ควอเทอร์เนียนและการหมุน 3 มิติ พร้อมคำอธิบายแบบโต้ตอบได้: บทเรียนภาษาอังกฤษ

In a moment, I'll point you to a separate website hosting a short sequence of what we're calling explorable videos. การใช้คำ

อีกสักครู่ ฉันจะแนะนำเว็บไซต์แยกต่างหากซึ่งโฮสต์ซีรีส์สั้นๆ ของสิ่งที่เราเรียกว่าวิดีโอที่สำรวจได้

It was done in collaboration with Ben Eater, วลี

ทำร่วมกับ Ben Eater

who some of you may know is that guy who runs the excellent computer engineering channel.

ซึ่งบางท่านอาจรู้จักเขาในฐานะผู้บริหารช่องวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ที่ยอดเยี่ยม

And if you don't know who he is,

และถ้าคุณไม่รู้ว่าเขาคือใคร

viewers of this channel would certainly enjoy the content of his.

ผู้ชมช่องนี้จะต้องเพลิดเพลินกับเนื้อหาของเขาอย่างแน่นอน

So do check it out. โน้ต

ดังนั้นอย่าลืมเข้าไปดู

This collaboration was something a little different though,

แต่ความร่วมมือครั้งนี้แตกต่างออกไปเล็กน้อย

for both of us.

สำหรับเราทั้งคู่

And all of the web development that made these explorable videos possible

และการพัฒนาเว็บทั้งหมดที่ทำให้วิดีโอที่สำรวจได้เหล่านี้เป็นไปได้

is completely thanks to Ben.

ต้องขอบคุณ Ben ทั้งหมด

I don't want to say too much about it here.

ฉันไม่อยากพูดอะไรมากที่นี่

It's really something you have to experience for yourself.

มันเป็นสิ่งที่คุณต้องสัมผัสด้วยตัวเองจริงๆ

Certainly one of the coolest projects I've had the pleasure of working on. วลี

เป็นหนึ่งในโปรเจกต์ที่เจ๋งที่สุดที่ฉันมีความสุขที่ได้ร่วมงานด้วยอย่างแน่นอน

Before that though,

แต่ก่อนหน้านั้น

if you can contain your excitement, น้ำเสียง/เจตนา

หากคุณสามารถอดกลั้นความตื่นเต้นไว้ได้

I want to use this video as a chance to tee things up with a little bit of surrounding context. กริยาวลี

ฉันต้องการใช้วิดีโอนี้เป็นโอกาสในการปูพื้นฐานด้วยบริบทรอบข้างเล็กน้อย

So to set the stage, สำนวน

เพื่อกำหนดฉาก

last video I described quaternions,

วิดีโอที่แล้วฉันได้อธิบายถึงควอเทอร์เนียน

a certain four-dimensional number system

ระบบตัวเลขสี่มิติแบบหนึ่ง

that the 19th century versions of Wolverine and the old man from Home Alone

ที่เวอร์ชันศตวรรษที่ 19 ของวูล์ฟเวอรีนและชายชราจาก Home Alone

called evil for how convoluted it seemed at the time.

เรียกว่าปีศาจเพราะความซับซ้อนของมันในตอนนั้น

And perhaps you too are wondering

และบางทีคุณอาจจะสงสัยเหมือนกันว่า

why on earth anyone would bother with such an alien seeming number system. โน้ต

ทำไมใครก็ตามถึงต้องใส่ใจกับระบบตัวเลขที่ดูแปลกประหลาดขนาดนี้

Well,

เอาล่ะ

one of the big reasons,

หนึ่งในเหตุผลสำคัญ

especially for programmers,

โดยเฉพาะสำหรับโปรแกรมเมอร์

is that they give a really nice way for describing 3D orientation,

คือมันให้วิธีที่ดีมากในการอธิบายทิศทาง 3 มิติ

which is not susceptible to the bugs and edge cases of other methods. โน้ต

ซึ่งไม่เสี่ยงต่อข้อบกพร่องและกรณีขอบเขตของวิธีการอื่น

I mean,

ฉันหมายถึง

they're interesting mathematically for a lot of reasons,

มันน่าสนใจในทางคณิตศาสตร์ด้วยหลายเหตุผล

but this application for computer graphics and robotics and virtual reality

แต่แอปพลิเคชันนี้สำหรับคอมพิวเตอร์กราฟิก วิทยาการหุ่นยนต์ และความเป็นจริงเสมือน

and anything involving 3D orientation is probably the biggest use case for quaternions. การใช้คำ

