Vector | Chương 1, Bản chất của đại số tuyến tính: tài liệu học tiếng Anh

The fundamental root of it all building block for linear algebra is the vector.

Nền tảng cốt lõi của tất cả mọi thứ cấu thành nên đại số tuyến tính chính là vectơ.

So, it's worth making sure that we're all on the same page Ghi chú

Vì vậy, thật đáng để đảm bảo rằng tất cả chúng ta đều có chung cách hiểu

about what exactly a vector is.

về chính xác vectơ là gì.

You see, broadly speaking, Mạch ý

Bạn thấy đấy, nói một cách rộng ra,

there are three distinct but related ideas about vectors,

có ba ý tưởng khác biệt nhưng liên quan đến nhau về vectơ,

which I'll call the physics student perspective,

mà tôi sẽ gọi là góc nhìn của sinh viên vật lý,

the computer science student perspective,

góc nhìn của sinh viên khoa học máy tính,

and the mathematician's perspective.

và góc nhìn của nhà toán học.

The physics student perspective is that vectors are arrows pointing in space.

Góc nhìn của sinh viên vật lý cho rằng vectơ là các mũi tên chỉ trong không gian.

What defines a given vector is its length and the direction it's pointing.

Điều định nghĩa một vectơ cụ thể là chiều dài và hướng mà nó chỉ.

But as long as those two facts are the same, Ngữ pháp

Nhưng miễn là hai yếu tố đó giống nhau,

you can move it all around and it's still the same vector.

bạn có thể di chuyển nó khắp nơi và nó vẫn là cùng một vectơ.

Vectors that live in the flat plane are two-dimensional,

Các vectơ nằm trên mặt phẳng thì có hai chiều,

and those sitting in broader space that you and I live in are three-dimensional.

và những vectơ nằm trong không gian rộng hơn mà bạn và tôi đang sống thì có ba chiều.

The computer science perspective is that vectors are ordered lists of numbers.

Góc nhìn của khoa học máy tính là vectơ là những danh sách các con số có thứ tự.

For example, let's say you were doing some analytics about house prices,

Ví dụ, giả sử bạn đang thực hiện một số phân tích về giá nhà,

and the only features you cared about were square footage and price.

và các đặc điểm duy nhất bạn quan tâm là diện tích và giá cả.

You might model each house with a pair of numbers,

Bạn có thể mô hình hóa mỗi ngôi nhà bằng một cặp số,

the first indicating square footage and the second indicating price.

số đầu tiên biểu thị diện tích và số thứ hai biểu thị giá cả.

Notice the order matters here.

Lưu ý rằng thứ tự rất quan trọng ở đây.

In the lingo, you'd be modeling houses as two-dimensional vectors,

Trong thuật ngữ chuyên môn, bạn sẽ mô hình hóa những ngôi nhà như những vectơ hai chiều,

where in this context vector is pretty much just a fancy word for list,

mà trong ngữ cảnh này, vectơ chỉ là một từ sang trọng để gọi danh sách,

and what makes it two-dimensional is the fact that the length of that list is two.

và điều làm cho nó có hai chiều là thực tế là độ dài của danh sách đó bằng hai.

The mathematician, on the other hand, seeks to generalize both these views, Mạch ý

Mặt khác, nhà toán học tìm cách khái quát hóa cả hai quan điểm này,

basically saying that a vector can be anything where there's a sensible notion

cơ bản nói rằng một vectơ có thể là bất cứ thứ gì có ý nghĩa hợp lý

of adding two vectors and multiplying a vector by a number,

về việc cộng hai vectơ và nhân một vectơ với một số,

operations that I'll talk about later on in this video.

những phép toán mà tôi sẽ nói đến sau trong video này.

The details of this view are rather abstract

Các chi tiết của quan điểm này khá trừu tượng

and I actually think it's healthy to ignore it until the last video of this series,

và tôi thực sự nghĩ rằng tốt nhất là nên phớt lờ nó cho đến video cuối cùng của loạt bài này,

favoring a more concrete setting in the interim. Cách dùng từ

và ưu tiên một thiết lập cụ thể hơn trong thời gian chờ đợi.

But the reason I bring it up here Cụm động từ

Nhưng lý do tôi đề cập đến nó ở đây

is that it hints at the fact that the ideas of vector addition

là nó gợi ý đến việc các ý tưởng về phép cộng vectơ

and multiplication by numbers will play an important role

và phép nhân với số sẽ đóng một vai trò quan trọng

throughout linear algebra.

trong suốt chương trình đại số tuyến tính.

