什么是芝诺的二分法悖论? - 科尔姆·凯莱赫:英语精读讲义

TED-Ed

学习难度
682 词 198 词/分

视频简介:芝诺二分法悖论把一段路程不断拆成越来越小的无限多个阶段,看似由此证明运动不可能。视频将一英里的步行建模为无穷级数,再用反复切分的正方形作直观对照,说明这些阶段的总耗时为何仍是一个小时。 主要英语知识点: 1. paradoxes, arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory. — 词汇含义与语域:结合上下文理解 paradox 的完整定义,不把它简单当作令人困惑的说法,而是识别其“论证看似合乎逻辑,结论却荒谬或自相矛盾”的含义;同时看懂同位语如何面向普通受众解释专业术语。 2. turn the story into a math problem. — 固定表达与搭配:掌握 turn X into Y 表示把叙事或现实情境转换成形式化模型,并理解这一表达在本片中如何标志讲解从芝诺的故事转入数学计算。 3. sum to a finite answer, — 词汇含义与语域:识别 sum to 在数学语境中表示“级数合计为某个值”的动词用法,并能用它表述一个反直觉结果:无穷多个正项仍可能得到有限的总值。

本篇讲解

This is Zeno of Elea, 文化背景

0:00

这是埃利亚的芝诺,

文化背景

Zeno of Elea:用地点标识人物

Zeno 是人名,of Elea 通过他与古希腊城市 Elea 的联系来标识这个人。在本句中,整个称呼表示“来自 Elea 的 Zeno”;Elea 不是现代意义上的姓。 历史类文本常用 Name + of + Place 来定位人物或区分同名人物。除非上下文表明其他关系,否则可以把 of + 地点理解为地域标记。

练习

在历史人物称呼 Zeno of Elea 中,of Elea 起什么作用?

  1. 它说明 Elea 是 Zeno 的姓。
  2. 它用 Zeno 来自的地点标识这个人。
  3. 它表示 Zeno 拥有 Elea 这座城市。
查看答案

它用 Zeno 来自的地点标识这个人。

an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, 講解

0:17

一位古希腊哲学家,因提出多个悖论而闻名,

語法

famous for inventing:说明因何出名

在 famous for inventing 中,for 引出 Zeno 出名的原因。for 是介词,后面的 inventing 要用 -ing 形式,所以这个短语表示“因为发明了某物而广为人知”,而不是“为了发明”。 可复用的结构是 be famous for + 名词或 -ing 形式:地点可以因食物而闻名,人可以因做某事而闻名。

练习

用 famous for + -ing 结构完成句子:The engineer is ____ a low-cost water filter.

查看答案

famous for inventing

短語搭配

a number of:若干、许多

在 a number of paradoxes 中,a number of 是表示数量的词组,意思是“若干”或“许多”,后面接可数名词复数 paradoxes。 要把 a number of 当作一个整体理解。这里的 number 不是“数字”,也不是指事物的总数。

练习

用 a number of 完成句子:We received ____ useful suggestions.

查看答案

a number of

arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory.

0:21

悖论是指那些看似符合逻辑,但结论却荒谬或自相矛盾的论点。

用詞

paradoxes, arguments that...:用同位语给出定义

名词短语 arguments that seem logical but whose conclusion is absurd or contradictory 与 paradoxes 构成同位关系。它放在逗号后面,是对 paradoxes 的重新说明和定义,并没有引出另一组不相关的 arguments。 这里的 arguments 指“论证、推理”,不是人与人之间的争吵。前后两部分形成关键张力:推理看起来合乎逻辑,结论却荒谬或相互矛盾。

练习

这句话中,逗号后的名词短语起什么作用?

  1. 它声称所有合乎逻辑的论证都会得出荒谬的结论。
  2. 它把 paradoxes 定义为看似合乎逻辑、但结论荒谬或相互矛盾的论证。
  3. 它把 arguments 作为与 paradoxes 无关的另一个话题引出来。
查看答案

它把 paradoxes 定义为看似合乎逻辑、但结论荒谬或相互矛盾的论证。

For more than 2,000 years,

0:25

两千多年来,

Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. 講解

0:27

芝诺那些令人费解的谜题启发了数学家和哲学家,使他们更好地理解无穷的本质。

習語

mind-bending riddles:挑战思维的谜题

mind-bending 是一个生动的比喻性形容词,表示某事极难理解、非常奇特或令人惊讶。它不是说大脑真的发生了弯曲。 这里它修饰 riddles,把芝诺的问题描述成挑战常规思维的谜题。mind-bending + 名词可以形容让人重新思考什么才算可能或合乎逻辑的事物。

练习

这里的 mind-bending riddles 是什么意思?

  1. 非常简单、几乎不用思考的谜题
  2. 会让大脑真的改变形状的谜题
  3. 极难理解或令人惊讶、需要深入思考的谜题
查看答案

极难理解或令人惊讶、需要深入思考的谜题

語法

have inspired ... to better understand:现在仍持续的影响与 inspire + 宾语 + to 结构

inspire someone to do something 表示给某人或某个群体动力或新想法,使其采取行动。本句中,mathematicians and philosophers 是受到影响的人,to better understand 说明他们受到启发后去做的事,而不是芝诺本人的目的。 have inspired 是现在完成时,把谜题过去产生的影响与这种影响至今仍然重要联系起来。better 修饰 understand,表示“理解得更充分”或“理解得更清楚”。

练习

用 inspire 的现在完成时补全句子:These discoveries ____ young scientists to explore the ocean.

查看答案

have inspired

短語搭配

the nature of infinity:nature 表示“本质”

the nature of + 名词表示某个事物的基本性质或本质。这里的 the nature of infinity 指“无限从根本上是什么、具有什么规律”;nature 不是“自然界”的意思。 这个结构常见于说明性或学术性语言,用来讨论概念、问题或现象。

练习

在句子 "The course explores the nature of memory," 中,the nature of memory 是什么意思?

  1. 自然界中用来记忆的地方
  2. 关于自然界的记忆
  3. 记忆的基本性质
查看答案

记忆的基本性质

One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, 語法

0:33

芝诺最著名的难题之一叫作“二分法悖论”,

語法

One of the best known:群体中著名的一个

One of the best known 表示从一个较大的群体中选出广为人知的一个成员。在本句中,of Zeno's problems 给出了这个群体,best known 后面省略了可以推断出的 problems。这个短语表示“芝诺最著名的问题之一”,而不是“唯一最著名的问题”。 这个框架常用来介绍一个有代表性的、排名靠前的群体成员。

练习

哪句话正确使用了 one of the best-known + 复数名词这一结构?