และสิ่งใดก็ตามที่เกี่ยวข้องกับทิศทาง 3 มิติ อาจเป็นกรณีการใช้งานที่ใหญ่ที่สุดสำหรับควอเทอร์เนียน

To take one example, ลำดับความ

ยกตัวอย่างเช่น

a friend of mine who used to work at Apple, ไวยากรณ์

เพื่อนของฉันคนหนึ่งที่เคยทำงานที่ Apple

Andy Matuschak,

Andy Matuschak

delighted in telling me about shipping code to hundreds of millions of devices that uses quaternions to track the phone's model for how it's oriented in space. การใช้คำ

เล่าให้ฉันฟังอย่างมีความสุขเกี่ยวกับการส่งโค้ดไปยังอุปกรณ์หลายร้อยล้านเครื่องที่ใช้ควอเทอร์เนียนเพื่อติดตามแบบจำลองของโทรศัพท์ว่ามันหันไปทางไหนในอวกาศ

That's right.

ถูกต้องแล้ว

Your phone almost certainly has software running somewhere inside of it that relies on quaternions.

โทรศัพท์ของคุณเกือบจะมีซอฟต์แวร์ทำงานอยู่ที่ใดที่หนึ่งภายในที่อาศัยควอเทอร์เนียน

The thing is, ลำดับความ

ประเด็นคือ

there are other ways to think about computing rotations,

มีวิธีอื่นในการคิดเกี่ยวกับการคำนวณการหมุน

many of which are way simpler to think about than quaternions. ไวยากรณ์

หลายวิธีนั้นคิดได้ง่ายกว่าควอเทอร์เนียนมาก

For example,

ตัวอย่างเช่น

any of you familiar with linear algebra will know that 3 x 3 matrices can really nicely describe 3D transformations. ไวยากรณ์

ใครก็ตามที่คุ้นเคยกับพีชคณิตเชิงเส้นจะรู้ว่าเมทริกซ์ 3 x 3 สามารถอธิบายการแปลง 3 มิติได้ดีมาก

And a common way that many programmers think about constructing a rotation matrix for a desired orientation

และวิธีทั่วไปที่โปรแกรมเมอร์หลายคนคิดเกี่ยวกับการสร้างเมทริกซ์การหมุนสำหรับทิศทางที่ต้องการ

is to imagine rotating an object around three easy to think about axes,

คือการจินตนาการถึงการหมุนวัตถุรอบแกนที่คิดได้ง่ายสามแกน

where the relevant angles for these rotations are commonly called Euler angles.

ซึ่งมุมที่เกี่ยวข้องสำหรับการหมุนเหล่านี้มักเรียกว่ามุมออยเลอร์

And this mostly works,

และส่วนใหญ่ก็ใช้ได้

but one big problem is that it's vulnerable to something called gimbal lock,

แต่ปัญหาใหญ่ประการหนึ่งคือมันเสี่ยงต่อสิ่งที่เรียกว่ากิมบอลล็อค

where when two of your axes of rotation get lined up, กริยาวลี

ซึ่งเมื่อแกนหมุนสองแกนของคุณเรียงตรงกัน

you lose a degree of freedom. การใช้คำ

คุณจะสูญเสียระดับความเป็นอิสระไปหนึ่งระดับ

And it can also cause difficulties and ambiguities

และยังทำให้เกิดความยากลำบากและความคลุมเครือ

when trying to interpolate between two separate orientations. วลี

เมื่อพยายามประมาณค่าในช่วงระหว่างทิศทางสองทิศทางที่แยกจากกัน

If you're curious for more of the details,

หากคุณสงสัยเกี่ยวกับรายละเอียดเพิ่มเติม

there are many great sources online for learning about Euler angles and gimbal lock,

มีแหล่งข้อมูลออนไลน์ที่ยอดเยี่ยมมากมายสำหรับการเรียนรู้เกี่ยวกับมุมออยเลอร์และกิมบอลล็อค

and I've left links in the description to a few of them.

และฉันได้ทิ้งลิงก์ไว้ในคำอธิบายสำหรับบางส่วน

Not only do quaternions avoid issues like gimbal lock, ไวยากรณ์

ไม่เพียงแต่ควอเทอร์เนียนจะหลีกเลี่ยงปัญหาอย่างกิมบอลล็อค

they give a really seamless way to interpolate between two three-dimensional orientations,

พวกมันให้วิธีที่ราบรื่นมากในการประมาณค่าในช่วงระหว่างทิศทางสามมิติสองทิศทาง

one which lacks the ambiguities of Euler angles, ไวยากรณ์

ซึ่งไม่มีความคลุมเครือของมุมออยเลอร์

and which avoids the issues of numerical precision and normalization

และหลีกเลี่ยงปัญหาความแม่นยำเชิงตัวเลขและการทำให้เป็นบรรทัดฐาน

that arise in trying to interpolate between two rotation matrices.

