Tổ hợp tuyến tính, không gian sinh và các vector cơ sở | Chương 2, Bản chất của đại số tuyến tính: tài liệu học tiếng Anh

In the last video, along with the ideas of vector addition and scalar multiplication, I described vector coordinates

Trong video trước, cùng với các ý tưởng về phép cộng véc-tơ và phép nhân vô hướng, tôi đã mô tả tọa độ véc-tơ,

where there's this back and forth between, Thành ngữ

nơi có một mối quan hệ qua lại giữa,

for example,

ví dụ,

pairs of numbers and two-dimensional vectors.

các cặp số và các véc-tơ hai chiều.

Now, I imagine the vector coordinates were already familiar to a lot of you,

Bây giờ, tôi đoán rằng tọa độ véc-tơ đã khá quen thuộc với nhiều người trong các bạn,

but there's another kind of interesting way to think about these coordinates, Mạch ý

nhưng có một cách thú vị khác để nghĩ về những tọa độ này,

which is pretty central to linear algebra.

điều này khá trọng tâm đối với đại số tuyến tính.

When you have a pair of numbers that's meant to describe a vector, Ngữ pháp

Khi bạn có một cặp số nhằm mô tả một véc-tơ,

like 3 -2,

như 3 và -2,

I want you to think about each coordinate as a scalar, Ngữ pháp

tôi muốn bạn nghĩ về mỗi tọa độ như một đại lượng vô hướng,

meaning think about how each one stretches or squishes vectors.

nghĩa là hãy nghĩ về cách mỗi tọa độ kéo giãn hoặc nén các véc-tơ.

In the XY coordinate system,

Trong hệ tọa độ XY,

there are two very special vectors.

có hai véc-tơ rất đặc biệt.

The one pointing to the right with length one,

Một cái hướng sang phải với độ dài bằng một,

commonly called i-hat or the unit vector in the X direction,

thường được gọi là i-hat hoặc véc-tơ đơn vị theo hướng X,

and the one pointing straight up with length one,

và một cái hướng thẳng lên trên với độ dài bằng một,

commonly called j-hat, or the unit vector in the Y direction.

thường được gọi là j-hat, hoặc véc-tơ đơn vị theo hướng Y.

Now, think of the X coordinate of our vector as a scalar that scales i-hat,

Bây giờ, hãy coi tọa độ X của véc-tơ của chúng ta như một vô hướng dùng để thay đổi tỷ lệ i-hat,

stretching it by a factor of 3, Cụm từ

kéo giãn nó gấp 3 lần,

and the Y coordinate as a scalar that scales j-hat,

và coi tọa độ Y như một vô hướng dùng để thay đổi tỷ lệ j-hat,

flipping it and stretching it by a factor of 2.

lật ngược nó và kéo giãn nó gấp 2 lần.

In this sense,

Theo nghĩa này,

the vector that these coordinates describe

véc-tơ mà những tọa độ này mô tả

is the sum of two scaled vectors.

chính là tổng của hai véc-tơ đã được thay đổi tỷ lệ.

That's a surprisingly important concept,

Đó là một khái niệm quan trọng đến bất ngờ,

this idea of adding together two scaled vectors.

ý tưởng về việc cộng hai véc-tơ đã được thay đổi tỷ lệ lại với nhau.

Those two vectors i-hat and j-hat have a special name,

Hai véc-tơ i-hat và j-hat có một cái tên đặc biệt,

by the way.

nhân tiện thì.

Together, they're called the basis of a coordinate system.

Cùng với nhau, chúng được gọi là cơ sở của một hệ tọa độ.

What this means basically

Về cơ bản, điều này có nghĩa là

is that when you think about coordinates as scalars,

khi bạn coi tọa độ như các đại lượng vô hướng,

the basis vectors are what those scalars actually,

các véc-tơ cơ sở chính là những thứ mà các đại lượng vô hướng đó thực sự,

you know, scale.

bạn biết đấy, làm thay đổi tỷ lệ.

There's also a more technical definition,

Cũng có một định nghĩa mang tính chuyên môn hơn,

but I'll get to that later.

nhưng tôi sẽ đề cập đến điều đó sau.

By framing our coordinate system in terms of these two special basis vectors, Cụm từ

Bằng cách thiết lập hệ tọa độ của chúng ta dựa trên hai véc-tơ cơ sở đặc biệt này,

it raises a pretty interesting and subtle point. Cụm từ

nó gợi lên một điểm khá thú vị và tinh tế.

