เมทริกซ์ไม่จัตุรัสในฐานะการแปลงระหว่างมิติ | บทที่ 8, แก่นแท้ของพีชคณิตเชิงเส้น: บทเรียนภาษาอังกฤษ

Hey everyone,

สวัสดีทุกคนครับ

I've got another quick footnote for you between chapters today. ลำดับความ

วันนี้ผมมีเกร็ดความรู้สั้นๆ มาฝากระหว่างบทครับ

When I've talked about linear transformations so far,

จนถึงตอนนี้เวลาผมพูดถึงการแปลงเชิงเส้น

I've only really talked about transformations from 2D vectors to other 2D vectors

ผมมักจะพูดถึงแค่การแปลงจากเวกเตอร์ 2 มิติไปยังเวกเตอร์ 2 มิติอื่นๆ

represented with 2x2 matrices

ที่แสดงด้วยเมทริกซ์ 2x2

or from 3D vectors to other 3D vectors

หรือจากเวกเตอร์ 3 มิติไปยังเวกเตอร์ 3 มิติอื่นๆ

represented with 3x3 matrices.

ที่แสดงด้วยเมทริกซ์ 3x3

But several commenters have asked about non-square matrices, วัฒนธรรม

แต่มีผู้แสดงความคิดเห็นหลายคนถามถึงเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัส

so I thought I'd take a moment to just show what those mean geometrically. โน้ต

ดังนั้นผมจึงคิดว่าจะใช้เวลาสักครู่เพื่อแสดงให้เห็นว่ามันหมายถึงอะไรในทางเรขาคณิต

By now in the series,

มาถึงตอนนี้ในซีรีส์

you actually have most of the background you need to start pondering a question like this on your own, วลี

คุณน่าจะมีพื้นฐานส่วนใหญ่ที่จำเป็นในการเริ่มขบคิดคำถามแบบนี้ด้วยตัวเองแล้ว

but I'll start talking through it just to give a little mental momentum. โน้ต

แต่ผมจะเริ่มอธิบายมันเพื่อเป็นแรงผลักดันทางความคิดสักหน่อย

It's perfectly reasonable to talk about transformations between dimensions วลี

มันสมเหตุสมผลอย่างยิ่งที่จะพูดถึงการแปลงข้ามมิติ

such as one that takes 2D vectors to 3D vectors.

เช่น การแปลงเวกเตอร์ 2 มิติให้เป็นเวกเตอร์ 3 มิติ

Again, what makes one of these linear is that gridlines remain parallel and evenly spaced ไวยากรณ์

อีกครั้งครับ สิ่งที่ทำให้การแปลงเหล่านี้เป็นเชิงเส้นคือเส้นกริดยังคงขนานและมีระยะห่างเท่ากัน

and that the origin maps to the origin. การใช้คำ

และจุดกำเนิดจับคู่ไปยังจุดกำเนิด

What I have pictured here is the input space on the left, โน้ต

สิ่งที่ผมวาดไว้ตรงนี้คือปริภูมิอินพุตทางด้านซ้าย

which is just 2D space,

ซึ่งเป็นแค่ปริภูมิ 2 มิติ

and the output of the transformation shown on the right.

และผลลัพธ์ของการแปลงแสดงอยู่ทางด้านขวา

The reason I'm not showing the inputs move over to the outputs like I usually do ไวยากรณ์

เหตุผลที่ผมไม่แสดงให้เห็นการเคลื่อนที่ของอินพุตไปยังผลลัพธ์เหมือนที่ผมมักจะทำ

is not just animation laziness.

ไม่ใช่แค่เพราะขี้เกียจทำแอนิเมชัน

It's worth emphasizing that 2D vector inputs are very different animals from these 3D vector outputs โน้ต

แต่ควรเน้นย้ำว่าอินพุตของเวกเตอร์ 2 มิตินั้นแตกต่างอย่างสิ้นเชิงกับผลลัพธ์เวกเตอร์ 3 มิติเหล่านี้

living in a completely separate unconnected space.

