึงตัวเส้นตรงเส้นนั้นเอง

Likewise, to think about all possible two-dimensional vectors all at once,

ในทำนองเดียวกัน หากจะคิดถึงเวกเตอร์สองมิติที่เป็นไปได้ทั้งหมดในคราวเดียว

conceptualize each one as the point where its tip sits.

ก็ให้จำลองแนวคิดของแต่ละเวกเตอร์ว่าเป็นจุดที่ส่วนปลายของมันตั้งอยู่

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite flat sheet of two-dimensional space itself,

ดังนั้น ในทางปฏิบัติ สิ่งที่คุณกำลังจะนึกถึงก็คือแผ่นระนาบแบนราบที่แผ่กว้างไม่สิ้นสุดของอวกาศสองมิตินั่นเอง

leaving the arrows out of it. กริยาวลี

โดยไม่ต้องมีลูกศรเข้ามาเกี่ยวข้อง

In general, if you're thinking about a vector on its own, วลี

โดยทั่วไปแล้ว หากคุณกำลังคิดถึงเวกเตอร์แบบโดด ๆ

think of it as an arrow.

ให้มองว่ามันเป็นลูกศร

And if you're dealing with a collection of vectors,

แต่ถ้าคุณกำลังจัดการกับกลุ่มของเวกเตอร์

it's convenient to think of them all as points.

จะสะดวกกว่าที่จะมองพวกมันทั้งหมดว่าเป็นจุด

So, for our span example,

ดังนั้น สำหรับตัวอย่างเรื่องสแปนของเรา

the span of most pairs of vectors ends up being the entire infinite sheet of two-dimensional space, กริยาวลี

สแปนของคู่เวกเตอร์ส่วนใหญ่สุดท้ายแล้วจะเป็นแผ่นระนาบ 2 มิติที่แผ่กว้างอย่างไม่มีที่สิ้นสุดทั้งแผ่น

but if they line up,

แต่หากมันเรียงตัวอยู่ในแนวเดียวกัน

their span is just a line.

สแปนของพวกมันก็เป็นแค่เส้นตรงเส้นหนึ่ง

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three-dimensional space.

แนวคิดเรื่องสแปนจะน่าสนใจขึ้นมาก หากเราเริ่มคิดถึงเวกเตอร์ในอวกาศสามมิติ

For example,

ตัวอย่างเช่น

if you take two vectors in 3D space that are not pointing in the same direction,

หากคุณใช้เวกเตอร์สองตัวในอวกาศ 3 มิติที่ไม่ได้ชี้ไปในทิศทางเดียวกัน

what does it mean to take their span?

การหาสแปนของพวกมันหมายความว่าอย่างไร?

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two vectors,

สแปนของพวกมันก็คือ การรวบรวมการจัดหมู่เชิงเส้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเวกเตอร์สองตัวนั้น

meaning all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way

หมายถึงเวกเตอร์ทั้งหมดที่คุณจะได้รับจากการสเกลพวกมันแต่ละตัวด้วยวิธีการใดวิธีหนึ่ง

and then adding them together.

แล้วนำพวกมันมาบวกเข้าด้วยกัน

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the linear combination, สำนวน

คุณพอจะจินตนาการถึงการหมุนปุ่มสองปุ่มที่แตกต่างกัน เพื่อปรับค่าสเกลาร์สองตัวที่กำหนดการจัดหมู่เชิงเส้น

adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

บวกเวกเตอร์ที่สเกลแล้ว และลากเส้นตามรอยปลายของเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ได้ไป

That tip will trace out some kind of flat sheet cutting through the origin of three-dimensional space.

ปลายลูกศรนั้นจะลากตามรอยออกมาเป็นเหมือนแผ่นระนาบแบน ๆ ที่ตัดผ่านจุดกำเนิดของอวกาศสามมิติ

This flat sheet is the span of the two vectors,

แผ่นระนาบนี้คือสแปนของเวกเตอร์สองตัวนั้น

or more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on that flat sheet is the span of your two vectors. ลำดับความ

หรือถ้าจะพูดให้ชัดเจนขึ้น เซตของทุกเวกเตอร์ที่เป็นไปได้ซึ่งปลายลูกศรแตะอยู่บนแผ่นระนาบนั้น ก็คือสแปนของเวกเตอร์สองตัวของคุณ

Isn't that a beautiful mental image?

มันเป็นภาพในหัวที่สวยงามดีใช่ไหมล่ะ?

So, what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

แล้วจะเกิดอะไรขึ้น หากเราเพิ่มเวกเตอร์ตัวที่สามเข้าไป และพิจารณาสแปนของพวกมันทั้งสามตัว?

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two.

การจัดหมู่เชิงเส้นของเวกเตอร์สามตัว ถูกกำหนดความหมายไว้ในลักษณะเดียวกันกับแบบสองตัวแทบจะเป๊ะเลย

You'll choose three different scalars,

คุณจะต้องเลือกสเกลาร์ที่ต่างกันสามตัว

scale each of those vectors,

สเกลเวกเตอร์แต่ละตัวเหล่านั้น

and then add them all together.

แล้วบวกพวกมันทั้งหมดเข้าด้วยกัน

And again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

และอีกครั้งหนึ่ง สแปนของเวกเตอร์เหล่านี้ก็คือเซตของการจัดหมู่เชิงเส้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด

Two different things could happen here.

มีสองสิ่งที่แตกต่างกันซึ่งอาจเกิดขึ้นได้ที่นี่

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two,

หากเวกเตอร์ตัวที่สามของคุณดันตั้งอยู่บนสแปนของสองตัวแรกพอดี

then the span doesn't change.

