为什么不能除以零? - TED-Ed:英语精读讲义

TED-Ed

学习难度
591 词 151 词/分

视频简介:本视频解释为什么当除数趋近于零时,商趋向无穷大,并不等于“除以零的结果就是无穷大”。内容从乘法逆元定义除法,再说明若把无穷大规定为零的逆元,就会推出 1 = 2 等矛盾,同时指出其他数学体系也可能采用不同规则。 主要英语知识点: 1. all we really know is that — 语篇、叙事与修辞:学会把论证收窄到证据真正支持的结论。这里用它区分两件事:除数趋近于零时数值会无限增大,这是关于极限的陈述;而“除以零本身等于无穷大”则是尚未得到支持的过度推断。 2. If we want to divide by zero, we need to find its multiplicative inverse, — 语法与句型:识别并使用 If we want to..., we need to...,把目标与实现目标所需的条件或步骤连接起来。用它讲解流程和逻辑要求时,可以明确下一步并非随意选择,而是由前提决定的必要动作。 3. make up a new rule? — 短语动词:理解 make up 在这里不是把物体拼装起来,而是“创造、设定”一条规则。这个问句先提出假设性规则,再检验其后果;同一短语也可用于表达编造故事、解释、规则或体系。

本篇讲解

In the world of math, 表達脈絡

0:08

在数学的世界里,

表達脈絡

In the world of math:先限定话题领域

In the world of math 是一个开场框架,用来告诉听众接下来的陈述属于哪个领域。这里的 world 是比喻用法,指与数学有关的思想、做法和规则这一范围,而不是一个真实存在的独立世界。 这个短语放在句首并以逗号收尾,能在主要陈述出现前先限定讨论范围。你可以套用 In the world of + 领域,介绍某个话题中常见、重要或可能发生的事。

练习

用本课完全相同的话题限定框架补全开场句:____ robotics, even tiny errors can matter.

查看答案

In the world of

many strange results are possible when we change the rules. 習語

0:09

当我们改变规则时,可能会出现许多奇怪的结果。

習語

change the rules:改变系统的基本条件

这里的 change the rules 指改变决定一个系统中什么事情能够发生的基本条件。在数学中,这些规则可能是前提、定义或允许使用的运算,所以规则不同,就可能得到不同的结果。 只要有人有意重写游戏、组织或流程的运作方式,这个表达也可以用于数学以外的场景。

练习

一名游戏设计者重新规定了计分方式。哪句话准确描述了这种情况?

  1. The designer decides to change the rules.
  2. The designer decides to follow the rules.
  3. The designer decides to break the rules.
查看答案

The designer decides to change the rules.

But there's one rule that most of us have been warned not to break. 語法

0:13

但有一条规则,我们大多数人都被警告过不要打破。

語法

have been warned not to + 动词

“have been warned”是“warn”的现在完成时被动形式。它把重点放在接受警告的人身上,而不是发出警告的人。现在完成时表示警告发生在现在之前,并且到现在仍然相关。 主动结构“warn someone not to do something”变成被动后是“someone has/have been warned not to do something”。这里“not to break”说明被禁止的动作;“break a rule”表示“违反规则”。在本句中,这个结构把警告呈现为大多数人已经收到过的提醒。

练习

用被动警告结构补全句子:For safety, visitors ____ enter the closed area.

查看答案

have been warned not to

Don't divide by zero. 用詞

0:17

那就是不要除以零。

用詞

divide A by B:A 除以 B

在数学中,“divide A by B”表示计算 A ÷ B。A 是被除数,也就是被拿来除的数;“by”后面的 B 是除数。因此,“divide by zero”表示用零作除数。在普通算术中,这种运算没有定义,所以原句说不要这样做。

练习

哪个短语正确读出了算式 18 ÷ 6?

  1. eighteen divided into six
  2. eighteen divided by six
  3. six divided by eighteen
查看答案

eighteen divided by six

How can the simple combination of an everyday number and a basic operation cause such problems? 表達脈絡

0:19

为什么一个日常数字和一种基本运算的简单组合会引起如此大的问题呢?

表達脈絡

How can ... cause such problems?:用作引出解释的悬念问题

How can X cause Y? 这个问句不只是询问方法。本句把一个常见数字和一种基本运算,与它们引发的意外问题放在一起,突出令人惊讶的反差。 作为开场钩子,这个问句先提出谜题,再给出解释。它把信息组织得很清楚:先呈现出人意料的结果,然后解释事情是如何或为何发生的。

练习

下面哪个开场问题最恰当地用 How can...? 引出一个可以通过解释来回答的意外谜题?

  1. Where is the packet of seeds?
  2. How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?
  3. Can you put this seed in the blue pot?
查看答案

How can a tiny seed grow into a tree taller than a house?

Normally, dividing by smaller and smaller numbers gives you bigger and bigger answers. 語法

0:26

通常情况下,除以越来越小的数字会得到越来越大的答案。

語法

smaller and smaller ... bigger and bigger:表示持续变化

在 smaller and smaller 和 bigger and bigger 中,同一个比较级形式用 and 重复连接。“比较级 + and + 比较级”表示某种性质随时间或一个连续过程不断朝同一方向变化。 这里,smaller and smaller 表示数值一步步变小,bigger and bigger 表示答案一步步变大。这个结构说的是持续趋势,而不只是某物非常小或非常大。

练习

用表示“越来越响”的重复比较级结构补全句子:The music grew ____ as the parade came closer.

查看答案

louder and louder

10 / 2 is 5.

