Üç boyutlu doğrusal dönüşümler | Bölüm 5, Doğrusal cebirin özü: İngilizce çalışma notları

Hey folks, I've got a relatively quick video for you today,

Merhaba arkadaşlar, bugün sizler için nispeten kısa bir videom var,

just sort of a footnote between chapters. Notlar

bölümler arasında bir tür dipnot gibi.

In the last two videos, I talked about linear transformations and matrices,

Son iki videoda doğrusal dönüşümlerden ve matrislerden bahsetmiştim,

but I only showed the specific case of transformations

ancak sadece şu dönüşümlerin belirli bir durumunu gösterdim:

that take two-dimensional vectors to other two-dimensional vectors.

iki boyutlu vektörleri başka iki boyutlu vektörlere dönüştüren.

In general throughout this series, we'll work mainly in two dimensions,

Genel olarak bu seri boyunca ağırlıklı olarak iki boyutta çalışacağız,

mostly because it's easier to actually see on the screen and wrap your mind around. Deyimler

çoğunlukla ekranda görmesi ve kavraması daha kolay olduğu için.

But more importantly than that, Anlatım akışı

Ama bundan da önemlisi,

once you get all the core ideas in two dimensions,

iki boyuttaki tüm temel fikirleri anladığınızda,

they carry over pretty seamlessly to higher dimensions. Öbek fiiller

bunların yüksek boyutlara oldukça sorunsuz bir şekilde taşınmasıdır.

Nevertheless, it's good to peek our heads outside of flatland now and then Notlar

Yine de, arada bir düzlüğün dışına kafamızı uzatıp

to, you know, see what it means to apply these ideas

bu fikirleri uygulamanın ne anlama geldiğini görmek iyidir, bilirsiniz,

in more than just those two dimensions. Dilbilgisi

sadece iki boyuttan fazlasında.

For example, consider a linear transformation

Örneğin, doğrusal bir dönüşümü düşünelim

with three-dimensional vectors as inputs

üç boyutlu vektörlerin girdi olduğu

and three-dimensional vectors as outputs.

ve üç boyutlu vektörlerin çıktı olduğu.

We can visualize this by smooshing around all the points in three-dimensional space Kelime

Üç boyutlu uzaydaki tüm noktaları ezerek bunu görselleştirebiliriz

as represented by a grid in such a way that keeps the grid lines parallel and evenly spaced Dilbilgisi

bir ızgara tarafından temsil edildiği gibi, ızgara çizgilerini paralel ve eşit aralıklı tutacak şekilde

and which fixes the origin in place. Kelime

ve orijini yerine sabitleyen bir şekilde.

And just as with two dimensions,

Ve tıpkı iki boyutta olduğu gibi,

every point of space that we see moving around is really just a proxy for a vector Kelime

etrafta hareket ettiğini gördüğümüz uzayın her noktası aslında sadece bir vektörün temsilcisidir

who has its tip at that point

ucu o noktada olan

and what we're really doing is thinking about input vectors moving over to their corresponding outputs. Anlatım akışı

ve aslında yaptığımız şey girdi vektörlerinin ilgili çıktılarına hareket ettiğini düşünmektir.

And just as with two dimensions,

Ve tıpkı iki boyutta olduğu gibi,

one of these transformations is completely described by where the basis vectors go. Kalıp ifadeler

bu dönüşümlerden biri tamamen taban vektörlerinin nereye gittiği ile açıklanır.

But now, there are three standard basis vectors that we typically use.

Ama şimdi, tipik olarak kullandığımız üç standart taban vektörü var.

The unit vector in the x direction, i-hat,

x yönündeki birim vektör, i-şapka,

the unit vector in the y direction, j-hat,

y yönündeki birim vektör, j-şapka,

and a new guy, Kelime

ve yeni bir adam,

the unit vector in the z direction, called k-hat.

z yönündeki birim vektör, k-şapka olarak adlandırılır.

In fact, I think it's easier to think about these transformations by only following those basis vectors

Aslında, tüm noktaları temsil eden tam 3B ızgara biraz karışabileceği için,

since the full 3D grid representing all points can get kind of messy.

bu dönüşümleri sadece o taban vektörlerini takip ederek düşünmenin daha kolay olduğunu düşünüyorum.

By leaving a copy of the original axes in the background, Dilbilgisi

Arka planda orijinal eksenlerin bir kopyasını bırakarak,

we can think about the coordinates of where each of these three basis vectors lands. Kelime

bu üç taban vektörünün her birinin nereye indiğinin koordinatlarını düşünebiliriz.

Record the coordinates of these three vectors as the columns of a 3x3 matrix.

