数学核心的悖论：哥德尔不完备定理 - 马库斯·杜·索托伊：英语精读讲义

补全用于引出待分析句子的完整目标表达：____: "Water freezes at zero degrees Celsius."

在这个逻辑题中，为什么“This statement is false.”会构成悖论？

1. 这个句子没有主语。
2. “This statement” 指的是这个句子本身。
3. “false” 这个词只能用于数学。

请用本课所学、表示“如果那是真的”的两个英文单词完成句子：The library may still be open. ____, we can return the books tonight.

请用 would make + 宾语 + 形容词完成这个假设结果：Removing the warning label ____ the box unsafe.

用 if ... then ... 补全这个逻辑陈述：____ a number ends in zero, ____ it is divisible by ten.

用 by + read 的 -ing 形式补全句子：____ the instructions carefully, Mia finished the project correctly.

哪种情况最适合用 an unresolvable paradox 描述？

1. 一条规则让同一个陈述既是真的又是假的，而且规则本身没有提供解决办法。
2. 一道数学题很难，但它有一个已知答案。
3. 一个问题还没人回答，因为尚未有人核查。

在这个语境中，标出的问题在话语中的主要作用是什么？

1. 它表明常规的真假分类已经失效，并引出下一个观点。
2. 它询问这个陈述实际位于什么地方。
3. 它宣布这个陈述肯定是假的。

用表示委婉第一印象的三个词目标短语完成句子：This shortcut ____ a good idea, but it creates more work.

下面哪一项是思想实验，而不是现实中实际开展的实验？

1. Imagine that nobody needed sleep and reason through how schools and jobs would change.
2. Plant two seeds and record which one grows faster.
3. Measure how long three batteries power the same flashlight.

请用 lead 的过去式和必要的介词完成句子：A strange clue ____ the detective ____ an important discovery.

在句子 She found an idea that would change her life 中，would change 表示什么？

1. 从故事中较早的时间点看后来发生的改变。
2. 礼貌地请求那个想法改变她的人生。
3. 从现在出发，预测尚未发生的改变。

请用 have to do with 的过去式完成句子：The delay ____ a damaged cable.

哪个短语表示证明系统能够确立什么的边界，而不是单个证明中的错误？

1. steps in mathematical proofs
2. mistakes in mathematical proofs
3. limitations of mathematical proofs

哪一句采用了相同的信息组织方式：术语 + is + 类别 + 描述其功能的 that 从句？

1. An algorithm can solve a specific problem very quickly.
2. Can an algorithm solve this specific problem?
3. An algorithm is a set of steps that solves a specific problem.

哪一句在嵌入式 why 从句中使用了正确的语序？

1. The teacher explained why the answer was correct.
2. The teacher explained why was the answer correct.
3. Why was the answer correct?

用本课中表示“基本组成部分”的两个单词短语完成句子：Trust and communication are the ____ of a strong team.

用被动命名结构 be called 完成句子：Closed shapes with three sides ____ triangles.

在短语 the numbers involved 中，involved 是什么意思？

1. 与当前事项相关的数字
2. 难以计算的数字
3. 已经得到证明的数字

用 from ... to ... 补全句子，表示完整范围：The workshop welcomes participants ____ complete beginners ____ experienced designers.

使用 built 和 constructed 完成句子：The platform is ____ open-source technology and ____ reusable modules.

哪一句表达的是基于条件对能力的合理预期，而不是直接陈述能力或提出要求？

1. If the code is correct, the user must sign in.
2. If the code is correct, the user can sign in.
3. If the code is correct, the user should be able to sign in.

请用本课中表示“证明为真或证明为假”的成对表达完成句子：A second measurement could ____ the scientist's claim.

请用本课中表示“毫无疑问地”的短语完成句子：After checking the original file, Maya could identify the author ____.

用本课中表示“开始在那个专业领域工作”的三个英文单词完成句子：After finishing her cybersecurity training, Ava ____.

