Boyutlar arası dönüşümler olarak kare olmayan matrisler | Bölüm 8, Lineer cebirin özü: İngilizce çalışma notları

Hey everyone,

Herkese merhaba,

I've got another quick footnote for you between chapters today. Anlatım akışı

bugün bölümler arasında sizin için kısa bir ek notum daha var.

When I've talked about linear transformations so far,

Şimdiye kadar doğrusal dönüşümler hakkında konuştuğumda,

I've only really talked about transformations from 2D vectors to other 2D vectors

genellikle sadece 2x2 matrislerle temsil edilen,

represented with 2x2 matrices

2 boyutlu vektörlerden diğer 2 boyutlu vektörlere olan dönüşümlerden

or from 3D vectors to other 3D vectors

veya 3x3 matrislerle temsil edilen,

represented with 3x3 matrices.

3 boyutlu vektörlerden diğer 3 boyutlu vektörlere olan dönüşümlerden bahsettim.

But several commenters have asked about non-square matrices, Kültür

Ancak bazı yorumcular kare olmayan matrisler hakkında sorular sordu,

so I thought I'd take a moment to just show what those mean geometrically. Notlar

bu yüzden bunların geometrik olarak ne anlama geldiğini göstermek için biraz zaman ayırmak istedim.

By now in the series,

Serinin bu noktasına gelindiğinde,

you actually have most of the background you need to start pondering a question like this on your own, Kalıp ifadeler

aslında kendi başınıza böyle bir soruyu düşünmeye başlamak için ihtiyacınız olan altyapının çoğuna sahipsiniz,

but I'll start talking through it just to give a little mental momentum. Notlar

ancak biraz zihinsel bir ivme kazandırmak adına ben anlatmaya başlayacağım.

It's perfectly reasonable to talk about transformations between dimensions Kalıp ifadeler

Boyutlar arası dönüşümlerden bahsetmek son derece mantıklıdır,

such as one that takes 2D vectors to 3D vectors.

örneğin 2 boyutlu vektörleri 3 boyutlu vektörlere götüren bir dönüşüm gibi.

Again, what makes one of these linear is that gridlines remain parallel and evenly spaced Dilbilgisi

Tekrar edecek olursak, bunlardan birini doğrusal yapan şey, ızgara çizgilerinin paralel ve eşit aralıklı kalması

and that the origin maps to the origin. Kelime

ve orijinin orijinle eşleşmesidir.

What I have pictured here is the input space on the left, Notlar

Burada resmettiğim şey soldaki girdi uzayıdır,

which is just 2D space,

ki bu sadece 2 boyutlu bir uzaydır,

and the output of the transformation shown on the right.

ve dönüşümün çıktısı sağda gösterilmektedir.

The reason I'm not showing the inputs move over to the outputs like I usually do Dilbilgisi

Girdilerin genellikle yaptığım gibi çıktılara doğru hareket ettiğini göstermememin nedeni

is not just animation laziness.

sadece animasyon tembelliği değil.

It's worth emphasizing that 2D vector inputs are very different animals from these 3D vector outputs Notlar

2 boyutlu vektör girdilerinin, tamamen ayrı ve bağlantısız bir uzayda yaşayan

living in a completely separate unconnected space.

bu 3 boyutlu vektör çıktılarından çok farklı varlıklar olduğunu vurgulamakta fayda var.

Encoding one of these transformations with a matrix is really just the same thing as what we've done before. Kalıp ifadeler

Bu dönüşümlerden birini bir matrisle kodlamak aslında daha önce yaptığımız şeyle tamamen aynıdır.

You look at where each basis vector lands Notlar

Her bir taban vektörünün nereye indiğine bakarsınız

and write the coordinates of the landing spots as the columns of a matrix. Kalıp ifadeler

ve inilen noktaların koordinatlarını bir matrisin sütunları olarak yazarsınız.

For example, what you're looking at here is an output of a transformation that takes i-hat

Örneğin, burada baktığınız şey i-şapkayı

to the coordinates 2 -1 -2

2 -1 -2 koordinatlarına

and j-hat to the coordinates 0 1 1.

ve j-şapkayı 0 1 1 koordinatlarına götüren bir dönüşümün çıktısıdır.

Notice, this means the matrix encoding our transformation has three rows and two columns, Anlatım akışı

Dikkat edin, bu, dönüşümümüzü kodlayan matrisin üç satırı ve iki sütunu olduğu anlamına gelir,

which, to use standard terminology, makes it a 3x2 matrix. Notlar

bu da, standart terminolojiyi kullanırsak, onu 3x2'lik bir matris yapar.

In the language of last video, Anlatım akışı

Geçen videonun diliyle ifade edecek olursak,

the column space of this matrix, the place where all the vectors land, Kültür

bu matrisin sütun uzayı, yani tüm vektörlerin indiği yer,

is a 2D plane slicing through the origin of 3D space. Kelime

3 boyutlu uzayın orijinini kesip geçen 2 boyutlu bir düzlemdir.

