Người Giải Được Bài Toán Nổi Tiếng Nhất Thế Giới: tài liệu học tiếng Anh

In 1994,

Vào năm 1994,

Andrew Wiles solved a mystery that had stumped mathematicians for 357 years. Cách dùng từ

Andrew Wiles đã giải quyết một bí ẩn từng làm đau đầu các nhà toán học suốt 357 năm.

The 17th century French mathematician Pierre de Fermat states that you can't find numbers

Nhà toán học người Pháp thế kỷ 17, Pierre de Fermat, đã phát biểu rằng bạn không thể tìm thấy các con số

where x to the n + y to the n

mà x lũy thừa n + y lũy thừa n

is equal to z to the n

bằng z lũy thừa n

when n is a whole number greater than two.

khi n là một số nguyên lớn hơn hai.

For example,

Ví dụ,

3 to the power of 3 + 4 to the power of 3 equals 91, Văn hóa

3 lũy thừa 3 + 4 lũy thừa 3 bằng 91,

which is not the cube of any whole number.

đây không phải là lập phương của bất kỳ số nguyên nào.

Fermat claims to have proved his theorem, Ngữ pháp

Fermat tuyên bố đã chứng minh được định lý của mình,

writing in his copy of Arithmetica,

khi viết vào cuốn Arithmetica của ông,

an ancient Greek text on number theory,

một tài liệu Hy Lạp cổ đại về lý thuyết số,

"I have discovered a truly marvelous proof of this,

"Tôi đã khám phá ra một chứng minh thực sự tuyệt vời cho điều này,

which this margin is too narrow to contain." Ngữ pháp

nhưng lề sách này quá hẹp để có thể chứa được."

Unfortunately,

Thật không may,

he never wrote down his proof,

ông chưa bao giờ viết lại chứng minh của mình,

not anywhere that anyone has ever found.

không ở bất kỳ nơi nào mà bất cứ ai từng tìm thấy.

For over 300 years,

Trong hơn 300 năm,

mathematicians puzzled over this perplexing problem, Cụm động từ

các nhà toán học đã đau đầu về vấn đề hóc búa này,

which is similar to the Pythagorean theorem,

nó tương tự như định lý Pytago,

but applies to exponents greater than two.

nhưng áp dụng cho các số mũ lớn hơn hai.

Andrew Wiles was a young boy when he stumbled upon Fermat's Last Theorem Cụm động từ

Andrew Wiles vẫn còn là một cậu bé khi ông tình cờ bắt gặp Định lý cuối cùng của Fermat

at a library in Cambridge,

tại một thư viện ở Cambridge,

England in 1963.

Anh vào năm 1963.

As he recalled in an interview later featured in the book Fermat's Enigma

Như ông nhớ lại trong một cuộc phỏng vấn sau này xuất hiện trong cuốn sách Fermat's Enigma

by Simon Singh,

của Simon Singh,

which I highly recommend,

mà tôi thực sự khuyên bạn nên đọc,

"Here was a problem that I,

"Đây là một bài toán mà tôi,

a 10-year-old,

một đứa trẻ 10 tuổi,

could understand,

có thể hiểu được,

and I knew from that moment

và từ khoảnh khắc đó tôi biết

that I would never let it go. Cụm động từ

rằng tôi sẽ không bao giờ từ bỏ nó.

I had to solve it."

Tôi phải giải quyết nó."

His determination was extraordinary,

Quyết tâm của ông thật phi thường,

considering the brightest minds in math

xét đến việc những bộ óc xuất chúng nhất trong toán học

had failed to crack it for centuries. Cách dùng từ

đã thất bại trong việc giải mã nó suốt nhiều thế kỷ.

The 18th century Swiss mathematician Leonhard Euler

Nhà toán học người Thụy Sĩ thế kỷ 18 Leonhard Euler

proved a specific case

đã chứng minh một trường hợp cụ thể

where there are no solutions

khi không có giải pháp nào

for n equals 3,

cho n bằng 3,

but his work didn't extend to other exponents.

nhưng công trình của ông không mở rộng được cho các số mũ khác.