But before I talk about these operations,

Nhưng trước khi tôi nói về những phép toán này,

let's just settle in on a specific thought to have in mind

hãy cùng thống nhất một suy nghĩ cụ thể để ghi nhớ

when I say the word vector.

khi tôi nói từ vectơ.

Given the geometric focus that I'm shooting for here, Cụm động từ

Với trọng tâm về hình học mà tôi đang hướng tới ở đây,

whenever I introduce a new topic involving vectors,

bất cứ khi nào tôi giới thiệu một chủ đề mới liên quan đến vectơ,

I want you to first think about an arrow,

tôi muốn bạn trước tiên hãy nghĩ về một mũi tên,

and specifically, think about that arrow inside a coordinate system,

và cụ thể hơn, hãy nghĩ về mũi tên đó bên trong một hệ tọa độ,

like the XY plane,

như mặt phẳng XY,

with its tail sitting at the origin.

với phần đuôi của nó đặt ở gốc tọa độ.

This is a little bit different from the physics student perspective,

Điều này hơi khác một chút so với góc nhìn của sinh viên vật lý,

where vectors can freely sit anywhere they want in space.

nơi các vectơ có thể tự do nằm bất cứ đâu chúng muốn trong không gian.

In linear algebra,

Trong đại số tuyến tính,

it's almost always the case that your vector will be rooted at the origin.

hầu như luôn luôn là trường hợp vectơ của bạn sẽ bắt nguồn từ gốc tọa độ.

Then, once you understand a new concept

Sau đó, một khi bạn hiểu một khái niệm mới

in the context of arrows in space, Cụm từ

trong ngữ cảnh của các mũi tên trong không gian,

we'll translate it over to the list of numbers point of view,

chúng ta sẽ dịch nó sang góc nhìn của danh sách các con số,

which we can do by considering the coordinates of the vector.

điều mà chúng ta có thể làm bằng cách xem xét tọa độ của vectơ.

Now, while I'm sure that many of you are already familiar with this coordinate system,

Bây giờ, dù tôi chắc chắn rằng nhiều người trong số các bạn đã quen thuộc với hệ tọa độ này,

it's worth walking through explicitly

nhưng vẫn đáng để đi qua nó một cách rõ ràng

since this is where all of the important back and forth happens

bởi vì đây là nơi diễn ra mọi sự chuyển đổi qua lại quan trọng

between the two perspectives of linear algebra.

giữa hai góc nhìn của đại số tuyến tính.

Focusing our attention on two dimensions for the moment,

Tập trung sự chú ý của chúng ta vào hai chiều trong lúc này,

you have a horizontal line called the x-axis

bạn có một đường nằm ngang gọi là trục x

and a vertical line called the y-axis.

và một đường thẳng đứng gọi là trục y.

The place where they intersect is called the origin,

Nơi chúng giao nhau được gọi là gốc tọa độ,

which you should think of as the center of space

mà bạn nên coi như là trung tâm của không gian

and the root of all vectors.

và là gốc rễ của mọi vectơ.

After choosing an arbitrary length to represent one,

Sau khi chọn một độ dài tùy ý để biểu diễn một đơn vị,

you make tick marks on each axis to represent this distance.

bạn tạo các dấu gạch chéo trên mỗi trục để biểu thị khoảng cách này.

When I want to convey the idea of 2D space as a whole,

Khi tôi muốn truyền đạt ý tưởng về không gian 2D như một tổng thể,

which you'll see comes up a lot in these videos, Cụm động từ

điều mà bạn sẽ thấy xuất hiện rất nhiều trong các video này,

I'll extend these tick marks to make grid lines.

tôi sẽ kéo dài những dấu gạch này để tạo thành các đường lưới.

But right now,

Nhưng hiện tại,

they'll actually get a little bit in the way. Thành ngữ

chúng thực sự sẽ hơi vướng víu.

The coordinates of a vector is a pair of numbers

Tọa độ của một vectơ là một cặp số

that basically gives instructions for how to get

cơ bản đưa ra các hướng dẫn về cách đi

from the tail of that vector at the origin to its tip.

từ đuôi của vectơ đó ở gốc tọa độ đến mũi của nó.

The first number tells you how far to walk along the x-axis,

Số đầu tiên cho bạn biết phải đi bao xa dọc theo trục x,

positive numbers indicating rightward motion,

số dương biểu thị chuyển động sang phải,

negative numbers indicating leftward motion,

số âm biểu thị chuyển động sang trái,

and the second number tells you how far to walk

và số thứ hai cho bạn biết phải đi bao xa

parallel to the y-axis after that,

song song với trục y sau đó,

positive numbers indicating upward motion

số dương biểu thị chuyển động lên trên

and negative numbers indicating downward motion.

và số âm biểu thị chuyển động xuống dưới.