We could have chosen different basis vectors Ngữ pháp

Chúng ta hoàn toàn có thể chọn các véc-tơ cơ sở khác

and gotten a completely reasonable new coordinate system.

và vẫn có được một hệ tọa độ mới hoàn toàn hợp lý.

For example, take some vector pointing up and to the right,

Ví dụ, lấy một véc-tơ hướng lên và sang phải,

along with some other vector pointing down and to the right in some way.

cùng với một véc-tơ khác hướng xuống và sang phải theo một cách nào đó.

Take a moment to think about all the different vectors that you can get

Dành một chút thời gian để nghĩ về tất cả các véc-tơ khác nhau mà bạn có thể có được

by choosing two scalars,

bằng cách chọn hai đại lượng vô hướng,

using each one to scale one of the vectors,

sử dụng mỗi cái để thay đổi tỷ lệ một trong các véc-tơ,

then adding together what you get.

sau đó cộng những gì bạn nhận được lại với nhau.

Which two-dimensional vectors can you reach by altering the choices of scalars?

Bạn có thể đạt tới những véc-tơ hai chiều nào bằng cách thay đổi các lựa chọn vô hướng?

The answer is that you can reach every possible two-dimensional vector,

Câu trả lời là bạn có thể đạt tới mọi véc-tơ hai chiều có thể có,

and I think it's a good puzzle to contemplate why.

và tôi nghĩ thật là một câu đố hay để suy ngẫm lý do tại sao.

A new pair of basis vectors like this

Một cặp véc-tơ cơ sở mới như thế này

still gives us a valid way to go back and forth between pairs of numbers

vẫn mang lại cho chúng ta một cách hợp lệ để chuyển đổi qua lại giữa các cặp số

and two-dimensional vectors,

và các véc-tơ hai chiều,

but the association is definitely different from the one that you get

nhưng sự liên kết này chắc chắn khác với sự liên kết mà bạn có được

using the more standard basis of i-hat and j-hat.

khi sử dụng cơ sở tiêu chuẩn hơn gồm i-hat và j-hat.

This is something I'll go into much more detail on later, Cụm động từ

Đây là điều tôi sẽ đi vào chi tiết hơn nhiều ở phần sau,

describing the exact relationship between different coordinate systems,

mô tả mối quan hệ chính xác giữa các hệ tọa độ khác nhau,

but for right now, I just want you to appreciate the fact that

nhưng hiện tại, tôi chỉ muốn bạn trân trọng sự thật rằng

any time we describe vectors numerically,

bất cứ khi nào chúng ta mô tả các véc-tơ bằng số,

it depends on an implicit choice of what basis vectors we're using. Cụm từ

nó đều phụ thuộc vào một sự lựa chọn ngầm định về các véc-tơ cơ sở mà chúng ta đang sử dụng.

So, any time that you're scaling two vectors and adding them like this,

Vì vậy, bất cứ khi nào bạn thay đổi tỷ lệ hai véc-tơ và cộng chúng lại như thế này,

it's called a linear combination of those two vectors. Cách dùng từ

nó được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hai véc-tơ đó.

Where does this word linear come from?

Từ tuyến tính này từ đâu mà ra?

Why does this have anything to do with lines? Cụm từ

Tại sao điều này lại liên quan đến các đường thẳng (lines)?

Well, this isn't the etymology,

Chà, đây không phải là nguồn gốc từ nguyên,

but one way I like to think about it is that Mạch ý

nhưng một cách tôi thích nghĩ về nó là

if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,

nếu bạn cố định một trong những đại lượng vô hướng đó và để đại lượng kia thay đổi giá trị một cách tự do,

the tip of the resulting vector draws a straight line.

thì mũi nhọn của véc-tơ kết quả sẽ vẽ ra một đường thẳng.

Now, if you let both scalars range freely Ngữ pháp

Bây giờ, nếu bạn để cả hai đại lượng vô hướng thay đổi tự do

and consider every possible vector that you can get,

và xem xét mọi véc-tơ có thể mà bạn có thể nhận được,

there are two things that can happen.

có hai điều có thể xảy ra.

For most pairs of vectors,

Đối với hầu hết các cặp véc-tơ,

you'll be able to reach every possible point in the plane.

bạn sẽ có thể chạm tới mọi điểm có thể có trên mặt phẳng.

Every two-dimensional vector is within your grasp. Thành ngữ

Mọi véc-tơ hai chiều đều nằm trong tầm tay bạn.