Euler even asked a friend to search Fermat's house

Euler thậm chí còn nhờ một người bạn lục soát nhà Fermat

just in case he had scribbled down his proof somewhere, Cụm từ

phòng trường hợp ông ấy có viết nguệch ngoạc chứng minh của mình ở đâu đó,

with no luck.

nhưng không thành công.

The wealthy German industrialist Paul Wolfskehl

Nhà tư bản công nghiệp giàu có người Đức Paul Wolfskehl

was so miserable because the woman he loved Ngữ pháp

đã quá đau khổ vì người phụ nữ ông yêu

didn't love him back

không yêu lại ông

that he planned to end his life,

đến mức ông lên kế hoạch kết liễu đời mình,

only to be reinvigorated by Fermat's puzzle. Ngữ pháp

nhưng rồi lại được tiếp thêm sức sống bởi câu đố của Fermat.

He never solved it himself,

Bản thân ông chưa bao giờ giải được nó,

but he offered a reward of 100,000 German marks

nhưng ông đã đưa ra phần thưởng 100.000 mác Đức

to anyone who could,

cho bất kỳ ai có thể,

motivating the next generation of mathematicians.

từ đó tạo động lực cho thế hệ nhà toán học tiếp theo.

When Andrew Wiles was a grad student at the University of Cambridge

Khi Andrew Wiles là sinh viên cao học tại Đại học Cambridge

in the 1970s,

vào những năm 1970,

his supervisor John Coates

người hướng dẫn của ông là John Coates

suggested he study elliptic curves,

đã đề nghị ông nghiên cứu các đường cong elip,

which proved crucial for solving Fermat's Last Theorem. Cụm từ

điều này tỏ ra đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết Định lý cuối cùng của Fermat.

In the 1950s,

Vào những năm 1950,

Japanese mathematicians Yutaka Taniyama and Goro Shimura

các nhà toán học Nhật Bản Yutaka Taniyama và Goro Shimura

suggested that for every elliptic curve,

đã đề xuất rằng đối với mỗi đường cong elip,

there was a corresponding modular form.

sẽ có một dạng mô-đun (modular form) tương ứng.

The Taniyama-Shimura conjecture connected two distinct areas of mathematics.

Phỏng đoán Taniyama-Shimura đã kết nối hai lĩnh vực riêng biệt của toán học.

Later,

Sau đó,

Ken Ribet,

Ken Ribet,

a professor at UC Berkeley,

một giáo sư tại UC Berkeley,

linked their conjecture to Fermat's Last Theorem.

đã liên kết phỏng đoán của họ với Định lý cuối cùng của Fermat.

How?

Bằng cách nào?

He showed that if Fermat's Last Theorem were false, Ngữ pháp

Ông chỉ ra rằng nếu Định lý cuối cùng của Fermat là sai,

certain elliptical curves would have to exist.

thì một số đường cong elip nhất định sẽ phải tồn tại.

However,

Tuy nhiên,

the Taniyama-Shimura conjecture implied that those curves could not exist.

phỏng đoán Taniyama-Shimura ám chỉ rằng những đường cong đó không thể tồn tại.

Therefore,

Vì vậy,

if the Taniyama-Shimura conjecture were true,

nếu phỏng đoán Taniyama-Shimura là đúng,

Fermat's Last Theorem would also be true.

thì Định lý cuối cùng của Fermat cũng sẽ đúng.

Proving the conjecture would prove Fermat's Last Theorem.

Chứng minh được phỏng đoán này cũng sẽ chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat.

The problem was Taniyama and Shimura

Vấn đề là Taniyama và Shimura

never proved their own conjecture.

chưa bao giờ chứng minh được phỏng đoán của chính họ.

Tragically,

Bi thảm thay,

Taniyama committed suicide in 1958,

Taniyama đã tự tử vào năm 1958,

leaving a note that read,

để lại một tờ giấy nhắn viết,

"I am in the frame of mind that I lost confidence in my future."

