Vektörler | Bölüm 1, Doğrusal cebirin özü: İngilizce çalışma notları

The fundamental root of it all building block for linear algebra is the vector.

Lineer cebirin temeli ve tüm yapı taşlarının kaynağı vektördür.

So, it's worth making sure that we're all on the same page Notlar

Bu yüzden, aynı sayfada olduğumuzdan emin olmakta fayda var,

about what exactly a vector is.

bir vektörün tam olarak ne olduğu konusunda.

You see, broadly speaking, Anlatım akışı

Görüyorsunuz, genel olarak konuşursak,

there are three distinct but related ideas about vectors,

vektörler hakkında üç farklı ama birbiriyle ilişkili fikir vardır,

which I'll call the physics student perspective,

bunları fizik öğrencisi bakış açısı,

the computer science student perspective,

bilgisayar bilimleri öğrencisi bakış açısı,

and the mathematician's perspective.

ve matematikçi bakış açısı olarak adlandıracağım.

The physics student perspective is that vectors are arrows pointing in space.

Fizik öğrencisi bakış açısına göre vektörler, uzayda işaret eden oklardır.

What defines a given vector is its length and the direction it's pointing.

Belirli bir vektörü tanımlayan şey, onun uzunluğu ve işaret ettiği yöndür.

But as long as those two facts are the same, Dilbilgisi

Ancak bu iki özellik aynı kaldığı sürece,

you can move it all around and it's still the same vector.

onu her yere taşıyabilirsiniz ve hala aynı vektör olarak kalır.

Vectors that live in the flat plane are two-dimensional,

Düz bir düzlemde yer alan vektörler iki boyutludur,

and those sitting in broader space that you and I live in are three-dimensional.

sizin ve benim içinde yaşadığımız daha geniş uzayda bulunanlar ise üç boyutludur.

The computer science perspective is that vectors are ordered lists of numbers.

Bilgisayar bilimleri bakış açısına göre vektörler, sıralı sayı listeleridir.

For example, let's say you were doing some analytics about house prices,

Örneğin, ev fiyatları hakkında bazı analizler yaptığınızı düşünün,

and the only features you cared about were square footage and price.

ve ilgilendiğiniz tek özellik metrekare ve fiyattı.

You might model each house with a pair of numbers,

Her bir evi bir sayı çiftiyle modelleyebilirsiniz,

the first indicating square footage and the second indicating price.

ilki metrekareyi ve ikincisi fiyatı gösterecek şekilde.

Notice the order matters here.

Burada sıranın önemli olduğuna dikkat edin.

In the lingo, you'd be modeling houses as two-dimensional vectors,

Jargonda, evleri iki boyutlu vektörler olarak modelliyor olursunuz,

where in this context vector is pretty much just a fancy word for list,

bu bağlamda vektör, aslında sadece liste kelimesinin havalı bir karşılığıdır,

and what makes it two-dimensional is the fact that the length of that list is two.

ve onu iki boyutlu yapan şey, bu listenin uzunluğunun iki olmasıdır.

The mathematician, on the other hand, seeks to generalize both these views, Anlatım akışı

Matematikçi ise bu her iki görüşü de genelleştirmeyi amaçlar,

basically saying that a vector can be anything where there's a sensible notion

temelde bir vektörün mantıklı bir kavram olduğu sürece her şey olabileceğini söyler:

of adding two vectors and multiplying a vector by a number,

iki vektörü toplamak ve bir vektörü bir sayıyla çarpmak,

operations that I'll talk about later on in this video.

bu videonun ilerleyen kısımlarında bahsedeceğim işlemler.

The details of this view are rather abstract

Bu görüşün detayları oldukça soyuttur

and I actually think it's healthy to ignore it until the last video of this series,

ve açıkçası bu serinin son videosuna kadar bunu görmezden gelmenin,

favoring a more concrete setting in the interim. Kelime

bu arada daha somut bir ortamı tercih etmenin sağlıklı olduğunu düşünüyorum.

But the reason I bring it up here Öbek fiiller

Ancak bunu burada gündeme getirmemin nedeni,

is that it hints at the fact that the ideas of vector addition

vektör toplama fikirlerinin

and multiplication by numbers will play an important role

ve sayılarla çarpmanın önemli bir rol oynayacağına işaret etmesidir;

throughout linear algebra.

lineer cebir boyunca.

