1 Milyon Dolarlık Matematik Problemini Çözüp... Ortadan Kaybolan Adam: İngilizce çalışma notları

In 2000,

2000 yılında,

the world's leading mathematicians gathered in Paris

dünyanın önde gelen matematikçileri Paris'te toplandı

to identify seven of the most important unsolved problems in their

alanlarındaki en önemli yedi çözülmemiş problemi belirlemek

field. The nonprofit Clay Mathematics Institute organized the meeting

içindi. Kâr amacı gütmeyen Clay Matematik Enstitüsü toplantıyı düzenledi

and pledged a million dollars to the first person to solve any of the seven Millennium problems. Kalıp ifadeler

ve yedi Milenyum probleminden herhangi birini çözen ilk kişiye bir milyon dolar sözü verdi.

So far, only one has been solved.

Şimdiye kadar sadece biri çözüldü.

In 1904, French mathematician Henri Poincaré posed this problem about the nature of space.

1904'te Fransız matematikçi Henri Poincaré, uzayın doğası hakkındaki bu problemi ortaya attı.

He suggested that if you have a three-dimensional space with no holes,

Deliksiz üç boyutlu bir uzayınız varsa,

it can be made into a sphere without ripping or cutting it.

yırtmadan veya kesmeden bir küreye dönüştürülebileceğini öne sürdü.

For example,

Örneğin,

a blob could be formed into a sphere.

şekilsiz bir kütle küre haline getirilebilir.

But it gets more interesting than that.

Ancak durum bundan daha da ilginçleşiyor.

To a topologist, a ball and a pillow are the same

Bir topoloğa göre top ve yastık aynı şeydir

because they can be reshaped into one another.

çünkü birbirlerinin şekline dönüştürülebilirler.

Similarly, a bagel and a mug are the same because they both have one hole,

Benzer şekilde, bir simit ve bir kupa da aynıdır çünkü her ikisinde de bir delik vardır,

making them topologically equivalent even though they're not spheres.

bu da onları küre olmasalar bile topolojik olarak eşdeğer kılar.

Poincaré suggested that anything without holes is equivalent to a sphere,

Poincaré, deliksiz her şeyin bir küreye eşdeğer olduğunu ileri sürdü,

so long as the object is small enough. Dilbilgisi

nesnenin yeterince küçük olması şartıyla.

It can't extend infinitely in any direction.

Herhangi bir yönde sonsuza kadar uzanamaz.

He believed his conjecture to be true, Dilbilgisi

O, varsayımının doğru olduğuna inanıyordu,

but couldn't prove it.

ama kanıtlayamıyordu.

His conjecture was generalized to any number of dimensions,

Onun varsayımı daha sonra herhangi bir boyut sayısına genellendi,

including four dimensions,

dört boyut dahil olmak üzere,

which was particularly challenging to solve.

bunu çözmek ise özellikle zordu.

That left the three-dimensional case,

Geriye üç boyutlu durum kalmıştı,

Poincaré's original conjecture,

Poincaré'nin orijinal varsayımı,

which frustrated mathematicians for a century,

matematikçileri bir yüzyıl boyunca hüsrana uğratan,

until 2002,

ta ki 2002'ye kadar,

when a mysterious paper floated on the internet. Deyimler

internette gizemli bir makale dolaşmaya başladığında.

Within this paper was a solution to the Poincaré conjecture.

Bu makalenin içinde Poincaré varsayımının bir çözümü vardı.

The author was Russian mathematician Grigori Perelman,

Yazar Rus matematikçi Grigori Perelman'dı,

known as Grisha.

bilinen adıyla Grisha.

Grisha grew up in the Soviet Union

Grisha Sovyetler Birliği'nde büyüdü

and attended an elite high school in St. Petersburg specializing in math.

ve St. Petersburg'da matematik alanında uzmanlaşmış seçkin bir liseye gitti.

Unlike the other exceptional kids in class,

Sınıftaki diğer istisnai çocukların aksine,

he was never distracted.

dikkatini asla dağıtmazdı.

He just sat and listened.

Sadece oturup dinlerdi.

He even refused to eat his lunch,

Öğle yemeğini yemeyi bile reddederdi,

as his teacher Valery Ryzhik told author Masha Gessen in her book on Grisha,

öğretmeni Valery Ryzhik'in yazar Masha Gessen'e Grisha hakkındaki kitabında anlattığı gibi,

"Maybe his entire nervous system was so tuned to the learning process Dilbilgisi

"Belki de tüm sinir sistemi öğrenme sürecine o kadar ayarlanmıştı ki

that he could not stray from it."

ondan sapamıyordu."