  1. One of the best-known museums in Paris is the Louvre.
  2. One of the best-known museum in Paris is the Louvre.
  3. One of the best-known museums in Paris are the Louvre.
查看答案

One of the best-known museums in Paris is the Louvre.

語法

is called the dichotomy paradox:为概念命名

这里,is called the dichotomy paradox 的意思是“名称是二分悖论”。is called 是 call 的被动形式:主语是被命名的问题,而命名者或使用这个名称的人没有说出来。 be called + 名称是介绍术语、把概念与其公认名称对应起来的常用结构。在这里,called 表示“命名、称为”,不是“打电话联系”。

练习

用 be called 的一般现在时被动命名结构补全句子:This visual effect ____ the wagon-wheel effect.

查看答案

is called

which means the paradox of cutting in two in ancient Greek. 表達脈絡

0:37

在古希腊语中意为“一分为二的悖论”。

表達脈絡

which means ...:添加补充解释

这里,which 指回前面的名称 the dichotomy paradox。非限定性关系从句 which means ... 补充说明这个名称的含义,也就是“一分为二的悖论”。它不是在开启另一个话题。 这个结构按“先给名称,再快速解释”的顺序组织信息。which 前的逗号表示这段解释是附加在前面术语或意思上的补充信息。

练习

在例句中,which means ... 起什么作用?

  1. 它告诉我们是谁发明了这个术语。
  2. 它简要解释前面的术语。
  3. 它开始了一个无关的新话题。
查看答案

它简要解释前面的术语。

It goes something like this. 表達脈絡

0:41

它的基本内容是这样的。

表達脈絡

It goes something like this:引出大致版本

It goes something like this 的意思是“下面大致就是这样讲、这样说或这样解释的”。这里的 goes 表示故事、解释或步骤如何展开,不是“走路”。 这句话起转场作用:它把内容从一般概念带到简化的例子或转述。something like this 提醒听者,接下来呈现的是大致框架,不一定是原话或全部细节。

练习

用一个四词表达完成句子,该表达用于引出大致版本:I cannot remember the exact announcement, but it ____: 'The museum will close at six.'

查看答案

goes something like this

After a long day of sitting around thinking, 短語動詞

0:43

坐着思考了一整天后,

短語動詞

sitting around:闲坐着,没怎么行动

在 sitting around 中,around 增加了“一直待在一个地方,没有多少有目的活动”的意思。它表示“闲坐着”或“坐着消磨时间”,不是围成一圈坐,也不是绕着某物移动。 thinking 是 -ing 形式,说明这段时间里同时发生的事。这个人确实在思考,所以短语并非表示真的什么也没做;不过 sitting around 仍让整个场景带有轻松或略显无所作为的语气。

练习

在句子 After lunch, we sat around talking for an hour 中,sat around 表达了什么?

  1. 我们围着另一个物体坐成一圈。
  2. 我们从站着变成坐下,然后马上离开了。
  3. 我们一边聊天,一边以放松、没怎么活动的状态坐着待了一小时。
查看答案

我们一边聊天,一边以放松、没怎么活动的状态坐着待了一小时。

Zeno decides to walk from his house to the park.

0:46

芝诺决定从家里走到公园。

The fresh air clears his mind and helps him think better. 習語

0:48

新鲜空气能让他头脑清醒,有助于他更好地思考。

習語

clears his mind:让思路更清楚

clears his mind 表示某件事让他的思绪不再那么拥挤或混乱,使他能更平静、更清楚地思考。本句中,新鲜空气带来了这种心理状态的变化。 mind 指他的思绪和精神状态。这里没有真的在“清理”大脑,也不表示他的记忆被抹掉。

练习

“A quiet walk clears Ben's mind”是什么意思?

  1. 这帮助 Ben 思考得更清楚。
  2. 这真的清洗了 Ben 的大脑。
  3. 这让 Ben 忘掉了他知道的一切。
查看答案

这帮助 Ben 思考得更清楚。

In order to get to the park, 語法

0:51

为了到达公园,

he first has to get halfway to the park. 語法

0:53

他首先必须走到去公园一半的路程处。

語法

In order to + 动词原形:说明目的

In order to 用来引出目的或目标,后面接动词原形。本句中,in order to get to the park 说明目标是到达公园,而走到半路是实现该目标的一个步骤。 这个目的短语并不表示目标已经实现。它说明主句中的动作或要求为什么重要。

练习

使用本课目标短语补全句子:Ava wore a helmet ____ protect her head.

查看答案

in order to

語法

first has to get halfway:第一个必要步骤

这个短语标出了推理中第一个必不可少的步骤。first 把这一步放在后续步骤之前,has to 表示必要性,get halfway 表示到达通往目的地的半程位置。 这里的 has to 并不是说另一个人下了命令。路线本身决定了在到达公园之前,一定会先经过半程位置。

练习

在这句话中,he first has to get halfway 表达了什么?

  1. 另一个人命令他只能走到一半。
  2. 他已经走完了全程。
  3. 到达半程位置是第一个必要步骤。
查看答案

到达半程位置是第一个必要步骤。

This portion of his journey takes some finite amount of time. 用詞

0:55

这部分路程需要花费有限的时间。

用詞

finite amount of time:有界限,但不一定很短

a finite amount of time 指一段有界限的时间:它不会永远持续下去。finite 说明持续时间是否有限,而不是说明它是否显得很短。 在这句话中,旅程的每一段都需要一段有界限的时间。这个说法构成了逻辑上的对比:一段路所需的时间是有限的,但路段的数量可能被设想为无限多。

练习

下面哪一项最准确地解释了 a finite amount of time?

  1. 它一定只持续几秒钟。
  2. 它会没有界限地永远持续。
  3. 它有界限,但不一定很短。
查看答案

它有界限,但不一定很短。

Once he gets to the halfway point,

0:58

一旦他到达中点,

he needs to walk half the remaining distance. 短語搭配

1:00

他需要走完剩下距离的一半。

短語搭配

half the remaining distance:剩余部分的一半

half the remaining distance 表示“当时仍然剩下的距离的一半”。remaining 确定了计算基准,所以它不是指原始总距离的一半。 可迁移的结构是 half the remaining + 名词:先确定还剩多少,再取这个剩余量的一半。

练习

一条步道全长 12 千米。Mia 已经走了 8 千米。这里的 half the remaining distance 是什么意思?

  1. 4 千米,也就是全部剩余距离。
  2. 2 千米,也就是剩余 4 千米的一半。
  3. 6 千米,也就是整条步道的一半。
查看答案

2 千米,也就是剩余 4 千米的一半。

Again, this takes a finite amount of time.

