Ma trận không vuông như những phép biến đổi giữa các chiều không gian | Chương 8, Bản chất của đại số tuyến tính: tài liệu học tiếng Anh

Hey everyone,

Chào mọi người,

I've got another quick footnote for you between chapters today. Mạch ý

hôm nay tôi có một chú thích nhanh khác dành cho các bạn giữa các chương.

When I've talked about linear transformations so far,

Cho đến nay, khi nói về các phép biến đổi tuyến tính,

I've only really talked about transformations from 2D vectors to other 2D vectors

tôi chỉ thực sự nói về các phép biến đổi từ vectơ 2D sang các vectơ 2D khác

represented with 2x2 matrices

được biểu diễn bằng ma trận 2x2

or from 3D vectors to other 3D vectors

hoặc từ vectơ 3D sang các vectơ 3D khác

represented with 3x3 matrices.

được biểu diễn bằng ma trận 3x3.

But several commenters have asked about non-square matrices, Văn hóa

Nhưng một vài người bình luận đã hỏi về các ma trận không vuông,

so I thought I'd take a moment to just show what those mean geometrically. Ghi chú

nên tôi nghĩ mình sẽ dành một chút thời gian để chỉ ra ý nghĩa hình học của chúng.

By now in the series,

Đến thời điểm này trong loạt video,

you actually have most of the background you need to start pondering a question like this on your own, Cụm từ

các bạn thực ra đã có hầu hết các kiến thức nền tảng cần thiết để bắt đầu tự mình suy ngẫm về một câu hỏi như thế này,

but I'll start talking through it just to give a little mental momentum. Ghi chú

nhưng tôi sẽ bắt đầu nói về nó chỉ để tạo một chút động lực cho tư duy.

It's perfectly reasonable to talk about transformations between dimensions Cụm từ

Thật hoàn toàn hợp lý khi nói về các phép biến đổi giữa các chiều,

such as one that takes 2D vectors to 3D vectors.

chẳng hạn như phép biến đổi đưa vectơ 2D thành vectơ 3D.

Again, what makes one of these linear is that gridlines remain parallel and evenly spaced Ngữ pháp

Một lần nữa, điều làm cho một phép biến đổi trở nên tuyến tính là các đường lưới vẫn song song và cách đều nhau,

and that the origin maps to the origin. Cách dùng từ

và gốc tọa độ ánh xạ về gốc tọa độ.

What I have pictured here is the input space on the left, Ghi chú

Những gì tôi đã minh họa ở đây là không gian đầu vào ở bên trái,

which is just 2D space,

chỉ là không gian 2D,

and the output of the transformation shown on the right.

và đầu ra của phép biến đổi hiển thị ở bên phải.

The reason I'm not showing the inputs move over to the outputs like I usually do Ngữ pháp

Lý do tôi không cho thấy các đầu vào di chuyển sang các đầu ra như tôi thường làm

is not just animation laziness.

không chỉ vì lười làm hoạt ảnh.

It's worth emphasizing that 2D vector inputs are very different animals from these 3D vector outputs Ghi chú

Điều đáng nhấn mạnh là các đầu vào vectơ 2D là những thực thể rất khác so với những đầu ra vectơ 3D này,

living in a completely separate unconnected space.

chúng sống trong một không gian hoàn toàn tách biệt và không kết nối.

Encoding one of these transformations with a matrix is really just the same thing as what we've done before. Cụm từ

Việc mã hóa một trong những phép biến đổi này bằng một ma trận thực sự giống hệt những gì chúng ta đã làm trước đây.

You look at where each basis vector lands Ghi chú

Bạn nhìn xem mỗi vectơ cơ sở đáp xuống đâu

and write the coordinates of the landing spots as the columns of a matrix. Cụm từ

và viết tọa độ của các điểm đáp dưới dạng các cột của một ma trận.

For example, what you're looking at here is an output of a transformation that takes i-hat

Ví dụ, những gì bạn đang nhìn thấy ở đây là đầu ra của một phép biến đổi đưa i-mũ

to the coordinates 2 -1 -2

đến tọa độ 2 -1 -2

and j-hat to the coordinates 0 1 1.

và j-mũ đến tọa độ 0 1 1.

Notice, this means the matrix encoding our transformation has three rows and two columns, Mạch ý

Lưu ý, điều này có nghĩa là ma trận mã hóa phép biến đổi của chúng ta có ba hàng và hai cột,

which, to use standard terminology, makes it a 3x2 matrix. Ghi chú

theo thuật ngữ chuẩn, làm cho nó trở thành một ma trận 3x2.

In the language of last video, Mạch ý

Theo ngôn ngữ của video trước,

the column space of this matrix, the place where all the vectors land, Văn hóa

không gian cột của ma trận này, nơi mà tất cả các vectơ đáp xuống,

is a 2D plane slicing through the origin of 3D space. Cách dùng từ

là một mặt phẳng 2D cắt qua gốc tọa độ của không gian 3D.

