Dünyanın En Ünlü Matematik Problemini Çözen Adam: İngilizce çalışma notları

In 1994,

1994 yılında,

Andrew Wiles solved a mystery that had stumped mathematicians for 357 years. Kelime

Andrew Wiles, matematikçileri 357 yıl boyunca şaşkına çeviren bir gizemi çözdü.

The 17th century French mathematician Pierre de Fermat states that you can't find numbers

17. yüzyıl Fransız matematikçisi Pierre de Fermat, şöyle sayılar bulamayacağınızı belirtir:

where x to the n + y to the n

x üzeri n + y üzeri n'nin

is equal to z to the n

z üzeri n'ye eşit olduğu,

when n is a whole number greater than two.

n'nin ikiden büyük bir tam sayı olduğu durumlarda.

For example,

Örneğin,

3 to the power of 3 + 4 to the power of 3 equals 91, Kültür

3'ün 3. kuvveti + 4'ün 3. kuvveti 91'e eşittir,

which is not the cube of any whole number.

bu da herhangi bir tam sayının küpü değildir.

Fermat claims to have proved his theorem, Dilbilgisi

Fermat, bu teoremi kanıtladığını iddia eder ve,

writing in his copy of Arithmetica,

sayılar teorisi üzerine eski bir Yunan metni olan Arithmetica'nın

an ancient Greek text on number theory,

kendisine ait kopyasının kenarına şöyle yazar:

"I have discovered a truly marvelous proof of this,

"Bunun gerçekten harika bir kanıtını buldum,

which this margin is too narrow to contain." Dilbilgisi

ancak bu kenar boşluğu onu sığdırmak için çok dar."

Unfortunately,

Ne yazık ki,

he never wrote down his proof,

bu kanıtı asla yazıya dökmedi,

not anywhere that anyone has ever found.

hiç kimsenin şimdiye kadar bulduğu bir yerde değil.

For over 300 years,

300 yılı aşkın bir süre boyunca,

mathematicians puzzled over this perplexing problem, Öbek fiiller

matematikçiler bu kafa karıştırıcı problem üzerinde kafa yordular,

which is similar to the Pythagorean theorem,

ki bu Pisagor teoremine benzer,

but applies to exponents greater than two.

ancak ikiden büyük üslere uygulanır.

Andrew Wiles was a young boy when he stumbled upon Fermat's Last Theorem Öbek fiiller

Andrew Wiles, Fermat'nın Son Teoremi ile

at a library in Cambridge,

Cambridge, İngiltere'deki bir kütüphanede tesadüfen karşılaştığında

England in 1963.

1963 yılında henüz genç bir çocuktu.

As he recalled in an interview later featured in the book Fermat's Enigma

Simon Singh'in yazdığı ve benim de şiddetle tavsiye ettiğim

by Simon Singh,

Fermat'nın Son Teoremi (Fermat's Enigma) kitabında

which I highly recommend,

yer alan bir röportajda daha sonra hatırladığı gibi:

"Here was a problem that I,

"İşte burada, benim,

a 10-year-old,

10 yaşında bir çocuğun,

could understand,

anlayabileceği bir problem duruyordu,

and I knew from that moment

ve o andan itibaren biliyordum ki

that I would never let it go. Öbek fiiller

bunun peşini asla bırakmayacaktım.

I had to solve it."

Onu çözmeliydim."

His determination was extraordinary,

Matematikteki en parlak beyinlerin

considering the brightest minds in math

yüzyıllar boyunca çözmeyi başaramadığı düşünüldüğünde,

had failed to crack it for centuries. Kelime

onun kararlılığı olağanüstüydü.

The 18th century Swiss mathematician Leonhard Euler

18. yüzyıl İsviçreli matematikçisi Leonhard Euler

proved a specific case

n'nin 3'e eşit olduğu

where there are no solutions

durumda çözüm olmadığını

for n equals 3,

belirli bir vaka olarak kanıtladı,

but his work didn't extend to other exponents.

ancak çalışmaları diğer üslere genişletilemedi.

Euler even asked a friend to search Fermat's house

Euler, kanıtını bir yere karalamış olabileceği ihtimaline karşı

just in case he had scribbled down his proof somewhere, Kalıp ifadeler

bir arkadaşından Fermat'nın evini aramasını bile istedi,

with no luck.

ancak sonuç hüsrandı.

