e^(iπ) trong 3.14 phút, sử dụng động lực học | DE5: tài liệu học tiếng Anh

One way to think about the function e to the t is to ask what properties does it have? Mạch ý

Một cách để nghĩ về hàm e mũ t là đặt câu hỏi nó có những tính chất gì?

Probably the most important one,

Có lẽ tính chất quan trọng nhất,

and from some points of view the defining property, Ý định

và từ một số góc độ, đây là tính chất định nghĩa,

is that it is its own derivative. Ngữ pháp

là đạo hàm của nó bằng chính nó.

Together with the added condition that inputting zero returns one, Cách dùng từ

Kết hợp với điều kiện bổ sung là khi đầu vào bằng không thì trả về một,

it's actually the only function with this property.

đây thực sự là hàm duy nhất có tính chất này.

And you can illustrate what this means with a physical model. Cụm từ

Và bạn có thể minh họa điều này có nghĩa là gì bằng một mô hình vật lý.

If e to the t describes your position on a number line as a function of time, Cách dùng từ

Nếu e mũ t mô tả vị trí của bạn trên trục số như một hàm của thời gian,

then you start at the number one,

thì bạn bắt đầu ở số một,

and what this equation is saying is that your velocity, Ngữ pháp

và phương trình này đang nói là vận tốc của bạn,

the derivative of position,

tức là đạo hàm của vị trí,

is always equal to that position.

luôn bằng với vị trí đó.

The farther away from zero you are, Ngữ pháp

Bạn càng ở xa điểm không,

the faster you move.

bạn di chuyển càng nhanh.

So even before knowing how to compute e to the t exactly, Ngữ pháp

Vì vậy, ngay cả trước khi biết cách tính chính xác e mũ t,

going from a specific time to a specific position,

từ một thời điểm cụ thể để tìm ra một vị trí cụ thể,

this ability to associate each position with a velocity Cụm từ

khả năng liên kết mỗi vị trí với một vận tốc này

paints a very strong intuitive picture of how the function must grow. Thành ngữ

vẽ ra một bức tranh trực giác rất mạnh mẽ về cách hàm số này phải tăng trưởng.

You know that you'll be accelerating,

Bạn biết rằng bạn sẽ tăng tốc,

and at an accelerating rate, Cụm từ

và với một tỷ lệ ngày càng tăng,

with an all-around feeling of things getting out of hand quickly. Thành ngữ

với một cảm giác chung là mọi thứ nhanh chóng vượt khỏi tầm kiểm soát.

And if you add a constant to that exponent,

Và nếu bạn thêm một hằng số vào số mũ đó,

like e to the 2 times t,

như e mũ 2 lần t,

the chain rule tells us that the derivative is now 2 times itself.

quy tắc chuỗi cho chúng ta biết rằng đạo hàm lúc này gấp 2 lần chính nó.

So at every point on the number line,

Vì vậy ở mọi điểm trên trục số,

rather than attaching a vector corresponding to the number itself, Ngữ pháp

thay vì gắn một vectơ tương ứng với bản thân con số đó,

first double the magnitude of the position,

trước tiên hãy nhân đôi độ lớn của vị trí,

then attach it.

sau đó mới gắn nó.

Moving so that your position is always e to the 2t

Di chuyển sao cho vị trí của bạn luôn là e mũ 2t

is the same thing as moving in such a way Ngữ pháp

cũng giống như việc di chuyển theo cách

that your velocity is always twice your position.

mà vận tốc của bạn luôn gấp đôi vị trí của bạn.

The implication of that too

Hệ quả của điều đó là

is that our runaway growth feels all the more out of control. Cụm từ

sự tăng trưởng phi mã của chúng ta có cảm giác càng mất kiểm soát hơn.

If that constant was negative,

Nếu hằng số đó là số âm,

say negative 0.5,

giả sử là âm 0,5,

then your velocity vector is always negative 0.5 times your position vector,

thì vectơ vận tốc của bạn luôn bằng âm 0,5 lần vectơ vị trí của bạn,

meaning you flip it around 180 degrees

nghĩa là bạn lật nó quay 180 độ

and scale its length by a half. Cách dùng từ

và thu nhỏ chiều dài của nó đi một nửa.

Moving in such a way

Di chuyển theo cách

that your velocity always matches this flipped and squished copy of your position vector,

mà vận tốc của bạn luôn khớp với bản sao đã lật và thu nhỏ của vectơ vị trí,

you go the other direction,

bạn sẽ đi theo hướng ngược lại,

slowing down in an exponential decay towards zero. Cách dùng từ

chậm dần trong sự phân rã theo hàm mũ tiến về không.