However, in the unlucky case where your two original vectors happen to line up, Cụm động từ

Tuy nhiên, trong trường hợp không may khi hai véc-tơ ban đầu của bạn tình cờ nằm trên cùng một đường thẳng,

the tip of the resulting vector is limited to just this single line passing through the origin.

mũi nhọn của véc-tơ kết quả chỉ bị giới hạn trên đường thẳng duy nhất đi qua gốc tọa độ này.

Actually, technically, there's a third possibility, too.

Thực ra, về mặt kỹ thuật, cũng có một khả năng thứ ba.

Both your vectors could be zero,

Cả hai véc-tơ của bạn có thể đều bằng không,

in which case you'd just be stuck at the origin. Ngữ pháp

trong trường hợp đó, bạn sẽ chỉ bị mắc kẹt tại gốc tọa độ.

Here's some more terminology.

Dưới đây là một số thuật ngữ khác.

The set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given pair of vectors

Tập hợp tất cả các véc-tơ có thể có mà bạn có thể tạo ra bằng một tổ hợp tuyến tính của một cặp véc-tơ cho trước

is called the span of those two vectors. Cách dùng từ

được gọi là không gian sinh (span) của hai véc-tơ đó.

So, restating what we just saw in this lingo,

Vì vậy, nói lại những gì chúng ta vừa thấy bằng thuật ngữ này,

the span of most pairs of 2D vectors is all vectors of 2D space,

không gian sinh của hầu hết các cặp véc-tơ 2D là tất cả các véc-tơ của không gian 2D,

but when they line up,

nhưng khi chúng nằm cùng trên một đường thẳng,

their span is all vectors whose tip sit on a certain line.

không gian sinh của chúng là tất cả các véc-tơ có mũi nhọn nằm trên một đường thẳng nhất định.

Remember how I said that linear algebra revolves around vector addition and scalar multiplication? Thành ngữ

Nhớ cách tôi đã nói rằng đại số tuyến tính xoay quanh phép cộng véc-tơ và phép nhân vô hướng không?

Well, the span of two vectors is basically a way of asking,

Chà, không gian sinh của hai véc-tơ về cơ bản là một cách để hỏi,

what are all the possible vectors you can reach

tất cả các véc-tơ có thể có mà bạn có thể tạo ra

using only these two fundamental operations,

chỉ bằng hai phép toán cơ bản này là gì,

vector addition and scalar multiplication?

phép cộng véc-tơ và phép nhân vô hướng?

This is a good time to talk about how people commonly think about vectors as points.

Đây là thời điểm tốt để nói về cách mọi người thường nghĩ véc-tơ như những điểm.

It gets really crowded to think about a whole collection of vectors sitting on a line,

Sẽ thực sự chật chội nếu nghĩ về toàn bộ một tập hợp các véc-tơ nằm trên một đường thẳng,

and more crowded still to think about all two-dimensional vectors all at once filling up the plane.

và còn chật chội hơn nữa nếu nghĩ về tất cả các véc-tơ hai chiều cùng một lúc lấp đầy mặt phẳng.

So, when dealing with collections of vectors like this,

Vì vậy, khi xử lý các tập hợp véc-tơ như thế này,

it's common to represent each one with just a point in space.

người ta thường biểu diễn mỗi véc-tơ chỉ bằng một điểm trong không gian.

The point at the tip of that vector,

Chính là điểm ở mũi nhọn của véc-tơ đó,

where, as usual, I want you thinking about that vector with its tail on the origin.

nơi mà, như thường lệ, tôi muốn bạn nghĩ về véc-tơ đó với phần đuôi của nó đặt ở gốc tọa độ.

That way, if you want to think about every possible vector whose tip sits on a certain line,

Bằng cách đó, nếu bạn muốn nghĩ về mọi véc-tơ có thể có mà mũi nhọn của nó nằm trên một đường thẳng nhất định,

just think about the line itself.

chỉ cần nghĩ về bản thân đường thẳng đó.

Likewise, to think about all possible two-dimensional vectors all at once,

Tương tự như vậy, để nghĩ về tất cả các véc-tơ hai chiều có thể có cùng một lúc,

conceptualize each one as the point where its tip sits.

hãy khái niệm hóa mỗi véc-tơ là điểm nơi mũi nhọn của nó tọa lạc.

So, in effect, what you'll be thinking about is the infinite flat sheet of two-dimensional space itself,

Vì vậy, về hiệu ứng, những gì bạn sẽ nghĩ đến là tấm phẳng vô hạn của chính không gian hai chiều,

leaving the arrows out of it. Cụm động từ

và gạt bỏ các mũi tên ra khỏi nó.