At 16,

16 yaşındayken,

he won a gold medal at the International Mathematical Olympiad with a perfect score.

Uluslararası Matematik Olimpiyatlarında tam puanla altın madalya kazandı.

Being part of the Soviet Olympiad team

Sovyet Olimpiyat takımının bir parçası olması

meant he could be admitted to Leningrad State University without having to take the entrance exams. Dilbilgisi

Leningrad Devlet Üniversitesine giriş sınavlarına girmeden kabul edilebileceği anlamına geliyordu.

The university was notoriously discriminatory,

Üniversite ayrımcılık konusunda kötü bir şöhrete sahipti,

admitting only two Jewish students a year.

yılda sadece iki Yahudi öğrenci kabul ediyordu.

but Grisha's place on the team allowed him to bypass this quota. Kelime

ancak Grisha'nın takımdaki yeri bu kotayı aşmasını sağladı.

After completing his studies,

Eğitimini tamamladıktan sonra,

he did graduate work at the renowned Steklov Mathematical Institute St. Petersburg branch,

saygın Steklov Matematik Enstitüsü St. Petersburg şubesinde yüksek lisans çalışması yaptı,

unheard of for a Jew. Deyimler

ki bu bir Yahudi için duyulmamış bir şeydi.

Grisha was accepted because influential figures like mathematician Alexander Alexandrov campaigned on his behalf Kalıp ifadeler

Grisha kabul edildi çünkü matematikçi Alexander Alexandrov gibi etkili kişiler onun adına kampanya yürüttü

and offered to supervise him.

ve ona danışmanlık yapmayı teklif etti.

When Grisha began his grad work in 1987,

Grisha 1987'de lisansüstü çalışmasına başladığında,

the Iron Curtain was starting to lift, Kültür

Demir Perde kalkmaya başlıyordu,

allowing Soviet citizens to travel abroad for the first time in decades.

Sovyet vatandaşlarının onlarca yıl sonra ilk kez yurtdışına seyahat etmesine olanak tanıyordu.

The renowned mathematician Mikhail Gromov arranged for Grisha to give talks in the US on geometry,

Ünlü matematikçi Mikhail Gromov, Grisha'nın ABD'de geometri hakkında konuşmalar yapmasını ayarladı,

his area of expertise.

ki bu onun uzmanlık alanıydı.

Gromov mentioned Grisha to the right people,

Gromov Grisha'dan doğru kişilere bahsetti,

ensuring he was invited to do postdoctoral work at NYU's Courant Institute of Mathematical Sciences

NYU Courant Matematik Bilimleri Enstitüsünde

and Stony Brook University.

ve Stony Brook Üniversitesinde doktora sonrası araştırma yapmaya davet edilmesini sağladı.

Besides math,

Matematiğin yanı sıra,

his other passion was walking from Manhattan all the way to South Brooklyn

diğer tutkusu Manhattan'dan Güney Brooklyn'e kadar yürümek

to get his special black bread from a Russian shop.

ve bir Rus dükkanından özel siyah ekmeğini almaktı.

He later moved to the West Coast to take up a prestigious fellowship at UC Berkeley. Öbek fiiller

Daha sonra UC Berkeley'de prestijli bir araştırma görevliliği yapmak üzere Batı Yakası'na taşındı.

Once his fellowship came to an end,

Görev süresi sona erdiğinde,

top American universities tried to poach him. Kelime

Amerika'nın en iyi üniversiteleri onu kapmaya çalıştı.

Princeton's top brass were so impressed by his guest lecture, Deyimler

Princeton'ın üst düzey yetkilileri onun konuk konuşmasından o kadar etkilendiler ki,

they approached him about becoming an assistant professor

ona yardımcı doçent olması konusunda yaklaştılar

and asked for his CV.

ve özgeçmişini istediler.

Grisha reportedly responded,

Söylenene göre Grisha şöyle cevap verdi,

"Why would you need any more information?"

"Neden daha fazla bilgiye ihtiyacınız olsun ki?"