But before I talk about these operations,

Ancak bu işlemlerden bahsetmeden önce,

let's just settle in on a specific thought to have in mind

vektör kelimesini söylediğimde

when I say the word vector.

aklımızda tutacağımız belirli bir düşünce üzerinde uzlaşalım.

Given the geometric focus that I'm shooting for here, Öbek fiiller

Burada hedeflediğim geometrik odak göz önüne alındığında,

whenever I introduce a new topic involving vectors,

vektörleri içeren yeni bir konu sunduğum her seferde,

I want you to first think about an arrow,

ilk olarak bir ok düşünmenizi istiyorum,

and specifically, think about that arrow inside a coordinate system,

ve özel olarak, o oku bir koordinat sistemi içinde,

like the XY plane,

XY düzlemi gibi,

with its tail sitting at the origin.

kuyruğu orijinde duran bir ok olarak düşünün.

This is a little bit different from the physics student perspective,

Bu, fizik öğrencisi bakış açısından biraz farklıdır,

where vectors can freely sit anywhere they want in space.

çünkü orada vektörler uzayda istedikleri her yere serbestçe yerleşebilirler.

In linear algebra,

Lineer cebirde ise,

it's almost always the case that your vector will be rooted at the origin.

neredeyse her zaman vektörünüzün kökü orijinde olacaktır.

Then, once you understand a new concept

Daha sonra, yeni bir kavramı

in the context of arrows in space, Kalıp ifadeler

uzaydaki oklar bağlamında anladığınızda,

we'll translate it over to the list of numbers point of view,

bunu sayı listeleri bakış açısına çevireceğiz,

which we can do by considering the coordinates of the vector.

bunu da vektörün koordinatlarını ele alarak yapabiliriz.

Now, while I'm sure that many of you are already familiar with this coordinate system,

Şimdi, eminim ki birçoğunuz bu koordinat sistemine zaten aşinasınızdır,

it's worth walking through explicitly

yine de açıkça üzerinden geçmeye değer,

since this is where all of the important back and forth happens

çünkü lineer cebirin iki bakış açısı arasındaki

between the two perspectives of linear algebra.

tüm önemli gidiş gelişler burada gerçekleşir.

Focusing our attention on two dimensions for the moment,

Dikkatimizi şimdilik iki boyuta odaklayacak olursak,

you have a horizontal line called the x-axis

x ekseni adı verilen yatay bir çizginiz

and a vertical line called the y-axis.

ve y ekseni adı verilen dikey bir çizginiz vardır.

The place where they intersect is called the origin,

Bunların kesiştiği yere orijin denir,

which you should think of as the center of space

ki bunu uzayın merkezi

and the root of all vectors.

ve tüm vektörlerin kökü olarak düşünmelisiniz.

After choosing an arbitrary length to represent one,

Biri temsil etmesi için rastgele bir uzunluk seçtikten sonra,

you make tick marks on each axis to represent this distance.

bu mesafeyi temsil etmek için her eksene çentik işaretleri koyarsınız.

When I want to convey the idea of 2D space as a whole,

Tüm 2B uzay fikrini bir bütün olarak aktarmak istediğimde,

which you'll see comes up a lot in these videos, Öbek fiiller

ki bunu bu videolarda sıkça göreceksiniz,

I'll extend these tick marks to make grid lines.

bu çentik işaretlerini ızgara çizgileri oluşturmak için uzatacağım.

But right now,

Fakat şu an için,

they'll actually get a little bit in the way. Deyimler

aslında biraz ayak bağı olacaklar.

The coordinates of a vector is a pair of numbers

Bir vektörün koordinatları, temelde bir sayı çiftidir

that basically gives instructions for how to get

bu sayı çifti, orijindeki o vektörün kuyruğundan ucuna

from the tail of that vector at the origin to its tip.

nasıl gidileceğine dair talimatlar verir.

The first number tells you how far to walk along the x-axis,

İlk sayı, x ekseni boyunca ne kadar yürüyeceğinizi söyler,

positive numbers indicating rightward motion,

pozitif sayılar sağa doğru hareketi,

negative numbers indicating leftward motion,

negatif sayılar ise sola doğru hareketi gösterir,

and the second number tells you how far to walk

ve ikinci sayı, bundan sonra y eksenine paralel olarak

parallel to the y-axis after that,

ne kadar yürüyeceğinizi söyler,

positive numbers indicating upward motion

pozitif sayılar yukarı doğru hareketi,

and negative numbers indicating downward motion.

ve negatif sayılar aşağı doğru hareketi gösterir.