The wealthy German industrialist Paul Wolfskehl

Zengin Alman sanayici Paul Wolfskehl,

was so miserable because the woman he loved Dilbilgisi

sevdiği kadının onu sevmemesi yüzünden

didn't love him back

o kadar mutsuzdu ki

that he planned to end his life,

hayatına son vermeyi planlıyordu,

only to be reinvigorated by Fermat's puzzle. Dilbilgisi

ta ki Fermat'nın bu bulmacasıyla yeniden hayata dönene kadar.

He never solved it himself,

Kendisi bu problemi asla çözemedi,

but he offered a reward of 100,000 German marks

ama çözebilecek herkese

to anyone who could,

100.000 Alman Markı ödül teklif etti,

motivating the next generation of mathematicians.

bu da yeni nesil matematikçileri motive etti.

When Andrew Wiles was a grad student at the University of Cambridge

Andrew Wiles 1970'lerde Cambridge Üniversitesi'nde

in the 1970s,

bir yüksek lisans öğrencisiyken,

his supervisor John Coates

danışmanı John Coates

suggested he study elliptic curves,

ona eliptik eğriler üzerine çalışmasını önerdi,

which proved crucial for solving Fermat's Last Theorem. Kalıp ifadeler

bu da Fermat'nın Son Teoremi'ni çözmek için hayati önem taşıyacaktı.

In the 1950s,

1950'lerde,

Japanese mathematicians Yutaka Taniyama and Goro Shimura

Japon matematikçiler Yutaka Taniyama ve Goro Shimura,

suggested that for every elliptic curve,

her eliptik eğri için

there was a corresponding modular form.

karşılık gelen bir modüler form olduğunu öne sürdüler.

The Taniyama-Shimura conjecture connected two distinct areas of mathematics.

Taniyama-Shimura varsayımı, matematiğin birbirinden ayrı iki alanını birbirine bağladı.

Later,

Daha sonra,

Ken Ribet,

UC Berkeley'de bir profesör olan

a professor at UC Berkeley,

Ken Ribet,

linked their conjecture to Fermat's Last Theorem.

bu varsayımı Fermat'nın Son Teoremi ile ilişkilendirdi.

How?

Nasıl mı?

He showed that if Fermat's Last Theorem were false, Dilbilgisi

Eğer Fermat'nın Son Teoremi yanlış olsaydı,

certain elliptical curves would have to exist.

bazı eliptik eğrilerin var olması gerektiğini gösterdi.

However,

Bununla birlikte,

the Taniyama-Shimura conjecture implied that those curves could not exist.

Taniyama-Shimura varsayımı bu eğrilerin var olamayacağını ima ediyordu.

Therefore,

Dolayısıyla,

if the Taniyama-Shimura conjecture were true,

Taniyama-Shimura varsayımı doğruysa,

Fermat's Last Theorem would also be true.

Fermat'nın Son Teoremi de doğru olacaktı.

Proving the conjecture would prove Fermat's Last Theorem.

Varsayımı kanıtlamak, Fermat'nın Son Teoremi'ni kanıtlamak demekti.

The problem was Taniyama and Shimura

Sorun şuydu ki Taniyama ve Shimura

never proved their own conjecture.

kendi varsayımlarını hiçbir zaman kanıtlamamışlardı.

Tragically,

Trajik bir şekilde,

Taniyama committed suicide in 1958,

Taniyama 1958 yılında intihar etti

leaving a note that read,

ve geride şu notu bıraktı:

"I am in the frame of mind that I lost confidence in my future."

"Geleceğime olan güvenimi kaybettiğim bir ruh halindeyim."

His fiancee took her own life shortly after,

Kısa bir süre sonra nişanlısı da kendi hayatına son verdi

writing,

ve şöyle yazdı:

"We promised each other that no matter where we went, Dilbilgisi

"Nereye gidersek gidelim,

we would never be separated.

asla ayrılmayacağımıza dair birbirimize söz vermiştik.

Now that he is gone,

Şimdi o gittiğine göre,

I must go too in order to join him."

ben de ona katılmak için gitmeliyim."

In 1986,

1986 yılında,

Andrew Wiles was sipping iced tea at a friend's house

Andrew Wiles bir arkadaşının evinde buzlu çay yudumlarken,

when his friend mentioned Ken Ribet

arkadaşı Ken Ribet'in

had proved the link between Taniyama-Shimura and Fermat's Last Theorem.