To distinguish vectors from points,

Để phân biệt vectơ với các điểm,

the convention is to write this pair of numbers vertically

quy ước là viết cặp số này theo chiều dọc

with square brackets around them.

với ngoặc vuông bao quanh chúng.

Every pair of numbers gives you one and only one vector,

Mỗi cặp số cho bạn một và chỉ một vectơ,

and every vector is associated with one and only one pair of numbers.

và mỗi vectơ được liên kết với một và chỉ một cặp số.

What about in three dimensions?

Còn trong ba chiều thì sao?

Well, you add a third axis, called the z-axis,

Chà, bạn thêm trục thứ ba, gọi là trục z,

which is perpendicular to both the x and y-axes,

trục này vuông góc với cả trục x và trục y,

and in this case,

và trong trường hợp này,

each vector is associated with an ordered triplet of numbers.

mỗi vectơ được liên kết với một bộ ba số có thứ tự.

The first tells you how far to move along the x-axis,

Số đầu tiên cho bạn biết phải di chuyển bao xa dọc theo trục x,

the second tells you how far to move parallel to the y-axis,

số thứ hai cho bạn biết phải di chuyển bao xa song song với trục y,

and the third one tells you how far to then move

và số thứ ba cho bạn biết phải di chuyển tiếp bao xa

parallel to this new z-axis.

song song với trục z mới này.

Every triplet of numbers gives you one unique vector in space,

Mỗi bộ ba số cho bạn một vectơ duy nhất trong không gian,

and every vector in space gives you exactly one triplet of numbers.

và mỗi vectơ trong không gian cho bạn chính xác một bộ ba số.

All right,

Được rồi,

so back to vector addition and multiplication by numbers.

vậy hãy quay lại phép cộng vectơ và phép nhân với số.

After all, Mạch ý

Rốt cuộc,

every topic in linear algebra is going to center around these two operations.

mỗi chủ đề trong đại số tuyến tính sẽ xoay quanh hai phép toán này.

Luckily, each one's pretty straightforward to define.

May mắn thay, mỗi cái đều khá dễ định nghĩa.

Let's say we have two vectors,

Giả sử chúng ta có hai vectơ,

one pointing up and a little to the right

một cái chỉ lên trên và hơi sang phải

and the other one pointing right and down a bit.

và cái kia chỉ sang phải và hơi xuống dưới.

To add these two vectors,

Để cộng hai vectơ này,

move the second one so that its tail sits at the tip of the first one.

di chuyển vectơ thứ hai sao cho đuôi của nó nằm ở mũi của vectơ thứ nhất.

Then, if you draw a new vector

Sau đó, nếu bạn vẽ một vectơ mới

from the tail of the first one to where the tip of the second one now sits,

từ đuôi của vectơ thứ nhất đến vị trí mũi của vectơ thứ hai hiện tại,

that new vector is their sum.

vectơ mới đó là tổng của chúng.

This definition of addition, by the way, Mạch ý

Nhân tiện, định nghĩa về phép cộng này,

is pretty much the only time in linear algebra

gần như là lúc duy nhất trong đại số tuyến tính

where we let vectors stray away from the origin.

mà chúng ta để các vectơ đi lang thang khỏi gốc tọa độ.

Now,

Bây giờ,

why is this a reasonable thing to do?

tại sao đây là một điều hợp lý để làm?

Why this definition of addition and not some other one?

Tại sao lại định nghĩa phép cộng này chứ không phải cách khác?

Well,

Chà,

the way I like to think about it is that each vector represents a certain movement,

cách tôi thích nghĩ về nó là mỗi vectơ đại diện cho một chuyển động nhất định,

a step with a certain distance and direction in space.

một bước với khoảng cách và hướng nhất định trong không gian.

If you take a step along the first vector,

Nếu bạn thực hiện một bước dọc theo vectơ thứ nhất,

then take a step in the direction and distance

sau đó thực hiện một bước theo hướng và khoảng cách

described by the second vector,

được mô tả bởi vectơ thứ hai,

the overall effect is just the same as if you moved

hiệu ứng tổng thể sẽ hoàn toàn giống như việc bạn đã di chuyển

along the sum of those two vectors to start with. Cụm từ

dọc theo tổng của hai vectơ đó ngay từ đầu.

You could think about this as an extension

Bạn có thể nghĩ về điều này như một phần mở rộng

of how we think about adding numbers on a number line.

của cách chúng ta nghĩ về việc cộng các con số trên một trục số.