1:03

同样,这也需要花费有限的时间。

Once he gets there,

1:05

一旦他到达那里,

he still needs to walk half the distance that's left,

1:07

他仍然需要走完剩余距离的一半,

which takes another finite amount of time.

1:09

这又需要花费一段有限的时间。

This happens again and again and again. 表達脈絡

1:12

这种过程一次又一次地发生。

表達脈絡

again and again and again:强调不断重复

again and again 本身就表示“反复地”。再加一个 and again,会故意拉长表达,让重复显得更强烈,甚至像是没完没了;它通常不表示恰好发生三次。 在这句话中,这个重复短语把许多次发生概括成一个持续的模式。它告诉听者,同一个过程不断重新开始,而不是在介绍三件彼此分开的事。

练习

判断关于下面句子的说法:The screen froze again and again and again. 这个短语表示屏幕恰好卡住了三次。

  1. 正确
  2. 错误
查看答案

错误

You can see that we can keep going like this forever, 講解

1:15

你可以看到我们可以永远这样进行下去,

表達脈絡

You can see that:引导听众得出结论

在这句话中,You can see that 用来引出听众根据前面的讲解能够理解的结论。这里的 see 表示“看出或明白”,不一定是“用眼睛看”。 这个句式把信息从前面的推理推进到后面的结论,从而组织讲解。它也在邀请听众把这个结论当作自己同样可以推导出来的内容。

练习

用本课短语完成句子,引导听众得出结论:From these results, ____ the new method is faster.

查看答案

you can see that

短語動詞

can keep going:活动或过程能够继续

Can keep going 表示“能够继续下去”。它的结构是 can + keep + 动词-ing:can 表示能力或可能性,keep 表示某个活动或过程持续进行。 在这句话中,going 不是指走路,而是指重复同一个推理过程;like this 说明方法保持不变,forever 则表示没有停止点。

练习

用表示“能够继续”的本课三词短语完成句子:The discussion is useful, so it ____ for ten more minutes.

查看答案

can keep going

dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, 語法

1:18

把剩下的任何距离分成越来越小的段,

語法

whatever distance is left:不论还剩多少距离

在本句中,whatever distance is left 表示“剩下的全部距离,不论具体还有多少”。whatever 引出一个自由关系结构,整个短语充当被分割的对象。 这里的 whatever 不是“无所谓”或“随便选”的意思。它让数量保持不确定,因为剩余距离可能会变化。

练习

在句子“Use whatever time is left to check your work.”中,whatever time is left 是什么意思?

  1. 已经用掉的时间
  2. 随便挑选的一段时间
  3. 剩下的全部时间,不论具体有多少
查看答案

剩下的全部时间,不论具体有多少

語法

smaller and smaller:越来越小

smaller and smaller 使用“比较级 + and + 同一个比较级”的结构,表示持续变化的趋势:每个阶段都比前一个阶段更小。 在本句中,这些部分的尺寸不断缩小。重复并不是在说两个彼此独立的事物。同样的结构也可用于 faster and faster 和 more and more difficult。

练习

用 smaller 组成重复比较级结构,补全句子:As the balloon lost air, it became ____.

查看答案

smaller and smaller

each of which takes some finite time to traverse. 講解

1:21

每一段都需要花费有限的时间来走完。

語法

each of which:补充说明其中每一项

each of which 表示“其中每一个”。which 回指前一个分句中提到的一组复数事物——这里是 smaller pieces;each 则逐个看待这组事物中的成员。 逗号后的 each of which takes... 引出非限定性关系从句,用来补充说明其中每一项。因为 each 按单数处理,动词也用单数:用 takes,不用 take。

练习

在句子“The plan has four steps, each of which is important.”中,each of which 指什么?

  1. 四个步骤中的每一个
  2. 只有最后一个步骤
  3. 整个计划
查看答案

四个步骤中的每一个

用詞

to traverse:走完或穿过整段路线或区域

在这句话中,to traverse 表示走完或穿过一整段距离、路径。这个不定式补充说明 takes some finite time:这些时间是完成每一小段移动所需要的。 traverse 是比较正式的动词,强调从一端到另一端完成整段穿越。它并不只是泛指旅行。

练习

一份手册写道:“The robot needs ten minutes to traverse the tunnel.”这里的 traverse 是什么意思?

  1. 在隧道附近旅行
  2. 不穿过隧道而测量它
  3. 从隧道的一端移动到另一端
查看答案

从隧道的一端移动到另一端

So, how long does it take Zeno to get to the park? 語法

1:25

那么,芝诺去公园到底需要多长时间呢?

語法

How long does it take ...?:询问需要多长时间

How long does it take + 人 + to + 动词? 用来询问某人完成一个动作需要多长时间。这里的 it 不指某样东西;它占据主语位置,而 Zeno to get to the park 说明被计时的人和动作。 这里用 does,是因为语法主语是 it。回答时可以用 It takes + 人 + 时长 + to + 动词,例如 It takes me ten minutes to get ready.

练习

补全使用 take 询问耗时的标准句型:____ you to walk to school?

查看答案

How long does it take

Well, to find out, we need to add the times of each of the pieces of the journey. 短語動詞

1:28

想要知道答案,我们需要把旅程每一小段的时间相加。

短語動詞

to find out:弄清未知答案

To find out 表示“为了了解或发现原本不知道的信息”。在本句中,把各段时间相加是得到答案的方法,所以 find out 不是指找到一个具体物体。 find out 后面的宾语没有说出来,因为上下文已经明确要回答哪个问题。开头的 to 表示目的:进行这项计算是为了弄清答案。

练习

补全表示“通过查询了解未知事实”的短语动词:To ____ what time the library closes, check its website.

查看答案

find out

The problem is, 表達脈絡

1:32

问题是,

there are infinitely many of these finite-sized pieces. 語法

1:33

这种有限大小的片段有无限多个。

表達脈絡

The problem is, ...:引出关键难点

The problem is, ... 会把听者的注意力转向讲解或论证中的主要难点。逗号后的分句说明难点究竟是什么;在本句中,难点是大小有限的部分却有无穷多个。 在口语和较口语化的讲解中,The problem is, + 分句很常见。更连贯完整的形式 The problem is that + 分句具有相同的信息组织作用:它把接下来的内容标记为真正重要的障碍、矛盾或限制。

练习

用以 The problem 开头、用于引出关键难点的三个词框架补全句子:____, the room is too small for the whole group.