But the matrix is still full rank since the number of dimensions in this column space Văn hóa

Nhưng ma trận vẫn có hạng tối đa vì số chiều trong không gian cột này

is the same as the number of dimensions of the input space.

bằng với số chiều của không gian đầu vào.

So, if you see a 3x2 matrix out in the wild, Ghi chú

Vì vậy, nếu bạn vô tình thấy một ma trận 3x2,

you can know that it has the geometric interpretation of mapping two dimensions to three dimensions.

bạn có thể biết rằng nó có ý nghĩa hình học là ánh xạ hai chiều sang ba chiều.

Since the two columns indicate that the input space has two basis vectors

Vì hai cột chỉ ra rằng không gian đầu vào có hai vectơ cơ sở

and the three rows indicate that the landing spots for each of those basis vectors

và ba hàng chỉ ra rằng điểm đáp cho mỗi vectơ cơ sở đó

is described with three separate coordinates.

được mô tả bằng ba tọa độ riêng biệt.

Likewise, if you see a 2x3 matrix with two rows and three columns,

Tương tự, nếu bạn thấy một ma trận 2x3 có hai hàng và ba cột,

what do you think that means?

bạn nghĩ điều đó có nghĩa là gì?

Well, the three columns indicate that you're starting in a space that has three basis vectors,

Chà, ba cột chỉ ra rằng bạn đang bắt đầu trong một không gian có ba vectơ cơ sở,

so we're starting in three dimensions.

nên chúng ta đang bắt đầu trong không gian ba chiều.

And the two rows indicate that the landing spot for each of those three basis vectors

Và hai hàng chỉ ra rằng điểm đáp cho mỗi vectơ cơ sở trong số ba vectơ đó

is described with only two coordinates,

chỉ được mô tả bằng hai tọa độ,

so they must be landing in two dimensions. Ngữ pháp

nên chúng chắc chắn sẽ đáp xuống không gian hai chiều.

So, it's a transformation from 3D space onto the 2D plane. Văn hóa

Vì vậy, đó là một phép biến đổi từ không gian 3D sang mặt phẳng 2D.

A transformation that should feel very uncomfortable if you imagine going through it. Thành ngữ

Một phép biến đổi mà bạn sẽ cảm thấy rất không thoải mái nếu tưởng tượng mình phải đi qua nó.

You could also have a transformation from two dimensions to one dimension.

Bạn cũng có thể có một phép biến đổi từ hai chiều sang một chiều.

One-dimensional space is really just the number line, Văn hóa

Không gian một chiều thực sự chỉ là trục số,

so a transformation like this takes in 2D vectors and spits out numbers. Cụm động từ

nên một phép biến đổi như thế này nhận vào các vectơ 2D và nhả ra các con số.

Thinking about grid lines remaining parallel and evenly spaced is a little bit messy due to all of the squishification happening here. Cách dùng từ

Việc nghĩ về các đường lưới giữ nguyên sự song song và cách đều nhau hơi lộn xộn một chút do sự đè bẹp đang xảy ra ở đây.

So, in this case,

Vì vậy, trong trường hợp này,

the visual understanding for what linearity means is that if you have a line of evenly spaced dots, Ngữ pháp

cách hiểu trực quan về ý nghĩa của tính tuyến tính là nếu bạn có một đường gồm các điểm cách đều nhau,

it would remain evenly spaced once they're mapped onto the number line.

chúng sẽ vẫn cách đều nhau sau khi được ánh xạ lên trục số.

One of these transformations is encoded with a 1x2 matrix,

Một trong những phép biến đổi này được mã hóa bằng ma trận 1x2,

each of whose two columns has just a single entry. Ghi chú

mà mỗi cột trong số hai cột của nó chỉ có một mục duy nhất.

The two columns represent where the basis vectors land,

Hai cột đại diện cho nơi các vectơ cơ sở đáp xuống,

and each one of those columns requires just one number,

và mỗi cột trong số đó chỉ cần một con số,

the number that that basis vector landed on.

con số mà vectơ cơ sở đó đã đáp xuống.

This is actually a surprisingly meaningful type of transformation with close ties to the dot product, Cụm từ

Đây thực sự là một loại phép biến đổi có ý nghĩa đáng ngạc nhiên với mối liên hệ mật thiết với tích vô hướng,

and I'll be talking about that next video.

và tôi sẽ nói về điều đó trong video tiếp theo.

Until then, I encourage you to play around with this idea on your own, Ghi chú

Cho đến lúc đó, tôi khuyến khích các bạn tự mình mày mò với ý tưởng này,

contemplating the meanings of things like matrix multiplication and linear systems of equations

suy ngẫm về ý nghĩa của những thứ như phép nhân ma trận và hệ phương trình tuyến tính

in the context of transformations between different dimensions. Cụm từ

trong bối cảnh của các phép biến đổi giữa các chiều khác nhau.

Have fun.

Chúc vui vẻ.