0:32

10 除以 2 等于 5。

By 1 is 10. 表達脈絡

0:34

除以 1 等于 10。

By 1 millionth is 10 million.

0:36

除以一百万分之一等于一千万。

表達脈絡

By 1 ... By 1 millionth 中的省略

By 1 和 By 1 millionth 是平行列举中的缩略项。第一个算式建立了重复框架 10 divided by ...,所以后两项分别表示 10 divided by 1 和 10 divided by one millionth。 这属于省略:清单中的共同信息很容易从前文补回,因此不再重复。听快速讲解时,要把共同框架带到后面,再代入每个新的除数。

练习

在这组连续算式中,By 1 millionth 补充完整后是什么?

  1. 10 multiplied by 1 millionth
  2. 10 divided by 1 millionth
  3. 1 millionth divided by 10
查看答案

10 divided by 1 millionth

And so on. 短語搭配

0:39

依此类推。

短語搭配

用 And so on 结束未列完的清单

And so on 放在清单或一系列内容的末尾,表示后面还有同类项目或遵循同一规律的步骤,但说话人不会把它们全部说出来。 听者必须能够根据已经给出的例子或规律推断后续内容。

练习

用本课表示“列举还会继续”的短语完成句子:We need paper, pencils, folders, ____.

查看答案

and so on

So it seems like if you divide by numbers that keep shrinking all the way down to zero, 講解

0:40

所以看起来如果你除以不断缩小直至为零的数字,

表達脈絡

it seems like if ...:有条件的暂时推断

在 it seems like if ... 中,it seems like 把后面的想法标记为根据目前所见或已知信息形成的印象,而不是已经证明的结论。if 引出这个印象所依据的条件。 这种说法让说话人提出一种可能的规律,同时为之后的检验、限制或修正留出空间。

练习

哪句话把某个条件呈现为暂时推断,而不是已经证明的事实?

  1. We have proved that every battery runs down faster in the cold.
  2. It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.
  3. Every battery definitely runs down faster in the cold.
查看答案

It seems like if the battery gets colder, it runs down faster.

短語搭配

keep shrinking:用 keep + -ing 表示持续变化

keep + 动词 -ing 表示一个动作或变化持续发生,或者反复发生。这里,keep shrinking 表示“继续变小”。 它描述的是持续的趋势,而不是固定不变的小状态。动词要和主语保持一致:numbers keep shrinking,但 a number keeps shrinking。

练习

用 keep + changing 的正确形式补全句子:The weather ____ throughout the day.

查看答案

keeps changing

短語搭配

all the way down to zero:强调完整的下降范围

在 all the way down to zero 中,all the way 加强变化范围,表示变化贯穿整个区间,直到所说的终点。down 表示向下变化,to zero 指明终点是零。 all the way down to + 低点这一结构可以描述数量、水平、温度或实际移动。它强调的是整个下降过程,而不只是最终数值。

练习

请用本课短语完成句子,该短语表示“经历完整的下降范围,直到零”:The gauge fell ____.

查看答案

all the way down to zero

the answer will grow to the largest thing possible.

0:45

答案将会增长到可能的最大值。

Then isn't the answer to 10 / 0 actually infinity? 語氣意圖

0:48

那么 10 / 0 的答案不就是无穷大吗?

語氣意圖

Then isn't ... actually ...?:提出预期中的结论

Then 把问题连接到刚才的推理:如果前面的内容成立,这个结论似乎就会随之成立。否定疑问句 isn't ...? 并不完全中立;它把无穷大说成说话人预期听起来很自然的答案。 Actually 对先前的看法带有一点质疑,就像在问这是否才是真正的结果。这个问题是在邀请确认或提出一个有待检验的想法,并不能证明该结论正确。

练习

这句话中的否定疑问句主要传达什么?

  1. 它没有暗示任何答案,只是开放地询问。
  2. 它把无穷大说成说话人预期听起来很自然的结论。
  3. 它证明了除以零等于无穷大。
查看答案

它把无穷大说成说话人预期听起来很自然的结论。

That may sound plausible, 用詞

0:52

这听起来似乎很合理,

用詞

may sound plausible:初听合理,但尚未证实

在本句中,may sound plausible 表示“可能听起来合理或可信”。may 保留不确定性,sound 说的是一个观点给人的印象,plausible 表示根据现有信息,它似乎有成立的可能。 这个短语常用来先承认某个论点乍看有说服力,再对它进行更仔细的检验。它并不表示这个论点是正确的。

练习

哪句话表示一个解释听起来合理,但尚未得到证实?

  1. The explanation is certainly true, so no evidence is needed.
  2. The explanation may sound plausible, but we still need evidence.
  3. The explanation is easy to hear, but hard to understand.
查看答案

The explanation may sound plausible, but we still need evidence.

but all we really know is that if we divide 10 by a number that tends towards zero, 講解

0:54

但我们真正知道的只是,如果我们把 10 除以一个趋向于零的数字,

表達脈絡

all we really know is that:把结论限制在证据范围内

all we really know is that... 这个结构把讨论范围收窄到证据实际支持的内容。语法上,all we really know 是主语,后面的 that 从句说明我们能够知道的全部内容。 这里的 all 有接近“唯一内容”的限制作用,really 则强调真正能够确定的事实。说话人用这个框架制止过度自信的推断,并把它替换为谨慎、有证据支持的陈述。

练习

一个脚印只能说明有人来过,却不能说明是谁。哪句话把结论限制在证据范围内?

