Tích có hướng | Chương 10, Bản chất của đại số tuyến tính: tài liệu học tiếng Anh

Last video, I talked about the dot product,

Ở video trước, tôi đã nói về tích vô hướng,

showing both the standard introduction to the topic, Ngữ pháp

trình bày cả phần giới thiệu tiêu chuẩn về chủ đề này,

as well as a deeper view of how it relates to linear transformations.

cũng như một cái nhìn sâu sắc hơn về cách nó liên quan đến các phép biến đổi tuyến tính.

I'd like to do the same thing for cross products,

Tôi muốn làm điều tương tự đối với tích có hướng,

which also have a standard introduction

chúng cũng có một phần giới thiệu tiêu chuẩn

along with a deeper understanding in the light of linear transformations. Thành ngữ

cùng với một sự hiểu biết sâu sắc hơn dưới góc độ của các phép biến đổi tuyến tính.

But this time, I'm dividing it into two separate videos.

Nhưng lần này, tôi sẽ chia nó thành hai video riêng biệt.

Here, I'll try to hit the main points that students are usually shown about the cross product. Thành ngữ

Tại đây, tôi sẽ cố gắng nhấn mạnh những điểm chính mà học sinh thường được dạy về tích có hướng.

And in the next video,

Và trong video tiếp theo,

I'll be showing a view which is less commonly taught,

tôi sẽ trình bày một góc nhìn ít được dạy hơn,

but really satisfying when you learn it.

nhưng thực sự thỏa mãn khi bạn học được nó.

We'll start in two dimensions.

Chúng ta sẽ bắt đầu trong không gian hai chiều.

If you have two vectors V and W,

Nếu bạn có hai vectơ V và W,

think about the parallelogram that they span out. Cụm động từ

hãy nghĩ về hình bình hành mà chúng tạo ra.

What I mean by that is that if you take a copy of V and move its tail to the tip of W, Ghi chú

Ý tôi là nếu bạn tạo một bản sao của V và di chuyển điểm gốc của nó đến đỉnh của W,

and you take a copy of W and move its tail to the tip of V,

và bạn tạo một bản sao của W và di chuyển điểm gốc của nó đến đỉnh của V,

the four vectors now on the screen enclose a certain parallelogram.

bốn vectơ lúc này trên màn hình sẽ bao quanh một hình bình hành nhất định.

The cross product of V and W,

Tích có hướng của V và W,

written with the X-shaped multiplication symbol,

được viết bằng ký hiệu phép nhân hình chữ X,

is the area of this parallelogram.

chính là diện tích của hình bình hành này.

Well, almost. Mạch ý

Chà, gần như vậy.

We also need to consider orientation.

Chúng ta cũng cần xem xét sự định hướng.

Basically, if V is on the right of W,

Về cơ bản, nếu V nằm bên phải W,

then V cross W is positive and equal to the area of the parallelogram.

thì V nhân có hướng với W mang giá trị dương và bằng diện tích của hình bình hành.

But if V is on the left of W,

Nhưng nếu V nằm bên trái W,

then the cross product is negative,

thì tích có hướng mang giá trị âm,

namely the negative area of that parallelogram.

tức là diện tích âm của hình bình hành đó.

Notice, this means that order matters. Cụm từ

Lưu ý, điều này có nghĩa là thứ tự rất quan trọng.

If you swapped V and W,

Nếu bạn hoán đổi V và W,

instead taking W cross V,

thay vào đó thực hiện W nhân có hướng với V,

the cross product would become the negative of whatever it was before. Ngữ pháp

tích có hướng sẽ trở thành giá trị âm của kết quả trước đó.

The way I always remember the ordering here is that when you take the cross product of the two basis vectors in order,

Cách tôi luôn nhớ thứ tự ở đây là khi bạn lấy tích có hướng của hai vectơ cơ sở theo thứ tự,

i-hat cross j-hat, the result should be positive.

i-mũ nhân có hướng j-mũ, kết quả sẽ mang giá trị dương.

In fact, the order of your basis vectors is what defines orientation.

Trên thực tế, thứ tự của các vectơ cơ sở của bạn chính là thứ xác định sự định hướng.

So, since i-hat is on the right of j-hat,

Vì vậy, do i-mũ nằm bên phải j-mũ,

I remember that V cross W has to be positive whenever V is on the right of W.

tôi nhớ rằng V nhân có hướng với W phải luôn dương bất cứ khi nào V nằm bên phải W.

So, for example, with the vectors shown here,

Vậy, ví dụ, với các vectơ được hiển thị ở đây,

I'll just tell you that the area of that parallelogram is seven.

tôi sẽ chỉ cho bạn biết rằng diện tích của hình bình hành đó là bảy.

