无穷大有多大? - 丹尼斯·威尔德福格尔 (Dennis Wildfogel):英语精读讲义

TED-Ed

学习难度
1,343 词 217 词/分

视频简介:本视频从一一对应讲到康托尔对角线论证,再延伸至连续统假设与数学证明的边界,说明为什么不同的无限集合可以具有不同大小,以及数学为何也存在无法判定的问题。 主要英语知识点: 1. So what we really mean when we say that two sets are the same size, is that — 语篇、叙事与修辞。理解讲者如何从“大小相同”这一凭直觉理解的说法转入严格定义,并用后续从句明确数学论证所需的准确判定标准;学习者也可用这一框架澄清前文术语,避免定义停留在模糊印象上。 2. not because it's crazy or anything, but because — 语法与句型。识别 not because ..., but because ... 如何先排除一个容易产生却不正确的解释,再补充真正原因;可用于说明术语来源、纠正听众的想当然理解,并让对比关系比单独陈述原因更清楚。 3. completely unexpected, paradigm-shattering way. — 词义与语域。理解 paradigm-shattering 是语气强烈、偏学术的复合形容词,用来形容足以推翻既有理论框架的发现;能够区分它与 surprising、new 等一般词在评价力度和正式程度上的差异。

本篇讲解

When I was in fourth grade, 語法

0:13

当我上四年级时,

my teacher said to us one day,

0:15

有一天我的老师对我们说:

語法

When I was in fourth grade:设置过去的时间背景

When I was in fourth grade 是一个由 when 引导的从句,把故事定位在过去的一个人生阶段。它先向听者交代时间背景,主句再说明发生了什么。 你可以用 When I was + 年龄、身份或人生阶段来开始讲述回忆,例如 When I was ten 或 When I was a new student。

练习

“When I was in fourth grade”在这句话中起什么作用?

  1. 它说明老师为什么说那句话。
  2. 它表示这件事反复发生。
  3. 它为过去发生的事件设置时间背景。
查看答案

它为过去发生的事件设置时间背景。

"There are as many even numbers as there are numbers." 語法

0:16

“偶数的数量和所有数字的数量一样多。”

語法

There are as many ... as there are ...:比较相等数量

There are as many A as there are B 这一结构表示 A 类事物和 B 类事物的数量相等。many 修饰复数可数名词,第二个 as 引出比较从句。 在这个从句里,there are 表示“存在、有”,there 不是地点词。这里比较的是偶数和被称为 numbers 的那个集合。在这条关于无限集合的数学陈述中,数量相等是指两个集合的成员能够一一配对,而不是有人一直数到了尽头。

练习

使用 as many ... as 结构,并在比较从句中重复 there are:There are ____ blue cards ____ red cards.

查看答案

as many · as there are

Really, I thought?

0:19

真的吗,我想?

Well, yeah.

0:21

也是。

There are infinitely many of both, 用詞

0:21

两者都有无穷多个,

用詞

infinitely many:数量没有尽头

“infinitely many”表示数量永远数不完:不管已经列出多少个,后面总还有更多。本句中的“many”代指所讨论的两类事物各自的成员,因此两类的成员数都是无限的。 “infinitely”是修饰“many”的副词。它用于可数事物,如“infinitely many numbers”。“infinite many”不是规范英语。

练习

哪句话能自然地表达“质数的数量没有尽头”?

  1. There are infinite many prime numbers.
  2. There are infinitely much prime numbers.
  3. There are infinitely many prime numbers.
查看答案

There are infinitely many prime numbers.

so I suppose there are the same number of them.