  1. We know exactly who was here.
  2. All we really know is that someone was here.
  3. The footprint proves that nobody was here.
查看答案

All we really know is that someone was here.

the answer tends towards infinity.

1:00

答案就会趋向于无穷大。

用詞

tends towards zero ... tends towards infinity:趋近极限

这里,tends towards 表示“随着另一个数发生变化而越来越接近……”。towards 后面的词或量指出极限的目标或方向:tends towards zero 和 tends towards infinity 描述的都是变化方向。 在数学中,这种说法描述的是极限变化,而不是已经到达的数值。分母可以趋近于零却不等于零;结果趋向于无穷大时,会不断增大,而不是变成一个名为“无穷大”的普通数。

练习

一个数值越来越接近零,但可能永远不等于零。哪句话表达得最准确?

  1. The value tends towards zero.
  2. The value moves away from zero.
  3. The value is equal to zero.
查看答案

The value tends towards zero.

And that's not the same thing as saying that 10 / 0 is equal to infinity. 講解

1:03

而这并不等同于说 10 / 0 就等于无穷大。

表達脈絡

not the same thing as saying:否定错误的等同

that's not the same thing as saying that X 这个框架用来否定一种错误的等同。它告诉听者:前面的说法并不能推出 saying that 后面更强或不同的结论。 它分两步组织论证:先保留原本的说法,再划清这个说法没有表达什么。本句把“趋向于无穷大”和“除以零等于无穷大”这两个说法明确区分开。

练习

用高亮框架补全句子:The forecast says rain is possible. That is ____ it will definitely rain.

查看答案

not the same thing as saying

用詞

is equal to:表示精确的数学等值关系

is equal to 表示精确的等值关系:它前面的式子和后面的式子数值完全相同。结构是 A + be + equal to + B,因此 be 要与 A 保持一致。 在原句中,这个短语属于一个关于 10 / 0 的说法。说话人是在说,某个观点并不等同于提出这个等式;is equal to 只是标明所声称的等值关系,并不能证明它正确。

练习

用 be equal to 结构补全等式:Twelve divided by three ____ four.

查看答案

is equal to

Why not?

1:10

为什么不同呢?

Well, let's take a closer look at what division really means. 短語搭配

1:11

那么,让我们仔细看看除法的真正含义。

短語搭配

take a closer look at:转入深入分析

take a closer look at 表示更仔细或更深入地观察、检查某事。at 后面的对象可以是图片等具体事物,也可以是想法或问题等抽象内容。 与 Let's 连用时,说话人是在邀请听众一起研究这个话题。在讲解中,这个表达常用作过渡,把内容从提出问题推进到深入分析。

练习

用目标表达 take a closer look at 补全邀请:Let's ____ the evidence.

查看答案

take a closer look at

10 / 2 could mean

1:16

10 / 2 可以表示

how many times must we add 2 together to make 10? 語法

1:18

我们必须把多少个 2 加在一起才能得到 10?

語法

How many times must we ... to make ...?:询问达到目标所需的次数

How many times 询问动作重复的次数。在 How many times must we + 动词原形 ... to + 动词原形 ...? 这个结构中,must 表示该动作是必要的,to 引导的部分说明目标结果。 这里,add 2 together 表示不断在总和中加入一个 2,直到总数为 10。这个问题把 10 ÷ 2 改述为“多少个 2 能组成 10”:答案是五个。

练习

请用询问所需重复次数的短语补全问题:____ must we add 4 together to make 20?

查看答案

How many times

Or 2 * what equals 10?

1:22

或者 2 乘以多少等于 10?

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it in the following way. 用詞

1:26

除以一个数本质上是乘以它的逆运算,具体如下。

用詞

the reverse of multiplying by it / in the following way:结构切分

the reverse of + 名词或 -ing 形式用来指一个会抵消另一过程,或沿相反方向进行的过程。在 A is the reverse of B 中,A 和 B 被说明为互为逆向的过程。这里,it 指代 a number:除以这个数被描述为乘以这个数的逆运算。 高亮片段末尾的 in 不属于 the reverse of。它是 in the following way 的开头,提示接下来会给出解释或演示。

练习

哪句话明确表示一个过程会反向还原另一个过程?

  1. Unzipping a jacket is similar to zipping it up.
  2. Unzipping a jacket happens after zipping it up.
  3. Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.
查看答案

Unzipping a jacket is the reverse of zipping it up.

If we multiply any number by a given number x, 用詞

1:32

如果我们把任意数字乘以一个给定的数字 x,

用詞

a given number x:事先给定的数 x

这里的 given 是形容词,意思是“事先指定或选定的”。在 a given number x 中,x 表示一个被视为已经设定的数,即使它的实际数值没有写出来。 在数学和技术说明中,given 常用来标出题目已经设定的信息。它不是说这个数是别人当作礼物送来的。

练习

在说明“Choose a given value for x”中,given 是什么意思?

  1. 一直在变化
  2. 事先指定或选定
  3. 作为礼物收到
查看答案

事先指定或选定

we can ask if there's a new number we can multiply by afterwards

1:35

我们可以问,之后是否可以乘以一个新的数字

to get back to where we started. 短語動詞

1:39

来回到我们开始的地方。

短語動詞

get back to where we started:回到原来的状态

在 get back to where we started 中,get back to 表示“回到”,where we started 指最初的起点或状态。 这里使用的是比喻义:再进行一次乘法后,数值变回进行这些运算之前的值。同一个表达也可以表示让计划、讨论或流程恢复到较早的状态,并不要求真的移动到某个地点。

练习

哪个句子表示撤销修改后恢复了原来的状态?

