Các phép biến đổi tuyến tính ba chiều | Chương 5, Bản chất của đại số tuyến tính: tài liệu học tiếng Anh

Hey folks, I've got a relatively quick video for you today,

Chào mọi người, hôm nay tôi có một video khá ngắn dành cho các bạn,

just sort of a footnote between chapters. Ghi chú

chỉ như một kiểu chú thích giữa các chương.

In the last two videos, I talked about linear transformations and matrices,

Trong hai video trước, tôi đã nói về phép biến đổi tuyến tính và ma trận,

but I only showed the specific case of transformations

nhưng tôi chỉ mới cho thấy trường hợp cụ thể của các phép biến đổi

that take two-dimensional vectors to other two-dimensional vectors.

đưa các vector hai chiều sang các vector hai chiều khác.

In general throughout this series, we'll work mainly in two dimensions,

Nhìn chung trong suốt loạt video này, chúng ta sẽ làm việc chủ yếu trong không gian hai chiều,

mostly because it's easier to actually see on the screen and wrap your mind around. Thành ngữ

chủ yếu vì nó dễ nhìn thấy hơn trên màn hình và dễ hình dung hơn.

But more importantly than that, Mạch ý

Nhưng quan trọng hơn thế,

once you get all the core ideas in two dimensions,

một khi bạn đã nắm được tất cả các ý tưởng cốt lõi trong không gian hai chiều,

they carry over pretty seamlessly to higher dimensions. Cụm động từ

chúng sẽ được áp dụng khá trơn tru sang các chiều không gian cao hơn.

Nevertheless, it's good to peek our heads outside of flatland now and then Ghi chú

Tuy nhiên, thỉnh thoảng chúng ta cũng nên ngó ra khỏi thế giới phẳng này

to, you know, see what it means to apply these ideas

để, bạn biết đấy, xem việc áp dụng những ý tưởng này có ý nghĩa gì

in more than just those two dimensions. Ngữ pháp

trong không gian lớn hơn hai chiều đó.

For example, consider a linear transformation

Ví dụ, hãy xem xét một phép biến đổi tuyến tính

with three-dimensional vectors as inputs

với các vector ba chiều là đầu vào

and three-dimensional vectors as outputs.

và các vector ba chiều là đầu ra.

We can visualize this by smooshing around all the points in three-dimensional space Cách dùng từ

Chúng ta có thể hình dung điều này bằng cách nhào nặn tất cả các điểm trong không gian ba chiều

as represented by a grid in such a way that keeps the grid lines parallel and evenly spaced Ngữ pháp

được biểu diễn bằng một mạng lưới sao cho các đường lưới vẫn song song và cách đều nhau

and which fixes the origin in place. Cách dùng từ

đồng thời giữ cố định gốc tọa độ.

And just as with two dimensions,

Và cũng giống như với không gian hai chiều,

every point of space that we see moving around is really just a proxy for a vector Cách dùng từ

mỗi điểm trong không gian mà chúng ta thấy đang di chuyển thực ra chỉ là đại diện cho một vector

who has its tip at that point

có mũi tên nằm tại điểm đó

and what we're really doing is thinking about input vectors moving over to their corresponding outputs. Mạch ý

và những gì chúng ta thực sự đang làm là tưởng tượng các vector đầu vào di chuyển đến các vector đầu ra tương ứng của chúng.

And just as with two dimensions,

Và cũng giống như không gian hai chiều,

one of these transformations is completely described by where the basis vectors go. Cụm từ

một trong những phép biến đổi này được mô tả hoàn toàn bằng việc các vector cơ sở đi đến đâu.

But now, there are three standard basis vectors that we typically use.

Nhưng bây giờ, có ba vector cơ sở tiêu chuẩn mà chúng ta thường sử dụng.

The unit vector in the x direction, i-hat,

Vector đơn vị theo hướng x, i-hat,

the unit vector in the y direction, j-hat,

vector đơn vị theo hướng y, j-hat,

and a new guy, Cách dùng từ

và một thành viên mới,

the unit vector in the z direction, called k-hat.

vector đơn vị theo hướng z, được gọi là k-hat.

In fact, I think it's easier to think about these transformations by only following those basis vectors

Thực tế, tôi nghĩ sẽ dễ dàng hơn để hình dung những phép biến đổi này bằng cách chỉ theo dõi các vector cơ sở đó

since the full 3D grid representing all points can get kind of messy.

vì mạng lưới 3D đầy đủ biểu diễn tất cả các điểm có thể trở nên khá rối rắm.

By leaving a copy of the original axes in the background, Ngữ pháp

Bằng cách để lại một bản sao của các trục ban đầu ở chế độ nền,

we can think about the coordinates of where each of these three basis vectors lands. Cách dùng từ

chúng ta có thể hình dung được tọa độ nơi mỗi vector trong ba vector cơ sở này hạ cánh.