In general, if you're thinking about a vector on its own, Cụm từ

Nói chung, nếu bạn đang nghĩ về một véc-tơ đứng riêng lẻ,

think of it as an arrow.

hãy coi nó như một mũi tên.

And if you're dealing with a collection of vectors,

Và nếu bạn đang giải quyết một tập hợp các véc-tơ,

it's convenient to think of them all as points.

thật thuận tiện khi coi tất cả chúng là những điểm.

So, for our span example,

Vì vậy, đối với ví dụ về không gian sinh của chúng ta,

the span of most pairs of vectors ends up being the entire infinite sheet of two-dimensional space, Cụm động từ

không gian sinh của hầu hết các cặp véc-tơ cuối cùng sẽ là toàn bộ tấm vô hạn của không gian hai chiều,

but if they line up,

nhưng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng,

their span is just a line.

không gian sinh của chúng chỉ là một đường thẳng.

The idea of span gets a lot more interesting if we start thinking about vectors in three-dimensional space.

Ý tưởng về không gian sinh trở nên thú vị hơn nhiều nếu chúng ta bắt đầu nghĩ về các véc-tơ trong không gian ba chiều.

For example,

Ví dụ,

if you take two vectors in 3D space that are not pointing in the same direction,

nếu bạn lấy hai véc-tơ trong không gian 3D không chỉ về cùng một hướng,

what does it mean to take their span?

việc lấy không gian sinh của chúng có ý nghĩa gì?

Well, their span is the collection of all possible linear combinations of those two vectors,

Chà, không gian sinh của chúng là tập hợp của tất cả các tổ hợp tuyến tính có thể có của hai véc-tơ đó,

meaning all possible vectors you get by scaling each of the two of them in some way

nghĩa là tất cả các véc-tơ có thể có mà bạn nhận được bằng cách thay đổi tỷ lệ của mỗi véc-tơ theo một cách nào đó

and then adding them together.

rồi cộng chúng lại với nhau.

You can kind of imagine turning two different knobs to change the two scalars defining the linear combination, Thành ngữ

Bạn có thể tưởng tượng việc vặn hai núm điều chỉnh khác nhau để thay đổi hai đại lượng vô hướng định nghĩa tổ hợp tuyến tính,

adding the scaled vectors and following the tip of the resulting vector.

cộng các véc-tơ đã thay đổi tỷ lệ và di chuyển theo mũi nhọn của véc-tơ kết quả.

That tip will trace out some kind of flat sheet cutting through the origin of three-dimensional space.

Mũi nhọn đó sẽ vẽ ra một dạng tấm phẳng cắt qua gốc tọa độ của không gian ba chiều.

This flat sheet is the span of the two vectors,

Tấm phẳng này là không gian sinh của hai véc-tơ,

or more precisely, the set of all possible vectors whose tips sit on that flat sheet is the span of your two vectors. Mạch ý

hoặc chính xác hơn, tập hợp tất cả các véc-tơ có thể có mà mũi nhọn nằm trên tấm phẳng đó chính là không gian sinh của hai véc-tơ của bạn.

Isn't that a beautiful mental image?

Đó chẳng phải là một hình ảnh tưởng tượng tuyệt đẹp sao?

So, what happens if we add a third vector and consider the span of all three of those guys?

Vậy, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta thêm một véc-tơ thứ ba và xem xét không gian sinh của cả ba anh chàng đó?

A linear combination of three vectors is defined pretty much the same way as it is for two.

Một tổ hợp tuyến tính của ba véc-tơ được định nghĩa gần giống như đối với hai véc-tơ.

You'll choose three different scalars,

Bạn sẽ chọn ba đại lượng vô hướng khác nhau,

scale each of those vectors,

thay đổi tỷ lệ từng véc-tơ đó,

and then add them all together.

và rồi cộng tất cả chúng lại với nhau.

And again, the span of these vectors is the set of all possible linear combinations.

Và một lần nữa, không gian sinh của các véc-tơ này là tập hợp của tất cả các tổ hợp tuyến tính có thể có.

Two different things could happen here.

Hai điều khác nhau có thể xảy ra ở đây.

If your third vector happens to be sitting on the span of the first two,

Nếu véc-tơ thứ ba của bạn tình cờ nằm trên không gian sinh của hai véc-tơ đầu tiên,

then the span doesn't change.

thì không gian sinh sẽ không thay đổi.

You're sort of trapped on that same flat sheet.

Bạn giống như bị mắc kẹt trên cùng tấm phẳng đó.

