การแปลงเชิงเส้นสามมิติ | บทที่ 5 แก่นแท้ของพีชคณิตเชิงเส้น: บทเรียนภาษาอังกฤษ

Hey folks, I've got a relatively quick video for you today,

สวัสดีทุกคน วันนี้ฉันมีวิดีโอที่ค่อนข้างสั้นมาให้พวกคุณ

just sort of a footnote between chapters. โน้ต

เป็นเหมือนแค่เชิงอรรถระหว่างบทเท่านั้น

In the last two videos, I talked about linear transformations and matrices,

ในสองวิดีโอที่ผ่านมา ฉันได้พูดถึงการแปลงเชิงเส้นและเมทริกซ์

but I only showed the specific case of transformations

แต่ฉันแสดงให้เห็นเฉพาะกรณีของการแปลง

that take two-dimensional vectors to other two-dimensional vectors.

ที่นำเวกเตอร์สองมิติไปยังเวกเตอร์สองมิติอื่นๆ

In general throughout this series, we'll work mainly in two dimensions,

โดยทั่วไปในซีรีส์นี้ เราจะทำงานในสองมิติเป็นหลัก

mostly because it's easier to actually see on the screen and wrap your mind around. สำนวน

ส่วนใหญ่เป็นเพราะมันง่ายกว่าที่จะเห็นบนหน้าจอและทำความเข้าใจ

But more importantly than that, ลำดับความ

แต่ที่สำคัญไปกว่านั้น

once you get all the core ideas in two dimensions,

เมื่อคุณเข้าใจแนวคิดหลักทั้งหมดในสองมิติแล้ว

they carry over pretty seamlessly to higher dimensions. กริยาวลี

พวกมันจะส่งต่อไปยังมิติที่สูงกว่าได้อย่างแนบเนียน

Nevertheless, it's good to peek our heads outside of flatland now and then โน้ต

อย่างไรก็ตาม การมองออกไปนอกดินแดนแบนราบนี้บ้างเป็นครั้งคราวก็เป็นเรื่องดี

to, you know, see what it means to apply these ideas

เพื่อจะได้เห็นว่าการนำแนวคิดเหล่านี้ไปประยุกต์ใช้หมายความว่าอย่างไร

in more than just those two dimensions. ไวยากรณ์

ในมากกว่าแค่สองมิติเหล่านั้น

For example, consider a linear transformation

ตัวอย่างเช่น พิจารณาการแปลงเชิงเส้น

with three-dimensional vectors as inputs

ที่มีเวกเตอร์สามมิติเป็นอินพุต

and three-dimensional vectors as outputs.

และเวกเตอร์สามมิติเป็นเอาต์พุต

We can visualize this by smooshing around all the points in three-dimensional space การใช้คำ

เราสามารถจินตนาการถึงสิ่งนี้ได้โดยการบีบจุดทั้งหมดในพื้นที่สามมิติไปรอบๆ

as represented by a grid in such a way that keeps the grid lines parallel and evenly spaced ไวยากรณ์

ที่แสดงด้วยตารางในลักษณะที่ทำให้เส้นตารางขนานกันและมีระยะห่างเท่ากัน

and which fixes the origin in place. การใช้คำ

และกำหนดจุดกำเนิดให้อยู่กับที่

And just as with two dimensions,

และเช่นเดียวกับสองมิติ

every point of space that we see moving around is really just a proxy for a vector การใช้คำ

ทุกจุดของพื้นที่ที่เราเห็นการเคลื่อนที่เป็นเพียงตัวแทนของเวกเตอร์

who has its tip at that point

ซึ่งมีปลายอยู่ที่จุดนั้น

and what we're really doing is thinking about input vectors moving over to their corresponding outputs. ลำดับความ

และสิ่งที่เรากำลังทำจริงๆ คือการคิดถึงเวกเตอร์อินพุตที่เคลื่อนไปยังเอาต์พุตที่สอดคล้องกัน

And just as with two dimensions,

และเช่นเดียวกับสองมิติ

one of these transformations is completely described by where the basis vectors go. วลี

การแปลงอย่างหนึ่งเหล่านี้ได้รับการอธิบายอย่างสมบูรณ์โดยที่ที่เวกเตอร์ฐานไป

But now, there are three standard basis vectors that we typically use.

แต่ตอนนี้ มีเวกเตอร์ฐานมาตรฐานสามตัวที่เราใช้กันทั่วไป

The unit vector in the x direction, i-hat,

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง x คือ i-hat

the unit vector in the y direction, j-hat,

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง y คือ j-hat

and a new guy, การใช้คำ

และสมาชิกใหม่

the unit vector in the z direction, called k-hat.

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทาง z เรียกว่า k-hat

In fact, I think it's easier to think about these transformations by only following those basis vectors

อันที่จริง ฉันคิดว่ามันง่ายกว่าที่จะนึกถึงการแปลงเหล่านี้โดยการติดตามเวกเตอร์ฐานเหล่านั้นเท่านั้น

since the full 3D grid representing all points can get kind of messy.

เนื่องจากตาราง 3 มิติเต็มรูปแบบที่แสดงทุกจุดอาจทำให้ดูยุ่งเหยิงไปบ้าง

By leaving a copy of the original axes in the background, ไวยากรณ์

การปล่อยให้สำเนาของแกนดั้งเดิมอยู่เป็นพื้นหลัง

we can think about the coordinates of where each of these three basis vectors lands. การใช้คำ

เราสามารถคิดถึงพิกัดที่เวกเตอร์ฐานทั้งสามตัวนี้ตกกระทบได้

Record the coordinates of these three vectors as the columns of a 3x3 matrix.