And since V is on the left of W,

Và vì V nằm bên trái W,

the cross product should be negative.

tích có hướng sẽ mang giá trị âm.

So, V cross W is negative seven.

Vậy, V nhân có hướng với W bằng âm bảy.

But of course, you want to be able to compute this without someone telling you the area.

Nhưng tất nhiên, bạn muốn có thể tính toán điều này mà không cần ai nói cho bạn biết diện tích.

This is where the determinant comes in. Cụm động từ

Đây là lúc định thức phát huy tác dụng.

So, if you didn't see chapter five of this series, Ngữ pháp

Vì vậy, nếu bạn chưa xem chương năm của loạt video này,

where I talk about the determinant,

nơi tôi nói về định thức,

now would be a really good time to go take a look.

thì bây giờ sẽ là thời điểm thực sự tốt để đi xem qua.

Even if you did see it, but it was a while ago,

Ngay cả khi bạn đã xem, nhưng đã lâu rồi,

I'd recommend taking another look just to make sure those ideas are fresh in your mind. Thành ngữ

tôi khuyên bạn nên xem lại một lần nữa để đảm bảo những khái niệm đó vẫn còn mới mẻ trong tâm trí bạn.

For the 2D cross product, V cross W,

Đối với tích có hướng 2D, V nhân có hướng với W,

what you do is you write the coordinates of V as the first column of a matrix,

những gì bạn làm là viết các tọa độ của V thành cột đầu tiên của một ma trận,

and you take the coordinates of W and make them the second column.

và bạn lấy các tọa độ của W và biến chúng thành cột thứ hai.

Then you just compute the determinant.

Sau đó bạn chỉ cần tính định thức.

This is because a matrix whose columns represent V and W corresponds with a linear transformation that moves the basis vectors i-hat and j-hat to V and W.

Điều này là do một ma trận có các cột đại diện cho V và W tương ứng với một phép biến đổi tuyến tính di chuyển các vectơ cơ sở i-mũ và j-mũ đến V và W.

The determinant is all about measuring how areas change due to a transformation.

Định thức xoay quanh việc đo lường cách diện tích thay đổi do một phép biến đổi.

And the prototypical area that we look at is the unit square resting on i-hat and j-hat.

Và diện tích nguyên mẫu mà chúng ta nhìn vào là hình vuông đơn vị nằm trên i-mũ và j-mũ.

After the transformation,

Sau phép biến đổi,

that square gets turned into the parallelogram that we care about. Cụm động từ

hình vuông đó biến thành hình bình hành mà chúng ta quan tâm.

So, the determinant, which generally measures the factor by which areas are changed, Ngữ pháp

Vì vậy, định thức, thứ thường đo lường hệ số mà các diện tích bị thay đổi,

gives the area of this parallelogram,

sẽ cho ra diện tích của hình bình hành này,

since it evolved from a square that started with area one.

vì nó tiến hóa từ một hình vuông bắt đầu với diện tích bằng một.

What's more, if V is on the left of W,

Hơn nữa, nếu V nằm ở bên trái W,

it means that orientation was flipped during that transformation,

điều đó có nghĩa là sự định hướng đã bị lật trong quá trình biến đổi đó,

which is what it means for the determinant to be negative. Ngữ pháp

đó chính là ý nghĩa khi định thức mang giá trị âm.

As an example, let's say V has coordinates negative three one,

Ví dụ, giả sử V có tọa độ âm ba một,

and W has coordinates two one.

và W có tọa độ hai một.

The determinant of the matrix with those coordinates as columns is negative three times one minus two times one,

Định thức của ma trận với các tọa độ đó làm các cột là âm ba nhân một trừ đi hai nhân một,

which is negative five.

bằng âm năm.

So, evidently, the area of the parallelogram they define is five.

Vì vậy, rõ ràng là, diện tích của hình bình hành mà chúng định nghĩa là năm.

And since V is on the left of W,

Và do V nằm bên trái W,

it should make sense that this value is negative.

sẽ rất hợp lý khi giá trị này là số âm.

As with any new operation you learn,

Như với bất kỳ phép toán mới nào bạn học,

I'd recommend playing around with this notion a bit in your head just to get kind of an intuitive feel for what the cross product is all about. Ghi chú

tôi khuyên bạn nên nhẩm qua khái niệm này một chút trong đầu để có cảm giác trực quan về bản chất của tích có hướng.