"Tôi đang trong trạng thái tâm trí mất đi niềm tin vào tương lai của mình."

His fiancee took her own life shortly after,

Hôn thê của ông cũng đã tự kết liễu đời mình ngay sau đó,

writing,

và viết lại rằng,

"We promised each other that no matter where we went, Ngữ pháp

"Chúng tôi đã hứa với nhau rằng dù có đi đâu,

we would never be separated.

chúng tôi cũng sẽ không bao giờ xa nhau.

Now that he is gone,

Bây giờ anh ấy đã đi rồi,

I must go too in order to join him."

tôi cũng phải đi để đến với anh ấy."

In 1986,

Vào năm 1986,

Andrew Wiles was sipping iced tea at a friend's house

Andrew Wiles đang nhâm nhi trà đá tại nhà một người bạn

when his friend mentioned Ken Ribet

khi người bạn đó đề cập rằng Ken Ribet

had proved the link between Taniyama-Shimura and Fermat's Last Theorem.

đã chứng minh được mối liên hệ giữa Taniyama-Shimura và Định lý cuối cùng của Fermat.

Andrew recalled,

Andrew nhớ lại,

"I was electrified. Thành ngữ

"Tôi như bị điện giật.

I knew that moment that the course of my life was changing,

Tôi biết khoảnh khắc đó hướng đi của cuộc đời tôi đang thay đổi,

because this meant that to prove Fermat's Last Theorem,

bởi vì điều này có nghĩa là để chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat,

all I had to do was prove the Taniyama-Shimura conjecture. Ngữ pháp

tất cả những gì tôi phải làm là chứng minh phỏng đoán Taniyama-Shimura.

It meant that my childhood dream was now a respectable thing to work on.

Điều đó có nghĩa là giấc mơ thời thơ ấu của tôi nay đã trở thành một thứ đáng để dấn thân vào.

I just knew that I could never let that go."

Tôi chỉ biết rằng mình không bao giờ có thể từ bỏ điều đó."

By this time,

Vào thời điểm này,

Andrew had moved to the US

Andrew đã chuyển đến Mỹ

where he was a mathematics professor at Princeton University.

nơi ông là giáo sư toán học tại Đại học Princeton.

When he wasn't lecturing,

Khi không lên lớp giảng bài,

he was in his attic office

ông ở trong văn phòng trên căn gác mái của mình

trying to prove that every single elliptic equation

cố gắng chứng minh rằng mỗi phương trình elip đơn lẻ

could be correlated with a modular form.

đều có thể có sự tương quan với một dạng mô-đun.

Only his wife knew what he was up to. Thành ngữ

Chỉ có vợ ông mới biết ông đang làm gì.

He kept his work a secret,

Ông giữ bí mật công việc của mình,

not wanting to be distracted.

không muốn bị phân tâm.

Though,

Tuy nhiên,

there may have been another reason for his secrecy.

có thể còn có một lý do khác cho sự giữ bí mật của ông.

He may have feared that if his progress leaked,

Ông có thể sợ rằng nếu tiến độ của mình bị rò rỉ,

a rival mathematician might beat him to the punch and claim the glory. Thành ngữ

một nhà toán học đối thủ có thể hớt tay trên và giành lấy vinh quang.

He cleverly threw his colleagues off track Thành ngữ

Ông đã khéo léo đánh lạc hướng các đồng nghiệp

by publishing his ongoing research on elliptic equations every six months,

bằng cách xuất bản nghiên cứu đang tiến hành của mình về phương trình elip sáu tháng một lần,

making it seem like he was keeping busy Mạch ý

làm ra vẻ như ông đang rất bận rộn

while actually devoting his time to the age-old enigma.

trong khi thực tế lại dành thời gian cho bí ẩn lâu đời kia.