Taniyama-Shimura ile Fermat'nın Son Teoremi arasındaki bağlantıyı kanıtladığından bahsetti.

Andrew recalled,

Andrew şöyle hatırlıyor:

"I was electrified. Deyimler

"Çarpılmışa döndüm.

I knew that moment that the course of my life was changing,

O an hayatımın seyrinin değiştiğini biliyordum,

because this meant that to prove Fermat's Last Theorem,

çünkü bu, Fermat'nın Son Teoremi'ni kanıtlamak için

all I had to do was prove the Taniyama-Shimura conjecture. Dilbilgisi

yapmam gereken tek şeyin Taniyama-Shimura varsayımını kanıtlamak olduğu anlamına geliyordu.

It meant that my childhood dream was now a respectable thing to work on.

Çocukluk hayalim artık üzerinde çalışılacak saygın bir konuydu.

I just knew that I could never let that go."

Onun peşini asla bırakamayacağımı biliyordum."

By this time,

O sıralarda,

Andrew had moved to the US

Andrew ABD'ye taşınmıştı

where he was a mathematics professor at Princeton University.

ve Princeton Üniversitesi'nde matematik profesörüydü.

When he wasn't lecturing,

Ders vermediği zamanlarda,

he was in his attic office

tavan arasındaki ofisindeydi ve

trying to prove that every single elliptic equation

her bir eliptik denklemin

could be correlated with a modular form.

bir modüler form ile ilişkilendirilebileceğini kanıtlamaya çalışıyordu.

Only his wife knew what he was up to. Deyimler

Ne işler çevirdiğini sadece eşi biliyordu.

He kept his work a secret,

Çalışmasını gizli tuttu,

not wanting to be distracted.

dikkatinin dağılmasını istemiyordu.

Though,

Gerçi,

there may have been another reason for his secrecy.

gizliliğinin başka bir nedeni daha olabilirdi.

He may have feared that if his progress leaked,

Eğer kaydettiği ilerleme sızarsa,

a rival mathematician might beat him to the punch and claim the glory. Deyimler

rakip bir matematikçinin ondan önce davranıp ihtişamı sahipleneceğinden korkmuş olabilir.

He cleverly threw his colleagues off track Deyimler

Meslektaşlarını zekice şaşırttı,

by publishing his ongoing research on elliptic equations every six months,

eliptik denklemler üzerine devam eden araştırmalarını altı ayda bir yayınlayarak

making it seem like he was keeping busy Anlatım akışı

kendisini sürekli meşgulmüş gibi gösterirken,

while actually devoting his time to the age-old enigma.

aslında zamanını bu asırlık muammaya adıyordu.

He began by proving the connection for a specific class of elliptic curves,

İlk olarak belirli bir eliptik eğri sınıfı için bağlantıyı kanıtlayarak başladı,

like knocking down the first domino in a long line. Anlatım akışı

tıpkı uzun bir sıradaki ilk dominoyu devirmek gibi.

The challenge was to ensure that if one domino fell,

Zorluk, bir domino taşı düşerse,

it would topple the next.

bir sonrakini de devireceğinden emin olmaktı.

Andrew had to show that if one element of the elliptic curve series

Andrew, eliptik eğri serisinin bir öğesi

matched the corresponding element in the modular form series,

modüler form serisindeki karşılık gelen öğeyle eşleşirse,

then the next elements would also match.

sonraki öğelerin de eşleşeceğini göstermek zorundaydı.

Yet,

Ancak,

he struggled to topple the rest of the dominoes.

kalan dominoları devirmekte zorlanıyordu.

Five years after working in secret,

Gizli yürüttüğü çalışmaların beşinci yılında,

he decided to emerge from his hermit-like state

yeni fikirler bulma umuduyla

in hopes of finding new ideas.

bu keşiş benzeri halinden çıkmaya karar verdi.

In 1991,

1991 yılında,

he attended a major math conference in Boston

Boston'daki büyük bir matematik konferansına katıldı

where his PhD supervisor John Coates mentioned that a student of his,

ve burada doktora danışmanı John Coates, kendi öğrencilerinden birinin,

Matthias Flach,

Matthias Flach'ın,

was working on a powerful way of analyzing elliptic equations,

Rus matematikçi Viktor Kolyvagin'in çalışmalarına dayanarak

building on the work of Russian mathematician Viktor Kolyvagin. Öbek fiiller

eliptik denklemleri analiz etmenin güçlü bir yolu üzerinde çalıştığından bahsetti.