One way that we teach kids to think about this,

Một cách mà chúng ta dạy trẻ em cách nghĩ về điều này,

say with 2 + 5,

ví dụ với 2 + 5,

is to think of moving two steps to the right,

là nghĩ về việc di chuyển hai bước sang phải,

followed by another five steps to the right.

tiếp theo là năm bước nữa sang phải.

The overall effect is the same

Hiệu ứng tổng thể là giống nhau

as if you just took seven steps to the right.

như thể bạn chỉ đi bảy bước sang phải.

In fact,

Trên thực tế,

let's see how vector addition looks numerically.

hãy xem phép cộng vectơ trông như thế nào về mặt số học.

The first vector here has coordinates 1 2,

Vectơ thứ nhất ở đây có tọa độ 1 2,

and the second one has coordinates 3 -1.

và vectơ thứ hai có tọa độ 3 -1.

When you take the vector sum using this tip-to-tail method, Cách dùng từ

Khi bạn lấy tổng vectơ bằng phương pháp đuôi nối đầu này,

you can think of a four-step path

bạn có thể nghĩ về một con đường bốn bước

from the origin to the tip of the second vector.

từ gốc tọa độ đến mũi của vectơ thứ hai.

Walk one to the right,

Đi một bước sang phải,

then two up,

rồi hai bước lên trên,

then three to the right,

rồi ba bước sang phải,

then one down.

rồi một bước xuống dưới.

Reorganizing these steps so that you first do all of the rightward motion,

Tổ chức lại các bước này sao cho trước tiên bạn thực hiện tất cả các chuyển động sang phải,

then do all the vertical motion,

sau đó thực hiện tất cả các chuyển động thẳng đứng,

you can read it as saying first move 1 + 3 to the right,

bạn có thể đọc nó là trước tiên di chuyển 1 + 3 sang phải,

then move 2 -1 up.

sau đó di chuyển 2 - 1 lên trên.

So,

Vì vậy,

the new vector has coordinates 1 + 3 and 2 + -1.

vectơ mới có tọa độ 1 + 3 và 2 + -1.

In general,

Nói chung,

vector addition in this list of numbers conception

phép cộng vectơ trong khái niệm danh sách các con số này

looks like matching up their terms and adding each one together.

trông giống như việc ghép nối các số hạng của chúng và cộng từng cái lại với nhau.

The other fundamental vector operation

Phép toán vectơ cơ bản khác

is multiplication by a number.

là phép nhân với một số.

Now,

Bây giờ,

this is best understood just by looking at a few examples. Ngữ pháp

điều này được hiểu rõ nhất bằng cách chỉ cần xem xét một vài ví dụ.

If you take the number two and multiply it by a given vector,

Nếu bạn lấy số hai và nhân nó với một vectơ đã cho,

it means you stretch out that vector Cụm động từ

có nghĩa là bạn kéo dài vectơ đó ra

so that it's two times as long as when you started. Ngữ pháp

sao cho nó dài gấp hai lần so với lúc bạn bắt đầu.

If you multiply that vector by, say, 1/3,

Nếu bạn nhân vectơ đó với, giả sử, 1/3,

it means you squish it down so that it's 1/3 the original length. Cụm động từ

điều đó có nghĩa là bạn ép nó lại sao cho nó bằng 1/3 chiều dài ban đầu.

When you multiply it by a negative number,

Khi bạn nhân nó với một số âm,

like -1.8, then the vector first gets flipped around, Cụm động từ

như -1.8, thì vectơ đầu tiên sẽ bị lật ngược lại,

then stretched out by that factor of 1.8. Cụm từ

sau đó kéo dài ra với hệ số 1.8 đó.

This process of stretching or squishing

Quá trình kéo dài hoặc ép lại

or sometimes reversing the direction of a vector is called scaling.

hoặc đôi khi đảo ngược hướng của một vectơ được gọi là thu phóng (scaling).

And whenever you catch a number, like two or 1/3 or -1.8,

Và bất cứ khi nào bạn bắt gặp một con số, như hai hoặc 1/3 hoặc -1.8,

acting like this, scaling some vector,

hành động như thế này, thu phóng một vectơ nào đó,

you call it a scalar.

bạn gọi nó là một vô hướng (scalar).

In fact, throughout linear algebra,

Trên thực tế, trong suốt đại số tuyến tính,

one of the main things that numbers do is scale vectors.

một trong những điều chính mà các con số làm là thu phóng các vectơ.

So,

Vì vậy,

it's common to use the word scalar

người ta thường sử dụng từ vô hướng

pretty much interchangeably with the word number. Cụm từ

gần như có thể thay thế cho từ con số.