哪一个句子中的 threaten 与例句采用了相同的抽象用法？

1. The child whispered a warning to her friend.
2. The speaker threatened the audience with punishment.
3. Several errors threatened confidence in the report.

用 be eager to 的过去式完成句子：The researchers ____ confirm the result.

在 mathematics had no contradictions 这句话中，哪种理解正确？

1. 该系统无法推出彼此冲突的结论。
2. 数学家在每个问题上都意见一致。
3. 数学问题从来都不难。

哪项解释最符合 Gödel himself wasn't so sure？

1. 哥德尔完全不了解这个问题。
2. 哥德尔坚决反对所有数学方法。
3. 哥德尔本人有所怀疑，与更有信心的那群人不同。

使用 even + confident 的比较结构来表示信心进一步下降：After two more errors, the reviewers were ____ that the figures were accurate.

用表示“适合这项任务的方法”的目标短语完成句子：A survey may be ____ understand why customers leave.

哪个句子中的 while 与例句一样表示让步？

1. While I was washing the dishes, the doorbell rang.
2. While the instructions look simple, the machine is difficult to operate.
3. Please wait here while I check the schedule.

以下哪项描述最符合 a self-referential paradox？

1. 一个人拒绝与他人分享。
2. 一个陈述因指向自身而产生矛盾。
3. 一个句子指向另一本书中的事实。

这里的 numbers don't typically talk about themselves 是什么意思？

1. 数字通常不会指向或描述自身。
2. 人们大声读出数字时，数字通常保持安静。
3. 数字更喜欢讨论其他数字。

高亮分句在这个句子中起什么作用？

1. 表示数学的每个部分都很容易。
2. 详细说明哥德尔的想法。
3. 先建立一个熟悉的“真或假”框架，再让句子转向新的方向。

but Gödel had an idea 在叙事中起什么作用？

1. 重复“真或假”的规则，不改变方向。
2. 证明哥德尔的想法已经正确。
3. 从背景规则转向接下来将要解释的新想法。

完成 translate A into B 结构：The scanner translates printed pages ____ searchable text.

用 so that 和 understand 的正确被动形式完成句子：The safety message was rewritten ____ it could ____ by children.

例句中的 This meant that 起什么作用？

1. 它引入一个与前一步毫无关系的事实。
2. 它把前面的编码步骤与由此产生的后果连接起来。
3. 它给 mathematics 这个词下词典式定义。

在 encoded statements of mathematics 中，encoded 说明了什么？

1. 这些陈述已经被转换成编码形式。
2. 这些陈述已经从代码还原成原始形式。
3. 这些陈述肯定已被隐藏起来以保守秘密。

在这句话中，allowed mathematics to talk about itself 是什么意思？

1. 它使数学真的出声说话。
2. 它允许数学家讨论编码。
3. 它使数学能够表达关于自身的陈述。

引号中的陈述表达了什么？

1. 它说，这个陈述不能证明另一个方程。
2. 它说，任何人都不被允许写证明。
3. 它说，在该系统内，这个陈述本身不能被证明。

用 as 和 make 的 -ing 形式补全目标结构：She rewrote the results ____ a chart, ____ the pattern easier to see.

使用目标结构 However, unlike + 名词短语 补全句子：____, ____ the old model, this one uses less energy.

在 mathematical statements must be true or false 中，must 表达的是什么？

1. 有人在命令这些陈述选择如何表现。
2. 这些陈述在承诺说真话。
3. 逻辑框架要求每个陈述具有这两个值中的一个。

在已经提出两种可能性后，So, which is it? 起什么作用？

1. 它引入了一个与前面推理无关的新话题。
2. 它表示两种可能性肯定都正确。
3. 它让讨论重新回到从这些可能性中作出选择。

阅读这个句子：“If the screen is blank, that means the computer is not receiving a signal.” “that means”起什么作用？

1. 它开始一个不相关的新话题。
2. 它翻译“blank”这个词。
3. 它引出根据条件得到的结论。

使用强调结构 does + 动词原形 have 完成纠正：“You said the plan has no benefit, but it ____ one important advantage.”