Andrew realized this Kolyvagin-Flach method

Andrew, bu Kolyvagin-Flach yönteminin

could help him topple the rest of the dominoes,

kalan dominoları devirmesine yardımcı olabileceğini,

ultimately proving every elliptic equation

nihayetinde her eliptik denklemin

could be matched to a modular form.

bir modüler form ile eşleştirilebileceğini kanıtlayabileceğini fark etti.

But this involved incredibly hard mathematics

Ancak bu, inanılmaz derecede zor bir matematik içeriyordu

and took several more years.

ve birkaç yıl daha sürdü.

After seven years of working all by himself,

Tamamen tek başına çalıştığı yedi yılın ardından,

he finally decided he needed some help.

nihayet biraz yardıma ihtiyacı olduğuna karar verdi.

In 1993,

1993 yılında,

he confided in his colleague at Princeton, Kalıp ifadeler

Princeton'daki meslektaşı

mathematician Nick Katz.

matematikçi Nick Katz'a sırrını açtı.

They arranged a secret weekly meeting disguised as a graduate course

Nick'in Andrew'un hesaplamalarını titizlikle kontrol edip doğruladığı

where Nick meticulously checked and verified Andrew's calculations

ve Kolyvagin-Flach yönteminin mükemmel çalıştığını değerlendirdiği,

and assessed that the Kolyvagin-Flach method worked perfectly.

yüksek lisans dersi kılığında gizli bir haftalık toplantı ayarladılar.

There was still one missing piece of the puzzle.

Hala yapbozun eksik bir parçası vardı.

Andrew used a key insight gleaned from a paper by American mathematician Barry Mazur

Andrew, Amerikalı matematikçi Barry Mazur'un bir makalesinden edindiği kilit bir içgörüyü kullanarak

to complete the puzzle in May 1993.

Mayıs 1993'te yapbozu tamamladı.

It was time to tell the world he had solved the world's hardest math problem.

Dünyanın en zor matematik problemini çözdüğünü dünyaya duyurmanın zamanı gelmişti.

He chose to do so at a conference at the Isaac Newton Institute

Bunu Isaac Newton Enstitüsü'ndeki bir konferansta,

in June 1993

Haziran 1993'te,

in his hometown of Cambridge.

memleketi Cambridge'de yapmayı seçti.

An air of excitement filled the room

300 yılı aşkın süredir devam eden gizem üzerinde

as rumors spread of his breakthrough

bir dönüm noktasına ulaştığına dair söylentiler yayıldıkça,

on the more than 300-year-old mystery.

odanın içini heyecanlı bir hava kapladı.

Andrew recalled,

Andrew şöyle hatırlıyor:

"There was a typical dignified silence

"Kanıtı yüksek sesle okurken

while I read out the proof,

tipik, ağırbaşlı bir sessizlik vardı

and then I just wrote up the statement of Fermat's Last Theorem.

ve ardından Fermat'nın Son Teoremi'nin ifadesini tahtaya yazdım.

I said,

Dedim ki,

"I think I'll stop here."

"Sanırım burada duracağım."

And then there was sustained applause."

Ve sonra sürekli bir alkış koptu."

Mathematicians usually don't make headlines,

Matematikçiler genellikle manşetlere çıkmazlar,

but this was an exception.

ancak bu bir istisnaydı.

The excitement was palpable,

Heyecan elle tutulur cinstendi,

yet the proof still needed to be verified.

yine de kanıtın doğrulanması gerekiyordu.

He submitted his draft to the journal Inventiones Mathematicae,

Taslağını Inventiones Mathematicae dergisine sundu

where the editor Barry Mazur

ve burada editör Barry Mazur

selected six referees to pore over Andrew's 200-page work. Öbek fiiller

Andrew'un 200 sayfalık çalışmasını incelemek üzere altı hakem seçti.

This was subject matter that perhaps only a half dozen people in the world could fully grasp,

Bu, ödüllü Fermat'nın Son Teoremi belgeselinin yönetmeni John Lynch'in

as John Lynch, director of the award-winning documentary Fermat's Last Theorem, Anlatım akışı

dediği gibi,

put it.

dünyada belki de sadece yarım düzine insanın tam olarak kavrayabileceği bir konuydu.