ที่เกิดขึ้นในการพยายามประมาณค่าในช่วงระหว่างเมทริกซ์การหมุนสองตัว

To warm up to the idea of how multiplication in some higher-dimensional number system กริยาวลี

เพื่ออุ่นเครื่องกับแนวคิดที่ว่าการคูณในระบบตัวเลขที่มีมิติสูงขึ้น

might be used to compute rotations,

อาจถูกใช้เพื่อคำนวณการหมุนได้อย่างไร

take a moment to remember how it is that complex numbers give a slick method for computing 2D rotations. ไวยากรณ์

ใช้เวลาสักครู่เพื่อจดจำว่าจำนวนเชิงซ้อนให้วิธีการที่ยอดเยี่ยมในการคำนวณการหมุน 2 มิติได้อย่างไร

Specifically,

โดยเฉพาะ

let's say you have some point in two-dimensional space, ลำดับความ

สมมติว่าคุณมีจุดบางจุดในอวกาศสองมิติ

like 4 1,

เช่น (4, 1)

and you want to know the new coordinates you'd get if you rotate this point 30 degrees around the origin. ไวยากรณ์

และคุณต้องการทราบพิกัดใหม่ที่คุณจะได้รับหากคุณหมุนจุดนี้ 30 องศารอบจุดกำเนิด

Complex numbers give sort of a snazzy way to do this.

จำนวนเชิงซ้อนให้วิธีที่ค่อนข้างเก๋ไก๋ในการทำเช่นนี้

You take the complex number that's 30 degrees off the horizontal with magnitude one,

คุณนำจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ห่างจากแนวนอน 30 องศาโดยมีขนาดเท่ากับหนึ่ง

cosine 30 degrees plus sine of 30 degrees times I,

โคไซน์ 30 องศา บวก ไซน์ 30 องศา คูณด้วย I

and then you just multiply this by your point,

แล้วคุณก็คูณสิ่งนี้ด้วยจุดของคุณ

represented as a complex number.

ซึ่งแสดงเป็นจำนวนเชิงซ้อน

The only rule you need to know to carry out this computation is that I squared equals negative one. กริยาวลี

กฎข้อเดียวที่คุณต้องรู้เพื่อทำการคำนวณนี้คือ I กำลังสองเท่ากับลบหนึ่ง

And then,

จากนั้น

in what might feel like a bit of black magic to those first learning it, โน้ต

ในสิ่งที่อาจรู้สึกเหมือนมนต์ดำเล็กน้อยสำหรับผู้ที่เพิ่งเรียนรู้

carrying out this product from that one simple rule gives the coordinates of a new point,

การดำเนินการผลคูณจากกฎง่ายๆ ข้อเดียวนี้จะให้พิกัดของจุดใหม่

the point rotated 30 degrees from the original.

จุดที่หมุน 30 องศาจากต้นฉบับ

Using quaternions to describe 3D rotations is similar,

การใช้ควอเทอร์เนียนเพื่ออธิบายการหมุน 3 มิติก็คล้ายกัน

though the look and feel is slightly different. วลี

แม้ว่ารูปลักษณ์และความรู้สึกจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย

Let's say you want to rotate some angle about some axis.

สมมติว่าคุณต้องการหมุนมุมบางมุมรอบแกนบางแกน

You first define that axis with a unit vector,

ขั้นแรกคุณกำหนดแกนนั้นด้วยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

which we'll write as having I, J, and K components,

ซึ่งเราจะเขียนว่ามีส่วนประกอบ I, J และ K

normalized so that the sum of the squares of those components is one. การใช้คำ

ทำให้เป็นบรรทัดฐานเพื่อให้ผลรวมของกำลังสองของส่วนประกอบเหล่านั้นเท่ากับหนึ่ง

Similar to the case of complex numbers, ลำดับความ

คล้ายกับกรณีของจำนวนเชิงซ้อน

you use the angle to construct a quaternion by taking cosine of that angle as the real part,

คุณใช้มุมเพื่อสร้างควอเทอร์เนียนโดยนำโคไซน์ของมุมนั้นเป็นส่วนจริง

plus sine of that angle times an imaginary part,

บวกไซน์ของมุมนั้นคูณด้วยส่วนจินตภาพ

except this time the imaginary part has three components,

ยกเว้นคราวนี้ส่วนจินตภาพมีสามส่วนประกอบ

the coordinates of our axis of rotation.