查看答案

The problem is

語法

there are infinitely many:表示数量无限

There are infinitely many ... 是存在句,表示某类事物的数量不是有限的。infinitely 和 many 组成一个数量短语,并不只是“非常多”。后面既可以直接接复数可数名词,如 infinitely many points,也可以接 of + 已确定的群体,如 infinitely many of these pieces。 因为引出的事物是复数,所以用 are。本句中,每个部分的大小是有限的,但部分的数量是无限的;finite-sized 描述每个部分,infinitely many 描述有多少个部分。

练习

用包含 infinitely many、表示数量无限的四词存在句补全句子:A line has length, but ____ points on it.

查看答案

there are infinitely many

So, shouldn't the total time be infinity? 語氣意圖

1:36

那么,总时间难道不应该是无穷大吗?

語氣意圖

Shouldn't the total time be infinity?:引出预期结论

否定疑问句 shouldn't the total time be infinity? 由 should not 构成。这里相当于“按照目前的推理,难道预期的结果不应该是无限吗?”说话人把“无限”当作表面上合乎逻辑的答案,请听者思考或确认这个结论。 这种否定疑问句带有预期,并不是中立地询问未知信息。它没有证明结论正确,而是把该结论表述为看起来理应由前面的推理得出的结果。

练习

在 "Shouldn't the total time be infinity?" 中,这个否定疑问句在这里暗示什么?

  1. 说话人只是在中立提问,没有暗示任何预期答案。
  2. 说话人预期按照该推理会得出“无限”,并请听者思考这个结论。
  3. 说话人断定总时间肯定不是无限的。
查看答案

说话人预期按照该推理会得出“无限”,并请听者思考这个结论。

This argument, by the way, is completely general. 講解

1:40

顺便说一下,这个论点具有完全的普遍性。

表達脈絡

by the way:标记相关的补充信息

by the way 是话语标记,用来把一条信息放在讲解主线之外一点。两边的逗号表明它是插入语:去掉这个短语,句子在语法上仍然完整。 这里它并没有离开当前论证去谈不相关的话题。它把 is completely general 标记为有关该论证适用范围的补充说明,而不是推理的下一个主要步骤。

练习

在 "This argument, by the way, is completely general." 中,by the way 起什么作用?

  1. 它表示说话人在被打断后回到主要论证。
  2. 它把这项陈述标记为相关的补充信息,而不是下一个主要步骤。
  3. 它用不同的话重新表述前面的想法。
查看答案

它把这项陈述标记为相关的补充信息,而不是下一个主要步骤。

用詞

completely general:适用于所有相关情况

在数学和逻辑中,completely general 表示推理不依赖某一个特殊例子,而是适用于同类的所有相关情况。 这里的 general 是“普遍适用的”,不是“普通的”。这个短语说明结论可以从正在讨论的例子推广到其他同类情况。

练习

在数学讲解中,“This argument is completely general”是什么意思?

  1. 它适用于所有相关情况。
  2. 它不包含详细的推理。
  3. 它很普通,而且没什么意思。
查看答案

它适用于所有相关情况。

It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. 語法

1:42

它说明从任何地点前往任何其他地点都应该需要无限的时间。

語法

from any location to any other location:从任意地点到任意另一个地点

from any X to any other X 这个结构包含任意可能的起始 X 和任意另一个不同的终点 X。在本句中,它表示所有可能的不同地点组合。 other 很重要,因为它说明终点不是起点。这个结构还可以与 station、folder 或 node 等名词搭配使用。

练习

请用三个词补全 from any X to any other X 结构中的终点短语:This pass lets you travel from any station to ____.

查看答案

any other station

In other words, 表達脈絡

1:47

换句话说,

it says that all motion is impossible. 用詞

1:48

它意味着所有的运动都是不可能的。

表達脈絡

In other words:表示重述

In other words 表示说话人接下来会用更清楚、更简短或更直接的话重新表达前面的意思。 在本句中,它把前面的论证改写成一个直截了当的结论:这个论证等于在说运动不可能发生。它不是在引入新的理由。

练习

在 In other words 之后,通常应该期待哪种关系?

  1. 说明前面观点的一个具体例子
  2. 支持前面观点的另一个理由
  3. 对前面意思更清楚的重述
查看答案

对前面意思更清楚的重述

用詞

all motion is impossible:motion 表示一般意义上的运动

all motion is impossible 表达一个范围很广的逻辑结论:任何人或物体的移动都不可能发生。all 让这个判断涵盖所有运动,而不只是某一次步行或某个物体的移动。 motion 在这里是不可数的抽象名词,表示移动或位置变化。它不是手势,也不是会议中的正式动议。

练习

阅读这个句子:A strange theory claims that all motion is impossible. motion 是什么意思?

  1. 一个手势动作
  2. 会议中提出的一项动议
  3. 一般意义上的移动或位置变化
查看答案

一般意义上的移动或位置变化

This conclusion is clearly absurd, 用詞

1:51

这个结论显然是荒谬的,

but where is the flaw in the logic? 短語搭配

1:52

但是逻辑上的缺陷在哪里呢?

用詞

clearly absurd:对结论的强烈判断

clearly absurd 表示“显然不合理”或“因为违背逻辑或基本事实而明显无法接受”。absurd 的语气比 strange 强,不只是表示“不寻常”。 在本句中,这个短语先表明说话人的判断。接着,but 把重点转向真正的问题:既然结论不可能正确,推理中的哪一步出了问题?

练习

clearly absurd 在本句中的意思最接近哪一项?

  1. 很难发音
  2. 只是有点不寻常,但可以接受
  3. 显然不合逻辑或不合理
查看答案

显然不合逻辑或不合理

短語搭配

flaw in the logic:推理中的缺陷

a flaw in the logic 指推理中的弱点或错误,它会使结论无法被正确推出。这里的 flaw 是抽象缺陷,不是物体上的痕迹或裂缝。 a flaw in + 名词这一结构指出缺陷存在于哪个系统或想法中,例如 a flaw in the argument 或 a flaw in the design。本句的问题是在问推理中的哪一步不合理。

练习

使用本课中表示“推理中的缺陷”的短语完成句子:The conclusion does not follow, so there must be ____.

查看答案

a flaw in the logic

To resolve the paradox, 表達脈絡

1:54

为了解决这个悖论,

it helps to turn the story into a math problem. 短語搭配

1:56

我们不妨把这个故事变成一道数学题。

表達脈絡

To resolve the paradox:用目的不定式引出解决办法

To resolve the paradox 是表示目的的不定式短语。它放在主句前,说明说话人为什么建议下一步把故事转化为数学问题。 作为语篇信号,它让讲解从指出矛盾转向展示处理矛盾的方法。这里的 resolve 表示找到令人满意的解决办法或解释,不是“决定”。

练习

在这个句子中,句首短语 To resolve the paradox 起什么作用?