Bu üç vektörün koordinatlarını 3x3'lük bir matrisin sütunları olarak kaydedin.

This gives a matrix that completely describes the transformation using only nine numbers.

Bu, sadece dokuz sayı kullanarak dönüşümü tamamen açıklayan bir matris verir.

As a simple example,

Basit bir örnek olarak,

consider the transformation that rotates space 90 degrees around the y-axis.

uzayı y ekseni etrafında 90 derece döndüren dönüşümü ele alalım.

So that would mean that it takes i-hat to the coordinates 0 0 -1 on the z-axis. Kelime

Bu da i-şapkayı z eksenindeki 0 0 -1 koordinatlarına götürdüğü anlamına gelir.

It doesn't move j-hat,

j-şapkayı hareket ettirmez,

so it stays at the coordinates 0 1 0,

bu yüzden 0 1 0 koordinatlarında kalır,

and then k-hat moves over to the x-axis at 1 0 0.

ve ardından k-şapka x eksenine 1 0 0'a geçer.

Those three sets of coordinates become the columns of a matrix that describes that rotation transformation.

Bu üç koordinat seti, bu dönme dönüşümünü açıklayan bir matrisin sütunları haline gelir.

To see where a vector with coordinates x y z lands,

x y z koordinatlarına sahip bir vektörün nereye indiğini görmek için,

the reasoning is almost identical to what it was for two dimensions. Kalıp ifadeler

mantık iki boyutlu olanla neredeyse aynıdır.

Each of those coordinates can be thought of as instructions for how to scale each basis vector Notlar

Bu koordinatların her biri, her bir taban vektörünün nasıl ölçeklendirileceğine dair talimatlar olarak düşünülebilir

so that they add together to get your vector.

böylece bir araya gelerek sizin vektörünüzü oluştururlar.

And the important part, just like the 2D case, Anlatım akışı

Ve önemli kısım, tıpkı 2B durumunda olduğu gibi,

is that this scaling and adding process works both before and after the transformation. Dilbilgisi

bu ölçeklendirme ve ekleme işleminin dönüşümden önce ve sonra işe yaramasıdır.

So to see where your vector lands,

Yani vektörünüzün nereye indiğini görmek için,

you multiply those coordinates by the corresponding columns of the matrix Kalıp ifadeler

bu koordinatları matrisin karşılık gelen sütunlarıyla çarparsınız

and then you add together the three results.

ve ardından üç sonucu toplarsınız.

Multiplying two matrices is also similar.

İki matrisi çarpmak da benzerdir.

Whenever you see two 3x3 matrices getting multiplied together, Dilbilgisi

Ne zaman iki 3x3 matrisin çarpıldığını görürseniz,

you should imagine first applying the transformation encoded by the right one, Kelime

önce sağdaki tarafından kodlanan dönüşümü uyguladığınızı hayal etmelisiniz,

then applying the transformation encoded by the left one.

sonra soldaki tarafından kodlanan dönüşümü uyguladığınızı.

It turns out that 3D matrix multiplication is actually pretty important for fields like computer graphics and robotics Anlatım akışı

Görünüşe göre 3B matris çarpımı, bilgisayar grafikleri ve robotik gibi alanlar için aslında oldukça önemlidir,

since things like rotations in three dimensions can be pretty hard to describe,

çünkü üç boyuttaki dönmeler gibi şeyleri tanımlamak oldukça zor olabilir,

but they're easier to wrap your mind around if you can break them down Öbek fiiller

ancak bunları ayırabilirseniz zihninizde kavramak daha kolaydır

as the composition of separate, easier to think about rotations. Kelime

ayrı, düşünmesi daha kolay dönüşlerin birleşimi olarak.

Performing this matrix multiplication numerically is, once again,

Bu matris çarpımını sayısal olarak gerçekleştirmek bir kez daha

pretty similar to the two-dimensional case.

iki boyutlu duruma oldukça benzerdir.

In fact, a good way to test your understanding of the last video Dilbilgisi

Aslında, son videoyu ne kadar anladığınızı test etmenin iyi bir yolu,

would be to try to reason through what specifically this matrix multiplication should look like, Öbek fiiller

bu matris çarpımının özel olarak neye benzemesi gerektiği konusunda mantık yürütmeye çalışmak,

thinking closely about how it relates to the idea of applying two successive transformations in space.

uzayda art arda iki dönüşüm uygulama fikriyle nasıl ilişkili olduğu hakkında yakından düşünmek olacaktır.

In the next video,

Sonraki videoda,

I'll start getting into the determinant. Öbek fiiller

determinanta girmeye başlayacağım.