e^(iπ) ใน 3.14 นาที ด้วยพลศาสตร์ | DE5: บทเรียนภาษาอังกฤษ

One way to think about the function e to the t is to ask what properties does it have? ลำดับความ

วิธีหนึ่งในการพิจารณาฟังก์ชัน e กำลัง t คือการถามว่า มันมีคุณสมบัติอะไรบ้าง

Probably the most important one,

และคุณสมบัติที่น่าจะสำคัญที่สุด

and from some points of view the defining property, น้ำเสียง/เจตนา

ซึ่งในมุมมองหนึ่งถือเป็นคุณสมบัติที่นิยามตัวมันเอง

is that it is its own derivative. ไวยากรณ์

ก็คือการที่อนุพันธ์ของมันเท่ากับตัวมันเอง

Together with the added condition that inputting zero returns one, การใช้คำ

เมื่อรวมกับเงื่อนไขเพิ่มเติมที่ว่าการใส่ค่าศูนย์เข้าไปแล้วได้ผลลัพธ์เป็นหนึ่ง

it's actually the only function with this property.

นี่ก็เป็นฟังก์ชันเดียวเท่านั้นที่มีคุณสมบัตินี้

And you can illustrate what this means with a physical model. วลี

และคุณสามารถอธิบายความหมายนี้ได้ด้วยแบบจำลองทางฟิสิกส์

If e to the t describes your position on a number line as a function of time, การใช้คำ

ถ้า e กำลัง t อธิบายตำแหน่งของคุณบนเส้นจำนวนให้เป็นฟังก์ชันของเวลา

then you start at the number one,

คุณจะเริ่มต้นที่เลขหนึ่ง

and what this equation is saying is that your velocity, ไวยากรณ์

และสิ่งที่สมการนี้กำลังบอกคือความเร็วของคุณ

the derivative of position,

ซึ่งก็คืออนุพันธ์ของตำแหน่ง

is always equal to that position.

จะเท่ากับตำแหน่งนั้นเสมอ

The farther away from zero you are, ไวยากรณ์

ยิ่งคุณอยู่ห่างจากศูนย์มากเท่าไหร่

the faster you move.

คุณก็จะเคลื่อนที่เร็วขึ้นเท่านั้น

So even before knowing how to compute e to the t exactly, ไวยากรณ์

ดังนั้นแม้กระทั่งก่อนที่จะรู้วิธีคำนวณ e กำลัง t ได้อย่างแม่นยำ

going from a specific time to a specific position,

ในการเปลี่ยนจากเวลาเฉพาะเจาะจงไปยังตำแหน่งเฉพาะเจาะจง

this ability to associate each position with a velocity วลี

ความสามารถในการเชื่อมโยงแต่ละตำแหน่งเข้ากับความเร็วนี้

paints a very strong intuitive picture of how the function must grow. สำนวน

ได้วาดภาพตามสัญชาตญาณที่ชัดเจนมากว่าฟังก์ชันนี้จะเติบโตไปอย่างไร

You know that you'll be accelerating,

คุณรู้ว่าคุณกำลังจะเร่งความเร็วขึ้น

and at an accelerating rate, วลี

และด้วยอัตราความเร่งที่เพิ่มขึ้น

with an all-around feeling of things getting out of hand quickly. สำนวน

พร้อมกับความรู้สึกโดยรวมที่ว่าสิ่งต่างๆ กำลังควบคุมไม่ได้อย่างรวดเร็ว

And if you add a constant to that exponent,

และถ้าคุณเพิ่มค่าคงที่เข้าไปในเลขชี้กำลังนั้น

like e to the 2 times t,

เช่น e กำลัง 2 คูณ t

the chain rule tells us that the derivative is now 2 times itself.

กฎลูกโซ่บอกเราว่าอนุพันธ์ตอนนี้จะเป็น 2 เท่าของตัวมันเอง

So at every point on the number line,

ดังนั้นที่ทุกจุดบนเส้นจำนวน

rather than attaching a vector corresponding to the number itself, ไวยากรณ์

แทนที่จะแนบเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับตัวเลขนั้นๆ เอง

first double the magnitude of the position,

ให้เพิ่มขนาดของตำแหน่งเป็นสองเท่าก่อน

then attach it.

แล้วจึงค่อยแนบมันเข้าไป

Moving so that your position is always e to the 2t

การเคลื่อนที่โดยให้ตำแหน่งของคุณเป็น e กำลัง 2t เสมอ

is the same thing as moving in such a way ไวยากรณ์

ก็เหมือนกับการเคลื่อนที่ในลักษณะที่

that your velocity is always twice your position.

ความเร็วของคุณเป็นสองเท่าของตำแหน่งของคุณเสมอ

The implication of that too

นัยยะของมันก็คือ

is that our runaway growth feels all the more out of control. วลี

การเติบโตที่พุ่งทะยานนี้ทำให้เรารู้สึกว่าควบคุมมันไม่ได้ยิ่งขึ้นไปอีก

If that constant was negative,

ถ้าค่าคงที่นั้นเป็นค่าลบ

say negative 0.5,

เช่น ลบ 0.5

then your velocity vector is always negative 0.5 times your position vector,

เวกเตอร์ความเร็วของคุณก็จะเป็นลบ 0.5 เท่าของเวกเตอร์ตำแหน่งของคุณเสมอ

meaning you flip it around 180 degrees

นั่นหมายความว่าคุณพลิกมันกลับ 180 องศา

and scale its length by a half. การใช้คำ

และย่อขนาดความยาวของมันลงครึ่งหนึ่ง

Moving in such a way

การเคลื่อนที่ในลักษณะที่

that your velocity always matches this flipped and squished copy of your position vector,

ความเร็วของคุณตรงกับสำเนาเวกเตอร์ตำแหน่งที่ถูกพลิกและหดลงนี้เสมอ

you go the other direction,

คุณจะไปในทิศทางตรงกันข้าม

slowing down in an exponential decay towards zero. การใช้คำ

ช้าลงด้วยการสลายตัวแบบเอกซ์โปเนนเชียลเข้าหาศูนย์

But what about if that constant was i, น้ำเสียง/เจตนา

แต่ถ้าค่าคงที่นั้นเป็น i ล่ะ

the square root of negative one?