  1. 它说出了数学问题的结果。
  2. 它表示这个悖论已经解决。
  3. 它说明下一步行动的目的。
查看答案

它说明下一步行动的目的。

短語搭配

turn the story into a math problem:turn X into Y 转换结构

Turn the story into a math problem 使用 turn X into Y 结构,意思是使 X 变成 Y,或把 X 转化为一种新形式。这里 the story 是 X,a math problem 是 Y。 说话人并不是让人把故事转动起来。这个短语表示把叙事细节重新组织为可以用数学分析的数量和关系。

练习

用 turn X into Y 的过去式完成英文句子:Yesterday, the editor ____ the long interview ____ a short article.

查看答案

turned · into

Let's supposed that Zeno's house is 1 mi from the park

1:58

假设芝诺的家距离公园1英里,

and that Zeno walks at 1 mi per hour. 用詞

2:01

并且芝诺以每小时1英里的速度行走。

用詞

at 1 mi per hour:用 at 引出速率

在 at 1 mi per hour 中,at 引出行走的速率。结构是 at + 速率;per 表示“每”,所以这个短语的意思是“以每小时一英里的速度”。 这里的 at 不表示地点。mi 是 mile 的书面缩写。同样的 at + 速率结构也可以引出其他可测量的速率,如 meters per second 或 pages per minute。

练习

用 at + 60 miles per hour 完成句子:The bus was traveling ____.

查看答案

at 60 miles per hour

Common sense tells us that the time for the journey should be 1 hour. 表達脈絡

2:04

常识告诉我们,这段旅程的时间应该是1小时。

表達脈絡

Common sense tells us that:把下文框定为直觉判断

Common sense tells us that 并不是在转述某个真实说话者的话。它把 common sense(常识)拟人化,表示日常经验会让我们预期后面的说法成立。 作为句首框架,它把 that 后的信息标记为直觉上的答案。接下来,作者可以把这个直觉与计算、形式论证或出人意料的结果进行比较。

练习

在句子 Common sense tells us that the shorter route should take less time? 中,Common sense tells us that 起什么作用?

  1. 它通过正式计算证明了这个说法。
  2. 它表示某个人把这个信息告诉了我们。
  3. 它把这个说法呈现为基于日常经验的直觉判断。
查看答案

它把这个说法呈现为基于日常经验的直觉判断。

But let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. 講解

2:08

但是让我们从芝诺的视角来看待问题,把旅程分成若干段。

短語搭配

from Zeno's point of view:从芝诺的视角来组织观点

from Zeno's point of view 表示接下来的解释是按照芝诺的推理方式来组织的。在这句话中,说话人请我们暂时采用芝诺对这段路程的理解;它不是指实际站在哪里观察。 可迁移的结构是 from + 表示人的所有格 + point of view,例如 from Maya's point of view、from my point of view。它告诉听者,后面的陈述是从谁的视角出发的。

练习

请用表示“在丹尼尔看来”的 from ... point of view 结构补全句子:____, the new schedule gives us more time.

查看答案

From Daniel's point of view

短語動詞

divide up:把一个整体拆成若干部分

divide up 表示把一个整体分成若干较小的部分或份额。在原句中,整体是 the journey,into pieces 则说明分割后得到的是一段一段的部分。 up 是这个短语动词的小品词,不表示方向。它增添了“处理整个事物并将其拆成几部分”的意味,不过 divide the journey into pieces 在语法上也正确。

练习

请用 divide 中强调“把整体拆成几部分”的双词形式补全句子:Let's ____ the presentation into four short sections.

查看答案

divide up

The first half of the journey takes half an hour.

2:13

第一半的旅程花费半小时。

The next part takes quarter of an hour.

2:15

下一部分花费四分之一小时。

The third part takes an eighth of an hour,

2:17

第三部分花费八分之一小时,

and so on. 表達脈絡

2:20

依此类推。

表達脈絡

and so on:继续已明确的列表或规律

在这句话中,and so on 在已经给出足够内容来显示规律后结束列举。它告诉听者,后面的部分会按同样方式继续,所以说话人不再逐项列出。 更一般地说,这个短语标记一个未列完的清单或重复规律,省略的内容可以由上下文推断。它通常暗示还能继续多个项目,而不只是漏掉一个项目。

练习

在 “The pattern continues 2, 4, 8, 16, and so on,” 中,and so on 告诉听者什么?

  1. 前面列出的项目是错的。
  2. 只缺少最后一个项目。
  3. 后面还有项目按同一规律继续。
查看答案

后面还有项目按同一规律继续。

Summing up all these times, 用詞

2:21

把所有这些时间加起来,

we get a series that looks like this. 表達脈絡

2:22

我们得到一个看起来像这样的级数。

用詞

Summing up:把数量相加求总和

这里的 Summing up 表示把所有时间数值相加,求出总和。宾语 all these times 指的是数值,而结果是一个级数,所以 sum up 在这里是数学意义上的“求和”,不是日常语境中“总结观点”的意思。 句首的 -ing 从句说明导致主句结果的运算:把这些时间相加后,我们得到这个级数。这种结构可以先说明计算或其他步骤,再陈述结果。

练习

用 sum up 的 -ing 形式表示把金额相加:____ the four monthly bills, we got a total of $800.

查看答案

Summing up

表達脈絡

a series that looks like this:引出视觉形式

在这句话中,a series that looks like this 把讲解从口头描述的计算过程转向接下来展示的数学级数。this 指的就是画面上呈现的级数形式。 这里的 looks like this 表示“形式是这样”或“按所示方式排列”,不只是“外观相同”。这个句型可以把听者的注意力从口头说明引向公式、图表、列表或演示。

练习

a series that looks like this 在这句话中起什么作用?

  1. 它表示说话者不知道这个级数的形式。
  2. 它表示这个级数与另一个物体的外观相同。
  3. 它指向正在展示的数学级数的形式。
查看答案

它指向正在展示的数学级数的形式。

Now, Zeno might say, 語氣意圖

2:24

现在,芝诺可能会说,

since there are infinitely many terms on the right hand side of the equation 講解

2:26

既然等式右边有无限多项,

and each individual term is finite,

2:29

而且每一项都是有限的,

the sum should equal infinity,

2:32

总和应该等于无穷大,

語法

since there are:引出原因

这里的 since 表示“因为”或“既然”。以 since there are 开头的从句提供理由:等号右边有无穷多项,而且每一项都是有限的。后面的 the sum should equal infinity 被作为由此得出的结论。 since 也可以表示某个时间起点,但这里不是这种用法。本句是在给出推理前提,而不是说明某件事从何时开始。

练习

在例句中,since 起什么作用?

