Doğrusal kombinasyonlar, germe ve taban vektörleri | Bölüm 2, Doğrusal Cebirin Özü: İngilizce çalışma notları

In the last video, along with the ideas of vector addition and scalar multiplication, I described vector coordinates

Geçen videoda, vektör toplama ve skaler çarpma fikirlerinin yanı sıra, vektör koordinatlarını da anlattım,

where there's this back and forth between, Deyimler

burada ikisi arasında bir gidiş geliş vardır,

for example,

örneğin,

pairs of numbers and two-dimensional vectors.

sayı çiftleri ve iki boyutlu vektörler arasında.

Now, I imagine the vector coordinates were already familiar to a lot of you,

Şimdi, sanırım birçoğunuz vektör koordinatlarına zaten aşinaydınız,

but there's another kind of interesting way to think about these coordinates, Anlatım akışı

ancak bu koordinatlar hakkında düşünmenin başka ilginç bir yolu daha var,

which is pretty central to linear algebra.

ki bu doğrusal cebirin oldukça merkezinde yer alır.

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, Dilbilgisi

Bir vektörü tanımlaması amaçlanan bir sayı çiftiniz olduğunda,

like 3 -2,

örneğin 3 -2 gibi,

I want you to think about each coordinate as a scalar, Dilbilgisi

her bir koordinatı bir skaler olarak düşünmenizi istiyorum,

meaning think about how each one stretches or squishes vectors.

yani her birinin vektörleri nasıl uzattığını veya sıkıştırdığını düşünün.

In the XY coordinate system,

XY koordinat sisteminde,

there are two very special vectors.

çok özel iki vektör vardır.

The one pointing to the right with length one,

Biri sağa doğru işaret eden ve uzunluğu bir olan,

commonly called i-hat or the unit vector in the X direction,

genellikle i-şapka (i-hat) veya X yönündeki birim vektör olarak adlandırılır,

and the one pointing straight up with length one,

ve diğeri dümdüz yukarı işaret eden ve uzunluğu bir olan,

commonly called j-hat, or the unit vector in the Y direction.

genellikle j-şapka (j-hat) veya Y yönündeki birim vektör olarak adlandırılır.

Now, think of the X coordinate of our vector as a scalar that scales i-hat,

Şimdi, vektörümüzün X koordinatını i-şapkayı ölçeklendiren bir skaler olarak düşünün,

stretching it by a factor of 3, Kalıp ifadeler

onu 3 kat uzatır,

and the Y coordinate as a scalar that scales j-hat,

ve Y koordinatını j-şapkayı ölçeklendiren bir skaler olarak düşünün,

flipping it and stretching it by a factor of 2.

onu ters çevirir ve 2 kat uzatır.

In this sense,

Bu anlamda,

the vector that these coordinates describe

bu koordinatların tanımladığı vektör

is the sum of two scaled vectors.

ölçeklendirilmiş iki vektörün toplamıdır.

That's a surprisingly important concept,

Bu şaşırtıcı derecede önemli bir kavramdır,

this idea of adding together two scaled vectors.

ölçeklendirilmiş iki vektörü birbirine ekleme fikri.

Those two vectors i-hat and j-hat have a special name,

Bu arada, o iki vektör i-şapka ve j-şapkanın

by the way.

özel bir adı vardır.

Together, they're called the basis of a coordinate system.

Birlikte, bir koordinat sisteminin tabanı (bazı) olarak adlandırılırlar.

What this means basically

Bunun temelde anlamı şudur:

is that when you think about coordinates as scalars,

koordinatları skaler olarak düşündüğünüzde,

the basis vectors are what those scalars actually,

taban vektörleri aslında bu skalerlerin,

you know, scale.

bilirsiniz, ölçeklendirdiği şeylerdir.

There's also a more technical definition,

Daha teknik bir tanımı da var,

but I'll get to that later.

ama ona daha sonra geleceğim.

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors, Kalıp ifadeler

Koordinat sistemimizi bu iki özel taban vektörü üzerinden kurgulamak,

it raises a pretty interesting and subtle point. Kalıp ifadeler

oldukça ilginç ve ince bir noktayı ortaya çıkarıyor.

We could have chosen different basis vectors Dilbilgisi

Farklı taban vektörleri seçebilir

and gotten a completely reasonable new coordinate system.

ve tamamen makul, yeni bir koordinat sistemi elde edebilirdik.

For example, take some vector pointing up and to the right,

Örneğin, yukarı ve sağa işaret eden bir vektörle,

along with some other vector pointing down and to the right in some way.

bir şekilde aşağı ve sağa işaret eden başka bir vektör alın.