สแปนก็จะไม่เปลี่ยนแปลง

You're sort of trapped on that same flat sheet.

คุณก็เหมือนติดแหง็กอยู่บนแผ่นระนาบแผ่นเดิมนั้น

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination ลำดับความ

พูดอีกอย่างก็คือ การเพิ่มเวกเตอร์ตัวที่สามที่ถูกสเกลแล้วเข้าไปในการจัดหมู่เชิงเส้น

doesn't really give you access to any new vectors.

ไม่ได้ช่วยให้คุณเข้าถึงเวกเตอร์ใหม่ ๆ ใด ๆ ได้เลย

But if you just randomly choose a third vector,

แต่ถ้าคุณแค่สุ่มเลือกเวกเตอร์ตัวที่สามมา

it's almost certainly not sitting on the span of those first two.

แทบจะแน่นอนเลยว่ามันจะไม่ได้อยู่บนสแปนของสองตัวแรกนั้น

Then, since it's pointing in a separate direction,

และเมื่อมันชี้ไปในทิศทางอื่น

it unlocks access to every possible three-dimensional vector. สำนวน

มันจึงปลดล็อกการเข้าถึงเวกเตอร์สามมิติที่เป็นไปได้ทุกตัว

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector,

วิธีหนึ่งที่ฉันชอบนึกถึงเกี่ยวกับเรื่องนี้คือ เมื่อคุณสเกลเวกเตอร์ตัวที่สามที่เพิ่มมาใหม่นั้น

it moves around that span sheet of the first two,

มันจะเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ แผ่นระนาบสแปนของสองตัวแรก

sweeping it through all of space.

แล้วกวาดระนาบนั้นผ่านครอบคลุมไปทั่วทั้งอวกาศ

Another way to think about it is that you're making full use of the three freely changing scalars that you have at your disposal สำนวน

อีกวิธีหนึ่งในการคิดเรื่องนี้คือ คุณกำลังใช้งานสเกลาร์ที่เปลี่ยนแปลงได้อย่างอิสระทั้งสามตัวที่คุณมีอยู่อย่างเต็มที่

to access the full three dimensions of space.

เพื่อเข้าถึงอวกาศทั้งสามมิติอย่างครบถ้วน

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two,

คราวนี้ ในกรณีที่เวกเตอร์ตัวที่สามอยู่บนสแปนของสองตัวแรกอยู่แล้ว

or the case where two vectors happen to line up,

หรือกรณีที่เวกเตอร์สองตัวบังเอิญเรียงกันเป็นเส้นตรง

we want some terminology to describe the fact that at least one of these vectors is redundant, การใช้คำ

เราต้องการคำศัพท์บางคำเพื่อใช้อธิบายความจริงที่ว่า อย่างน้อยเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งนี้ซ้ำซ้อนเกินความจำเป็น

not adding anything to our span.

และไม่ได้เพิ่มอะไรให้กับสแปนของเราเลย

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing the span,

เมื่อใดก็ตามที่เกิดเหตุการณ์เช่นนี้ขึ้น ที่ซึ่งคุณมีเวกเตอร์หลายตัว และคุณสามารถลบออกตัวหนึ่งได้โดยไม่ทำให้สแปนลดลง

the relevant terminology is to say that they are linearly dependent. การใช้คำ

คำศัพท์ที่เกี่ยวข้องคือการบอกว่าพวกมัน ขึ้นต่อกันเชิงเส้น (linearly dependent)

Another way of phrasing that would be to say that one of the vectors can be expressed as a linear combination of the others, วลี

การอธิบายอีกรูปแบบหนึ่งอาจพูดว่า หนึ่งในเวกเตอร์นั้นสามารถแสดงได้ในรูปของการจัดหมู่เชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวอื่น ๆ

since it's already in the span of the others.

เนื่องจากมันอยู่ในสแปนของตัวอื่น ๆ อยู่แล้ว

On the other hand, ลำดับความ

ในทางกลับกัน

if each vector really does add another dimension to the span, ไวยากรณ์

หากแต่ละเวกเตอร์ได้เพิ่มมิติใหม่ให้กับสแปนจริง ๆ

they're said to be linearly independent. การใช้คำ

พวกมันจะถูกเรียกว่า อิสระเชิงเส้น (linearly independent)

So, with all of that terminology and hopefully with some good mental images to go with it,

ดังนั้น ด้วยคำศัพท์ทั้งหมดที่ว่ามานี้ และหวังว่าคุณจะมีภาพในหัวที่ดีไปประกอบกับมัน

let me leave you with a puzzle before we go. วลี

ฉันขอทิ้งท้ายด้วยปริศนาข้อหนึ่งก่อนที่เราจะจากกัน

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that span that space. การใช้คำ

คำนิยามทางเทคนิคของ ฐาน (basis) ของปริภูมิ (space) คือเซตของเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นซึ่งสแปนปริภูมินั้น

Now, given how I described a basis earlier,

ทีนี้ จากวิธีที่ฉันอธิบายเรื่อง ฐาน ไปก่อนหน้านี้

and given your current understanding of the words span and linearly independent,

และจากความเข้าใจปัจจุบันของคุณเกี่ยวกับคำว่า สแปน และ อิสระเชิงเส้น

think about why this definition would make sense.

ลองคิดดูว่าทำไมคำนิยามนี้ถึงสมเหตุสมผล

In the next video,

ในวิดีโอถัดไป

I'll get into matrices in transforming space.

ฉันจะเข้าสู่เรื่องเมทริกซ์ในการแปลงอวกาศ

See you then.

แล้วเจอกัน