  1. Undoing the update got us back to where we started.
  2. Undoing the update moved us to a new stage.
  3. Undoing the update forced us to start from scratch.
查看答案

Undoing the update got us back to where we started.

If there is,

1:42

如果有,

the new number is called the multiplicative inverse of x. 用詞

1:43

这个新数字就被称为 x 的乘法逆元。

用詞

x 的乘法逆元

在数学中,x 的乘法逆元是与 x 相乘后得到 1 的数。对任何非零的 x,它都可以写成 1/x;例如,5 的乘法逆元是 1/5。 短语 of x 指明原来的数是 x。0 没有乘法逆元,因为 0 乘以任何数都不可能等于 1。

练习

哪个数是 5 的乘法逆元?

  1. 0
  2. -5
  3. 1/5
查看答案

1/5

For example, if you multiply 3 by 2 to get 6,

1:47

例如,如果你把 3 乘以 2 得到 6,

you can then multiply by 1/2 to get back to 3.

1:51

你可以接着乘以 1/2 以回到 3。

So the multiplicative inverse of 2 is 1/2.

1:55

所以 2 的乘法逆元是 1/2。

And the multiplicative inverse of 10 is 1/10.

1:59

而 10 的乘法逆元是 1/10。

As you might notice, 表達脈絡

2:04

正如你可能注意到的,

表達脈絡

用 As you might notice, 温和地引导观察

As you might notice, 是放在句首的引导语,用来把听众的注意力带到已展示信息中可以观察到的规律或特征上。它把前面的证据或例子与说话人接下来的评论连接起来。 might 弱化了“听众已经注意到”的假设:听众也许看出来了,但说话人并不坚持认为他们一定看出来了。因此,它比以 Notice that 开头的直接指令更柔和。

练习

请用本课的四词短语补全句子;这个短语用于温和地引导听众注意可观察到的特征:____, both bars reach the same height.

查看答案

As you might notice

the product of any number and its multiplicative inverse is always 1. 用詞

2:05

任何数字与其乘法逆元的乘积始终为 1。

用詞

A 与 B 的乘积

在数学中,the product of A and B 表示“A 乘以 B 所得的结果”。这里 A 是 any number,B 是 its multiplicative inverse;product 在这里是数学名词“乘积”,不是日常所说的“产品”。 整个高亮名词短语是句子的主语。后面的 is always 1 才说明这个乘积的值。

练习

用表示乘法结果的名词补全数学句子:The ____ of 4 and 3 is 12.

查看答案

product

If we want to divide by zero, 語法

2:11

如果我们想除以零,

we need to find its multiplicative inverse,

2:13

我们需要找到它的乘法逆元,

語法

如果想……,就需要……

If we want to + 动词, we need to + 动词 这个框架把目标与必要行动连接起来。if 从句说明目标,含 need to 的主句说明为实现这个目标必须发生的事或必须采取的行动。 这里,这个框架用于建立一步推理:要考虑除以零,说话人先寻找零的乘法逆元。这个结构只说明必要条件,并不保证这个条件实际上能够满足。

练习

补全“目标—必要行动”框架:If we want to protect our passwords, we ____ keep them private.

查看答案

need to

which should be 1 / 0.

2:16

也就是 1 / 0。

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give 1. 語法

2:19

这必须是一个乘以零会得到 1 的数字。

語法

such a number that...:说明必须满足的性质

这里,such a number that... 表示一个符合要求的数,后面再说明它的性质。结构是 such + a/an + 单数可数名词 + that 从句。multiplying it by zero would give 1 这个从句说明这个假设的数必须具有什么性质。 虽然 such...that 常用来引出结果,但它在这里的作用是在数学论证中界定条件。应把 that 从句理解为这个数必须满足的检验条件。

练习

请用本课的确切结构 such a number that 完成这个数学描述:We need ____ doubling it gives twelve.

查看答案

such a number that

But because anything multiplied by zero is still zero, 語法

2:25

但因为任何数乘以零仍然是零,

語法

anything multiplied by zero:被动关系从句的简化形式

multiplied by zero 是放在 anything 后面的过去分词短语。它表示被动含义:anything 是动作的承受者。完整形式是 anything that is multiplied by zero。 这是简化的被动关系从句:that is 被省略,但 multiplied 保留下来。这种简洁的后置修饰在数学、科学及其他说明性文本中很常见。

练习

下面哪个完整关系从句与 anything multiplied by zero 意思相同?

  1. anything that multiplies zero
  2. anything that has multiplied zero
  3. anything that is multiplied by zero
查看答案

anything that is multiplied by zero

such a number is impossible.

2:29

这样的数字是不可能存在的。

So zero has no multiplicative inverse. 用詞

2:31

所以零没有乘法逆元。

用詞

zero has no multiplicative inverse 中的 has no + 名词

在 zero has no multiplicative inverse 中,has no + 名词把缺少的事物表述为主语不具备的东西。这里陈述的是一个数学事实:不存在一个数能与零相乘得到 1。 用 主语 + has/have no + 名词,可以直接说明某物缺少某个事物、结果或属性。no 已经使名词短语带有否定意义,因此不要再加 not。

练习

请用表示“三角形没有第四条边”的准确 has no + 名词短语完成句子:In ordinary geometry, a triangle ____.

查看答案

has no fourth side

Does that really settle things though? 表達脈絡

2:35

但这就真的下定论了吗?

