Vektörel Çarpım | Bölüm 10, Doğrusal cebirin özü: İngilizce çalışma notları

Last video, I talked about the dot product,

Geçen videoda nokta çarpımından bahsettim,

showing both the standard introduction to the topic, Dilbilgisi

konuya hem standart bir giriş yaparak,

as well as a deeper view of how it relates to linear transformations.

hem de doğrusal dönüşümlerle nasıl ilişkili olduğuna dair daha derin bir bakış açısı sunarak.

I'd like to do the same thing for cross products,

Aynı şeyi vektörel çarpımlar için de yapmak istiyorum,

which also have a standard introduction

bunun da standart bir girişi var

along with a deeper understanding in the light of linear transformations. Deyimler

ve doğrusal dönüşümlerin ışığında daha derin bir anlayışı bulunuyor.

But this time, I'm dividing it into two separate videos.

Ancak bu sefer, konuyu iki ayrı videoya bölüyorum.

Here, I'll try to hit the main points that students are usually shown about the cross product. Deyimler

Burada, öğrencilere genellikle vektörel çarpımla ilgili gösterilen ana noktalara değinmeye çalışacağım.

And in the next video,

Ve bir sonraki videoda,

I'll be showing a view which is less commonly taught,

daha az öğretilen bir bakış açısı göstereceğim,

but really satisfying when you learn it.

ancak öğrendiğinizde gerçekten tatmin edici olan bir bakış açısı.

We'll start in two dimensions.

İki boyuttan başlayacağız.

If you have two vectors V and W,

V ve W adında iki vektörünüz varsa,

think about the parallelogram that they span out. Öbek fiiller

bunların oluşturduğu paralelkenarı düşünün.

What I mean by that is that if you take a copy of V and move its tail to the tip of W, Notlar

Bununla demek istediğim, eğer V'nin bir kopyasını alıp kuyruğunu W'nin ucuna taşırsanız,

and you take a copy of W and move its tail to the tip of V,

ve W'nin bir kopyasını alıp kuyruğunu V'nin ucuna taşırsanız,

the four vectors now on the screen enclose a certain parallelogram.

şu an ekranda olan dört vektör belirli bir paralelkenarı çevreler.

The cross product of V and W,

V ve W'nin vektörel çarpımı,

written with the X-shaped multiplication symbol,

X şeklindeki çarpım sembolü ile yazılır,

is the area of this parallelogram.

ve bu paralelkenarın alanıdır.

Well, almost. Anlatım akışı

Yani, neredeyse.

We also need to consider orientation.

Ayrıca yönelimi de dikkate almamız gerekiyor.

Basically, if V is on the right of W,

Temel olarak, V, W'nin sağındaysa,

then V cross W is positive and equal to the area of the parallelogram.

o zaman V vektörel çarpım W pozitiftir ve paralelkenarın alanına eşittir.

But if V is on the left of W,

Ancak V, W'nin solundaysa,

then the cross product is negative,

o zaman vektörel çarpım negatiftir,

namely the negative area of that parallelogram.

yani o paralelkenarın negatif alanıdır.

Notice, this means that order matters. Kalıp ifadeler

Dikkat edin, bu sıranın önemli olduğu anlamına gelir.

If you swapped V and W,

Eğer V ve W'yi değiştirirseniz,

instead taking W cross V,

bunun yerine W vektörel çarpım V yaparsanız,

the cross product would become the negative of whatever it was before. Dilbilgisi

vektörel çarpım daha öncekinin negatifi haline gelirdi.

The way I always remember the ordering here is that when you take the cross product of the two basis vectors in order,

Buradaki sıralamayı her zaman hatırlama şeklim şudur: İki taban vektörünün vektörel çarpımını sırasıyla aldığınızda,

i-hat cross j-hat, the result should be positive.

i-şapka vektörel çarpım j-şapka, sonucun pozitif olması gerekir.

In fact, the order of your basis vectors is what defines orientation.

Aslında, taban vektörlerinizin sırası yönelimi tanımlayan şeydir.

So, since i-hat is on the right of j-hat,

Bu nedenle, i-şapka j-şapkanın sağında olduğundan,

I remember that V cross W has to be positive whenever V is on the right of W.

V, W'nin sağında olduğunda V vektörel çarpım W'nin her zaman pozitif olması gerektiğini hatırlarım.

So, for example, with the vectors shown here,

Örneğin, burada gösterilen vektörlerle,

I'll just tell you that the area of that parallelogram is seven.

size o paralelkenarın alanının yedi olduğunu söyleyeceğim.