To distinguish vectors from points,

Vektörleri noktalardan ayırmak için,

the convention is to write this pair of numbers vertically

bu sayı çiftini köşeli parantezler içinde

with square brackets around them.

dikey olarak yazmak genel bir kuraldır.

Every pair of numbers gives you one and only one vector,

Her sayı çifti size yalnızca bir vektör verir,

and every vector is associated with one and only one pair of numbers.

ve her vektör yalnızca bir sayı çiftiyle ilişkilidir.

What about in three dimensions?

Peki ya üç boyutlu uzayda?

Well, you add a third axis, called the z-axis,

Eh, z ekseni adı verilen üçüncü bir eksen eklersiniz,

which is perpendicular to both the x and y-axes,

bu eksen hem x hem de y eksenlerine diktir,

and in this case,

ve bu durumda,

each vector is associated with an ordered triplet of numbers.

her vektör sıralı bir üçlü sayıyla ilişkilidir.

The first tells you how far to move along the x-axis,

İlki size x ekseni boyunca ne kadar hareket edeceğinizi söyler,

the second tells you how far to move parallel to the y-axis,

ikincisi y eksenine paralel olarak ne kadar hareket edeceğinizi söyler,

and the third one tells you how far to then move

ve üçüncüsü ise bu yeni z eksenine paralel olarak

parallel to this new z-axis.

ne kadar hareket edeceğinizi söyler.

Every triplet of numbers gives you one unique vector in space,

Her üçlü sayı uzayda benzersiz bir vektör verir,

and every vector in space gives you exactly one triplet of numbers.

ve uzaydaki her vektör tam olarak bir üçlü sayı verir.

All right,

Pekala,

so back to vector addition and multiplication by numbers.

vektör toplama ve sayılarla çarpmaya geri dönelim.

After all, Anlatım akışı

Sonuçta,

every topic in linear algebra is going to center around these two operations.

lineer cebirdeki her konu bu iki işlem etrafında şekillenecektir.

Luckily, each one's pretty straightforward to define.

Neyse ki, her birini tanımlamak oldukça basit.

Let's say we have two vectors,

Diyelim ki iki vektörümüz var,

one pointing up and a little to the right

biri yukarı ve biraz sağa işaret ediyor,

and the other one pointing right and down a bit.

diğeri ise sağa ve biraz aşağı işaret ediyor.

To add these two vectors,

Bu iki vektörü toplamak için,

move the second one so that its tail sits at the tip of the first one.

ikincisini, kuyruğu birincinin ucuna oturacak şekilde hareket ettirin.

Then, if you draw a new vector

Daha sonra, birincinin kuyruğundan

from the tail of the first one to where the tip of the second one now sits,

ikincinin ucunun şimdi oturduğu yere yeni bir vektör çizerseniz,

that new vector is their sum.

o yeni vektör onların toplamı olur.

This definition of addition, by the way, Anlatım akışı

Bu toplama tanımı, bu arada,

is pretty much the only time in linear algebra

lineer cebirde vektörlerin orijinden uzaklaşmasına izin verdiğimiz

where we let vectors stray away from the origin.

neredeyse tek durumdur.

Now,

Peki,

why is this a reasonable thing to do?

bunu yapmak neden mantıklı?

Why this definition of addition and not some other one?

Neden başka bir toplama tanımı değil de bu?

Well,

Şey,

the way I like to think about it is that each vector represents a certain movement,

benim bunu düşünme şeklim, her vektörün belirli bir hareketi temsil etmesidir,

a step with a certain distance and direction in space.

uzayda belirli bir mesafe ve yöne sahip bir adım.

If you take a step along the first vector,

Eğer ilk vektör boyunca bir adım atarsanız,

then take a step in the direction and distance

sonra ikinci vektörün tanımladığı

described by the second vector,

yönde ve mesafede bir adım atarsanız,

the overall effect is just the same as if you moved

genel etki, başlarken sadece bu iki vektörün toplamı boyunca

along the sum of those two vectors to start with. Kalıp ifadeler

hareket etmiş olmanızla tamamen aynıdır.

You could think about this as an extension

Bunu, bir sayı doğrusunda sayıları toplamayı nasıl düşündüğümüzün

of how we think about adding numbers on a number line.

bir uzantısı olarak düşünebilirsiniz.

