Dinamikleri kullanarak 3.14 dakikada e^(iπ) | DE5: İngilizce çalışma notları

One way to think about the function e to the t is to ask what properties does it have? Anlatım akışı

e üzeri t fonksiyonu hakkında düşünmenin bir yolu, ne gibi özellikleri olduğunu sormaktır.

Probably the most important one,

Muhtemelen en önemlisi,

and from some points of view the defining property, Ton ve niyet

ve bazı açılardan belirleyici olan özelliği,

is that it is its own derivative. Dilbilgisi

kendi türevine eşit olmasıdır.

Together with the added condition that inputting zero returns one, Kelime

Sıfır girdiğinde bir döndürmesi şeklindeki ek koşulla birlikte,

it's actually the only function with this property.

aslında bu özelliğe sahip tek fonksiyondur.

And you can illustrate what this means with a physical model. Kalıp ifadeler

Bunun ne anlama geldiğini fiziksel bir modelle açıklayabilirsiniz.

If e to the t describes your position on a number line as a function of time, Kelime

Eğer e üzeri t, bir sayı doğrusundaki konumunuzu zamanın bir fonksiyonu olarak tanımlıyorsa,

then you start at the number one,

o zaman bir sayısından başlarsınız,

and what this equation is saying is that your velocity, Dilbilgisi

ve bu denklemin söylediği şey, hızınızın,

the derivative of position,

yani konumun türevinin,

is always equal to that position.

her zaman o konuma eşit olduğudur.

The farther away from zero you are, Dilbilgisi

Sıfırdan ne kadar uzaklaşırsanız,

the faster you move.

o kadar hızlı hareket edersiniz.

So even before knowing how to compute e to the t exactly, Dilbilgisi

Yani e üzeri t'yi tam olarak nasıl hesaplayacağınızı bilmeden önce bile,

going from a specific time to a specific position,

belirli bir zamandan belirli bir konuma giderken,

this ability to associate each position with a velocity Kalıp ifadeler

her konumu bir hızla ilişkilendirme yeteneği,

paints a very strong intuitive picture of how the function must grow. Deyimler

fonksiyonun nasıl büyümesi gerektiğine dair çok güçlü, sezgisel bir resim çizer.

You know that you'll be accelerating,

Hızlanacağınızı bilirsiniz,

and at an accelerating rate, Kalıp ifadeler

hem de giderek artan bir ivmeyle,

with an all-around feeling of things getting out of hand quickly. Deyimler

ve işlerin hızla çığırından çıktığına dair genel bir hisle.

And if you add a constant to that exponent,

Eğer o üsse bir sabit eklerseniz,

like e to the 2 times t,

örneğin e üzeri 2 çarpı t gibi,

the chain rule tells us that the derivative is now 2 times itself.

zincir kuralı bize türevin artık kendisinin 2 katı olduğunu söyler.

So at every point on the number line,

Yani sayı doğrusundaki her noktada,

rather than attaching a vector corresponding to the number itself, Dilbilgisi

sayının kendisine karşılık gelen bir vektör eklemek yerine,

first double the magnitude of the position,

önce konumun büyüklüğünü ikiye katlarsınız,

then attach it.

sonra eklersiniz.

Moving so that your position is always e to the 2t

Konumunuzun her zaman e üzeri 2t olacak şekilde hareket etmeniz,

is the same thing as moving in such a way Dilbilgisi

şu şekilde hareket etmekle aynı şeydir:

that your velocity is always twice your position.

hızınızın her zaman konumunuzun iki katı olması.

The implication of that too

Bunun da anlamı,

is that our runaway growth feels all the more out of control. Kalıp ifadeler

kontrolden çıkan büyümemizin daha da zapt edilemez hissettirmesidir.

If that constant was negative,

Eğer o sabit negatif olsaydı,

say negative 0.5,

diyelim ki eksi 0.5,

then your velocity vector is always negative 0.5 times your position vector,

o zaman hız vektörünüz her zaman konum vektörünüzün eksi 0.5 katı olurdu,

meaning you flip it around 180 degrees

bu da onu 180 derece ters çevirdiğiniz

and scale its length by a half. Kelime

ve uzunluğunu yarıya indirdiğiniz anlamına gelir.

Moving in such a way

Hızınızın her zaman konum vektörünüzün bu ters çevrilmiş ve küçültülmüş kopyasıyla eşleşeceği şekilde

that your velocity always matches this flipped and squished copy of your position vector,

hareket ederseniz,

you go the other direction,

diğer yöne gidersiniz,

slowing down in an exponential decay towards zero. Kelime

sıfıra doğru üstel bir bozulmayla yavaşlayarak.