In other words, adding a scaled version of that third vector to the linear combination Mạch ý

Nói cách khác, thêm một phiên bản đã được thay đổi tỷ lệ của véc-tơ thứ ba đó vào tổ hợp tuyến tính

doesn't really give you access to any new vectors.

không thực sự cho phép bạn tiếp cận tới bất kỳ véc-tơ mới nào.

But if you just randomly choose a third vector,

Nhưng nếu bạn chỉ chọn ngẫu nhiên một véc-tơ thứ ba,

it's almost certainly not sitting on the span of those first two.

gần như chắc chắn nó không nằm trên không gian sinh của hai véc-tơ đầu tiên đó.

Then, since it's pointing in a separate direction,

Khi đó, vì nó chỉ theo một hướng riêng biệt,

it unlocks access to every possible three-dimensional vector. Thành ngữ

nó mở khóa để tiếp cận tới mọi véc-tơ ba chiều có thể có.

One way I like to think about this is that as you scale that new third vector,

Một cách mà tôi thích nghĩ về điều này là khi bạn thay đổi tỷ lệ của véc-tơ thứ ba mới đó,

it moves around that span sheet of the first two,

nó di chuyển xung quanh tấm không gian sinh của hai véc-tơ đầu,

sweeping it through all of space.

quét nó đi qua toàn bộ không gian.

Another way to think about it is that you're making full use of the three freely changing scalars that you have at your disposal Thành ngữ

Một cách khác để nghĩ về nó là bạn đang sử dụng tối đa ba đại lượng vô hướng thay đổi tự do mà bạn có trong tay

to access the full three dimensions of space.

để tiếp cận toàn bộ ba chiều của không gian.

Now, in the case where the third vector was already sitting on the span of the first two,

Bây giờ, trong trường hợp véc-tơ thứ ba đã nằm trên không gian sinh của hai véc-tơ đầu tiên,

or the case where two vectors happen to line up,

hoặc trường hợp hai véc-tơ tình cờ nằm trên cùng một đường thẳng,

we want some terminology to describe the fact that at least one of these vectors is redundant, Cách dùng từ

chúng ta muốn một số thuật ngữ để mô tả sự thật rằng ít nhất một trong các véc-tơ này là dư thừa,

not adding anything to our span.

không thêm bất cứ thứ gì vào không gian sinh của chúng ta.

Whenever this happens, where you have multiple vectors and you could remove one without reducing the span,

Bất cứ khi nào điều này xảy ra, nơi bạn có nhiều véc-tơ và bạn có thể loại bỏ một cái mà không làm giảm không gian sinh,

the relevant terminology is to say that they are linearly dependent. Cách dùng từ

thuật ngữ liên quan ở đây là chúng phụ thuộc tuyến tính.

Another way of phrasing that would be to say that one of the vectors can be expressed as a linear combination of the others, Cụm từ

Một cách khác để diễn đạt điều đó là nói rằng một trong các véc-tơ có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ khác,

since it's already in the span of the others.

vì nó đã nằm trong không gian sinh của các véc-tơ khác.

On the other hand, Mạch ý

Mặt khác,

if each vector really does add another dimension to the span, Ngữ pháp

nếu mỗi véc-tơ thực sự thêm một chiều khác vào không gian sinh,

they're said to be linearly independent. Cách dùng từ

chúng được cho là độc lập tuyến tính.

So, with all of that terminology and hopefully with some good mental images to go with it,

Vì vậy, với tất cả thuật ngữ đó và hy vọng với một số hình ảnh tưởng tượng tốt đi kèm,

let me leave you with a puzzle before we go. Cụm từ

hãy để tôi để lại cho bạn một câu đố trước khi chúng ta kết thúc.

The technical definition of a basis of a space is a set of linearly independent vectors that span that space. Cách dùng từ

Định nghĩa kỹ thuật về cơ sở của một không gian là một tập hợp các véc-tơ độc lập tuyến tính tạo thành không gian sinh của không gian đó.

Now, given how I described a basis earlier,

Bây giờ, dựa trên cách tôi đã mô tả một cơ sở trước đó,

and given your current understanding of the words span and linearly independent,

và dựa trên sự hiểu biết hiện tại của bạn về các từ không gian sinh và độc lập tuyến tính,

think about why this definition would make sense.

hãy nghĩ xem tại sao định nghĩa này lại hợp lý.

In the next video,

Trong video tiếp theo,

I'll get into matrices in transforming space.

tôi sẽ đi sâu vào ma trận trong việc biến đổi không gian.

See you then.

Hẹn gặp lại bạn khi đó.