  1. 它表示方程开始的时间。
  2. 它表示两个方程之间的对比。
  3. 它为结论引出一个原因。
查看答案

它为结论引出一个原因。

用詞

the right hand side of the equation:方程右边

the right hand side of the equation 指等号右边写出的全部内容。在 a = b + c 中,右边是 b + c。 这里的 hand 是固定位置短语的一部分:right hand side 就是“右侧”,并不是指人的右手。在数学讲解中,这个短语用于定位方程的一部分。

练习

在 x + 2 = 7 中,the right hand side of the equation 指的是哪一部分?

  1. x + 2
  2. 等号
  3. 7
查看答案

7

right?

2:34

对吧?

語氣意圖

might say:引出假想观点

这里的 Zeno might say 不是在转述一段已经得到确认的原话。说话者暂时替芝诺提出一种可能的推理,以便接下来分析和回应。 someone might say... 这个结构可以引出假想的反对意见、解释或回应。might 让这个观点带有假设性,并把它与说话者自己的主张区分开。

练习

判断:在 Zeno might say 中,说话者确认芝诺确实说过这些原话。

  1. 正确
  2. 错误
查看答案

错误

This is the problem with Zeno's argument. 表達脈絡

2:34

这就是芝诺论点中的问题所在。

表達脈絡

This is the problem with ...:指出缺陷

This is the problem with ... 用来回指刚刚说明的缺陷或困难。This 指向前面那个问题,with 则引出存在问题的论证、计划或其他事物。 在本句中,说话人是在批评芝诺的论证,并不是说这个问题属于芝诺。

练习

用高亮框架回指前面所说的缺陷:The app drains the battery in an hour. ____ the app.

查看答案

This is the problem with

As mathematicians have since realized, 語法

2:37

正如后来的数学家们所意识到的那样,

語法

have since realized:后来才形成的认识

Have realized 是现在完成时,副词 since 表示“在之前那个时间之后”或“后来”。have since realized 合在一起表示这个认识是后来形成的,而且现在仍然相关。 这里的 since 独立用在 have 和 realized 之间,并没有引出时间从句,因此不能把这个短语理解成“自从他们意识到”。

练习

在句子 “Historians have since realized that the date was wrong,” 中,since 是什么意思?

  1. 从 since 后面的从句所说明的时间开始
  2. 因为
  3. 后来,在之前那个时间之后
查看答案

后来,在之前那个时间之后

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. 講解

2:38

把无限多个有限大小的项加起来,仍然可以得到一个有限的答案。

語法

It is possible to + 动词原形

It is possible to + 动词原形表示某个动作或结果有可能发生。这里的 it 是形式主语,不指任何具体事物。真正的内容是从 to add up 开始的不定式短语。 这个句型先放一个简短的语法主语,再把较长的动作放到后面,让说明更容易理解。

练习

用两个单词的形式主语开头补全句子:____ possible to finish the route before sunset.

查看答案

It is

短語動詞

add up infinitely many finite-sized terms:把无穷多个有限项相加

这里的 add up 表示“通过相加算出总数”。宾语 infinitely many finite-sized terms 说明被相加的内容:项的数量是无限的,但每一个项的大小都是有限的。 在这个数学语境中,add up 表示实际进行加总,而不是判断某个解释是否说得通。

练习

哪个句子中的 add up 表示“把几个数值相加并算出总数”?

  1. His explanation does not add up.
  2. Add up the four test scores.
  3. These test scores add up to 360.
查看答案

Add up the four test scores.

表達脈絡

still get a finite answer:用 still 标出反预期结果

在这句话中,still 表示:尽管前面的事实似乎会导向相反的结论,后面的结果仍然有可能成立。把无穷多个项相加,可能会让人以为总和一定是无穷大,但结果也可以是有限值。 这里的 still 具有让步和反预期功能。它把信息组织成“尽管前面的事实令人意外,这个结果依然成立”,而不只是表示某件事随时间继续。

练习

例句中的 still 表示什么?

  1. 每个大小有限的项都有相同的数值。
  2. 尽管无穷多个项让人产生了另一种预期,有限结果仍有可能出现。
  3. 寻找答案的过程会持续很长时间。
查看答案

尽管无穷多个项让人产生了另一种预期,有限结果仍有可能出现。

How, you ask? 表達脈絡

2:45

你问怎么做到的?

表達脈絡

How, you ask?:预判听众的问题

How, you ask? 的意思是“你可能会想:这是怎么做到的?”说话者替听众说出最可能产生的问题,并不是在转述一次真实的插话。 这个修辞问句营造出想象中的对话,并把讲解继续推进。它通常指向紧接着出现的答案。

练习

判断:在 How, you ask? 中,说话者是在说明有一位听众真的打断并问了这个问题。

  1. 正确
  2. 错误
查看答案

错误

Well, let's think of it this way. 表達脈絡

2:46

那么,让我们这样来想。

表達脈絡

think of it this way:引出新的理解角度

think of it this way 是在邀请听者换一个框架来理解当前话题。这里的 it 指前面正在讨论的想法,this way 则指向接下来要给出的解释。 这个表达通过提示视角转换来组织讲解;它并不是字面上的“以某种方式思考一个具体物体”。

练习

句中的 'Let's think of it this way' 表示什么?

  1. 描述这个想法的实际形状
  2. 要求记住原话
  3. 用新的角度理解这个想法
查看答案

用新的角度理解这个想法

Let's start with a square that has area 1 unit. 短語搭配

2:47

让我们从一个面积为1个单位的正方形开始。

短語搭配

start with:说明起始对象

start with 表示选择某个对象、材料、例子或步骤作为一个流程的起点。在本句中,一个面积为 1 个单位的正方形就是后续讲解的起始对象。 结构是 start with + 名词短语。with 引出最先使用的内容;这里不表示“和……一起”。

练习

使用 start 和一个用于引出顺序中第一项的介词完成句子:Let's ____ the easiest question.

查看答案

start with

Now, let's chop the square in half 短語搭配

2:50

现在,把正方形切成两半,

and then chop the remaining half in half,

2:52

然后再把剩下的一半切成两半,

短語搭配

chop the square in half:把正方形切成两半

chop the square in half 表示把正方形切开,使它变成两个相等的部分。结构是 chop + 宾语 + in half;in half 说明动作的结果。 这里的 chop 是一种生动、非正式的说法,用来表示把画出的图形分开。同样的结构也可以描述把实物切成两个相等的部分。

练习

用本课中表示“分成两个相等部分”的两词结果短语补全句子:Chop the sandwich ____.

查看答案

in half

and so on.