ซึ่งอาศัยอยู่ในปริภูมิที่แยกจากกันโดยสิ้นเชิงและไม่เชื่อมต่อกัน

Encoding one of these transformations with a matrix is really just the same thing as what we've done before. วลี

การเข้ารหัสการแปลงเหล่านี้ด้วยเมทริกซ์นั้นจริงๆ แล้วก็เหมือนกับที่เราเคยทำมาก่อน

You look at where each basis vector lands โน้ต

คุณดูว่าเวกเตอร์ฐานแต่ละตัวไปตกที่ตำแหน่งใด

and write the coordinates of the landing spots as the columns of a matrix. วลี

และเขียนพิกัดของจุดตกเหล่านั้นเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์

For example, what you're looking at here is an output of a transformation that takes i-hat

ยกตัวอย่างเช่น สิ่งที่คุณกำลังดูอยู่ที่นี่คือผลลัพธ์ของการแปลงที่พา i-hat

to the coordinates 2 -1 -2

ไปยังพิกัด 2 -1 -2

and j-hat to the coordinates 0 1 1.

และพา j-hat ไปยังพิกัด 0 1 1

Notice, this means the matrix encoding our transformation has three rows and two columns, ลำดับความ

สังเกตว่า นั่นหมายความว่าเมทริกซ์ที่เข้ารหัสการแปลงของเรามีสามแถวและสองคอลัมน์

which, to use standard terminology, makes it a 3x2 matrix. โน้ต

ซึ่งเมื่อใช้คำศัพท์มาตรฐาน จะเรียกมันว่าเมทริกซ์ 3x2

In the language of last video, ลำดับความ

ในภาษาของวิดีโอที่แล้ว

the column space of this matrix, the place where all the vectors land, วัฒนธรรม

ปริภูมิคอลัมน์ของเมทริกซ์นี้ ซึ่งก็คือสถานที่ที่เวกเตอร์ทั้งหมดไปตก

is a 2D plane slicing through the origin of 3D space. การใช้คำ

คือระนาบ 2 มิติที่ตัดผ่านจุดกำเนิดของปริภูมิ 3 มิติ

But the matrix is still full rank since the number of dimensions in this column space วัฒนธรรม

แต่เมทริกซ์นี้ยังคงมีแรงก์เต็มเนื่องจากจำนวนมิติในปริภูมิคอลัมน์นี้

is the same as the number of dimensions of the input space.

เท่ากับจำนวนมิติของปริภูมิอินพุต

So, if you see a 3x2 matrix out in the wild, โน้ต

ดังนั้น หากคุณบังเอิญเห็นเมทริกซ์ 3x2 ที่ไหน

you can know that it has the geometric interpretation of mapping two dimensions to three dimensions.

คุณก็รู้ได้เลยว่ามันมีการตีความทางเรขาคณิตคือการจับคู่สองมิติไปยังสามมิติ

Since the two columns indicate that the input space has two basis vectors

เพราะสองคอลัมน์นั้นบ่งบอกว่าปริภูมิอินพุตมีเวกเตอร์ฐานสองตัว

and the three rows indicate that the landing spots for each of those basis vectors

และสามแถวบอกว่าจุดตกของเวกเตอร์ฐานแต่ละตัว

is described with three separate coordinates.

ถูกอธิบายด้วยสามพิกัดที่แยกจากกัน

Likewise, if you see a 2x3 matrix with two rows and three columns,

ในทำนองเดียวกัน หากคุณเห็นเมทริกซ์ 2x3 ที่มีสองแถวและสามคอลัมน์

what do you think that means?

คุณคิดว่ามันหมายความว่าอย่างไร?

Well, the three columns indicate that you're starting in a space that has three basis vectors,

เอาล่ะ สามคอลัมน์บ่งบอกว่าคุณกำลังเริ่มต้นในปริภูมิที่มีเวกเตอร์ฐานสามตัว

so we're starting in three dimensions.