He began by proving the connection for a specific class of elliptic curves,

Ông bắt đầu bằng cách chứng minh mối liên kết cho một lớp các đường cong elip cụ thể,

like knocking down the first domino in a long line. Mạch ý

giống như hất đổ quân cờ domino đầu tiên trong một hàng dài.

The challenge was to ensure that if one domino fell,

Thách thức là phải đảm bảo rằng nếu một quân cờ domino đổ xuống,

it would topple the next.

nó sẽ làm đổ quân tiếp theo.

Andrew had to show that if one element of the elliptic curve series

Andrew phải chứng minh rằng nếu một phần tử của chuỗi đường cong elip

matched the corresponding element in the modular form series,

khớp với phần tử tương ứng trong chuỗi dạng mô-đun,

then the next elements would also match.

thì các phần tử tiếp theo cũng sẽ khớp với nhau.

Yet,

Tuy vậy,

he struggled to topple the rest of the dominoes.

ông đã phải chật vật để làm đổ phần còn lại của các quân cờ domino.

Five years after working in secret,

Năm năm sau khi làm việc trong bí mật,

he decided to emerge from his hermit-like state

ông quyết định bước ra khỏi trạng thái giống như một ẩn sĩ của mình

in hopes of finding new ideas.

với hy vọng tìm ra những ý tưởng mới.

In 1991,

Năm 1991,

he attended a major math conference in Boston

ông tham dự một hội nghị toán học lớn ở Boston

where his PhD supervisor John Coates mentioned that a student of his,

nơi người hướng dẫn tiến sĩ của ông, John Coates, tình cờ nhắc đến một sinh viên của mình,

Matthias Flach,

Matthias Flach,

was working on a powerful way of analyzing elliptic equations,

đang nghiên cứu một phương pháp phân tích phương trình elip đầy sức mạnh,

building on the work of Russian mathematician Viktor Kolyvagin. Cụm động từ

dựa trên công trình của nhà toán học người Nga Viktor Kolyvagin.

Andrew realized this Kolyvagin-Flach method

Andrew nhận ra phương pháp Kolyvagin-Flach này

could help him topple the rest of the dominoes,

có thể giúp ông làm đổ phần còn lại của các quân cờ domino,

ultimately proving every elliptic equation

cuối cùng chứng minh được mỗi phương trình elip

could be matched to a modular form.

đều có thể được ghép với một dạng mô-đun.

But this involved incredibly hard mathematics

Nhưng điều này liên quan đến mảng toán học vô cùng khó nhằn

and took several more years.

và phải mất thêm vài năm nữa.

After seven years of working all by himself,

Sau bảy năm làm việc hoàn toàn một mình,

he finally decided he needed some help.

ông cuối cùng đã quyết định mình cần một chút giúp đỡ.

In 1993,

Vào năm 1993,

he confided in his colleague at Princeton, Cụm từ

ông đã tâm sự với người đồng nghiệp của mình tại Princeton,

mathematician Nick Katz.

nhà toán học Nick Katz.

They arranged a secret weekly meeting disguised as a graduate course

Họ đã sắp xếp một cuộc họp kín hàng tuần ngụy trang dưới dạng một khóa học sau đại học

where Nick meticulously checked and verified Andrew's calculations

nơi Nick kiểm tra và xác minh tỉ mỉ các tính toán của Andrew

and assessed that the Kolyvagin-Flach method worked perfectly.

và đánh giá rằng phương pháp Kolyvagin-Flach hoạt động một cách hoàn hảo.

There was still one missing piece of the puzzle.

Vẫn còn một mảnh ghép còn thiếu của bức tranh.

Andrew used a key insight gleaned from a paper by American mathematician Barry Mazur

Andrew đã sử dụng một hiểu biết then chốt lượm lặt được từ bài báo của nhà toán học người Mỹ Barry Mazur

to complete the puzzle in May 1993.

để hoàn thành câu đố vào tháng 5 năm 1993.

It was time to tell the world he had solved the world's hardest math problem.