Numerically, stretching out a vector by a factor of, say, two

Về mặt số học, việc kéo dài một vectơ lên một hệ số, giả sử là hai

corresponds with multiplying each of its components by that factor,

tương ứng với việc nhân mỗi thành phần của nó với hệ số đó,

two.

là hai.

So,

Vì vậy,

in the conception of vectors as lists of numbers,

trong khái niệm vectơ là danh sách các con số,

multiplying a given vector by a scalar

việc nhân một vectơ đã cho với một vô hướng

means multiplying each one of those components by that scalar.

có nghĩa là nhân mỗi một thành phần đó với vô hướng ấy.

You'll see in the following videos what I mean

Bạn sẽ thấy trong các video tiếp theo ý tôi là gì

when I say that linear algebra topics tend to revolve Cụm từ

khi tôi nói rằng các chủ đề đại số tuyến tính có xu hướng xoay quanh

around these two fundamental operations,

hai phép toán cơ bản này,

vector addition and scalar multiplication.

phép cộng vectơ và phép nhân vô hướng.

And I'll talk more in the last video

Và tôi sẽ nói nhiều hơn trong video cuối cùng

about how and why the mathematician thinks only about these operations,

về cách thức và lý do tại sao nhà toán học chỉ nghĩ về các phép toán này,

independent and abstracted away from however you choose to represent vectors. Cụm động từ

độc lập và trừu tượng hóa khỏi bất kỳ cách nào bạn chọn để biểu diễn vectơ.

In truth,

Sự thật là,

it doesn't matter whether you think about vectors as fundamentally being arrows in space, Ngữ pháp

không quan trọng liệu bạn nghĩ về các vectơ về cơ bản là các mũi tên trong không gian,

like I'm suggesting you do,

giống như tôi đề nghị bạn làm,

that happen to have a nice numerical representation, Ngữ pháp

tình cờ có một cách biểu diễn số học đẹp đẽ,

or fundamentally as lists of numbers

hay về cơ bản là danh sách các con số

that happen to have a nice geometric interpretation.

tình cờ có một cách diễn giải hình học đẹp đẽ.

The usefulness of linear algebra has less to do with either one of these views Ngữ pháp

Sự hữu ích của đại số tuyến tính ít liên quan đến bất kỳ góc nhìn nào trong hai góc nhìn này

than it does with the ability to translate back and forth between them. Cụm từ

so với khả năng chuyển đổi qua lại giữa chúng.

It gives the data analyst a nice way to conceptualize

Nó mang lại cho nhà phân tích dữ liệu một cách hay để khái niệm hóa

many lists of numbers in a visual way,

nhiều danh sách các con số theo cách trực quan,

which can seriously clarify patterns in data

có thể làm rõ các mô hình trong dữ liệu một cách nghiêm túc

and give a global view of what certain operations do.

và đưa ra cái nhìn toàn cục về những gì một số phép toán nhất định làm.

And on the flip side, Mạch ý

Và ở chiều ngược lại,

it gives people like physicists and computer graphics programmers

nó cung cấp cho những người như nhà vật lý và lập trình viên đồ họa máy tính

a language to describe space

một ngôn ngữ để mô tả không gian

and the manipulation of space

và sự thao tác không gian

using numbers that can be crunched and run through a computer. Cách dùng từ

sử dụng các con số có thể được tính toán và chạy qua máy tính.

When I do math-y animations, for example, Cách dùng từ

Ví dụ như khi tôi làm hoạt hình toán học,

I start by thinking about what's actually going on in space Thành ngữ

tôi bắt đầu bằng cách nghĩ về những gì thực sự đang diễn ra trong không gian

and then get the computer to represent things numerically,

và sau đó nhờ máy tính biểu diễn mọi thứ bằng số học,

thereby figuring out where to place the pixels on the screen. Ngữ pháp

từ đó tìm ra vị trí đặt các pixel trên màn hình.

And doing that usually relies on a lot of linear algebra understanding.

Và làm điều đó thường dựa vào rất nhiều sự hiểu biết về đại số tuyến tính.

So,

Vì vậy,

there are your vector basics,

đó là những kiến thức cơ bản về vectơ của bạn,

and in the next video,

và trong video tiếp theo,

I'll start getting into some pretty neat concepts surrounding vectors,

tôi sẽ bắt đầu đi sâu vào một số khái niệm khá hay ho xoay quanh vectơ,

like span, bases, and linear dependence.

như nhịp (span), cơ sở (bases) và sự phụ thuộc tuyến tính (linear dependence).

See you then.

Hẹn gặp lại.