表達脈絡

Does that really settle things though?:用质疑推动讨论

settle things 表示彻底解决当前问题。这个问句不只是索取信息:really 用来质疑前面的结论是否足够。 句末的 though 加入了类似“即便如此”或“不过”的转折。整个问句因此重新打开讨论,让讲解从看似已经有了答案转向更深一层的问题。

练习

在讨论中,说话人问 Does that really settle things though? 是在做什么?

  1. 确认讨论肯定已经结束
  2. 质疑之前的结论是否彻底解决了问题
  3. 请某人把几个物品排列好
查看答案

质疑之前的结论是否彻底解决了问题

After all, mathematicians have broken rules before. 表達脈絡

2:37

毕竟,数学家们以前也打破过规则。

表達脈絡

After all:引出支持理由的话语标记

After all 引出一个事实,用来支持或加强刚刚提出的观点。它像是在提醒听者考虑一个大概能够接受的理由,并不表示时间先后。 在本句中,它提示听者把数学家以前打破规则的事实和前面的主张或疑问联系起来。常见的信息结构是:观点或建议 + after all + 支持性事实。

练习

哪句话中的 after all 引出了支持前一句话的事实?

  1. We cleaned the room after all.
  2. We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.
  3. After all the meetings, we finally made a decision.
查看答案

We should ask Leo for help; after all, he has fixed this problem before.

For example,

2:40

例如,

for a long time there was no such thing as taking the square root of negative numbers. 講解

2:41

在很长一段时间里,不存在求负数平方根这种事。

語法

There was no such thing as ...:表示过去不存在

There was no such thing as ... 表示某类事物、做法或概念在过去某个时间并不存在、无法获得或尚未得到认可。可以复用的框架是 there was no such thing as + 名词或 -ing 形式。 在本句中,taking the square root of negative numbers 是一个 -ing 短语,用来指一种数学做法或概念。谈论现在时,则使用 there is no such thing as ...。

练习

用过去时的 no such thing as 结构补全句子:In 1900, ____ online banking.

查看答案

there was no such thing as

用詞

taking the square root of negative numbers:对负数求平方根

take the square root of X 是标准的数学表达,表示求出一个数,而这个数与自身相乘后等于 X。这里使用 taking,是因为整个运算接在 no such thing as 后面,被当作一种活动或概念来谈。 在这个数学表达中,take 不是实际“携带”或“拿走”某物的意思。

练习

使用 take + the square root + of 这一结构补全指令:To find the side length, ____ 81.

查看答案

take the square root of

But then mathematicians defined the square root of -1 as a new number called i, 短語搭配

2:47

但后来数学家们将 -1 的平方根定义为一个称为 i 的新数字,

短語搭配

defined X as Y ... a new number called i:定义并命名

define X as Y 表示将 X 明确定义为 Y 所描述的概念或身份。本句中,X 是 the square root of -1,Y 是 a new number,因此这个结构正式引入了一个数学定义。 called i 是修饰 a new number 的简化被动从句,完整形式是 a new number that is called i。两部分合在一起,既说明定义,也给出这个数的名称。

练习

使用 define X as Y 和 called 补全定义及命名句:We ____ a polygon with three equal sides ____ a special triangle ____ an equilateral triangle.

查看答案

define · as · called

opening up a whole new mathematical world of complex numbers. 講解

2:53

从而开启了一个全新的复数数学世界。

短語動詞

open up a whole new world of:开启全新的可能

这里的 opening up 表示让新的可能性或知识领域变得可接触,并不是实际打开某个物体。a whole new mathematical world of... 进一步加强了这种意思,把新领域比作一个可以探索的世界。 可复用的结构是 open up a whole new world of + 名词。它表示某件事让人接触到某个领域里的许多新可能。

练习

哪一句中的 opened up a whole new world of 表示“出现了许多新的可能性”?

  1. Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.
  2. Amir opened the kitchen window.
  3. Amir opened up a box of old photographs.
查看答案

Learning sign language opened up a whole new world of communication for Amir.

用詞

complex numbers:数学术语“复数”

complex numbers 是标准数学术语“复数”,指能写成 a + bi 形式的数,其中 a 和 b 是实数,且 i² = -1。例如,3 + 2i 是一个复数。 这里的 complex 是固定术语的一部分,不只是“难以理解”的意思。阅读时要把 complex number 作为一个完整的数学名称来理解。

练习

请用表示 a + bi 形式数字的标准数学术语完成句子:Numbers such as 3 + 2i are called ____.

查看答案

complex numbers

So if they can do that,

2:57

所以如果他们能那样做,

couldn't we just make up a new rule? 短語動詞

2:59

我们难道不能编造一条新规则吗?

短語動詞

make up a new rule:想出一条新规则

在 make up a new rule 中,make up 表示想出或创造一条原本不存在的规则。这里的 make up 是一个短语动词,不能按照 make 和 up 的字面意思分别理解。 宾语 a new rule 指明了被创造的内容。这种用法常见于为游戏、假设情境或临时解决办法制定规则时。

练习

请用表示“想出一条新规则”的重点表达完成句子:Before our new game begins, let's ____.

查看答案

make up a new rule

Say that the symbol infinity means 1 / 0 語氣意圖

3:01

比如假设无穷大符号的意思是 1 / 0

and see what happens? 短語搭配

3:05

然后看看会发生什么?

語氣意圖

用 Say that ... 引入临时假设

在这句话开头,Say that ... 表示“假设……”或“先设定……”。它不是要求某人把这些话说出来。 这个结构先设置一个临时定义或条件,再请听者探究由此产生的结果。它常见于口语讲解和思想实验。

练习

哪一句中的 Say 用来引入临时假设?