Đã đến lúc báo cho cả thế giới biết rằng ông đã giải được bài toán khó nhất thế giới.

He chose to do so at a conference at the Isaac Newton Institute

Ông đã chọn làm như vậy tại một hội nghị ở Viện Isaac Newton

in June 1993

vào tháng 6 năm 1993

in his hometown of Cambridge.

tại quê hương Cambridge của mình.

An air of excitement filled the room

Một bầu không khí phấn khích tràn ngập căn phòng

as rumors spread of his breakthrough

khi những tin đồn lan truyền về bước đột phá của ông

on the more than 300-year-old mystery.

đối với bí ẩn có tuổi đời hơn 300 năm.

Andrew recalled,

Andrew nhớ lại,

"There was a typical dignified silence

"Có một sự im lặng trang nghiêm điển hình

while I read out the proof,

khi tôi đọc bài chứng minh,

and then I just wrote up the statement of Fermat's Last Theorem.

và rồi tôi chỉ viết ra phát biểu của Định lý cuối cùng của Fermat.

I said,

Tôi nói,

"I think I'll stop here."

"Tôi nghĩ tôi sẽ dừng lại ở đây."

And then there was sustained applause."

Và rồi là một tràng pháo tay kéo dài."

Mathematicians usually don't make headlines,

Các nhà toán học thường không hay lên trang nhất các báo,

but this was an exception.

nhưng đây là một ngoại lệ.

The excitement was palpable,

Sự phấn khích hiện rõ mồn một,

yet the proof still needed to be verified.

song chứng minh vẫn cần được xác minh.

He submitted his draft to the journal Inventiones Mathematicae,

Ông đã nộp bản thảo của mình cho tạp chí Inventiones Mathematicae,

where the editor Barry Mazur

nơi biên tập viên Barry Mazur

selected six referees to pore over Andrew's 200-page work. Cụm động từ

đã chọn sáu người phản biện để xem xét kỹ lưỡng công trình dài 200 trang của Andrew.

This was subject matter that perhaps only a half dozen people in the world could fully grasp,

Đây là chủ đề mà có lẽ chỉ khoảng nửa tá người trên thế giới có thể nắm bắt đầy đủ,

as John Lynch, director of the award-winning documentary Fermat's Last Theorem, Mạch ý

như John Lynch, đạo diễn của bộ phim tài liệu từng đoạt giải thưởng Định lý cuối cùng của Fermat,

put it.

đã nói.

During this rigorous scrutiny,

Trong quá trình kiểm tra nghiêm ngặt này,

a flaw emerged.

một lỗ hổng đã xuất hiện.

One of the referees,

Một trong những người phản biện,

Andrew's Princeton colleague Nick Katz,

người đồng nghiệp tại Princeton của Andrew, Nick Katz,

discovered a gap in the part of the argument Cách dùng từ

đã phát hiện ra một lỗ hổng trong phần lập luận

involving the Kolyvagin-Flach method.

liên quan đến phương pháp Kolyvagin-Flach.

Nick and Andrew had missed this during their earlier secret meetings disguised as lectures.

Nick và Andrew đã bỏ lỡ điều này trong những cuộc họp kín ngụy trang thành các bài giảng trước đó.

Was Andrew's proof about to collapse like a house of cards? Thành ngữ

Có phải chứng minh của Andrew sắp sửa sụp đổ như một ngôi nhà xây bằng những lá bài?

Despite the setback,

Bất chấp thất bại,

he remained optimistic.

ông vẫn giữ thái độ lạc quan.

He was confident that Kolyvagin-Flach just needed a little tweaking.

Ông tự tin rằng Kolyvagin-Flach chỉ cần chỉnh sửa đôi chút.

He retreated to his attic once again,

Ông lại lui về căn gác mái của mình một lần nữa,

but it was slow going. Thành ngữ

nhưng tiến độ diễn ra rất chậm.