พิกัดของแกนหมุนของเรา

Well, ลำดับความ

เอาล่ะ

actually you take half of the angle,

ที่จริงแล้วคุณใช้ครึ่งหนึ่งของมุม

which might feel totally arbitrary,

ซึ่งอาจรู้สึกว่ากำหนดขึ้นตามอำเภอใจโดยสิ้นเชิง

but hopefully that's going to make some sense by the end of this whole experience.

แต่หวังว่ามันจะสมเหตุสมผลเมื่อสิ้นสุดประสบการณ์ทั้งหมดนี้

Now let's say you have some 3D point,

คราวนี้สมมติว่าคุณมีจุด 3 มิติ

which we'll write with I, J, K components,

ซึ่งเราจะเขียนด้วยส่วนประกอบ I, J, K

and you want to know the coordinates that you'd get when you rotate this point by your specified angle around your specified axis.

และคุณต้องการทราบพิกัดที่คุณจะได้รับเมื่อคุณหมุนจุดนี้ด้วยมุมที่คุณระบุรอบแกนที่คุณระบุ

What you do is not just a single quaternion product, ไวยากรณ์

สิ่งที่คุณทำไม่ใช่เพียงผลคูณควอเทอร์เนียนเดียว

but a sort of quaternion sandwich, สำนวน

แต่เป็นแซนด์วิชควอเทอร์เนียนชนิดหนึ่ง

where you multiply by Q from the left วลี

ที่คุณคูณด้วย Q จากทางซ้าย

and the inverse of Q from the right.

และอินเวอร์สของ Q จากทางขวา

If you know the rules for how I, J, and K multiply amongst themselves,

หากคุณรู้กฎเกณฑ์เกี่ยวกับวิธีการที่ I, J และ K คูณกันเอง

you can carry out these two products by expanding everything out,

คุณสามารถดำเนินการผลคูณทั้งสองนี้ได้โดยการกระจายทุกอย่างออกไป

or more realistically by having a computer do it for you.

หรือที่เป็นจริงมากกว่าคือให้คอมพิวเตอร์ทำแทนคุณ

And in what might feel like a bit of black magic,

และในสิ่งที่อาจรู้สึกเหมือนมนต์ดำเล็กน้อย

this big computation will return for you the rotated version of the point.

การคำนวณครั้งใหญ่นี้จะคืนค่าเวอร์ชันที่หมุนแล้วของจุดนั้นให้กับคุณ

Our goal is to break this down กริยาวลี

เป้าหมายของเราคือการแจกแจงสิ่งนี้

and visualize what's happening with each of these two products.

และจินตภาพสิ่งที่เกิดขึ้นกับผลคูณทั้งสองนี้แต่ละตัว

I'll review the method for thinking about quaternion multiplication described last video

ฉันจะทบทวนวิธีการคิดเกี่ยวกับการคูณควอเทอร์เนียนที่อธิบายไว้ในวิดีโอที่แล้ว

and explain why half the angle is used

และอธิบายว่าเหตุใดจึงใช้มุมครึ่งหนึ่ง

and why you would multiply from the right by the inverse.

และเหตุใดคุณจึงต้องคูณจากทางขวาด้วยอินเวอร์ส

On the screen now and at the top of the description,

บนหน้าจอตอนนี้และที่ด้านบนของคำอธิบาย

you'll find a link to eater.net/quaternions,

คุณจะพบลิงก์ไปยัง eater.net/quaternions

which is where Ben set up the explorable video tutorial where I explain what's going on with this rotation computation.

ซึ่งเป็นที่ที่ Ben ตั้งค่าวิดีโอสอนแบบสำรวจได้ซึ่งฉันจะอธิบายว่าเกิดอะไรขึ้นกับการคำนวณการหมุนนี้

It's just really cool.

มันเจ๋งมากจริงๆ

Eater did something awesome here.

Eater ทำสิ่งที่ยอดเยี่ยมมากที่นี่

So at the very least, วลี

อย่างน้อยที่สุด

just take a couple minutes to go look at it.

แค่ใช้เวลาสักสองสามนาทีเพื่อเข้าไปดู

But I'd love it if you went through the full experience. น้ำเสียง/เจตนา

แต่ฉันจะชอบมากถ้าคุณได้รับประสบการณ์เต็มรูปแบบ