Take a moment to think about all the different vectors that you can get

İki skaler seçerek,

by choosing two scalars,

her birini vektörlerden birini ölçeklendirmek için kullanarak,

using each one to scale one of the vectors,

ve sonra elde ettiklerinizi toplayarak

then adding together what you get.

elde edebileceğiniz tüm farklı vektörleri düşünmek için bir an ayırın.

Which two-dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

Skaler seçimlerini değiştirerek hangi iki boyutlu vektörlere ulaşabilirsiniz?

The answer is that you can reach every possible two-dimensional vector,

Cevap, olası her iki boyutlu vektöre ulaşabileceğinizdir,

and I think it's a good puzzle to contemplate why.

ve bence bunun nedenini düşünmek iyi bir bulmacadır.

A new pair of basis vectors like this

Bunun gibi yeni bir taban vektörleri çifti

still gives us a valid way to go back and forth between pairs of numbers

bize sayı çiftleri ile iki boyutlu vektörler arasında

and two-dimensional vectors,

gidip gelmek için hala geçerli bir yol sağlar,

but the association is definitely different from the one that you get

ancak aralarındaki bu ilişki, i-şapka ve j-şapkanın daha standart tabanını kullanarak

using the more standard basis of i-hat and j-hat.

elde ettiğinizden kesinlikle farklıdır.

This is something I'll go into much more detail on later, Öbek fiiller

Bu, daha sonra çok daha fazla detaya gireceğim,

describing the exact relationship between different coordinate systems,

farklı koordinat sistemleri arasındaki kesin ilişkiyi açıklayacağım bir konu,

but for right now, I just want you to appreciate the fact that

ama şimdilik, sadece şu gerçeği takdir etmenizi istiyorum:

any time we describe vectors numerically,

vektörleri sayısal olarak her tanımladığımızda,

it depends on an implicit choice of what basis vectors we're using. Kalıp ifadeler

bu, hangi taban vektörlerini kullandığımıza dair örtük bir seçime bağlıdır.

So, any time that you're scaling two vectors and adding them like this,

Yani, iki vektörü bu şekilde ölçeklendirip topladığınız her zaman,

it's called a linear combination of those two vectors. Kelime

bu, o iki vektörün doğrusal birleşimi (lineer kombinasyonu) olarak adlandırılır.

Where does this word linear come from?

Bu doğrusal kelimesi nereden geliyor?

Why does this have anything to do with lines? Kalıp ifadeler

Bunun çizgilerle (doğrularla) neden bir ilgisi var?

Well, this isn't the etymology,

Pekala, bu işin etimolojisi değil,

but one way I like to think about it is that Anlatım akışı

ama bunun hakkında düşünmeyi sevdiğim bir yol şudur:

if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,

bu skalerlerden birini sabitler ve diğerinin değerini serbestçe değiştirmesine izin verirseniz,

the tip of the resulting vector draws a straight line.

ortaya çıkan vektörün ucu düz bir çizgi çizer.

Now, if you let both scalars range freely Dilbilgisi

Şimdi, her iki skalerin de serbestçe değişmesine izin verirseniz

and consider every possible vector that you can get,

ve elde edebileceğiniz olası her vektörü düşünürseniz,

there are two things that can happen.

olabilecek iki şey vardır.

For most pairs of vectors,

Vektör çiftlerinin çoğu için,

you'll be able to reach every possible point in the plane.

düzlemdeki olası her noktaya ulaşabileceksiniz.

Every two-dimensional vector is within your grasp. Deyimler

Her iki boyutlu vektör elinizin altındadır.

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up, Öbek fiiller

Ancak, orijinal iki vektörünüzün tesadüfen aynı hizaya geldiği şanssız durumda,

the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the origin.

ortaya çıkan vektörün ucu sadece orijinden geçen bu tek çizgiyle sınırlı kalır.

Actually, technically, there's a third possibility, too.

Aslında, teknik olarak üçüncü bir olasılık daha var.

Both your vectors could be zero,

Her iki vektörünüz de sıfır olabilir,

in which case you'd just be stuck at the origin. Dilbilgisi

bu durumda sadece orijinde sıkışıp kalırsınız.

Here's some more terminology.

İşte size biraz daha terminoloji.

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors

Belirli bir vektör çiftinin doğrusal birleşimi ile ulaşabileceğiniz tüm olası vektörlerin kümesi,

is called the span of those two vectors. Kelime

o iki vektörün germesi (span'i) olarak adlandırılır.

So, restating what we just saw in this lingo,

Yani, az önce gördüğümüz şeyi bu jargonda yeniden ifade edersek,

the span of most pairs of 2D vectors is all vectors of 2D space,

çoğu 2B vektör çiftinin germesi 2B uzaydaki tüm vektörlerdir,

but when they line up,

ancak aynı hizaya geldiklerinde,

their span is all vectors whose tip sit on a certain line.

germeleri, ucu belirli bir çizgi üzerinde bulunan tüm vektörlerdir.