During this rigorous scrutiny,

Bu titiz inceleme sırasında

a flaw emerged.

bir kusur ortaya çıktı.

One of the referees,

Hakemlerden biri,

Andrew's Princeton colleague Nick Katz,

Andrew'un Princeton'dan meslektaşı Nick Katz,

discovered a gap in the part of the argument Kelime

Kolyvagin-Flach yöntemini içeren

involving the Kolyvagin-Flach method.

argüman kısmında bir boşluk keşfetti.

Nick and Andrew had missed this during their earlier secret meetings disguised as lectures.

Nick ve Andrew, ders kılığındaki önceki gizli toplantılarında bunu gözden kaçırmışlardı.

Was Andrew's proof about to collapse like a house of cards? Deyimler

Acaba Andrew'un kanıtı iskambil evler gibi yıkılmak üzere miydi?

Despite the setback,

Bu aksiliğe rağmen,

he remained optimistic.

iyimserliğini korudu.

He was confident that Kolyvagin-Flach just needed a little tweaking.

Kolyvagin-Flach'ın sadece küçük bir ayara ihtiyacı olduğundan emindi.

He retreated to his attic once again,

Bir kez daha çatı katına çekildi,

but it was slow going. Deyimler

ancak işler yavaş ilerliyordu.

His wife Nada had told him she wanted everything corrected by her birthday on October 6,

Eşi Nada, her şeyin iki hafta sonra olan 6 Ekim'deki doğum gününe kadar

two weeks away.

düzeltilmesini istediğini ona söylemişti.

But as time went on with no manuscript published,

Ancak zaman geçtikçe ve hiçbir makale yayınlanmadıkça,

rumors began circulating that there were issues with his proof.

kanıtında sorunlar olduğuna dair söylentiler dolaşmaya başladı.

Andrew had no choice but to address the speculation publicly in a forum at the end of 1993. Dilbilgisi

Andrew'un 1993'ün sonlarında bir forumda spekülasyonlara açıkça yanıt vermekten başka seçeneği kalmamıştı.

"During the review process,

"İnceleme süreci boyunca,

a number of problems emerged,

bir dizi sorun ortaya çıktı,

most of which have been resolved, Dilbilgisi

bunların çoğu çözüldü,

but one in particular I have not yet settled.

ancak özellikle birini henüz halletmedim.

I believe that I will be able to finish this in the near future

Cambridge derslerimde açıkladığım fikirleri kullanarak

using the ideas explained in my Cambridge lectures."

yakın gelecekte bunu bitirebileceğime inanıyorum."

Winter passed and he was still nowhere close to completing the proof. Kalıp ifadeler

Kış geçti ve o, kanıtı tamamlamaya hala hiç yakın değildi.

He decided to bounce ideas off of someone he trusted. Deyimler

Fikirlerini güvendiği birine danışmaya karar verdi.

His former student Richard Taylor,

Eski öğrencisi Richard Taylor,

now a Cambridge lecturer and one of the referees who looked over his proof.

şimdi Cambridge'de bir öğretim görevlisiydi ve kanıtını inceleyen hakemlerden biriydi.

They worked through the summer of 1994

1994 yazı boyunca birlikte çalıştılar

without any progress.

fakat hiçbir ilerleme kaydedemediler.

Andrew was at wit's end and thought of giving up. Deyimler

Andrew çaresizlik içindeydi ve pes etmeyi düşündü.

But Richard persuaded him to keep working on until Richard returned to Cambridge in September.

Fakat Richard, Eylül ayında Cambridge'e dönene kadar çalışmaya devam etmesi için onu ikna etti.

That extra month made all the difference. Deyimler

O fazladan bir ay her şeyi değiştirdi.

The morning of Monday,

Pazartesi sabahı,

September 19, 1994,

19 Eylül 1994,

Andrew was again intensely examining the Kolyvagin-Flach method,

Andrew, neden işe yaramadığını umutsuzca anlamaya çalışarak

trying desperately to understand why it didn't work.

Kolyvagin-Flach yöntemini yeniden yoğun bir şekilde inceliyordu.

Suddenly,

Aniden,

he had an incredible revelation.

inanılmaz bir aydınlanma yaşadı.