But what about if that constant was i, Ton ve niyet

Peki ya o sabit i olsaydı,

the square root of negative one?

yani eksi birin karekökü?

If your position was always e to the i t,

Eğer konumunuz her zaman e üzeri i çarpı t olsaydı,

how would you move as the time t ticks forward?

t zamanı ilerledikçe nasıl hareket ederdiniz?

Well, now the derivative of your position will always be i times itself,

Şimdi, konumunuzun türevi her zaman kendisinin i katı olacaktır,

and multiplying by i has the effect of rotating numbers 90 degrees. Kalıp ifadeler

ve i ile çarpmak sayıları 90 derece döndürme etkisine sahiptir.

So, as you might expect, Anlatım akışı

Yani, tahmin edebileceğiniz gibi,

things only make sense here if we start thinking beyond the number line Deyimler

burada işler sadece sayı doğrusunun ötesinde düşünmeye başlarsak anlam kazanır,

and in the complex plane.

yani karmaşık düzlemde.

So, even before you know how to compute e to the i times t,

Yani, e üzeri i çarpı t'nin nasıl hesaplanacağını bilmeden önce bile,

you know that for any position this might give for some value of time,

bunun bir zaman değeri için verebileceği herhangi bir konumda,

the velocity at that time will be a 90 degree rotation of that position.

o andaki hızın o konumun 90 derecelik bir dönüşü olacağını bilirsiniz.

Drawing this for all possible positions you might come across, Öbek fiiller

Bunu karşılaşabileceğiniz tüm olası konumlar için çizerseniz,

you get a vector field,

bir vektör alanı elde edersiniz,

where as usual with vector fields,

ve vektör alanlarında her zamanki gibi,

you shrink things down to avoid clutter. Öbek fiiller

kalabalıktan kaçınmak için nesneleri küçültürsünüz.

At time t equals zero,

t eşittir sıfır anında,

e to the i t will be one,

e üzeri i çarpı t bir olacaktır,

that's our initial condition,

bu bizim başlangıç koşulumuzdur,

and there's only one trajectory starting from that position

ve o konumdan başlayan tek bir yörünge vardır;

where your velocity is always matching the vector that it's passing through,

burada hızınızın her zaman geçtiği vektörle eşleştiği,

a 90 degree rotation of the position.

yani konumun 90 derece döndürülmüş haliyle.

It's when you go around a circle of radius one

Bu, yarıçapı bir olan bir çember etrafında

at a speed of one unit per second. Kelime

saniyede bir birim hızla hareket ettiğiniz zamandır.

So, after pi seconds,

Yani, pi saniye sonra,

you've traced a distance of pi around.

etrafta pi kadar bir mesafe çizmiş olursunuz.

So, e to the i times pi should be negative one. Dilbilgisi

Bu yüzden e üzeri i çarpı pi eksi bir olmalıdır.

After tau seconds,

tau saniye sonra,

you've gone full circle.

tam bir tur atmış olursunuz.

E to the i times tau equals one.

e üzeri i çarpı tau bire eşittir.

And more generally, Anlatım akışı

Ve daha genel olarak,

e to the i times t equals a number

e üzeri i çarpı t eşittir, karmaşık düzlemdeki bu birim çemberin etrafında

that's t radians around this unit circle in the complex plane.

t radyanlık bir mesafede olan bir sayıya.

Nevertheless, Anlatım akışı

Yine de,

something might still feel immoral about putting an imaginary number up in that exponent. Deyimler

o üsse hayali bir sayı koymakla ilgili hala ahlaka aykırı bir şeyler hissedilebilir.

And you would be right to question that. Ton ve niyet

Ve bunu sorgulamakta haklısınız.

What we write as e to the t is a bit of a notational disaster, Deyimler

e üzeri t olarak yazdığımız şey biraz notasyon felaketidir,

giving the number e and the idea of repeated multiplication

e sayısına ve tekrarlı çarpım fikrine

way more emphasis than they deserve. Dilbilgisi

hak ettiklerinden çok daha fazla vurgu yapar.

But my time is up, Deyimler

Ama sürem doldu,

so I'll spare you the full rant until the next video. Ton ve niyet

bu yüzden bu uzun nutku bir sonraki videoya bırakıyorum.