2:55

依此类推。

While we're doing this,

2:56

在我们这样做的时候,

let's keep track of the areas of the pieces. 短語搭配

2:57

让我们记录下这些碎片的面积。

短語搭配

keep track of the areas:持续记录各个小块的面积

keep track of 表示持续跟踪或记录信息。原句中要跟踪的信息,是各个小块发生变化时每一块的面积。 结构是 keep track of + 被跟踪的信息。这里的 track 不是实际的“轨道”;这个短语强调持续掌握信息,以免忘记或漏掉内容。

练习

用本课中包含 keep 和 track 的表达补全句子:Use this chart to ____ our weekly progress.

查看答案

keep track of

The first slice makes two parts,

3:00

第一刀切出两部分,

each with an area of 1/2. 語法

3:02

每一部分的面积都是1/2。

語法

each with an area of 1/2:为每个部分补充属性

在这句话中,each 回指前面的 two parts。with an area of 1/2 说明每个部分的面积,因此两个部分各自的面积都是 1/2。 “复数名词 + each with + 名词短语”是一个简洁结构,用来为一组中的每个成员补充属性,而不必重复完整从句。这里相当于 two parts, and each part has an area of 1/2。

练习

用简洁的 each with 结构完成句子:The cabin has three bedrooms, ____ private bathroom.

查看答案

each with a

The next slice divides one of those halves in half, 語法

3:04

下一刀把其中一半再切成两半,

語法

one of those halves:从已知的一组中选出一个

those halves 回指上一刀产生的两个部分。one 从这组已知对象中选出其中一个,所以接下来只把其中一个半块再分开。 在“one of + 复数名词短语”结构中,one 用单数,因为它表示选出的一个成员;halves 保持复数,因为它表示从中进行选择的整组对象。

练习

哪个短语能正确表示“从前面已经提到的一组箱子中选出一个”?完成句子:Please open ___ and check inside.

  1. one of that boxes
  2. one those boxes
  3. one of those boxes
查看答案

one of those boxes

and so on.

3:06

依此类推。

But no matter how many times we slice up the boxes, 講解

3:07

但是无论我们把这些方块切多少次,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces. 用詞

3:10

总面积依然是所有碎片的面积之和。

語法

no matter how many times:结果不随次数改变

no matter how many times + 主语 + 动词引出关于次数的让步条件。重复的次数可以变化,但主句中的结果不变。 这里,这些图形可以被反复切分;即便如此,总面积的规律仍然成立。这里的 no matter 不是“没问题”的意思。

练习

用目标表达 no matter how many times 补全句子:____ we try, the lock will not open without the correct code.

查看答案

No matter how many times

短語動詞

slice up:把某物切成几块

slice up + 宾语表示把一个完整的东西切成几块。小品词 up 增加了“把分割动作做完整”的意思,并不表示向上。 在这句话里,boxes 指画出来的图形或方块,所以说话人是在形象地描述把这些图形分成更小的部分,而不是切包装盒。

练习

在视频的句子中,slice up the boxes 是什么意思?

  1. 把这些方框向上移动
  2. 在所有小块周围画方框
  3. 把这些图形切成几块
查看答案

把这些图形切成几块

用詞

the sum of the areas of all the pieces:各部分面积相加

这里的 sum 是名词,表示把数字或数量相加后得到的“总和”。在 the sum of X 结构中,X 指被相加的那些数值。 the areas of all the pieces 表示每一小块提供的是它的面积,而不是把小块本身相加。因此,整个短语的意思是“所有小块的面积相加所得的总和”。

练习

用表示“相加所得总数”的目标名词结构补全句子:The total score is ____ the points from all four rounds.

查看答案

the sum of

Now, you can see why we chose this particular way of cutting up the square. 講解

3:15

现在,你就能明白为什么我们要选择这种特定的方式来切割正方形了。

表達脈絡

you can see why:表示现在已经能理解原因

在 you can see why + 原因从句 中,see 表示“理解”,不是“用眼睛看”。why 后面的内容说明现在已经可以理解的是哪一个原因。 在讲解中,这个表达是一个信息路标:它把刚给出的证据或步骤连接到某个选择或结果的原因。Now 强调前面的信息已经让这个原因变清楚。

练习

在讲解中,you can see why 向听者传达了什么意思?

  1. 听者必须选择一个新的原因。
  2. 这个原因像实物一样可以被眼睛看到。
  3. 前面的信息让这个原因变得可以理解。
查看答案

前面的信息让这个原因变得可以理解。

短語搭配

particular way of cutting up the square:切分正方形的特定方式

在这句话中,particular 表示“特定的”或“特意选定的”,这里不是“挑剔的”。this particular way 指某一种明确的方法,而不是随便哪种方法。说话者是在解释为什么选中了这种方法。 way of + -ing 用来说明做某事的方式。这里,way of cutting up the square 指把正方形分成较小部分所采用的方法。可迁移的结构是 a particular way of doing something。

练习

请用放在 -ing 形式前的介词补全目标结构:This particular way ____ arranging the cards makes the pattern easy to see.

查看答案

of

We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. 語法

3:18

我们得到了与芝诺旅程时间相同的无穷级数。

語法

the same infinite series as ...:与……相同的无穷级数

the same + 名词 + as ... 把在相关方面相同的两个事物联系起来。这里,刚得到的级数与之前用来表示芝诺旅程时间的无穷级数相同。 as 后面的内容给出比较对象:we had for the time of Zeno's journey。不要只理解到 the same infinite series;as 从句说明它是在和哪个级数对应。

练习

请补全比较结构 the same ... as:The second diagram shows the same pattern ____ the first one.

查看答案

as

As we construct more and more blue pieces, 語法

3:23

随着我们造出越来越多的蓝色碎片,

語法

As we construct:用 as 表示两个过程同步展开

这里的 As we construct 表示“在我们继续构造的过程中”或“随着构造过程推进”。这个短语引出一个表示时间和过程的从句,把正在进行的构造与另一个变化联系起来。 这里 as 的主要作用是表示两个变化同步展开,而不只是表示 because(因为)。即使第一个过程也会促成第二个变化,句子的组织重点仍是两个变化并行发展。

练习

在这句话中,As we construct 最主要的作用是什么?

  1. 它把构造描述为一个持续进行、并伴随另一变化的过程。
  2. 它表示构造与另一个变化相对立。
  3. 它把构造说成另一个变化的唯一原因。
查看答案

它把构造描述为一个持续进行、并伴随另一变化的过程。

語法

more and more blue pieces:数量越来越多

在 more and more blue pieces 中,more and more 表示随着过程继续,蓝色小块的数量不断增加。要把它理解为一个完整结构,意思是“数量越来越多”,而不是把两个 more 分开理解。

练习

用表示“数量不断增加”的结构完成句子:____ visitors come to the museum each year.