One way that we teach kids to think about this,

Çocuklara bunu düşünmeyi öğretmenin bir yolu,

say with 2 + 5,

örneğin 2 + 5 için,

is to think of moving two steps to the right,

sağa doğru iki adım hareket ettiğinizi,

followed by another five steps to the right.

ardından sağa doğru beş adım daha attığınızı düşünmektir.

The overall effect is the same

Genel etki, sanki doğrudan sağa yedi adım

as if you just took seven steps to the right.

atmışsınız gibidir.

In fact,

Aslında,

let's see how vector addition looks numerically.

vektör toplamasının sayısal olarak nasıl göründüğüne bakalım.

The first vector here has coordinates 1 2,

Buradaki ilk vektörün koordinatları 1 2,

and the second one has coordinates 3 -1.

ve ikincisinin koordinatları 3 -1'dir.

When you take the vector sum using this tip-to-tail method, Kelime

Uçtan kuyruğa yöntemini kullanarak vektör toplamını aldığınızda,

you can think of a four-step path

orijinden ikinci vektörün ucuna giden

from the origin to the tip of the second vector.

dört adımlı bir yol düşünebilirsiniz.

Walk one to the right,

Bir adım sağa yürü,

then two up,

sonra iki adım yukarı,

then three to the right,

sonra üç adım sağa,

then one down.

sonra bir adım aşağı.

Reorganizing these steps so that you first do all of the rightward motion,

Tüm sağa doğru hareketleri önce yapacağınız şekilde bu adımları yeniden düzenlerseniz,

then do all the vertical motion,

ve ardından tüm dikey hareketi yaparsanız,

you can read it as saying first move 1 + 3 to the right,

bunu önce sağa 1 + 3 git,

then move 2 -1 up.

sonra yukarı 2 - 1 git şeklinde okuyabilirsiniz.

So,

Böylece,

the new vector has coordinates 1 + 3 and 2 + -1.

yeni vektörün koordinatları 1 + 3 ve 2 + -1 olur.

In general,

Genel olarak,

vector addition in this list of numbers conception

sayı listesi anlayışındaki bu vektör toplaması,

looks like matching up their terms and adding each one together.

terimlerinin eşleştirilmesi ve her birinin birbiriyle toplanmasına benzer.

The other fundamental vector operation

Diğer temel vektör işlemi

is multiplication by a number.

bir sayıyla çarpmadır.

Now,

Şimdi,

this is best understood just by looking at a few examples. Dilbilgisi

bu, sadece birkaç örneğe bakarak en iyi şekilde anlaşılabilir.

If you take the number two and multiply it by a given vector,

İki sayısını alıp belirli bir vektörle çarparsanız,

it means you stretch out that vector Öbek fiiller

bu, o vektörü başlangıçtakine göre

so that it's two times as long as when you started. Dilbilgisi

iki kat daha uzun olacak şekilde uzattığınız anlamına gelir.

If you multiply that vector by, say, 1/3,

Eğer o vektörü, diyelim ki, 1/3 ile çarparsanız,

it means you squish it down so that it's 1/3 the original length. Öbek fiiller

bu onu orijinal uzunluğunun 1/3'ü olacak şekilde küçülttüğünüz anlamına gelir.

When you multiply it by a negative number,

Onu -1.8 gibi negatif bir sayıyla çarptığınızda,

like -1.8, then the vector first gets flipped around, Öbek fiiller

vektör önce tersine döner,

then stretched out by that factor of 1.8. Kalıp ifadeler

sonra o 1.8 katsayısıyla uzatılır.

This process of stretching or squishing

Bir vektörü uzatma veya küçültme

or sometimes reversing the direction of a vector is called scaling.

ya da bazen yönünü tersine çevirme sürecine ölçeklendirme denir.

And whenever you catch a number, like two or 1/3 or -1.8,

Ve ne zaman iki veya 1/3 veya -1.8 gibi bir sayının,

acting like this, scaling some vector,

böyle davranarak bir vektörü ölçeklendirdiğini görürseniz,

you call it a scalar.

ona skaler dersiniz.

In fact, throughout linear algebra,

Aslında, lineer cebir boyunca,

one of the main things that numbers do is scale vectors.

sayıların yaptığı temel şeylerden biri vektörleri ölçeklendirmektir.

So,

Bu nedenle,

it's common to use the word scalar

skaler kelimesini sayı kelimesiyle

pretty much interchangeably with the word number. Kalıp ifadeler

neredeyse birbirinin yerine kullanmak yaygındır.