รากที่สองของลบหนึ่ง?

If your position was always e to the i t,

ถ้าตำแหน่งของคุณเป็น e กำลัง i คูณ t เสมอ

how would you move as the time t ticks forward?

คุณจะเคลื่อนที่อย่างไรเมื่อเวลา t เดินหน้าไป?

Well, now the derivative of your position will always be i times itself,

เอาล่ะ ตอนนี้อนุพันธ์ของตำแหน่งคุณจะเป็น i เท่าของตัวมันเองเสมอ

and multiplying by i has the effect of rotating numbers 90 degrees. วลี

และการคูณด้วย i มีผลทำให้ตัวเลขหมุนไป 90 องศา

So, as you might expect, ลำดับความ

ดังนั้น อย่างที่คุณอาจคาดไว้

things only make sense here if we start thinking beyond the number line สำนวน

สิ่งนี้จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อเราเริ่มคิดนอกเหนือเส้นจำนวน

and in the complex plane.

และเข้าไปในระนาบเชิงซ้อน

So, even before you know how to compute e to the i times t,

ดังนั้น แม้ก่อนที่คุณจะรู้วิธีคำนวณ e กำลัง i คูณ t

you know that for any position this might give for some value of time,

คุณก็รู้ว่าไม่ว่าตำแหน่งนี้จะให้ค่าเวลาเท่าใดก็ตาม

the velocity at that time will be a 90 degree rotation of that position.

ความเร็วในเวลานั้นจะเป็นการหมุน 90 องศาของตำแหน่งนั้น

Drawing this for all possible positions you might come across, กริยาวลี

เมื่อวาดสิ่งนี้สำหรับตำแหน่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่คุณอาจพบ

you get a vector field,

คุณจะได้สนามเวกเตอร์

where as usual with vector fields,

โดยที่สนามเวกเตอร์ทั่วไปมักจะเป็นเช่นนี้

you shrink things down to avoid clutter. กริยาวลี

คุณต้องย่อส่วนสิ่งต่างๆ ลงเพื่อไม่ให้ดูรกเกินไป

At time t equals zero,

ที่เวลา t เท่ากับศูนย์

e to the i t will be one,

e กำลัง i t จะเป็นหนึ่ง

that's our initial condition,

นั่นคือเงื่อนไขเริ่มต้นของเรา

and there's only one trajectory starting from that position

และมีเส้นทางเดียวที่เริ่มต้นจากตำแหน่งนั้น

where your velocity is always matching the vector that it's passing through,

โดยที่ความเร็วของคุณจะตรงกับเวกเตอร์ที่มันลากผ่านเสมอ

a 90 degree rotation of the position.

นั่นคือการหมุน 90 องศาของตำแหน่งนั้น

It's when you go around a circle of radius one

มันคือตอนที่คุณวนรอบวงกลมที่มีรัศมีเป็นหนึ่ง

at a speed of one unit per second. การใช้คำ

ด้วยความเร็วหนึ่งหน่วยต่อวินาที

So, after pi seconds,

ดังนั้น หลังจากผ่านไป pi วินาที

you've traced a distance of pi around.

คุณได้เคลื่อนที่ตามเส้นทางเป็นระยะทาง pi

So, e to the i times pi should be negative one. ไวยากรณ์

ดังนั้น e กำลัง i คูณ pi ควรเป็นลบหนึ่ง

After tau seconds,

หลังจากผ่านไป tau วินาที

you've gone full circle.

คุณวนครบหนึ่งรอบเต็ม

E to the i times tau equals one.

e กำลัง i คูณ tau เท่ากับหนึ่ง

And more generally, ลำดับความ

และโดยทั่วไปแล้ว

e to the i times t equals a number

e กำลัง i คูณ t จะเท่ากับตัวเลข

that's t radians around this unit circle in the complex plane.

ที่หมุนไป t เรเดียนรอบวงกลมหนึ่งหน่วยนี้ในระนาบเชิงซ้อน

Nevertheless, ลำดับความ

อย่างไรก็ตาม

something might still feel immoral about putting an imaginary number up in that exponent. สำนวน

บางสิ่งอาจยังรู้สึกไม่ถูกต้องนักเกี่ยวกับการนำจำนวนจินตภาพไปใส่ไว้ในเลขชี้กำลัง

And you would be right to question that. น้ำเสียง/เจตนา

และคุณก็คิดถูกแล้วที่ตั้งคำถามนั้น

What we write as e to the t is a bit of a notational disaster, สำนวน

สิ่งที่เราเขียนเป็น e กำลัง t ถือเป็นความหายนะทางสัญลักษณ์เล็กน้อย

giving the number e and the idea of repeated multiplication

ที่ให้ความสำคัญกับตัวเลข e และแนวคิดการคูณซ้ำ

way more emphasis than they deserve. ไวยากรณ์

มากเกินกว่าที่มันควรจะได้รับ

But my time is up, สำนวน

แต่เวลาของผมหมดลงแล้ว

so I'll spare you the full rant until the next video. น้ำเสียง/เจตนา

ผมขอเก็บคำบ่นแบบเต็มๆ ไว้ในวิดีโอหน้านะครับ