Masha Gessen's book describes how Grisha didn't want to settle for anything less than a tenured position, Öbek fiiller

Masha Gessen'in kitabı Grisha'nın kadrolu bir pozisyondan daha azına razı olmak istemediğini,

whereas the university wanted the 29-year-old to earn his way there. Deyimler

oysa üniversitenin 29 yaşındaki bu gencin o konumu çabalayarak kazanmasını istediğini anlatır.

When Tel Aviv University,

Grisha'nın kız kardeşinin matematik okuduğu

where Grisha's sister was studying mathematics,

Tel Aviv Üniversitesi,

offered him a full professorship,

ona tam profesörlük teklif ettiğinde,

he rejected that too.

bunu da reddetti.

He explained he could work better back in his homeland

Anavatanına dönerse daha iyi çalışabileceğini açıkladı

and returned to Russia to the Steklov Institute.

ve Rusya'ya, Steklov Enstitüsüne döndü.

What he was working on, Dilbilgisi

Neyin üzerinde çalıştığını,

nobody knew.

kimse bilmiyordu.

Grisha was quietly tackling one of the toughest problems in math.

Grisha sessizce matematikteki en zor problemlerden biriyle mücadele ediyordu.

How did he prove Poincaré's conjecture?

Poincaré'nin varsayımını nasıl kanıtladı?

Well,

Şöyle ki,

he managed to prove another conjecture,

başka bir varsayımı kanıtlamayı başardı,

which indirectly proved Poincaré's.

ki bu da dolaylı olarak Poincaré'ninkini kanıtlıyordu.

In the late 70s,

70'lerin sonlarında,

American mathematician William Thurston suggested that any 3D shape can be decomposed into eight different geometric structures,

Amerikalı matematikçi William Thurston herhangi bir 3B şeklin sekiz farklı geometrik yapıya ayrıştırılabileceğini öne sürdü,

and one of these eight shapes is the three-dimensional sphere,

ve bu sekiz şekilden biri üç boyutlu küredir,

which is central to Poincaré's conjecture.

ki bu Poincaré'nin varsayımının merkezinde yer alır.

Thurston never managed to prove his own theory,

Thurston kendi teorisini asla kanıtlamayı başaramadı,

but American mathematician Richard Hamilton gave it a go, Deyimler

ancak Amerikalı matematikçi Richard Hamilton bunu denedi,

trying to tackle both Poincaré's and Thurston's conjectures.

hem Poincaré'nin hem de Thurston'ın varsayımlarını çözmeye çalıştı.

He couldn't prove them,

Onları kanıtlayamadı,

but he did develop the blueprint that helped Grisha finally crack the century-old mystery. Deyimler

ama Grisha'nın bu yüzyıllık gizemi sonunda çözmesine yardımcı olan taslağı geliştirdi.

Grisha relied on Hamilton's powerful mathematical tool called Ricci flow to study shapes.

Grisha şekilleri incelemek için Hamilton'ın Ricci akışı adlı güçlü matematiksel aracına güvendi.

Think of Ricci flow like heat spreading through an object, Anlatım akışı

Ricci akışını, bir nesneye yayılan ısı gibi düşünün,

smoothing out bumps and irregularities over time. Öbek fiiller

zamanla tümsekleri ve düzensizlikleri pürüzsüzleştirir.

As Ricci flow progresses,

Ricci akışı ilerledikçe,

certain regions can become very thin,

belirli bölgeler çok incelip

forming necks.

boyunlar oluşturabilir.

Grisha used a process called surgery to cut off these necks to study the pieces separately.

Grisha, parçaları ayrı ayrı incelemek üzere bu boyunları kesmek için cerrahi adı verilen bir işlem kullandı.

He realized that these pieces ultimately represented the simple shapes

Bu parçaların sonuçta basit şekilleri temsil ettiğini fark etti

that correspond to the structures predicted by Thurston's conjecture.

bunlar Thurston'ın varsayımı tarafından öngörülen yapılara karşılık geliyordu.

So,

Böylece,

by solving Thurston's conjecture,

Thurston'ın varsayımını çözerek,

he in turn proved Poincaré's. Anlatım akışı

sırasıyla Poincaré'ninkini de kanıtlamış oldu.

Grisha published three papers totaling 992 pages.

Grisha toplam 992 sayfadan oluşan üç makale yayınladı.