  1. Say the number five clearly.
  2. Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?
  3. Lena said that each box was heavy.
查看答案

Say that each box weighs five kilograms. What do four boxes weigh?

短語搭配

see what happens:观察未知结果

在这句话中,see what happens 表示“先尝试,再观察结果”。这里的 see 是“通过观察来弄清楚”,不只是“用眼睛看”。 what happens 是 see 后面的间接疑问从句。它让结果保持开放,表示说话人还没有断定会发生什么。

练习

请用本课中意为“观察未知结果”的三个词表达完成句子:Let's change one setting and ____.

查看答案

see what happens

Let's try it,

3:07

我们来试一试,

imagining we don't know anything about infinity already. 語法

3:08

想象我们对无穷大还一无所知。

語法

imagining we don't know...:补充一个假设

Imagining we don't know anything about infinity already 是现在分词从句,用来补充主句动作所采用的假设。说话人要求我们在这次思想实验中暂时放下已有知识。 imagining 的隐含主语是 we,也就是执行上下文主句动作的同一群人。在完整句中,这层意思可以展开为 while we imagine that we don't know anything about infinity already。

练习

哪一句明确表示主句主语就是进行 imagining 的人?

  1. The problem appeared on the screen, imagining that we knew nothing about the usual solution.
  2. Imagining that we knew nothing, the answer surprised us.
  3. We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.
查看答案

We explored the problem, imagining that we knew nothing about the usual solution.

Based on the definition of a multiplicative inverse, 短語搭配

3:11

根据乘法逆元的定义,

短語搭配

Based on the definition of:说明结论所依据的定义

Based on the definition of ... 表示接下来的结论是根据某个术语的定义得出的。它先点明推理所依据的定义。 结构是 Based on the definition of + 名词短语,后面再说结论。在字幕中,乘法逆元的定义是说话人进行下一步推理的依据。

练习

用表示“以定义为依据”的目标短语补全句子:____ a square, we know that it has four equal sides.

查看答案

Based on the definition of

0 * infinity must be equal to 1. 用詞

3:14

0 * 无穷大必然等于 1。

用詞

must be equal to:表示逻辑上必然相等

这里的 must 表示逻辑上的必然性,而不是命令或义务。must be equal to 1 表示说话人认为,按照相关定义或推理,1 是唯一可能的结果。 结构是“主语 + must be equal to + 数值”,常用于数学说明。它表示推导出的相等关系,但这个表达本身并不能证明推理一定正确。

练习

哪句话最明确地表示“根据规则,这个结果在逻辑上是必然的”?

  1. The result must be equal to ten.
  2. The result should be equal to ten.
  3. The result is equal to ten.
查看答案

The result must be equal to ten.

That means 0 * infinity + 0 * infinity should equal 2. 語法

3:18

这意味着 0 * 无穷大 + 0 * 无穷大应该等于 2。

語法

should equal 2:表示逻辑上的预期结果

在“should equal 2”中,should 标记根据当前假设或计算预期会得到的结果。意思是:“如果到目前为止的推理正确,结果就是 2。” 这里的 should 表示逻辑预期,不是建议或义务。结构是 should + 动词原形,所以要说 should equal,不能说 should to equal。

练习

请用 should equal 完成句子,表达预期结果:After counting both teams' points, the total ____ thirty.

查看答案

should equal

Now by the distributive property, 用詞

3:24

现在根据分配律,

用詞

by the distributive property:引用推理规则

在“by the distributive property”中,by 表示“根据”或“以……为依据”。这个短语点明了证明下一步所使用的数学规则。 把 by + 规则、定理或定义放在句子或步骤开头,可以先给出依据,再说明结果,从而组织推理过程。

练习

请用 by + 规则名称完成说明:____, 3(x + 2) = 3x + 6.

查看答案

By the distributive property

the left side of the equation can be rearranged to 0 + 0 * infinity. 語法

3:26

等式的左边可以重排为 (0 + 0) * 无穷大。

語法

can be rearranged to + 结果形式

can be rearranged to 的结构是“情态动词 can + 被动形式 be rearranged + to”。式子是被变形的对象,因此不需要说明是谁进行了代数运算。 to 引出变形后的形式。在数学中,这通常表示把式子改写成等值形式,而不是改变它的值。

练习

请用 can + rearrange 的被动形式 + to 完成句子:The equation ____ x = 6.

查看答案

can be rearranged to

And since 0 + 0 is definitely zero,

3:33

又因为 0 + 0 绝对是零,

that reduces down to 0 * infinity. 短語動詞

3:36

所以这简化为 0 * 无穷大。

短語動詞

reduces down to + 化简后的结果

reduces down to 表示“经过化简后变成更简单的形式”。主语是原来的式子,to 引出化简后的结果。在本句中,that 回指前面正在被化简的式子。

练习

请使用表示“化简为”的确切口语短语完成句子:After combining like terms, the expression ____ 3x.

查看答案

reduces down to

Unfortunately, we've already defined this as equal to 1,

3:39

不幸的是,我们已经将其定义为等于 1,

while the other side of the equation is still telling us it's equal to 2. 表達脈絡

3:43

而等式的另一边仍然告诉我们它等于 2。

表達脈絡

while the other side of the equation...:引出冲突结果的对照从句

这里的 while 表示“而、然而”,相当于 whereas 或 by contrast,不是“在……期间”。它引出方程另一边的信息,并把它与前面正在讨论的结果形成冲突。 把第二个结果放进 while 从句,可以让听者立刻看到不一致。is still telling us 是一种非字面的拟人说法,意思是方程仍然显示或表明这个值是 2。

练习

哪句话用 while 对照两个相互冲突的结论?