His wife Nada had told him she wanted everything corrected by her birthday on October 6,

Vợ ông, Nada, đã nói với ông rằng bà muốn mọi thứ được sửa chữa xong trước sinh nhật của bà vào ngày 6 tháng 10,

two weeks away.

tức là hai tuần nữa.

But as time went on with no manuscript published,

Nhưng khi thời gian trôi qua mà không có bản thảo nào được công bố,

rumors began circulating that there were issues with his proof.

những tin đồn bắt đầu lan truyền rằng có vấn đề với chứng minh của ông.

Andrew had no choice but to address the speculation publicly in a forum at the end of 1993. Ngữ pháp

Andrew không có lựa chọn nào khác ngoài việc công khai giải quyết những lời đồn đoán trên một diễn đàn vào cuối năm 1993.

"During the review process,

"Trong quá trình đánh giá,

a number of problems emerged,

một số vấn đề đã xuất hiện,

most of which have been resolved, Ngữ pháp

hầu hết trong số đó đã được giải quyết,

but one in particular I have not yet settled.

nhưng đặc biệt có một vấn đề tôi vẫn chưa xử lý xong.

I believe that I will be able to finish this in the near future

Tôi tin rằng mình sẽ có thể hoàn thành việc này trong tương lai gần

using the ideas explained in my Cambridge lectures."

bằng cách sử dụng các ý tưởng đã được giải thích trong các bài giảng tại Cambridge của tôi."

Winter passed and he was still nowhere close to completing the proof. Cụm từ

Mùa đông trôi qua và ông vẫn chưa tiến gần đến việc hoàn thành chứng minh.

He decided to bounce ideas off of someone he trusted. Thành ngữ

Ông quyết định chia sẻ ý tưởng với một người mà ông tin tưởng.

His former student Richard Taylor,

Học trò cũ của ông, Richard Taylor,

now a Cambridge lecturer and one of the referees who looked over his proof.

hiện là giảng viên tại Cambridge và là một trong những người phản biện đã xem xét chứng minh của ông.

They worked through the summer of 1994

Họ đã làm việc qua suốt mùa hè năm 1994

without any progress.

mà không có bất kỳ tiến triển nào.

Andrew was at wit's end and thought of giving up. Thành ngữ

Andrew đã bế tắc và nghĩ đến việc bỏ cuộc.

But Richard persuaded him to keep working on until Richard returned to Cambridge in September.

Nhưng Richard đã thuyết phục ông tiếp tục làm việc cho đến khi Richard trở lại Cambridge vào tháng 9.

That extra month made all the difference. Thành ngữ

Một tháng thêm đó đã tạo ra mọi sự khác biệt.

The morning of Monday,

Sáng thứ Hai,

September 19, 1994,

ngày 19 tháng 9 năm 1994,

Andrew was again intensely examining the Kolyvagin-Flach method,

Andrew một lần nữa đang kiểm tra cường độ cao phương pháp Kolyvagin-Flach,

trying desperately to understand why it didn't work.

cố gắng tuyệt vọng để hiểu lý do tại sao nó không hoạt động.

Suddenly,

Đột nhiên,

he had an incredible revelation.

ông có một sự khai sáng đáng kinh ngạc.

Although the Kolyvagin-Flach method wasn't entirely successful,

Mặc dù phương pháp Kolyvagin-Flach không hoàn toàn thành công,

it provided enough insight to revive his original approach

nó đã cung cấp đủ hiểu biết để khơi dậy lại cách tiếp cận ban đầu của ông

using Iwasawa theory,

sử dụng lý thuyết Iwasawa,

a theory of analyzing elliptic equations

một lý thuyết phân tích phương trình elip

that he had learned as a student at Cambridge.

mà ông đã học được khi còn là sinh viên ở Cambridge.

Combining the two methods,

Việc kết hợp hai phương pháp,

which were inadequate on their own,

vốn dĩ không đủ nếu đứng riêng lẻ,

provided the eureka moment.

đã mang đến khoảnh khắc lóe sáng.

"It was the most uh the most important moment of my working life.