When he uploaded the first to arxiv.org,

Cornell Üniversitesi tarafından işletilen açık bir forum olan arxiv.org'a

a public forum operated by Cornell University,

ilkini yüklediğinde,

he emailed about a dozen American mathematicians to give them the heads up. Deyimler

haberdar etmek için bir düzine kadar Amerikalı matematikçiye e-posta gönderdi.

This was totally out of the blue. Deyimler

Bu tamamen beklenmedik bir şeydi.

He hadn't spoken to his colleagues for years

Yıllardır meslektaşlarıyla konuşmamış

and barely responded to their emails.

ve e-postalarına zar zor cevap vermişti.

Mathematicians spent over three years scrutinizing his proof to see if he had really solved the problem.

Matematikçiler problemi gerçekten çözüp çözmediğini görmek için üç yıldan fazla bir süre onun kanıtını incelediler.

But Richard Hamilton was not one of them.

Ancak Richard Hamilton onlardan biri değildi.

Grisha was apparently hurt that Hamilton,

Grisha, Hamilton'ın tutumu yüzünden görünüşe göre incinmişti;

whose foundational work he relied on for his proof,

kanıtı için onun temel çalışmasına güvenmişti,

showed little interest in his achievement.

ama Hamilton onun başarısına pek ilgi göstermemişti.

Grisha told the New Yorker,

Grisha New Yorker'a şöyle dedi,

"I had the impression he had read only the first part of my paper."

"Makalemin sadece ilk bölümünü okuduğu izlenimine kapıldım."

Why was Hamilton so apparently disinterested?

Hamilton neden bu kadar ilgisiz görünüyordu?

As author Masha Gessen put it, Anlatım akışı

Yazar Masha Gessen'in ifade ettiği gibi,

"It took Perelman less than half of his first paper to get past the point at which Hamilton had been stuck for two decades.

"Perelman'ın, Hamilton'ın yirmi yıldır takılıp kaldığı noktayı geçmesi, ilk makalesinin yarısından azını almıştı.

No wonder Hamilton was silent.

Hamilton'ın sessiz kalmasına şaşmamalı.

One can only imagine what it must have felt like to see one's life's ambition hijacked Dilbilgisi

İnsanın hayatının hırsının gasp edildiğini

and then fulfilled by some upstart with unkempt hair and long fingernails."

ve ardından saçları darmadağınık, uzun tırnaklı yeni yetme biri tarafından gerçekleştirildiğini görmenin nasıl bir his olduğunu ancak hayal edebilirsiniz."

Mathematicians who showed more enthusiasm finally had the chance to speak with Grisha in person

Daha fazla heves gösteren matematikçiler, Amerika'daki birkaç üniversiteye ders vermek için davet edildiğinde

when he was invited to lecture at several American universities.

sonunda Grisha ile şahsen konuşma fırsatı buldular.

By 2006,

2006'ya gelindiğinde,

it became clear that he had indeed solved Poincaré's conjecture.

Poincaré'nin varsayımını gerçekten çözdüğü netleşti.

In a confusing twist, Anlatım akışı

Kafa karıştırıcı bir gelişme olarak,

two Chinese mathematicians Cao Huai-Dong and Zhu Xi-Ping

iki Çinli matematikçi Cao Huai-Dong ve Zhu Xi-Ping

claimed they had proved the Poincaré conjecture,

Poincaré varsayımını kanıtladıklarını iddia ettiler

calling it a crowning achievement. Anlatım akışı

bunu en büyük başarı olarak nitelendirdiler.

But the crown belonged only to Grisha.

Ancak taç sadece Grisha'ya aitti.

Yet,

Yine de,

he declined the $1 million prize.

1 milyon dolarlık ödülü reddetti.

Money never motivated him.

Para onu asla motive etmemişti.

He told a Russian newspaper,

Bir Rus gazetesine şöyle dedi,

"I know how to control the universe,

"Evreni nasıl kontrol edeceğimi biliyorum,

so tell me,

o halde söyleyin bana,

why should I run for a million?" Ton ve niyet

neden bir milyonun peşinden koşayım?"

A Fields Medal is awarded to Grigori Perelman from St. Petersburg. Kültür

Fields Madalyası, St. Petersburg'dan Grigori Perelman'a verilir.

Grisha was also awarded the highest honor in math,

Grisha'ya aynı zamanda matematikteki en büyük onur da verildi,

the equivalent of the Nobel Prize,

Nobel Ödülü'nün eşdeğeriydi,

but he didn't show up to the award ceremony in Madrid. Öbek fiiller

ancak Madrid'deki ödül törenine katılmadı.