  1. The first report says the road is open, while the second says it is closed.
  2. While the printer was running, I answered an email.
  3. We waited inside while the storm passed.
查看答案

The first report says the road is open, while the second says it is closed.

So 1 = 2.

3:48

也就是 1 = 2。

Oddly enough, that's not necessarily wrong. 講解

3:51

奇怪的是,这不一定就是错的。

表達脈絡

Oddly enough:提示出人意料的信息

Oddly enough 会提前提醒听者,接下来的内容出人意料或与通常的预期相反。在本句中,它提示我们重新考虑“这个结果一定是错的”这一最初判断。 这个短语对后面的整个陈述作出评论。enough 在这里不表示某件事已经“足够奇怪”;这两个词共同组成一个固定表达。

练习

请用由 odd 构成、表示结果出人意料的固定两词短语完成句子:____, the old battery lasted longer than the new one.

查看答案

Oddly enough

語法

not necessarily wrong:并不等于 definitely right

在 not necessarily wrong 中,not 否定的是 necessarily。说话者否定“某事必然是错的”这一判断,因此两种可能都保留下来:它可能错,也可能没错。 这是一种谨慎的纠正,并不是在断言它肯定正确。想质疑一个绝对判断、但又不想断言相反结论时,可以使用 not necessarily + 形容词。

练习

“The plan is not necessarily wrong” 表示什么?

  1. 这个计划肯定是错的。
  2. 这个计划肯定是对的。
  3. 这个计划可能错,也可能没错。
查看答案

这个计划可能错,也可能没错。

It's just not true in our normal world of numbers. 表達脈絡

3:54

只是在我们通常的数字世界中它并不成立。

表達脈絡

just not true in our normal world of numbers:限定判断适用的范围

in our normal world of numbers 修饰 not true,说明这个判断在哪个范围内成立。说话者否定的是该说法在当前讨论的常见数系中成立,并不是宣称它在所有想象得到的体系中都不可能成立。 这里的 just 表示 simply,用来加强 not true 的语气,并不表示“只有”。真正限定范围的是 in 短语。“判断 + 适用范围”的组织方式能同时说明结论以及结论在哪个领域成立。

练习

哪句话把判断限制在一个领域内,而没有表示它在所有地方都不成立?

  1. Ordinary arithmetic is not a true rule.
  2. The rule is not true in ordinary arithmetic.
  3. The rule is never true in any system.
查看答案

The rule is not true in ordinary arithmetic.

There's still a way it could be mathematically valid 用詞

3:58

如果 1、2 以及其他每个数字都等于零,

用詞

mathematically valid:在数学上成立

在本句中,mathematically valid 表示“按照数学规则可以接受或成立”。mathematically 是副词,用来说明判断 valid 时采用的是数学标准。 这里的 valid 表示这个想法符合所采用的定义和规则,是“逻辑上成立”的意思,不是票据或文件“尚未过期”的意思。

练习

请用表示“按照数学规则可以接受”的两个英文单词完成句子:This unusual proof is ____.

查看答案

mathematically valid

if 1, 2, and every other number were equal to zero. 語法

4:00

它在数学上仍有可能是有效的。

語法

if ... were equal to zero:建立假设条件

if 引出一个假设条件:假定 1、2 和其他所有数的值都是 0。这个从句不是把它当作事实来陈述,而是构建一个非常规的数学情形,让另一个说法可以在该情形下被考察。 结构是 if + 主语 + 动词过去式。were equal to 表示“与……数值相等”。因为主语包含多个数,were 同时也符合复数主语的主谓一致,所以假设含义来自整个 if 从句及其语境,不能只根据 were 判断。

练习

哪句话使用 if + 过去式提出非事实条件,并用 would 给出结果?

  1. Because the map was accurate, we reached the hotel.
  2. If this map is accurate, we can follow it.
  3. If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.
查看答案

If every map were perfectly accurate, travelers would never get lost.

But having infinity equal to zero is ultimately not all that useful to mathematicians or anyone else. 用詞

4:05

但让无穷大等于零对数学家或任何其他人来说终究没那么有用。

用詞

not all that useful:较委婉的负面评价

在 not all that useful 中,all that 位于否定结构里,表示“达到那么高的程度”。所以整个短语意为“没那么有用”或“没有预想的那么有用”,通常不等于“完全没用”。 not all that + 形容词 这个结构会弱化负面评价。这里说话人是在判断这个想法的实际价值有限。

练习

请用本课所学、表示“没有预想的那么有用”的四词短语完成句子:The extra feature looks impressive, but it is ____ for most users.

查看答案

not all that useful

There actually is something called the Riemann sphere that involves dividing by zero by a different method, 文化背景

4:13

实际上有一种叫做黎曼球面的东西,它涉及用另一种方法除以零,

文化背景

the Riemann sphere:数学专名“黎曼球面”

the Riemann sphere(黎曼球面)是一个数学模型的专名:它由复平面加上一个额外的点组成,这个点叫作无穷远点。这个模型可以用球面来表示,因此名称中有 sphere。 这里,这个术语表示讨论无穷大的另一套数学框架。它不是指普通的实体球,也不是说普通算术允许除以零。

练习

句中的名称 the Riemann sphere 指什么?