And since V is on the left of W,

Ve V, W'nin solunda olduğundan,

the cross product should be negative.

vektörel çarpım negatif olmalıdır.

So, V cross W is negative seven.

Yani, V vektörel çarpım W eksi yedidir.

But of course, you want to be able to compute this without someone telling you the area.

Ancak elbette, birinin size alanı söylemesine gerek kalmadan bunu hesaplayabilmek istersiniz.

This is where the determinant comes in. Öbek fiiller

İşte determinant burada devreye giriyor.

So, if you didn't see chapter five of this series, Dilbilgisi

Eğer bu serinin beşinci bölümünü izlemediyseniz,

where I talk about the determinant,

determinant hakkında konuştuğum bölümü,

now would be a really good time to go take a look.

şimdi gidip bir göz atmak için gerçekten iyi bir zaman olacaktır.

Even if you did see it, but it was a while ago,

İzlemiş olsanız bile, ancak üzerinden zaman geçmişse,

I'd recommend taking another look just to make sure those ideas are fresh in your mind. Deyimler

bu fikirlerin zihninizde taze olduğundan emin olmak için tekrar bakmanızı öneririm.

For the 2D cross product, V cross W,

2B vektörel çarpım, V vektörel çarpım W için,

what you do is you write the coordinates of V as the first column of a matrix,

yaptığınız şey, V'nin koordinatlarını bir matrisin ilk sütunu olarak yazmaktır,

and you take the coordinates of W and make them the second column.

ve W'nin koordinatlarını alıp ikinci sütun yaparsınız.

Then you just compute the determinant.

Sonra sadece determinantı hesaplarsınız.

This is because a matrix whose columns represent V and W corresponds with a linear transformation that moves the basis vectors i-hat and j-hat to V and W.

Bunun nedeni, sütunları V ve W'yi temsil eden bir matrisin, i-şapka ve j-şapka taban vektörlerini V ve W'ye taşıyan doğrusal bir dönüşüme karşılık gelmesidir.

The determinant is all about measuring how areas change due to a transformation.

Determinant tamamen bir dönüşüm nedeniyle alanların nasıl değiştiğini ölçmekle ilgilidir.

And the prototypical area that we look at is the unit square resting on i-hat and j-hat.

Ve baktığımız prototipik alan, i-şapka ve j-şapka üzerinde duran birim karedir.

After the transformation,

Dönüşümden sonra,

that square gets turned into the parallelogram that we care about. Öbek fiiller

bu kare ilgilendiğimiz paralelkenara dönüşür.

So, the determinant, which generally measures the factor by which areas are changed, Dilbilgisi

Böylece, genellikle alanların hangi faktörle değiştirildiğini ölçen determinant,

gives the area of this parallelogram,

bu paralelkenarın alanını verir,

since it evolved from a square that started with area one.

çünkü bir alanıyla başlayan bir kareden evrimleşmiştir.

What's more, if V is on the left of W,

Dahası, V, W'nin solundaysa,

it means that orientation was flipped during that transformation,

bu, dönüşüm sırasında yönelimin ters çevrildiği anlamına gelir,

which is what it means for the determinant to be negative. Dilbilgisi

determinantın negatif olması da tam olarak bu anlama gelir.

As an example, let's say V has coordinates negative three one,

Örnek olarak, V'nin koordinatlarının eksi üç ve bir olduğunu varsayalım,

and W has coordinates two one.

ve W'nin koordinatları da iki ve bir olsun.

The determinant of the matrix with those coordinates as columns is negative three times one minus two times one,

Bu koordinatların sütun olduğu matrisin determinantı eksi üç çarpı bir eksi iki çarpı birdir,

which is negative five.

bu da eksi beşe eşittir.

So, evidently, the area of the parallelogram they define is five.

Bu yüzden açıkçası, tanımladıkları paralelkenarın alanı beştir.

And since V is on the left of W,

Ve V, W'nin solunda olduğu için,

it should make sense that this value is negative.

bu değerin negatif olması mantıklı olmalıdır.

As with any new operation you learn,

Öğrendiğiniz her yeni işlemde olduğu gibi,

I'd recommend playing around with this notion a bit in your head just to get kind of an intuitive feel for what the cross product is all about. Notlar

vektörel çarpımın neyle ilgili olduğuna dair sezgisel bir his edinmek için bu kavramla kafanızda biraz oynamanızı tavsiye ederim.