用准确的 if ..., then it must ... 结构完成句子：____ an integer ends in 0, ____ it ____ divisible by 10.

在这个论证中，This contradiction means ... 起什么作用？

1. 它给 contradiction 这个词下词典定义。
2. 它把话题转到一个无关的例子。
3. 它总结一个不一致之处，并引出由此得出的结论。

在“The answer can't be false because it follows from the rule”中，can't 是什么意思？

1. 不允许这个答案是错误的。
2. 这个答案在逻辑上不可能是错误的。
3. 说话者没有能力让这个答案变成错误的。

补全表示正式结论的结构：The machine accepts only valid tickets. This ticket was accepted, ____ this ticket is valid.

句中高亮的开头起什么作用？

1. 它与前面的观点形成转折，加强评价，并引出理由。
2. 它引出理由，但不与前面的观点形成转折。
3. 它表示这个结果还没有发生。

在数学讨论中，这里的 a true equation 是什么意思？

1. 数学断言为真的方程。
2. 确实存在的方程，不论它的数学断言是否为真。
3. 只使用实数的方程。

在这句话中，asserts 表明这个方程在做什么？

1. 它用很大的声音说话。
2. 它正式提出一个可以判断真假的主张。
3. 它用支持理由证明了这个主张。

使用本课习语补全句子：Trust is ____ a healthy friendship.

在 Gödel's incompleteness theorem 这个名称中，incompleteness 指什么？

1. 某些形式系统的一种局限：某些真陈述无法在该系统内部被证明。
2. 一份还需要再写几页的未完成证明。
3. 声称数学中不存在有效的证明。

请用表示非限制性补充说明的关系词完成句子：The update adds a search tool, ____ makes old files easier to find.

在这个句子中，paradigm 是什么意思？

1. 一个数学公式
2. 一个说明性的案例
3. 理解和组织思想的整体框架

用 either ... or ... 完成配对结构：A binary answer is ____ yes ____ no.

在这句话中，高亮短语说明了什么？

1. 这个命题在物理空间中被公理包围。
2. 每一组公理都能证明这个命题。
3. 可证明性是依据某一组指定公理来判断的。

哪一项正确保留了 unprovable true statements 的含义？

1. 它们是假的，因为不存在证明。
2. 它们是真命题，只是证明还没被找到，但以后一定会找到。
3. 它们是真的，但系统无法证明它们。

用目标结构补全句子，表示窗户无法打开：The broken handle ____ open the window.

使用 there be 的将来形式和 always 补全句子，表示这种限制会持续存在：____ cases the rule does not cover.

补全“让步—方法—角色”结构。Even if、by 和 as 各用一次：____ you improve the plan ____ adding a checklist ____ a safety tool, some risks may remain.

在原句中，account for 是什么意思？

1. 在系统中纳入并处理这些陈述
2. 解释这些陈述为什么是真的
3. 依赖这些陈述

在句子 “That very decision caused the delay,” 中，very 表达什么？

1. The decision was extremely difficult.
2. A different decision prevented the delay.
3. The exact decision already mentioned caused the delay.

请用一个以 No 开头、表示“不管数量多少”的四词短语补全句子：____ books you read, there will always be more to discover.