But what about if that constant was i, Ý định

Nhưng sẽ thế nào nếu hằng số đó là i,

the square root of negative one?

căn bậc hai của âm một?

If your position was always e to the i t,

Nếu vị trí của bạn luôn là e mũ i lần t,

how would you move as the time t ticks forward?

bạn sẽ di chuyển như thế nào khi thời gian t trôi đi?

Well, now the derivative of your position will always be i times itself,

Chà, bây giờ đạo hàm của vị trí của bạn sẽ luôn là i lần chính nó,

and multiplying by i has the effect of rotating numbers 90 degrees. Cụm từ

và nhân với i có tác dụng quay các con số 90 độ.

So, as you might expect, Mạch ý

Vì vậy, như bạn có thể mong đợi,

things only make sense here if we start thinking beyond the number line Thành ngữ

mọi thứ chỉ có ý nghĩa ở đây nếu chúng ta bắt đầu suy nghĩ vượt ra ngoài trục số

and in the complex plane.

và trên mặt phẳng phức.

So, even before you know how to compute e to the i times t,

Vì vậy, ngay cả trước khi bạn biết cách tính e mũ i lần t,

you know that for any position this might give for some value of time,

bạn biết rằng với bất kỳ vị trí nào mà hàm này đưa ra tại một giá trị thời gian nào đó,

the velocity at that time will be a 90 degree rotation of that position.

vận tốc tại thời điểm đó sẽ là một phép quay 90 độ của vị trí đó.

Drawing this for all possible positions you might come across, Cụm động từ

Vẽ điều này cho mọi vị trí có thể có mà bạn gặp phải,

you get a vector field,

bạn sẽ có một trường vectơ,

where as usual with vector fields,

nơi mà như thường lệ với các trường vectơ,

you shrink things down to avoid clutter. Cụm động từ

bạn thu nhỏ mọi thứ lại để tránh rườm rà.

At time t equals zero,

Tại thời điểm t bằng không,

e to the i t will be one,

e mũ i t sẽ bằng một,

that's our initial condition,

đó là điều kiện ban đầu của chúng ta,

and there's only one trajectory starting from that position

và chỉ có một quỹ đạo duy nhất bắt đầu từ vị trí đó

where your velocity is always matching the vector that it's passing through,

nơi vận tốc của bạn luôn khớp với vectơ mà nó đi qua,

a 90 degree rotation of the position.

một phép quay 90 độ của vị trí.

It's when you go around a circle of radius one

Đó là khi bạn đi vòng quanh một đường tròn bán kính bằng một

at a speed of one unit per second. Cách dùng từ

với tốc độ một đơn vị mỗi giây.

So, after pi seconds,

Vì vậy, sau pi giây,

you've traced a distance of pi around.

bạn đã vẽ được một khoảng cách là pi vòng quanh.

So, e to the i times pi should be negative one. Ngữ pháp

Vậy nên, e mũ i lần pi phải bằng âm một.

After tau seconds,

Sau tau giây,

you've gone full circle.

bạn đã đi hết một vòng tròn.

E to the i times tau equals one.

E mũ i lần tau bằng một.

And more generally, Mạch ý

Và tổng quát hơn,

e to the i times t equals a number

e mũ i lần t bằng một con số

that's t radians around this unit circle in the complex plane.

nằm cách t radian trên đường tròn đơn vị này trong mặt phẳng phức.

Nevertheless, Mạch ý

Mặc dù vậy,

something might still feel immoral about putting an imaginary number up in that exponent. Thành ngữ

vẫn có thể có cảm giác gì đó sai sai khi đặt một số ảo vào phần số mũ đó.

And you would be right to question that. Ý định

Và bạn hoàn toàn có lý khi thắc mắc điều đó.

What we write as e to the t is a bit of a notational disaster, Thành ngữ

Cách chúng ta viết thành e mũ t hơi giống một thảm họa về ký hiệu,

giving the number e and the idea of repeated multiplication

đặt sự nhấn mạnh vào số e và ý tưởng về phép nhân lặp lại

way more emphasis than they deserve. Ngữ pháp

nhiều hơn mức mà chúng xứng đáng có được.

But my time is up, Thành ngữ

Nhưng thời gian của tôi đã hết,

so I'll spare you the full rant until the next video. Ý định

vì vậy tôi sẽ để dành phần phàn nàn đầy đủ cho đến video tiếp theo.