Although the Kolyvagin-Flach method wasn't entirely successful,

Kolyvagin-Flach yöntemi tamamen başarılı olmasa da,

it provided enough insight to revive his original approach

Cambridge'de öğrenciyken öğrendiği

using Iwasawa theory,

eliptik denklemleri analiz etme teorisi olan

a theory of analyzing elliptic equations

Iwasawa teorisini kullanarak

that he had learned as a student at Cambridge.

orijinal yaklaşımını canlandırması için ona yeterli içgörüyü sağladı.

Combining the two methods,

Kendi başlarına yetersiz olan

which were inadequate on their own,

bu iki yöntemi birleştirmek,

provided the eureka moment.

ona evreka anını yaşattı.

"It was the most uh the most important moment of my working life.

"Bu benim, çalışma hayatımın en önemli anıydı.

Nothing I ever do again will

Bir daha yapacağım hiçbir şey...

I'm sorry."

Özür dilerim."

After eight years of dedicating himself to one task,

Kendini tek bir göreve adadığı sekiz yılın ardından,

Andrew's 129-page proof was published in May 1995,

Andrew'un 129 sayfalık kanıtı Mayıs 1995'te yayınlandı

putting to rest the greatest mystery in math. Deyimler

ve matematikteki en büyük gizeme son noktayı koydu.

He reflected,

Şöyle düşündü:

"Having solved this problem,

"Bu problemi çözmüş olmak,

there's certainly a sense of loss. Kalıp ifadeler

kesinlikle bir kayıp hissi veriyor.

But at the same time,

Ama aynı zamanda,

there is this tremendous sense of freedom.

bu muazzam bir özgürlük duygusu.

That particular odyssey is now over. Deyimler

O uzun soluklu destansı yolculuk artık bitti.

My mind is at rest."

Zihnim artık huzur içinde."

If you've been inspired by Andrew's remarkable achievement

Eğer Andrew'un bu olağanüstü başarısından ilham aldıysanız

and want to improve your math skills,

ve matematik becerilerinizi geliştirmek,

and who knows,

ve kim bilir,

solve the next big mathematical mystery,

bir sonraki büyük matematiksel gizemi çözmek istiyorsanız,

Brilliant is the perfect place to start.

Brilliant başlamak için mükemmel bir yer.

If you've ever felt that math is hard,

Matematiğin zor olduğunu hiç hissettiyseniz,

Brilliant is a website and app

Brilliant matematiği kolay ve sezgisel hale getiren

that makes math easy and intuitive.

bir web sitesi ve uygulamadır.

In their measurement course,

Ölçüm kurslarında,

you learn to find angles, side lengths, and areas

şekiller arasındaki ilişkileri tanıyarak

by recognizing relationships between shapes.

açıları, kenar uzunluklarını ve alanları bulmayı öğrenirsiniz.

No heavy calculations are needed.

Ağır hesaplamalara gerek yoktur.

Brilliant's Vector courses will enhance your ability to visualize

Brilliant'ın Vektör kursları çok boyutlu alanlarda karmaşık problemleri

and solve complex problems in multidimensional spaces.

görselleştirme ve çözme yeteneğinizi artıracaktır.

Brilliant has something for everyone.

Brilliant'ta herkes için bir şeyler var.

If you're interested in coding,

Eğer kodlamaya ilgi duyuyorsanız,

you can get familiar with Python

Python'a aşina olabilir

and start building programs on day one

ve yerleşik sürükle-bırak editörüyle

with a built-in drag-and-drop editor.

ilk günden programlar oluşturmaya başlayabilirsiniz.

You can try Brilliant for free for 30 days

Açıklamadaki özel bağlantımla kaydolarak

by signing up with my custom link in the description.

Brilliant'ı 30 gün boyunca ücretsiz deneyebilirsiniz.

brilliant.org/newsthink

brilliant.org/newsthink

or scan the QR code on your screen.

veya ekranınızdaki QR kodunu taratabilirsiniz.

By signing up with my link or code,

Benim bağlantımla veya kodumla kaydolarak,

you'll also get 20% off your annual premium subscription,

yıllık premium aboneliğinizde de %20 indirim kazanacak

giving you access to thousands of courses.

ve binlerce kursa erişim sağlayacaksınız.

Thanks for watching.

İzlediğiniz için teşekkürler.

For Newsthink, I'm Cindy Pom.

Newsthink için ben Cindy Pom.