For example, you might notice that when two vectors are perpendicular,

Örneğin, iki vektör birbirine dik olduğunda,

or at least close to being perpendicular,

veya en azından dik olmaya yakın olduğunda,

their cross product is larger than it would be if they were pointing in very similar directions, Dilbilgisi

vektörel çarpımlarının, çok benzer yönleri işaret ettiklerine kıyasla daha büyük olduğunu fark edebilirsiniz,

because the area of that parallelogram is larger when the sides are closer to being perpendicular.

çünkü kenarlar dik olmaya daha yakın olduğunda bu paralelkenarın alanı daha büyüktür.

Something else you might notice is that if you were to scale up one of those vectors, Öbek fiiller

Fark edebileceğiniz başka bir şey de, bu vektörlerden birini büyütürseniz,

perhaps multiplying V by three,

belki V'yi üçle çarparsanız,

then the area of that parallelogram is also scaled up by a factor of three. Kalıp ifadeler

o zaman o paralelkenarın alanı da üç katına çıkarılır.

So, what this means for the operation is that three V cross W will be exactly three times the value of V cross W. Anlatım akışı

Peki bunun işlem için anlamı nedir: Üç V vektörel çarpım W, V vektörel çarpım W değerinin tam olarak üç katı olacaktır.

Now, even though all of this is a perfectly fine mathematical operation, Dilbilgisi

Şimdi, tüm bunlar tamamen geçerli bir matematiksel işlem olsa da,

what I just described is technically not the cross product. Kelime

az önce anlattığım şey teknik olarak vektörel çarpım değildir.

The true cross product is something that combines two different 3D vectors to get a new 3D vector.

Gerçek vektörel çarpım, yeni bir 3B vektör elde etmek için iki farklı 3B vektörü birleştiren bir şeydir.

Just as before, Anlatım akışı

Daha önce olduğu gibi,

we're still going to consider the parallelogram defined by the two vectors that we're crossing together.

birlikte çarptığımız iki vektörün tanımladığı paralelkenarı hala dikkate alacağız.

And the area of this parallelogram is still going to play a big role. Deyimler

Ve bu paralelkenarın alanı hala büyük bir rol oynayacaktır.

To be concrete, let's say that the area is 2.5 for the vectors shown here. Anlatım akışı

Somut olmak gerekirse, burada gösterilen vektörler için alanın 2,5 olduğunu varsayalım.

But as I said, the cross product is not a number,

Ancak dediğim gibi, vektörel çarpım bir sayı değildir,

it's a vector.

o bir vektördür.

This new vector's length will be the area of that parallelogram,

Bu yeni vektörün uzunluğu o paralelkenarın alanı olacaktır,

which in this case is 2.5.

bu durumda 2,5'tir.

And the direction of that new vector is going to be perpendicular to the parallelogram.

Ve o yeni vektörün yönü paralelkenara dik olacaktır.

But which way, right?

Peki ama hangi yöne, değil mi?

I mean, there are two possible vectors with length 2.5 that are perpendicular to a given plane.

Yani, belirli bir düzleme dik olan 2,5 uzunluğunda iki olası vektör vardır.

This is where the right hand rule comes in. Kelime

İşte sağ el kuralı burada devreye giriyor.

Point the forefinger of your right hand in the direction of V.

Sağ elinizin işaret parmağını V'nin yönüne doğru çevirin.

Then stick out your middle finger in the direction of W. Öbek fiiller

Ardından orta parmağınızı W'nin yönüne doğru uzatın.

Then, when you point up your thumb,

Daha sonra, baş parmağınızı yukarı kaldırdığınızda,

that's the direction of the cross product.

bu vektörel çarpımın yönüdür.

For example, let's say that V was a vector with length two pointing straight up in the Z direction,

Örneğin, V'nin Z yönünde doğrudan yukarıyı gösteren iki uzunluğunda bir vektör olduğunu varsayalım,

and W is a vector with length two pointing in the pure Y direction.

ve W, saf Y yönünü gösteren iki uzunluğunda bir vektördür.

The parallelogram that they define in this simple example is actually a square,

Bu basit örnekte tanımladıkları paralelkenar aslında bir karedir,

since they're perpendicular and have the same length. Dilbilgisi

çünkü birbirlerine diktirler ve aynı uzunluğa sahiptirler.

And the area of that square is four.

Ve o karenin alanı dörttür.

So, their cross product should be a vector with length four.

Dolayısıyla, vektörel çarpımları uzunluğu dört olan bir vektör olmalıdır.

Using the right hand rule,

Sağ el kuralını kullanarak,

their cross product should point in the negative X direction.

vektörel çarpımları negatif X yönünü göstermelidir.