哪一种解释最符合这个句子？

1. 这个系统中也许会有一些可能为真的命题。
2. 这个系统中必然会有一些为真却无法在系统内证明的命题。
3. 这个系统中的每个真命题都已经得到证明。

It's Gödels all the way down 在这里是什么意思？

1. 一个定理解决了系统所有可能的扩充。
2. 好几个叫哥德尔的人正在向下移动。
3. 随着系统不断扩充，哥德尔式的限制会反复出现。

在这句话中，rocked the foundations of the field 是什么意思？

1. 它给这个领域带来了一项小而日常的变化。
2. 它对这个领域的基本信念造成了深刻冲击。
3. 它实际破坏了一栋建筑的地基。

哪一句使用句末 -ing 短语补充前面事件造成的结果？

1. The storm closed the airport, leaving hundreds of travelers stranded.
2. Because the storm closed the airport, hundreds of travelers were stranded.
3. The storm closed the airport and hundreds of travelers waited nearby.

用 would one day 和 solve 的被动形式完成句子：In 1995, researchers believed the puzzle ____.

while 在这个句子中起什么作用？“While most neighbors supported the plan, some opposed it.”

1. 它说明一些人反对该计划的原因。
2. 它对比两组人的反应。
3. 它表示两个动作持续了完全相同的时间。

在 “Some fervently debated it,” 中，fervently 说明了什么？

1. 他们争论了很多次。
2. 他们带着强烈的情感和信念进行争论。
3. 他们为了避免引起注意而轻声争论。

哪个句子使用 others still 引出另一组人持续的反应？

1. Most families went home, and every family left at the same time.
2. Most families went home, but others still waited for the final announcement.
3. The families stood still while they waited for the final announcement.

newly uncovered hole in the heart of their field 在本句中是什么意思？

1. 影响研究人员心脏的疾病
2. 这个学术领域核心新暴露出的严重局限
3. 农田中央最近挖出的一个实体洞

哪个句子中的 as 与高亮分句一样，表示情况随时间发展？

1. As more evidence emerged, the team grew more confident.
2. She works as an engineer.
3. The box is as heavy as the chair.

哪一句把担忧开始出现的时刻作为重点？

1. After an hour with no reply, Leo had stopped worrying that something was wrong.
2. After an hour with no reply, Leo began to worry that something was wrong.
3. After an hour with no reply, Leo never worried that something was wrong.

在例句中，their life's work 指什么？

1. 他们投入多年从事的主要事业
2. 他们每天处理的日常任务
3. 他们计划用一个下午完成的工作

哪个句子最恰当地使用了“门”的比喻，表示一项规定带来的机会和限制大致一样多？

1. The new rule opened as many doors as it closed.
2. The new rule opened a door after the office closed.
3. The new rule closed every door and created no new options.

使用 inspire + key innovations + in 这个四词结构，并把 inspire 变为过去式：The discovery ____ battery design.

用 dedicate her career to 的过去式完成句子：Maria ____ improving rural health care.

provably unprovable statements 最准确的含义是哪一个？

1. 可以通过证明说明这些陈述不可证明。
2. 这些陈述很可能很难证明。
3. 这些陈述已经被证明是错误的。

哪一项最适合补全这个让步式总结，并提出积极的主要结论：“So while the trip may have cost more than expected, ...”？

1. we still made memories we will always value.
2. the tickets had blue numbers printed on them.
3. it also took two hours longer than planned.

用一个表示“因为……，并带有正面归功”含义的两个词目标短语补全句子：____ Noah's quick repair, the robot worked again.

哪个选项最准确地解释了这句话？

1. 他们能够在旅途中用手抱住某个未知的东西。
2. 他们能够把不确定性作为追求真理的核心部分来接纳。
3. 他们能够回避没有答案的问题，直到所有事实都得到证明。

在 Pythagorean theorem 这个名称中，theorem 说明了什么？

1. 它是关于所有三角形、未经检验的猜想。
2. 它是普通的课堂规则。
3. 它是经过证明的数学命题。

原句中的 in the first place 起什么作用？

1. 它在问这个证明最初是怎样确立的。
2. 它在问第一个证明具体位于哪里。
3. 它在问这个证明是否获得了第一名。

请用结构 one of the cornerstones of 补全句子：Reliable evidence is one ____ good research.