Record the coordinates of these three vectors as the columns of a 3x3 matrix.

Ghi lại tọa độ của ba vector này thành các cột của một ma trận 3x3.

This gives a matrix that completely describes the transformation using only nine numbers.

Điều này tạo ra một ma trận mô tả hoàn toàn phép biến đổi chỉ bằng chín con số.

As a simple example,

Lấy một ví dụ đơn giản,

consider the transformation that rotates space 90 degrees around the y-axis.

hãy xem xét phép biến đổi xoay không gian 90 độ quanh trục y.

So that would mean that it takes i-hat to the coordinates 0 0 -1 on the z-axis. Cách dùng từ

Nghĩa là nó đưa i-hat đến tọa độ 0 0 -1 trên trục z.

It doesn't move j-hat,

Nó không làm j-hat dịch chuyển,

so it stays at the coordinates 0 1 0,

nên nó vẫn ở tọa độ 0 1 0,

and then k-hat moves over to the x-axis at 1 0 0.

và sau đó k-hat di chuyển đến trục x tại 1 0 0.

Those three sets of coordinates become the columns of a matrix that describes that rotation transformation.

Ba tập hợp tọa độ này trở thành các cột của một ma trận mô tả phép biến đổi xoay đó.

To see where a vector with coordinates x y z lands,

Để xem một vector có tọa độ x y z hạ cánh ở đâu,

the reasoning is almost identical to what it was for two dimensions. Cụm từ

cách suy luận gần như giống hệt với không gian hai chiều.

Each of those coordinates can be thought of as instructions for how to scale each basis vector Ghi chú

Mỗi tọa độ đó có thể được coi là các chỉ dẫn về cách thu phóng mỗi vector cơ sở

so that they add together to get your vector.

để chúng cộng lại tạo ra vector của bạn.

And the important part, just like the 2D case, Mạch ý

Và phần quan trọng, giống như trường hợp 2D,

is that this scaling and adding process works both before and after the transformation. Ngữ pháp

là quá trình thu phóng và cộng này đều áp dụng được cả trước và sau phép biến đổi.

So to see where your vector lands,

Vì vậy, để xem vector của bạn hạ cánh ở đâu,

you multiply those coordinates by the corresponding columns of the matrix Cụm từ

bạn nhân các tọa độ đó với các cột tương ứng của ma trận

and then you add together the three results.

rồi sau đó cộng ba kết quả lại với nhau.

Multiplying two matrices is also similar.

Nhân hai ma trận cũng tương tự.

Whenever you see two 3x3 matrices getting multiplied together, Ngữ pháp

Bất cứ khi nào bạn thấy hai ma trận 3x3 nhân với nhau,

you should imagine first applying the transformation encoded by the right one, Cách dùng từ

bạn nên tưởng tượng đầu tiên là áp dụng phép biến đổi được mã hóa bởi ma trận bên phải,

then applying the transformation encoded by the left one.

sau đó áp dụng phép biến đổi được mã hóa bởi ma trận bên trái.

It turns out that 3D matrix multiplication is actually pretty important for fields like computer graphics and robotics Mạch ý

Hóa ra phép nhân ma trận 3D thực sự khá quan trọng đối với các lĩnh vực như đồ họa máy tính và chế tạo robot,

since things like rotations in three dimensions can be pretty hard to describe,

vì những thứ như phép xoay trong không gian ba chiều có thể khá khó để mô tả,

but they're easier to wrap your mind around if you can break them down Cụm động từ

nhưng chúng sẽ dễ hình dung hơn nếu bạn có thể chia nhỏ chúng ra

as the composition of separate, easier to think about rotations. Cách dùng từ

thành sự kết hợp của các phép xoay riêng biệt, dễ nghĩ đến hơn.

Performing this matrix multiplication numerically is, once again,

Thực hiện phép nhân ma trận này bằng số, một lần nữa,

pretty similar to the two-dimensional case.

khá tương tự như trường hợp hai chiều.

In fact, a good way to test your understanding of the last video Ngữ pháp

Thực tế, một cách hay để kiểm tra mức độ hiểu của bạn về video trước

would be to try to reason through what specifically this matrix multiplication should look like, Cụm động từ

là hãy thử suy luận xem cụ thể phép nhân ma trận này trông như thế nào,

thinking closely about how it relates to the idea of applying two successive transformations in space.

suy nghĩ kỹ về việc nó liên quan như thế nào đến ý tưởng áp dụng hai phép biến đổi liên tiếp trong không gian.

In the next video,

Trong video tiếp theo,

I'll start getting into the determinant. Cụm động từ

tôi sẽ bắt đầu đi vào phần định thức.