ดังนั้นเรากำลังเริ่มต้นในสามมิติ

And the two rows indicate that the landing spot for each of those three basis vectors

และสองแถวบ่งบอกว่าจุดตกสำหรับเวกเตอร์ฐานทั้งสามตัวนั้น

is described with only two coordinates,

ถูกอธิบายด้วยเพียงสองพิกัดเท่านั้น

so they must be landing in two dimensions. ไวยากรณ์

ดังนั้นพวกมันต้องตกลงในสองมิติ

So, it's a transformation from 3D space onto the 2D plane. วัฒนธรรม

สรุปว่ามันคือการแปลงจากปริภูมิ 3 มิติลงบนระนาบ 2 มิติ

A transformation that should feel very uncomfortable if you imagine going through it. สำนวน

เป็นการแปลงที่น่าจะรู้สึกอึดอัดมากถ้าคุณจินตนาการว่าต้องผ่านมันไป

You could also have a transformation from two dimensions to one dimension.

คุณยังสามารถมีการแปลงจากสองมิติไปยังหนึ่งมิติได้เช่นกัน

One-dimensional space is really just the number line, วัฒนธรรม

ปริภูมิหนึ่งมิติก็คือเส้นจำนวนนั่นเอง

so a transformation like this takes in 2D vectors and spits out numbers. กริยาวลี

ดังนั้นการแปลงแบบนี้จะรับเวกเตอร์ 2 มิติเข้ามาและคายออกมาเป็นตัวเลข

Thinking about grid lines remaining parallel and evenly spaced is a little bit messy due to all of the squishification happening here. การใช้คำ

การนึกถึงเส้นกริดที่ยังคงขนานและมีระยะห่างเท่ากันนั้นค่อนข้างจะยุ่งเหยิงเล็กน้อย เนื่องจากการบีบอัดทั้งหมดที่เกิดขึ้นที่นี่

So, in this case,

ดังนั้น ในกรณีนี้

the visual understanding for what linearity means is that if you have a line of evenly spaced dots, ไวยากรณ์

ความเข้าใจภาพของการเป็นเชิงเส้นก็คือ หากคุณมีเส้นของจุดที่มีระยะห่างเท่ากัน

it would remain evenly spaced once they're mapped onto the number line.

จุดเหล่านั้นจะยังคงมีระยะห่างเท่ากันเมื่อถูกจับคู่ลงบนเส้นจำนวน

One of these transformations is encoded with a 1x2 matrix,

การแปลงเหล่านี้ถูกเข้ารหัสด้วยเมทริกซ์ 1x2

each of whose two columns has just a single entry. โน้ต

ซึ่งสองคอลัมน์แต่ละคอลัมน์มีเพียงข้อมูลเดียว

The two columns represent where the basis vectors land,

สองคอลัมน์เป็นตัวแทนว่าเวกเตอร์ฐานไปตกที่ไหน

and each one of those columns requires just one number,

และคอลัมน์เหล่านั้นแต่ละคอลัมน์ต้องการเพียงตัวเลขเดียว

the number that that basis vector landed on.

ตัวเลขที่เวกเตอร์ฐานตัวนั้นไปตกลงพอดี

This is actually a surprisingly meaningful type of transformation with close ties to the dot product, วลี

สิ่งนี้จริงๆ แล้วคือประเภทของการแปลงที่มีความหมายอย่างน่าประหลาดใจและเชื่อมโยงใกล้ชิดกับผลคูณจุด

and I'll be talking about that next video.

และผมจะพูดถึงเรื่องนั้นในวิดีโอถัดไป

Until then, I encourage you to play around with this idea on your own, โน้ต

จนกว่าจะถึงตอนนั้น ผมขอแนะนำให้คุณลองเล่นกับแนวคิดนี้ด้วยตัวคุณเอง

contemplating the meanings of things like matrix multiplication and linear systems of equations

ไตร่ตรองความหมายของสิ่งต่างๆ เช่น การคูณเมทริกซ์ และระบบสมการเชิงเส้น

in the context of transformations between different dimensions. วลี

ในบริบทของการแปลงระหว่างมิติที่แตกต่างกัน

Have fun.

ขอให้สนุกครับ