But the matrix is still full rank since the number of dimensions in this column space Kültür

Ancak bu sütun uzayındaki boyut sayısı,

is the same as the number of dimensions of the input space.

girdi uzayının boyut sayısıyla aynı olduğu için matris hala tam ranka sahiptir.

So, if you see a 3x2 matrix out in the wild, Notlar

Yani, doğal ortamında bir 3x2 matris görürseniz,

you can know that it has the geometric interpretation of mapping two dimensions to three dimensions.

bunun iki boyutu üç boyuta eşlemek gibi geometrik bir yoruma sahip olduğunu bilebilirsiniz.

Since the two columns indicate that the input space has two basis vectors

Çünkü iki sütun, girdi uzayının iki taban vektörüne sahip olduğunu belirtir

and the three rows indicate that the landing spots for each of those basis vectors

ve üç satır, bu taban vektörlerinin her birinin inme noktalarının

is described with three separate coordinates.

üç ayrı koordinatla tanımlandığını gösterir.

Likewise, if you see a 2x3 matrix with two rows and three columns,

Aynı şekilde, iki satırlı ve üç sütunlu 2x3'lük bir matris görürseniz,

what do you think that means?

sizce bu ne anlama gelir?

Well, the three columns indicate that you're starting in a space that has three basis vectors,

Şöyle ki, üç sütun, üç taban vektörü olan bir uzaydan başladığınızı gösterir,

so we're starting in three dimensions.

bu yüzden üç boyuttan başlıyoruz.

And the two rows indicate that the landing spot for each of those three basis vectors

Ve iki satır, bu üç taban vektörünün her biri için inme noktasının

is described with only two coordinates,

sadece iki koordinatla tanımlandığını belirtir,

so they must be landing in two dimensions. Dilbilgisi

bu yüzden iki boyuta iniyor olmaları gerekir.

So, it's a transformation from 3D space onto the 2D plane. Kültür

Dolayısıyla bu, 3 boyutlu uzaydan 2 boyutlu düzleme doğru bir dönüşümdür.

A transformation that should feel very uncomfortable if you imagine going through it. Deyimler

İçinden geçtiğinizi hayal ederseniz sizi çok rahatsız hissettirecek bir dönüşüm.

You could also have a transformation from two dimensions to one dimension.

Ayrıca iki boyuttan tek boyuta doğru bir dönüşümünüz de olabilir.

One-dimensional space is really just the number line, Kültür

Tek boyutlu uzay aslında sadece sayı doğrusudur,

so a transformation like this takes in 2D vectors and spits out numbers. Öbek fiiller

bu nedenle böyle bir dönüşüm 2 boyutlu vektörleri alır ve dışarı sayılar tükürür.

Thinking about grid lines remaining parallel and evenly spaced is a little bit messy due to all of the squishification happening here. Kelime

Izgara çizgilerinin paralel ve eşit aralıklı kaldığını düşünmek, burada meydana gelen tüm sıkışma nedeniyle biraz kafa karıştırıcıdır.

So, in this case,

Yani bu durumda,

the visual understanding for what linearity means is that if you have a line of evenly spaced dots, Dilbilgisi

doğrusallığın ne anlama geldiğine dair görsel anlayış, eğer eşit aralıklı noktalardan oluşan bir çizginiz varsa,

it would remain evenly spaced once they're mapped onto the number line.

sayı doğrusu üzerine eşlendiklerinde de eşit aralıklı kalacaklarıdır.

One of these transformations is encoded with a 1x2 matrix,

Bu dönüşümlerden biri, 1x2'lik bir matrisle kodlanır

each of whose two columns has just a single entry. Notlar

ve iki sütunundan her biri yalnızca tek bir girdi içerir.

The two columns represent where the basis vectors land,

İki sütun, taban vektörlerinin nereye indiğini temsil eder

and each one of those columns requires just one number,

ve o sütunların her birinin sadece bir sayıya ihtiyacı vardır,

the number that that basis vector landed on.

o taban vektörünün üzerine indiği sayı.

This is actually a surprisingly meaningful type of transformation with close ties to the dot product, Kalıp ifadeler

Bu aslında nokta çarpımla yakın bağları olan şaşırtıcı derecede anlamlı bir dönüşüm türüdür

and I'll be talking about that next video.

ve bir sonraki videoda bundan bahsedeceğim.

Until then, I encourage you to play around with this idea on your own, Notlar

O zamana kadar, sizi kendi başınıza bu fikirle oynamaya,

contemplating the meanings of things like matrix multiplication and linear systems of equations

farklı boyutlar arasındaki dönüşümler bağlamında

in the context of transformations between different dimensions. Kalıp ifadeler

matris çarpımı ve doğrusal denklem sistemleri gibi şeylerin anlamlarını derinlemesine düşünmeye teşvik ediyorum.

Have fun.

İyi eğlenceler.