"Đó là khoảnh khắc ừm khoảnh khắc quan trọng nhất trong cuộc đời làm việc của tôi.

Nothing I ever do again will

Sẽ không có bất cứ điều gì tôi làm lại một lần nữa sẽ

I'm sorry."

Tôi xin lỗi."

After eight years of dedicating himself to one task,

Sau tám năm cống hiến hết mình cho một nhiệm vụ duy nhất,

Andrew's 129-page proof was published in May 1995,

bài chứng minh dài 129 trang của Andrew đã được công bố vào tháng 5 năm 1995,

putting to rest the greatest mystery in math. Thành ngữ

khép lại bí ẩn lớn nhất trong toán học.

He reflected,

Ông suy ngẫm,

"Having solved this problem,

"Khi đã giải quyết được vấn đề này,

there's certainly a sense of loss. Cụm từ

chắc chắn có một cảm giác mất mát.

But at the same time,

Nhưng đồng thời,

there is this tremendous sense of freedom.

cũng có cảm giác tự do vô cùng lớn lao này.

That particular odyssey is now over. Thành ngữ

Chuyến phiêu lưu dài đặc biệt đó nay đã kết thúc.

My mind is at rest."

Tâm trí tôi được thanh thản."

If you've been inspired by Andrew's remarkable achievement

Nếu bạn được truyền cảm hứng bởi thành tựu đáng chú ý của Andrew

and want to improve your math skills,

và muốn cải thiện kỹ năng toán học của mình,

and who knows,

và ai biết được,

solve the next big mathematical mystery,

giải quyết được bí ẩn toán học lớn tiếp theo,

Brilliant is the perfect place to start.

Brilliant là một nơi hoàn hảo để bắt đầu.

If you've ever felt that math is hard,

Nếu bạn từng cảm thấy toán học là khó nhằn,

Brilliant is a website and app

Brilliant là một trang web và ứng dụng

that makes math easy and intuitive.

giúp toán học trở nên dễ dàng và trực quan.

In their measurement course,

Trong khóa học đo lường của họ,

you learn to find angles, side lengths, and areas

bạn học cách tìm các góc, chiều dài cạnh và diện tích

by recognizing relationships between shapes.

bằng cách nhận ra mối quan hệ giữa các hình khối.

No heavy calculations are needed.

Không cần những phép tính nặng nề.

Brilliant's Vector courses will enhance your ability to visualize

Các khóa học Vector của Brilliant sẽ nâng cao khả năng hình dung

and solve complex problems in multidimensional spaces.

và giải quyết các vấn đề phức tạp trong không gian đa chiều của bạn.

Brilliant has something for everyone.

Brilliant có mọi thứ dành cho tất cả mọi người.

If you're interested in coding,

Nếu bạn quan tâm đến lập trình,

you can get familiar with Python

bạn có thể làm quen với Python

and start building programs on day one

và bắt đầu xây dựng các chương trình ngay từ ngày đầu tiên

with a built-in drag-and-drop editor.

với trình chỉnh sửa kéo và thả được tích hợp sẵn.

You can try Brilliant for free for 30 days

Bạn có thể dùng thử miễn phí Brilliant trong 30 ngày

by signing up with my custom link in the description.

bằng cách đăng ký với liên kết tùy chỉnh của tôi trong phần mô tả.

brilliant.org/newsthink

brilliant.org/newsthink

or scan the QR code on your screen.

hoặc quét mã QR trên màn hình của bạn.

By signing up with my link or code,

Bằng cách đăng ký qua liên kết hoặc mã của tôi,

you'll also get 20% off your annual premium subscription,

bạn cũng sẽ được giảm giá 20% cho gói đăng ký trả phí cao cấp hàng năm,

giving you access to thousands of courses.

cấp cho bạn quyền truy cập vào hàng nghìn khóa học.

Thanks for watching.

Cảm ơn các bạn đã theo dõi.

For Newsthink, I'm Cindy Pom.

Đối với Newsthink, tôi là Cindy Pom.