I regret that Dr. Perelman has declined to accept the medal.

Dr. Perelman'ın madalyayı kabul etmeyi reddetmesinden üzüntü duyuyorum.

Grisha explained to the Telegraph that he wasn't interested in the attention.

Grisha Telegraph'a ilgi odağı olmakla ilgilenmediğini açıkladı.

I do not think anything that I say can be of the slightest public interest. Kelime

Söylediğim hiçbir şeyin kamuyu en ufak bir şekilde ilgilendirebileceğini düşünmüyorum.

I know that self-promotion happens a lot,

Kendini tanıtmanın çok fazla yapıldığını biliyorum

and if people want to do that,

ve eğer insanlar bunu yapmak istiyorlarsa,

good luck to them. Ton ve niyet

onlara iyi şanslar.

But I do not regard it as a positive thing.

Fakat bunu olumlu bir şey olarak görmüyorum.

Newspapers should be more discerning over who they write about.

Gazeteler kimin hakkında yazdıkları konusunda daha seçici olmalılar.

They should have more taste.

Daha fazla zevk sahibi olmalılar.

This was one of the rare interviews he did.

Bu, verdiği nadir röportajlardan biriydi.

He wasn't a fan of journalists prodding,

Gazetecilerin dürtüklemesinden hoşlanmazdı,

and once when a reporter managed to reach him on his phone,

ve bir keresinde bir muhabir ona telefonundan ulaşmayı başardığında

he responded,

şu cevabı verdi,

"You are disturbing me.

"Beni rahatsız ediyorsun.

I am picking mushrooms."

Mantar topluyorum."

Despite offers to teach at MIT, Princeton, and Columbia,

MIT, Princeton ve Columbia'dan gelen ders verme tekliflerine rağmen,

he turned them all down. Öbek fiiller

hepsini reddetti.

The mathematician and investor Jim Simons,

Matematikçi ve yatırımcı Jim Simons,

who had elevated Stony Brook's math department to top-tier status,

Stony Brook'un matematik bölümünü birinci sınıf statüsüne yükseltmişti,

reportedly offered Grisha any salary and any terms he desired.

söylenenlere göre Grisha'ya istediği maaşı ve şartları teklif etti.

But Grisha refused and returned to Russia in the spring of 2004.

Ancak Grisha reddetti ve 2004 ilkbaharında Rusya'ya geri döndü.

He resumed working for the Steklov Institute and was promoted to lead researcher,

Steklov Enstitüsü için tekrar çalışmaya başladı ve baş araştırmacı statüsüne terfi etti,

receiving a salary of around $400 a month.

ayda yaklaşık 400 dolar maaş alıyordu.

Once,

Bir keresinde,

when he got paid nearly double his monthly salary

laboratuvarının bir projeyi tamamladıktan sonra hibe parası artığı kaldığı için

because his lab had leftover grant money after completing a project,

aylık maaşının neredeyse iki katı ödendiğinde,

he insisted the extra money be returned to the institute's accounting office. Dilbilgisi

fazladan paranın enstitünün muhasebe ofisine iade edilmesinde ısrar etti.

Grisha lived his life by his own set of principles. Kalıp ifadeler

Grisha hayatını kendi prensiplerine göre yaşadı.

And then,

Ve ardından,

in December 2005,

Aralık 2005'te,

he left the Steklov Institute.

Steklov Enstitüsü'nden ayrıldı.

As recounted by author Gessen,

Yazar Gessen'in anlattığına göre,

Grisha reportedly told the institute's director,

Grisha'nın enstitünün müdürüne şöyle dediği aktarılır,

"I have nothing against the people here, Ton ve niyet

"Buradaki insanlara karşı hiçbir sorunum yok,

but I have no friends.

ama hiç arkadaşım yok.

And anyway,

Zaten,

I have been disappointed in mathematics,

matematikte hayal kırıklığına uğradım,

and I want to try something else.

ve başka bir şey denemek istiyorum.

I quit."

İstifa ediyorum."

Not only did he withdraw from the mathematical world, Dilbilgisi

Sadece matematik dünyasından değil,

but from society as a whole.

aynı zamanda toplumun tamamından geri çekildi.