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication? Deyimler

Doğrusal cebirin vektör toplama ve skaler çarpma etrafında döndüğünü nasıl söylediğimi hatırlıyor musunuz?

Well, the span of two vectors is basically a way of asking,

İşte, iki vektörün germesi temelde şunu sormanın bir yoludur:

what are all the possible vectors you can reach

sadece bu iki temel işlemi,

using only these two fundamental operations,

vektör toplama ve skaler çarpmayı kullanarak

vector addition and scalar multiplication?

ulaşabileceğiniz tüm olası vektörler nelerdir?

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

İnsanların genellikle vektörleri nokta olarak nasıl düşündükleri hakkında konuşmak için iyi bir zaman.

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line,

Bir çizgi üzerinde duran bütün bir vektör koleksiyonunu düşünmek gerçekten çok kalabalıklaşıyor,

and more crowded still to think about all two-dimensional vectors all at once filling up the plane.

ve tüm iki boyutlu vektörlerin aynı anda düzlemi doldurduğunu düşünmek daha da kalabalık oluyor.

So, when dealing with collections of vectors like this,

Bu yüzden, bunun gibi vektör koleksiyonlarıyla uğraşırken,

it's common to represent each one with just a point in space.

her birini uzayda sadece bir noktayla temsil etmek yaygındır.

The point at the tip of that vector,

O vektörün ucundaki nokta,

where, as usual, I want you thinking about that vector with its tail on the origin.

ki burada, her zamanki gibi, o vektörü kuyruğu orijinde olacak şekilde düşünmenizi istiyorum.

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain line,

Bu şekilde, ucu belirli bir çizgi üzerinde oturan her olası vektörü düşünmek isterseniz,

just think about the line itself.

sadece çizginin kendisini düşünmeniz yeterlidir.

Likewise, to think about all possible two-dimensional vectors all at once,

Aynı şekilde, olası tüm iki boyutlu vektörleri aynı anda düşünmek için,

conceptualize each one as the point where its tip sits.

her birini ucunun oturduğu nokta olarak kavramsallaştırın.

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite flat sheet of two-dimensional space itself,

Yani, aslında düşüneceğiniz şey, okları dışarıda bırakarak,

leaving the arrows out of it. Öbek fiiller

iki boyutlu uzayın kendisinin sonsuz düz sayfası olacaktır.

In general, if you're thinking about a vector on its own, Kalıp ifadeler

Genel olarak, bir vektörü tek başına düşünüyorsanız,

think of it as an arrow.

onu bir ok olarak düşünün.

And if you're dealing with a collection of vectors,

Ve eğer bir vektör koleksiyonu ile uğraşıyorsanız,

it's convenient to think of them all as points.

hepsini nokta olarak düşünmek uygundur.

So, for our span example,

Yani, germe örneğimiz için,

the span of most pairs of vectors ends up being the entire infinite sheet of two-dimensional space, Öbek fiiller

çoğu vektör çiftinin germesi, sonuçta iki boyutlu uzayın tüm sonsuz sayfası olur,

but if they line up,

ancak aynı hizaya gelirlerse,

their span is just a line.

germeleri sadece bir çizgidir.

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three-dimensional space.

Üç boyutlu uzaydaki vektörler hakkında düşünmeye başlarsak, germe fikri çok daha ilginç hale gelir.

For example,

Örneğin,

if you take two vectors in 3D space that are not pointing in the same direction,

3B uzayda aynı yönü işaret etmeyen iki vektör alırsanız,

what does it mean to take their span?

onların germesini almak ne anlama gelir?

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two vectors,

Pekala, onların germesi, bu iki vektörün tüm olası doğrusal birleşimlerinin koleksiyonudur,

meaning all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way

yani ikisini de bir şekilde ölçeklendirerek

and then adding them together.

ve sonra toplayarak elde ettiğiniz olası tüm vektörler anlamına gelir.

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the linear combination, Deyimler

Doğrusal birleşimi tanımlayan iki skaleri değiştirmek için iki farklı düğmeyi çevirdiğinizi,

adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

ölçeklendirilmiş vektörleri topladığınızı ve ortaya çıkan vektörün ucunu takip ettiğinizi hayal edebilirsiniz.

That tip will trace out some kind of flat sheet cutting through the origin of three-dimensional space.

Bu uç, üç boyutlu uzayın orijininden geçen düz bir sayfa türü çizecektir.

This flat sheet is the span of the two vectors,

Bu düz sayfa iki vektörün germesidir,

or more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on that flat sheet is the span of your two vectors. Anlatım akışı

veya daha doğrusu, uçları o düz sayfada duran tüm olası vektörlerin kümesi, iki vektörünüzün germesidir.

Isn't that a beautiful mental image?

Bu çok güzel bir zihinsel imge değil mi?