查看答案

More and more

to use the math jargon, 表達脈絡

3:26

用数学术语来说,

表達脈絡

to use the math jargon:提示切换到专业术语

插入语 to use the math jargon 意思是“接下来用数学专业术语来表达”。它本身不描述数学运算,而是在告诉听众应该怎样理解后面的措辞。 这是一个组织信息的提示语:说话人正从通俗或直观的解释转向更专业的说法。在本句中,jargon 是中性的,并不是说这些词是“废话”。

练习

说话人用 to use the math jargon 表示什么?

  1. 接下来的措辞会使用数学专业术语。
  2. 接下来的术语都没有意义。
  3. 说话人将不再进行数学解释。
查看答案

接下来的措辞会使用数学专业术语。

as we take the limit as n tends to infinity, 用詞

3:27

当我们取n趋向于无穷大的极限时,

用詞

take the limit as n tends to infinity:描述取极限的过程

take the limit 是标准数学动词短语,意思是“求极限”,不是“移除限制”。as n tends to infinity 说明取极限的方向:n 不断增大,没有上界。 这里 n 表示步骤数或项数。无穷大不是 n 最终会达到的普通数字;这个表达要求考察当 n 可以变得任意大时,相关量趋近什么值。

练习

在数学中,take the limit as n tends to infinity 要求你做什么?

  1. 考察当 n 无界增大时相关量趋近的值。
  2. 把 n 设成一个叫“无穷大”的普通数字。
  3. 先选择一个很小的 n,再移除某个限制。
查看答案

考察当 n 无界增大时相关量趋近的值。

the entire square becomes covered with blue. 語法

3:30

整个正方形都被蓝色覆盖。

語法

becomes covered with blue:变成受影响的状态

become + 过去分词表示主语变成某种受影响的状态。这里的 becomes covered 表示正方形从没有完全被覆盖变成被覆盖。 with blue 指明覆盖或铺满表面的东西或颜色。受影响的对象是 the entire square,并不是正方形主动覆盖其他东西。

练习

用 become + covered with 的一般现在时正确形式完成句子:As autumn continues, the sidewalk ____ leaves.

查看答案

becomes covered with

But the area of the square is just 1 unit,

3:33

但是正方形的面积只有1个单位,

and so the infinite sum must equal 1. 講解

3:35

所以这个无穷项的总和必定等于1。

表達脈絡

and so:引出结论

and so 把已经说明的事实或理由与后面的结论连接起来。它前面的信息是依据,后面的分句给出根据该依据推出的结果。 本句先说明正方形的面积是 1 个单位,and so 再引出“无穷和必定等于 1”这个结论。这里的 so 用来组织推理,不表示“很”,也不修饰形容词。

练习

哪一句使用 and so,根据前面的事实引出结论?

  1. The road was icy, and so the school opened late.
  2. The road was so icy that buses could not move.
  3. Sam checked the map and the train schedule.
查看答案

The road was icy, and so the school opened late.

用詞

infinite sum must equal 1:must 表示逻辑必然

这里,infinite sum 指把无限多个项相加得到的总和。这一分句说明这个总和是 1。 must 表示逻辑上的必然,而不是命令。因为模型中的各部分正好填满面积为 1 的正方形,所以根据推理,这个和只能等于 1。must 的这种用法也可以表示从已知事实必然得出的结论。

练习

例句中的 must 表达什么意思?

  1. 这个结果只是一种可能。
  2. 有人命令这个和这样做。
  3. 这个结论是由前面的推理必然推出的。
查看答案

这个结论是由前面的推理必然推出的。

Going back to Zeno's journey, 表達脈絡

3:38

回到芝诺的旅程,

we can now see how the paradox is resolved. 語法

3:40

我们现在可以看出这个悖论是如何被解决的了。

表達脈絡

Going back to Zeno's ...:回到先前话题的转场

Going back to Zeno's journey 是放在句首的转场,用来把讨论带回前面提到的话题。它在组织讲解:说完正方形与无穷和的模型后,说话人把注意力转回芝诺的旅程。 这个短语表示讨论层面的转移,不是实际的空间移动。后面的主句接着说明,重新考虑之前的话题后,什么内容变清楚了。

练习

请按正确顺序使用 going、back 和 to,完成表示“回到先前话题”的转场:____ our earlier question, the answer is now clear.

查看答案

Going back to

語法

the paradox is resolved:被动语态表达解决结果

the paradox is resolved 使用被动结构 be + 过去分词:the paradox 是承受动作的一方,而不是执行动作的一方。句子把重点放在结果上——这个看似矛盾的问题现在可以得到解释,而不说明是谁或哪一段推理解决了它。 当问题作主语时,resolved 表示“被解决、被化解或被解释清楚”。它不表示“下决心做某事”;后一种意思通常由人作主语,并使用 she resolved to continue 这样的结构。

练习

例句中的“the paradox is resolved”是什么意思?

  1. 这个悖论已经被解决或解释清楚。
  2. 这个悖论变得更加令人困惑。
  3. 这个悖论已经决定采取行动。
查看答案

这个悖论已经被解决或解释清楚。

Not only does the infinite series sum to a finite answer, 講解

3:42

这无穷级数的总和不仅是一个有限的答案,

用詞

sum to a finite answer:相加得到一个有限结果

“sum to + 结果”表示“相加后等于这个结果”。本句中,the infinite series 是主语,a finite answer 是各项相加后得到的结果。这里的 sum 不是“总结”。 数学中,一个级数可以有无限多项,但随着加入更多项,得到的总数可以越来越接近某个固定的有限值。这时可以说这个级数 sums to 该值。

练习

用 sum 作动词并填入所需介词,完成句子:The three payments ____ $150.

查看答案

sum to

but that finite answer is the same one that common sense tells us is true.

3:46

而且这个有限的答案就是常识告诉我们为真的那个答案。

語法

Not only does ... but ...:句首倒装结构

Not only ... but ... 连接两个相关判断,并把第二个判断作为进一步的、通常力度更强的观点提出。这里,第一个判断是无穷级数有一个有限的和;but 后的分句进一步说明,这个答案也符合常识。 因为 Not only 位于第一个分句开头,该分句要使用主语—助动词倒装:does 放在主语前,sum 保持动词原形。在这个一般现在时结构中,形式是 Not only does + 单数主语 + 动词原形 ..., but + 正常语序的分句 ....

练习

用所需的助动词补全一般现在时倒装结构:Not only ____ the pattern repeat, but it also becomes easier to recognize.

查看答案

does

Zeno's journey takes 1 hour.

3:50

芝诺的旅程需要1小时。