  1. 一条允许在普通算术中除以零的规则。
  2. 一个用来演示除法的普通实体球。
  3. 一种在复平面上增加无穷远点的数学模型。
查看答案

一种在复平面上增加无穷远点的数学模型。

but that's a story for another day. 習語

4:19

但那是另一回事了。

習語

a story for another day:把话题留到以后

习语 a story for another day 表示“某个话题或解释以后再谈,现在不展开”。这里的 story 不是字面上的“故事”,也可以指背景、原因或细节。 说 that's a story for another day 时,说话人先承认这个旁支话题值得谈,再暂时收住它,以便继续主线。

练习

说话人想暂时略过一个不紧急的细节,继续主要讲解。哪句话最自然?

  1. How the machine learned that trick is a story for another day.
  2. How the machine learned that trick is a story from the other day.
  3. How the machine learned that trick is a story on another date.
查看答案

How the machine learned that trick is a story for another day.

In the meantime, 表達脈絡

4:22

在此期间,

表達脈絡

In the meantime:把注意力转回眼下

In the meantime 指等待某个预期事件、解释或下一步发生之前的这段时间,用来引出这段时间里发生或可以做的事情。 这里它还起到组织信息的过渡作用:前面的旁支话题已经推迟,所以这个短语把注意力拉回眼下重要的内容。放在完整句子的开头时,后面通常接说明当前情况或行动的分句。

练习

选择最合适的过渡语:The software update will finish in an hour. ____, you can back up your files.

  1. For the time being
  2. In the meantime
  3. At the same time
查看答案

In the meantime

dividing by zero in the most obvious way doesn't work out so great. 短語動詞

4:23

用最显而易见的方式除以零效果并不那么好。

短語動詞

doesn't work out so great:结果不太理想

这里的 work out 表示“发展到某种结果”或“最后产生某种结果”。当主语是方法或情况时,doesn't work out 表示结果不成功或不理想。 Doesn't work out so great 是较口语、略带淡化的说法,相当于“结果不太好”。它比直接说 fails 语气更轻。

练习

“The experiment didn't work out so great.” 表示什么意思?

  1. 实验结果令人失望。
  2. 实验涉及体育锻炼。
  3. 实验非常成功。
查看答案

实验结果令人失望。

But that shouldn't stop us from living dangerously 語法

4:27

但这不应该阻止我们大胆行事,

語法

shouldn't stop us from living dangerously:不该阻止我们大胆尝试

stop + 人 + from + -ing 表示“阻止某人做某事”。在 shouldn't stop us from living 中,us 是受影响的人,from 是介词,因此 living 要用 -ing 形式。 shouldn't stop us from ... 表示某个问题或挫折不应成为下一步行动的阻碍。这里的 living dangerously 是带玩笑的夸张说法,意思是继续大胆尝试,并不是真正的安全建议。

练习

请用 stop + 人 + from + -ing 结构补全句子:One mistake shouldn't ____.

查看答案

stop us from trying again

and experimenting with breaking mathematical rules 短語搭配

4:30

去尝试打破数学规则,

短語搭配

experimenting with breaking:experiment with + -ing 结构

experiment with doing something 表示尝试一种方法或行动,观察会发生什么。这里,breaking mathematical rules 是被拿来探索的做法,并不是说这些规则已经被打破了。 在这个结构中,with 是介词,所以后面的动词用 -ing 形式:experiment with breaking,而不是 experiment with break。

练习

用 experiment with + rearrange 的正确形式补全句子:The team is ____ the pieces to see what works best.

查看答案

experimenting with rearranging

to see if we can invent fun new worlds to explore. 講解

4:33

看看我们能否发明出有趣的新世界去探索。

語法

to see if we can invent:表达目的

to see if we can invent 说明前面某个行动的目的:做这个行动,是为了弄清楚是否有可能创造出某物。这里的 see 表示“弄清楚”,if 表示“是否”,不是表示条件的“如果”。 可复用的结构是 action + to see if + subject + can + base verb。can 后用动词原形 invent,不用 invents 或 to invent。

练习

用 to see if... 这一目的结构补全句子:Let's test the materials ____ build a stronger bridge.

查看答案

to see if we can

習語

fun new worlds to explore:把抽象领域比作可探索的世界

这里的 fun new worlds 不是指真正的星球或地点。它把按照新规则构建的数学系统比作人们可以进入并研究的世界。to explore 说明可以对这些世界做什么:检验规则,发现会出现哪些可能性。 这个比喻把抽象活动变成了一场冒险,传达出好奇、实验和发现的感觉,而不是普通的旅行。

练习

在下面的句子中,new worlds 最可能表示什么?A good story gives readers new worlds to explore.

  1. 新的思想和想象中的可能性
  2. 新发现的行星
  3. 用来存放书籍的新房间
查看答案

新的思想和想象中的可能性

For more mind-bending math, 用詞

4:38

想要了解更多烧脑的数学知识,

用詞

mind-bending math:用复合形容词描述挑战思维的数学

mind-bending 是一个复合形容词,表示某事非常惊人、奇特或复杂,会挑战人们原有的思考方式。这里的 mind-bending math 指乍看难以想象或理解、同时又令人惊叹的数学内容。 它不是字面上的“把思维掰弯”。连字符把 mind 和 bending 连接起来,使它们在 math 前共同充当一个形容词。

练习

用本课学到的复合形容词补全句子:The science show presents a ____ idea that challenges everything we assume about time.

查看答案

mind-bending

check out this playlist.

4:40

请查看此播放列表。