So, what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

Peki, üçüncü bir vektör eklersek ve bu üçlünün germesini düşünürsek ne olur?

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two.

Üç vektörün doğrusal birleşimi, iki vektör için olduğu gibi hemen hemen aynı şekilde tanımlanır.

You'll choose three different scalars,

Üç farklı skaler seçeceksiniz,

scale each of those vectors,

bu vektörlerin her birini ölçeklendireceksiniz,

and then add them all together.

ve sonra hepsini birbirine ekleyeceksiniz.

And again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

Ve yine, bu vektörlerin germesi, tüm olası doğrusal birleşimlerin kümesidir.

Two different things could happen here.

Burada iki farklı şey olabilir.

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two,

Üçüncü vektörünüz tesadüfen ilk ikisinin germesi üzerinde duruyorsa,

then the span doesn't change.

o zaman germe değişmez.

You're sort of trapped on that same flat sheet.

Bir nevi o aynı düz sayfada hapsolmuşsunuzdur.

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination Anlatım akışı

Başka bir deyişle, bu üçüncü vektörün ölçeklendirilmiş bir versiyonunu doğrusal birleşime eklemek

doesn't really give you access to any new vectors.

size gerçekten yeni vektörlere erişim sağlamaz.

But if you just randomly choose a third vector,

Ancak rastgele üçüncü bir vektör seçerseniz,

it's almost certainly not sitting on the span of those first two.

neredeyse kesinlikle o ilk ikisinin germesinde yer almıyordur.

Then, since it's pointing in a separate direction,

O zaman, ayrı bir yönü gösterdiği için,

it unlocks access to every possible three-dimensional vector. Deyimler

olası her üç boyutlu vektöre erişimin kilidini açar.

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector,

Bunu düşünmenin sevdiğim bir yolu da, bu yeni üçüncü vektörü ölçeklendirdikçe,

it moves around that span sheet of the first two,

ilk ikisinin germe sayfası etrafında dolaşması

sweeping it through all of space.

ve onu tüm uzayı süpürerek geçmesidir.

Another way to think about it is that you're making full use of the three freely changing scalars that you have at your disposal Deyimler

Bunun hakkında düşünmenin başka bir yolu da, emrinizdeki serbestçe değişen üç skaleri,

to access the full three dimensions of space.

uzayın tam üç boyutuna erişmek için tam olarak kullanıyor olmanızdır.

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two,

Şimdi, üçüncü vektörün ilk ikisinin germesinde zaten yer aldığı durumda

or the case where two vectors happen to line up,

veya iki vektörün tesadüfen aynı hizaya geldiği durumda,

we want some terminology to describe the fact that at least one of these vectors is redundant, Kelime

bu vektörlerden en az birinin gereksiz olduğunu,

not adding anything to our span.

germemize hiçbir şey eklemediğini açıklayacak bazı terminolojilere ihtiyacımız var.

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing the span,

Birden fazla vektörünüzün olduğu ve germeyi azaltmadan birini çıkarabileceğiniz böyle bir durum olduğunda,

the relevant terminology is to say that they are linearly dependent. Kelime

ilgili terminoloji onların doğrusal bağımlı olduğunu söylemektir.

Another way of phrasing that would be to say that one of the vectors can be expressed as a linear combination of the others, Kalıp ifadeler

Bunu ifade etmenin başka bir yolu da, vektörlerden birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olarak ifade edilebileceğini söylemek olurdu,

since it's already in the span of the others.

çünkü zaten diğerlerinin germesi içindedir.

On the other hand, Anlatım akışı

Öte yandan,

if each vector really does add another dimension to the span, Dilbilgisi

eğer her bir vektör germeye gerçekten başka bir boyut ekliyorsa,

they're said to be linearly independent. Kelime

onların doğrusal bağımsız olduğu söylenir.

So, with all of that terminology and hopefully with some good mental images to go with it,

Öyleyse, tüm bu terminoloji ve umarım bunlara eşlik edecek bazı iyi zihinsel imgelerle,

let me leave you with a puzzle before we go. Kalıp ifadeler

gitmeden önce size bir bulmaca bırakayım.

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that span that space. Kelime

Bir uzayın tabanının teknik tanımı, o uzayı geren doğrusal bağımsız vektörlerin bir kümesidir.

Now, given how I described a basis earlier,

Şimdi, daha önce bir tabanı nasıl anlattığımı

and given your current understanding of the words span and linearly independent,

ve germe ile doğrusal bağımsız kelimelerine ilişkin mevcut anlayışınızı göz önüne alarak,

think about why this definition would make sense.

bu tanımın neden mantıklı olacağını düşünün.

In the next video,

Sonraki videoda,

I'll get into matrices in transforming space.

uzayı dönüştürmede matrislere gireceğim.

See you then.

O zaman görüşürüz.