Numerically, stretching out a vector by a factor of, say, two

Sayısal olarak, bir vektörü örneğin iki katı uzatmak,

corresponds with multiplying each of its components by that factor,

onun her bir bileşenini bu katsayı ile, yani iki ile

two.

çarpmaya karşılık gelir.

So,

Yani,

in the conception of vectors as lists of numbers,

vektörlerin sayı listeleri olduğu kavramında,

multiplying a given vector by a scalar

belirli bir vektörü bir skalerle çarpmak

means multiplying each one of those components by that scalar.

bu bileşenlerin her birini o skalerle çarpmak anlamına gelir.

You'll see in the following videos what I mean

Lineer cebir konularının temel olarak

when I say that linear algebra topics tend to revolve Kalıp ifadeler

bu iki işlem etrafında, yani vektör toplama ve skaler çarpma

around these two fundamental operations,

etrafında döndüğünü söylediğimde,

vector addition and scalar multiplication.

bununla ne demek istediğimi sonraki videolarda göreceksiniz.

And I'll talk more in the last video

Ve son videoda,

about how and why the mathematician thinks only about these operations,

vektörleri nasıl temsil etmeyi seçerseniz seçin, bundan bağımsız ve soyutlanmış olarak

independent and abstracted away from however you choose to represent vectors. Öbek fiiller

matematikçinin neden ve nasıl sadece bu işlemleri düşündüğünden daha fazla bahsedeceğim.

In truth,

Gerçekte,

it doesn't matter whether you think about vectors as fundamentally being arrows in space, Dilbilgisi

vektörleri temelde uzaydaki oklar olarak düşünmeniz,

like I'm suggesting you do,

benim size önerdiğim gibi,

that happen to have a nice numerical representation, Dilbilgisi

ve bu okların güzel bir sayısal temsile sahip olması,

or fundamentally as lists of numbers

ya da onları temelde sayı listeleri olarak düşünmeniz

that happen to have a nice geometric interpretation.

ve bu listelerin güzel bir geometrik yoruma sahip olması fark etmez.

The usefulness of linear algebra has less to do with either one of these views Dilbilgisi

Lineer cebirin yararlılığı, bu görüşlerin herhangi birinden ziyade,

than it does with the ability to translate back and forth between them. Kalıp ifadeler

bunlar arasında ileri geri çeviri yapabilme yeteneğiyle ilgilidir.

It gives the data analyst a nice way to conceptualize

Veri analistine, görsel bir yolla

many lists of numbers in a visual way,

birçok sayı listesini kavramsallaştırmak için harika bir yol sunar,

which can seriously clarify patterns in data

bu da verilerdeki modelleri ciddi şekilde netleştirebilir

and give a global view of what certain operations do.

ve belirli işlemlerin ne yaptığına dair küresel bir bakış açısı sağlayabilir.

And on the flip side, Anlatım akışı

Diğer taraftan,

it gives people like physicists and computer graphics programmers

fizikçiler ve bilgisayar grafikleri programcıları gibi insanlara

a language to describe space

bir bilgisayarda işlenebilecek ve çalıştırılabilecek sayıları kullanarak

and the manipulation of space

uzayı betimlemek ve

using numbers that can be crunched and run through a computer. Kelime

uzayın manipülasyonunu tanımlamak için bir dil verir.

When I do math-y animations, for example, Kelime

Örneğin matematiksel animasyonlar yaptığımda,

I start by thinking about what's actually going on in space Deyimler

önce uzayda gerçekte neler olduğunu düşünerek başlarım

and then get the computer to represent things numerically,

ve sonra bilgisayarın bunları sayısal olarak temsil etmesini sağlarım,

thereby figuring out where to place the pixels on the screen. Dilbilgisi

böylece ekrandaki piksellerin nereye yerleştirileceğini bulurum.

And doing that usually relies on a lot of linear algebra understanding.

Ve bunu yapmak genellikle çok fazla lineer cebir anlayışına dayanır.

So,

İşte,

there are your vector basics,

bunlar sizin vektör temellerinizdi,

and in the next video,

ve bir sonraki videoda,

I'll start getting into some pretty neat concepts surrounding vectors,

vektörleri çevreleyen oldukça ilginç bazı kavramlara girmeye başlayacağım,

like span, bases, and linear dependence.

germe (span), tabanlar (bases) ve doğrusal bağımlılık gibi.

See you then.

O zaman görüşmek üzere.