บันทึกพิกัดของเวกเตอร์ทั้งสามนี้เป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์ 3x3

This gives a matrix that completely describes the transformation using only nine numbers.

สิ่งนี้ให้เมทริกซ์ที่อธิบายการแปลงได้อย่างสมบูรณ์โดยใช้ตัวเลขเพียงเก้าตัว

As a simple example,

ตัวอย่างง่ายๆ

consider the transformation that rotates space 90 degrees around the y-axis.

พิจารณาการแปลงที่หมุนพื้นที่ 90 องศารอบแกน y

So that would mean that it takes i-hat to the coordinates 0 0 -1 on the z-axis. การใช้คำ

นั่นหมายความว่ามันพา i-hat ไปยังพิกัด 0 0 -1 บนแกน z

It doesn't move j-hat,

มันไม่เคลื่อนที่ j-hat

so it stays at the coordinates 0 1 0,

ดังนั้นมันจึงอยู่ที่พิกัด 0 1 0

and then k-hat moves over to the x-axis at 1 0 0.

แล้ว k-hat จะย้ายไปยังแกน x ที่ 1 0 0

Those three sets of coordinates become the columns of a matrix that describes that rotation transformation.

ชุดพิกัดสามชุดนี้กลายเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่อธิบายการแปลงการหมุนนั้น

To see where a vector with coordinates x y z lands,

เพื่อจะดูว่าเวกเตอร์ที่มีพิกัด x y z ตกกระทบที่ใด

the reasoning is almost identical to what it was for two dimensions. วลี

วิธีคิดเกือบจะเหมือนกับสองมิติเลย

Each of those coordinates can be thought of as instructions for how to scale each basis vector โน้ต

พิกัดเหล่านั้นแต่ละตัวสามารถถูกมองว่าเป็นคำสั่งสำหรับวิธีการสเกลแต่ละเวกเตอร์ฐาน

so that they add together to get your vector.

เพื่อให้บวกกันแล้วได้เวกเตอร์ของคุณ

And the important part, just like the 2D case, ลำดับความ

และส่วนที่สำคัญเช่นเดียวกับกรณี 2D

is that this scaling and adding process works both before and after the transformation. ไวยากรณ์

คือกระบวนการสเกลและบวกนี้ทำงานทั้งก่อนและหลังการแปลง

So to see where your vector lands,

ดังนั้น เพื่อดูว่าเวกเตอร์ของคุณตกกระทบที่ไหน

you multiply those coordinates by the corresponding columns of the matrix วลี

คุณนำพิกัดเหล่านั้นไปคูณกับคอลัมน์ที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์

and then you add together the three results.

แล้วบวกผลลัพธ์ทั้งสามเข้าด้วยกัน

Multiplying two matrices is also similar.

การคูณเมทริกซ์สองเมทริกซ์ก็คล้ายกัน

Whenever you see two 3x3 matrices getting multiplied together, ไวยากรณ์

เมื่อใดก็ตามที่คุณเห็นเมทริกซ์ 3x3 สองเมทริกซ์คูณกัน

you should imagine first applying the transformation encoded by the right one, การใช้คำ

คุณควรจินตนาการว่าใช้การแปลงที่เข้ารหัสโดยตัวขวาก่อน

then applying the transformation encoded by the left one.

จากนั้นใช้การแปลงที่เข้ารหัสโดยตัวซ้าย

It turns out that 3D matrix multiplication is actually pretty important for fields like computer graphics and robotics ลำดับความ

ปรากฏว่าการคูณเมทริกซ์ 3 มิติมีความสำคัญมากสำหรับสาขาต่างๆ เช่น คอมพิวเตอร์กราฟิกและวิทยาการหุ่นยนต์

since things like rotations in three dimensions can be pretty hard to describe,

เนื่องจากสิ่งต่างๆ เช่น การหมุนในสามมิติอาจเป็นเรื่องยากที่จะอธิบาย

but they're easier to wrap your mind around if you can break them down กริยาวลี

แต่จะเข้าใจง่ายขึ้นถ้าคุณสามารถแยกพวกมันออกได้

as the composition of separate, easier to think about rotations. การใช้คำ

เป็นองค์ประกอบของการหมุนที่แยกจากกันและคิดตามได้ง่ายขึ้น

Performing this matrix multiplication numerically is, once again,

การดำเนินการคูณเมทริกซ์เชิงตัวเลขนี้ ก็เป็นอีกครั้งที่

pretty similar to the two-dimensional case.

คล้ายกับกรณีสองมิติมาก

In fact, a good way to test your understanding of the last video ไวยากรณ์

อันที่จริง วิธีที่ดีในการทดสอบความเข้าใจของคุณเกี่ยวกับวิดีโอที่แล้ว

would be to try to reason through what specifically this matrix multiplication should look like, กริยาวลี

คือการพยายามหาเหตุผลว่าการคูณเมทริกซ์นี้ควรมีลักษณะอย่างไรโดยเฉพาะ

thinking closely about how it relates to the idea of applying two successive transformations in space.

โดยคิดให้รอบคอบว่ามันเกี่ยวข้องกับแนวคิดของการใช้การแปลงสองครั้งต่อเนื่องกันในอวกาศอย่างไร

In the next video,

ในวิดีโอถัดไป

I'll start getting into the determinant. กริยาวลี

ฉันจะเริ่มเข้าสู่เรื่องดีเทอร์มิแนนต์