Very little is known about what he got up to afterward, Öbek fiiller

Daha sonra ne yaptığı hakkında çok az şey biliniyor,

except that he lived with his mom.

annesiyle birlikte yaşadığı hariç.

A picture of what appears to be Grisha looking disheveled and far removed from the accolades he chose not to receive, Deyimler

Grisha olduğu düşünülen, darmadağınık ve almayı reddettiği ödüllerden çok uzak görünen bir fotoğraf,

circulated online recently.

yakın zamanda internette dolaşıma girdi.

As for what happened to the $1 million he refused to accept, Anlatım akışı

Kabul etmeyi reddettiği 1 milyon dolara ne olduğuna gelince,

the Clay Institute used Grisha's prize money to fund the Poincaré Chair, Kültür

Clay Enstitüsü, Grisha’nın ödül parasını Poincaré Kürsüsünü finanse etmek için kullandı;

a temporary position for young promising mathematicians at the Henri Poincaré Institute in Paris.

bu, Paris’teki Henri Poincaré Enstitüsünde gelecek vaat eden genç matematikçiler için geçici bir pozisyondu.

Grisha's story is both inspiring and thought-provoking,

Grisha'nın hikayesi hem ilham verici hem de düşündürücü,

highlighting the incredible heights of human intellect

insan zekasının inanılmaz doruklarını

and the personal choices that define our lives.

ve hayatlarımızı tanımlayan kişisel seçimleri vurguluyor.

If you've been inspired by his achievements and want to improve your own skills in math,

Eğer onun başarılarından ilham aldıysanız ve kendi matematik becerilerinizi geliştirmek istiyorsanız,

you'll love learning with Brilliant.

Brilliant ile öğrenmeye bayılacaksınız.

Geometry was fundamental to Grisha's work,

Geometri, Grisha'nın çalışması için temeldi,

and you can get hands-on with these concepts in Brilliant's measurement course.

ve Brilliant'ın ölçüm kursunda bu kavramları uygulamalı olarak deneyimleyebilirsiniz.

You'll learn to recognize relationships between shapes,

Şekiller arasındaki ilişkileri tanımayı,

to find angle measures,

hesaplamalar olmadan açı ölçülerini,

side lengths,

kenar uzunluklarını,

and areas without calculations.

ve alanları bulmayı öğreneceksiniz.

I personally use Brilliant for 10 minutes a day to explore the How LLMs Work course.

Ben şahsen Büyük Dil Modellerinin (LLM) Nasıl Çalıştığı kursunu keşfetmek için günde 10 dakika Brilliant kullanıyorum.

It's one of my favorites

Bu benim en sevdiklerimden biri

because it offers a great way to get hands-on with how real language models generate text that sounds human.

çünkü gerçek dil modellerinin insan gibi ses çıkaran metinleri nasıl ürettiğini uygulamalı olarak öğrenmek için harika bir yol sunuyor.

There's something for everyone,

Herkese göre bir şey var,

no matter your skill level, Dilbilgisi

beceri seviyeniz ne olursa olsun,

whether you're a beginner wanting to learn how to program Dilbilgisi

ister programlamayı öğrenmek isteyen bir başlangıç seviyesinde olun

or you'd like to brush up on what you already know, Öbek fiiller

ister zaten bildiklerinizi tazelemek isteyin,

Brilliant has something for you,

Brilliant'ta sizin için bir şeyler var,

and you can start learning for free by signing up at brilliant.org/newsthink.

ve brilliant.org/newsthink adresinden kaydolarak ücretsiz öğrenmeye başlayabilirsiniz.

You'll get to try Brilliant for free for 30 days.

Brilliant'ı 30 gün boyunca ücretsiz deneme şansına sahip olacaksınız.

That's brilliant.org/newsthink,

Adres brilliant.org/newsthink,

link in the description,

link açıklamada,

or scan my custom QR code on your screen.

veya ekranınızdaki bana özel QR kodunu taratın.

If you sign up with my link or code,

Linkim veya kodumla kaydolursanız,

you'll also get 20% off Brilliant's annual premium subscription,

ayrıca Brilliant'ın yıllık premium aboneliğinde %20 indirim kazanacak

giving you access to thousands of lessons.

ve binlerce derse erişim sağlayacaksınız.

Thanks for watching.

İzlediğiniz için teşekkürler.

For NewsThink,

NewsThink adına,

I'm Cindy Pom.

Ben Cindy Pom.