For example, you might notice that when two vectors are perpendicular,

Ví dụ, bạn có thể nhận thấy rằng khi hai vectơ vuông góc,

or at least close to being perpendicular,

hoặc ít nhất là gần vuông góc với nhau,

their cross product is larger than it would be if they were pointing in very similar directions, Ngữ pháp

tích có hướng của chúng sẽ lớn hơn so với khi chúng chỉ theo những hướng rất giống nhau,

because the area of that parallelogram is larger when the sides are closer to being perpendicular.

bởi vì diện tích của hình bình hành đó lớn hơn khi các cạnh gần vuông góc với nhau hơn.

Something else you might notice is that if you were to scale up one of those vectors, Cụm động từ

Một điều khác mà bạn có thể nhận thấy là nếu bạn chia tỷ lệ một trong các vectơ đó lớn lên,

perhaps multiplying V by three,

có lẽ là nhân V với ba,

then the area of that parallelogram is also scaled up by a factor of three. Cụm từ

thì diện tích của hình bình hành đó cũng được nhân lên ba lần.

So, what this means for the operation is that three V cross W will be exactly three times the value of V cross W. Mạch ý

Vì vậy, điều này có ý nghĩa gì đối với phép toán là ba V nhân có hướng với W sẽ bằng chính xác ba lần giá trị của V nhân có hướng với W.

Now, even though all of this is a perfectly fine mathematical operation, Ngữ pháp

Bây giờ, mặc dù tất cả những điều này là một phép toán toán học hoàn toàn ổn,

what I just described is technically not the cross product. Cách dùng từ

những gì tôi vừa mô tả về mặt kỹ thuật không phải là tích có hướng.

The true cross product is something that combines two different 3D vectors to get a new 3D vector.

Tích có hướng thực sự là thứ kết hợp hai vectơ 3D khác nhau để có được một vectơ 3D mới.

Just as before, Mạch ý

Cũng giống như trước đây,

we're still going to consider the parallelogram defined by the two vectors that we're crossing together.

chúng ta vẫn sẽ xem xét hình bình hành được xác định bởi hai vectơ mà chúng ta đang nhân có hướng với nhau.

And the area of this parallelogram is still going to play a big role. Thành ngữ

Và diện tích của hình bình hành này vẫn sẽ đóng một vai trò lớn.

To be concrete, let's say that the area is 2.5 for the vectors shown here. Mạch ý

Cụ thể, giả sử rằng diện tích là 2.5 cho các vectơ hiển thị ở đây.

But as I said, the cross product is not a number,

Nhưng như tôi đã nói, tích có hướng không phải là một con số,

it's a vector.

nó là một vectơ.

This new vector's length will be the area of that parallelogram,

Độ dài của vectơ mới này sẽ là diện tích của hình bình hành đó,

which in this case is 2.5.

trong trường hợp này là 2.5.

And the direction of that new vector is going to be perpendicular to the parallelogram.

Và hướng của vectơ mới đó sẽ vuông góc với hình bình hành.

But which way, right?

Nhưng hướng nào, đúng không?

I mean, there are two possible vectors with length 2.5 that are perpendicular to a given plane.

Ý tôi là, có hai vectơ khả thi với độ dài 2.5 vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

This is where the right hand rule comes in. Cách dùng từ

Đây là lúc quy tắc bàn tay phải phát huy tác dụng.

Point the forefinger of your right hand in the direction of V.

Chỉ ngón trỏ của bàn tay phải của bạn theo hướng của V.

Then stick out your middle finger in the direction of W. Cụm động từ

Sau đó chĩa ngón giữa của bạn theo hướng của W.

Then, when you point up your thumb,

Rồi, khi bạn chỉ ngón cái lên trên,

that's the direction of the cross product.

đó chính là hướng của tích có hướng.

For example, let's say that V was a vector with length two pointing straight up in the Z direction,

Ví dụ, giả sử rằng V là một vectơ có độ dài bằng hai chỉ thẳng lên trên theo hướng Z,

and W is a vector with length two pointing in the pure Y direction.

và W là một vectơ có độ dài bằng hai chỉ theo hướng Y thuần túy.

The parallelogram that they define in this simple example is actually a square,

Hình bình hành mà chúng định nghĩa trong ví dụ đơn giản này thực chất là một hình vuông,

since they're perpendicular and have the same length. Ngữ pháp

do chúng vuông góc và có cùng độ dài.

And the area of that square is four.

Và diện tích của hình vuông đó là bốn.

So, their cross product should be a vector with length four.

Vì vậy, tích có hướng của chúng phải là một vectơ có độ dài bằng bốn.

Using the right hand rule,

Sử dụng quy tắc bàn tay phải,

their cross product should point in the negative X direction.

tích có hướng của chúng phải chỉ theo hướng X âm.

So, the cross product of these two vectors is negative four times i-hat.