So, the cross product of these two vectors is negative four times i-hat.

Yani, bu iki vektörün vektörel çarpımı eksi dört çarpı i-şapkadır.

For more general computations,

Daha genel hesaplamalar için,

there is a formula that you could memorize if you wanted, Ton ve niyet

isterseniz ezberleyebileceğiniz bir formül vardır,

but it's common and easier to instead remember a certain process involving the 3D determinant.

ancak bunun yerine 3B determinantı içeren belirli bir süreci hatırlamak yaygın ve daha kolaydır.

Now, this process looks truly strange at first.

Şimdi, bu süreç ilk bakışta gerçekten garip görünüyor.

You write down a 3D matrix where the second and third columns contain the coordinates of V and W.

İkinci ve üçüncü sütunların V ve W'nin koordinatlarını içerdiği 3B'li bir matris yazıyorsunuz.

But for that first column,

Ama o ilk sütun için,

you write the basis vectors i-hat, j-hat, and k-hat.

i-şapka, j-şapka ve k-şapka taban vektörlerini yazarsınız.

Then, you compute the determinant of this matrix.

Ardından, bu matrisin determinantını hesaplarsınız.

The silliness is probably clear here.

Buradaki saçmalık muhtemelen ortada.

What on earth does it mean to put in a vector as the entry of a matrix? Deyimler

Bir vektörü bir matrisin girdisi olarak koymak ne anlama geliyor Allah aşkına?

Students are often told that this is just a notational trick.

Öğrencilere genellikle bunun sadece bir gösterim hilesi olduğu söylenir.

When you carry out the computations as if i-hat, j-hat, and k-hat were numbers, Notlar

i-şapka, j-şapka ve k-şapka sayıymış gibi hesaplamaları gerçekleştirdiğinizde,

then you get some linear combination of those basis vectors.

o zaman o taban vektörlerin doğrusal bir kombinasyonunu elde edersiniz.

And the vector defined by that linear combination,

Ve o doğrusal kombinasyonla tanımlanan vektörün,

students are told to just believe, Ton ve niyet

öğrencilere sadece inanmaları söylenir,

is the unique vector perpendicular to V and W whose magnitude is the area of the appropriate parallelogram

büyüklüğü ilgili paralelkenarın alanı olan ve yönü sağ el kuralına uyan,

and whose direction obeys the right hand rule.

V ve W'ye dik yegane vektör olduğuna.

And sure, in some sense this is just a notational trick. Ton ve niyet

Ve elbette, bir bakıma bu sadece notasyonel bir numara.

But there is a reason for doing it.

Ancak bunu yapmanın bir nedeni var.

It's not just a coincidence that the determinant is once again important. Anlatım akışı

Determinantın bir kez daha önemli olması sadece bir tesadüf değildir.

And putting the basis vectors in those slots is not just a random thing to do.

Ve taban vektörlerini bu yuvalara koymak sadece rastgele yapılacak bir şey değildir.

To understand where all of this comes from,

Tüm bunların nereden geldiğini anlamak için,

it helps to use the idea of duality that I introduced in the last video.

geçen videoda tanıttığım ikilik (duality) fikrini kullanmak yardımcı olur.

This concept is a little bit heavy, Deyimler

Yine de bu kavram biraz ağır.

though.

Bu yüzden, daha fazlasını öğrenmek isteyen meraklılar için bunu ayrı bir devam videosuna koyuyorum.

So, I'm putting it in a separate follow-on video for any of you who are curious to learn more.

Bunun doğrusal cebirin özünün dışında kaldığı iddia edilebilir.

Arguably, it falls outside the essence of linear algebra. Notlar

Buradaki önemli kısım, o vektörel çarpım vektörünün geometrik olarak neyi temsil ettiğini bilmektir.

The important part here is to know what that cross product vector geometrically represents.

Yani, bir sonraki videoyu atlamak isterseniz,

So, if you want to skip that next video,

hiç çekinmeyin.

feel free. Ton ve niyet

Ancak biraz daha derine inmek isteyenler ve bu hesaplama ile temel geometri arasındaki bağlantıyı merak edenler için,

But for those of you who are willing to go a bit deeper and who are curious about the connection between this computation and the underlying geometry, Deyimler

bir sonraki videoda bahsedeceğim fikirler matematiğin gerçekten zarif bir parçası.

the ideas that I'll talk about in the next video are just a really elegant piece of math.

lang_name_reference_keep_safe_but_do_not_use