Vì vậy, tích có hướng của hai vectơ này là âm bốn lần i-mũ.

For more general computations,

Đối với các tính toán tổng quát hơn,

there is a formula that you could memorize if you wanted, Ý định

có một công thức mà bạn có thể ghi nhớ nếu muốn,

but it's common and easier to instead remember a certain process involving the 3D determinant.

nhưng thông thường và dễ dàng hơn là hãy nhớ một quy trình nhất định liên quan đến định thức 3D.

Now, this process looks truly strange at first.

Bây giờ, quy trình này lúc đầu trông thực sự kỳ lạ.

You write down a 3D matrix where the second and third columns contain the coordinates of V and W.

Bạn viết xuống một ma trận 3D nơi cột thứ hai và thứ ba chứa tọa độ của V và W.

But for that first column,

Nhưng đối với cột đầu tiên đó,

you write the basis vectors i-hat, j-hat, and k-hat.

bạn viết các vectơ cơ sở i-mũ, j-mũ, và k-mũ.

Then, you compute the determinant of this matrix.

Sau đó, bạn tính định thức của ma trận này.

The silliness is probably clear here.

Sự ngớ ngẩn có lẽ đã rõ ràng ở đây.

What on earth does it mean to put in a vector as the entry of a matrix? Thành ngữ

Việc đặt một vectơ làm phần tử của một ma trận rốt cuộc có ý nghĩa gì?

Students are often told that this is just a notational trick.

Học sinh thường được dạy rằng đây chỉ là một thủ thuật về mặt ký hiệu.

When you carry out the computations as if i-hat, j-hat, and k-hat were numbers, Ghi chú

Khi bạn thực hiện các phép tính như thể i-mũ, j-mũ, và k-mũ là các con số,

then you get some linear combination of those basis vectors.

thì bạn sẽ nhận được một tổ hợp tuyến tính nào đó của các vectơ cơ sở đó.

And the vector defined by that linear combination,

Và vectơ được định nghĩa bởi tổ hợp tuyến tính đó,

students are told to just believe, Ý định

học sinh được bảo là cứ tin đi,

is the unique vector perpendicular to V and W whose magnitude is the area of the appropriate parallelogram

chính là vectơ duy nhất vuông góc với V và W có độ lớn bằng diện tích của hình bình hành tương ứng

and whose direction obeys the right hand rule.

và có hướng tuân theo quy tắc bàn tay phải.

And sure, in some sense this is just a notational trick. Ý định

Và tất nhiên, theo một khía cạnh nào đó, đây chỉ là một thủ thuật ký hiệu.

But there is a reason for doing it.

Nhưng có lý do để làm điều đó.

It's not just a coincidence that the determinant is once again important. Mạch ý

Không chỉ là ngẫu nhiên khi định thức lại một lần nữa quan trọng.

And putting the basis vectors in those slots is not just a random thing to do.

Và việc đặt các vectơ cơ sở vào những vị trí đó không chỉ là một việc làm ngẫu nhiên.

To understand where all of this comes from,

Để hiểu tất cả những điều này đến từ đâu,

it helps to use the idea of duality that I introduced in the last video.

sẽ rất hữu ích nếu sử dụng ý tưởng về tính đối ngẫu mà tôi đã giới thiệu trong video trước.

This concept is a little bit heavy, Thành ngữ

Tuy nhiên, khái niệm này hơi nặng một chút.

though.

Vì vậy, tôi sẽ đặt nó trong một video tiếp nối riêng biệt cho bất kỳ ai trong số các bạn tò mò muốn tìm hiểu thêm.

So, I'm putting it in a separate follow-on video for any of you who are curious to learn more.

Có thể cho rằng, nó nằm ngoài bản chất của đại số tuyến tính.

Arguably, it falls outside the essence of linear algebra. Ghi chú

Phần quan trọng ở đây là biết vectơ tích có hướng đó đại diện cho điều gì về mặt hình học.

The important part here is to know what that cross product vector geometrically represents.

Vì vậy, nếu bạn muốn bỏ qua video tiếp theo đó,

So, if you want to skip that next video,

cứ thoải mái nhé.

feel free. Ý định

Nhưng đối với những bạn sẵn sàng đi sâu hơn một chút và tò mò về mối liên hệ giữa phép tính này và hình học cơ bản,

But for those of you who are willing to go a bit deeper and who are curious about the connection between this computation and the underlying geometry, Thành ngữ

những ý tưởng mà tôi sẽ nói đến trong video tiếp theo thực sự là một phần rất thanh lịch của toán học.

the ideas that I'll talk about in the next video are just a really elegant piece of math.

lang_name_reference_keep_safe_but_do_not_use