0:23

所以我猜它们的数量是一样的。

But on the other hand, 表達脈絡

0:25

但另一方面,

the even numbers are only part of the whole numbers. 用詞

0:26

偶数只是整数的一部分。

表達脈絡

But on the other hand:引出形成对照的另一面

“But on the other hand”表示论述要转向同一问题中另一个形成对照的方面。它的作用是组织推理,而不是单纯表示“接下来”或补充另一个相似事实。 前面提到两类数都是无限的,这个短语随后把注意力转向两类数之间的关系:偶数只是非负整数的一部分。“But”让对比更加明显,而“on the other hand”也可以不和“But”一起使用。

练习

哪个选项使用“on the other hand”引出了真正的对比?

  1. The laptop is light. On the other hand, its battery life is short.
  2. The laptop is light. On the other hand, I bought it on Tuesday.
  3. The laptop is light. On the other hand, it is easy to carry.
查看答案

The laptop is light. On the other hand, its battery life is short.

用詞

part of the whole numbers:集合关系

在这句话中,part of 表示集合关系:这里讨论的偶数属于更大的 whole numbers 集合,但并不构成整个集合。 whole numbers 是学校数学中的术语,指 0、1、2、3……这样的非负整数。这里 whole 不是“完整的”或“没有缺位的”;它是这个数类名称的一部分。

练习

哪句话正确说明了例句中的集合关系?

  1. The even whole numbers make up only part of the whole numbers.
  2. Even numbers and whole numbers are exactly the same set.
  3. Every whole number is even.
查看答案

The even whole numbers make up only part of the whole numbers.

All the odd numbers are left over. 短語動詞

0:29

所有奇数都被剩下了。

短語動詞

are left over:说明什么东西剩下

are left over 表示在其他事物被分类、配对、使用或取走后“仍然剩下”。这里,奇数是处理了另一组之后余下的数。 可迁移的结构是 be + left over。be 要和主语保持一致:one number is left over,但 several numbers are left over。over 是固定表达的一部分,不表示“在上方”或“超过”。

练习

用 left over 的正确形式完成句子:After everyone takes one cookie, two ____.

查看答案

are left over

So there's got to be more whole numbers than even numbers, 語法

0:30

所以整数肯定比偶数多,

right?

0:32

对吧?

語法

So there's got to be:作出强有力的结论

在这句话中,So 把后面的说法呈现为说话人根据推理得出的结论。There's got to be 意思是“there has got to be”:说话人非常确信某事物一定存在或某个判断一定成立。这里它引出 more whole numbers than even numbers 这一内容。 这里的 got to 属于 have got to 结构,不是表示“到达”的 get。句末的 right? 请听者确认这个结论,虽然说话人的语气已经很肯定。

练习

请用本课中表示“there must be”的口语表达完成句子:The totals do not match, so ____ a mistake somewhere.

查看答案

there's got to be

To see what my teacher was getting at, 短語動詞

0:33

为了理解我老师的意思,

短語動詞

getting at:某人真正想表达的要点

这里的 get at 表示“试图传达某个意思或让别人理解”。What my teacher was getting at 指老师真正想表达的要点或想法,尤其是没有直接说出来的内容。 常见结构是 what + person + be + getting at,例如 I see what you're getting at。这里的 what 指想要传达的要点,不是某个要伸手触及的实物。

练习

请用本课中表示“试图传达背后的要点”的表达完成句子:I understand your example now, and I see what you're ____.

查看答案

getting at

let's first think about what it means for two sets to be the same size. 語法

0:35

让我们先思考一下两个集合大小相同意味着什么。

語法

用 what it means for ... to ... 界定概念

这里,what it means for two sets to be the same size 是 think about 后面的名词性从句。在从句内部,for two sets 指出 to be the same size 的逻辑主语。 what it means for A to do/be B 这个框架把抽象名称转化为对准确定义或成立条件的探究。当你需要说明某个概念如何适用于特定事物或群体时,可以使用它。

练习

用 what it means for ... to ... 这个框架完成句子:Engineers must decide ____ a bridge to be safe.

查看答案

what it means for

What do I mean when I say I have the same number of fingers on my right hand 表達脈絡

0:39

当我说我右手的手指数量

as I do on my left hand?

0:42

和左手一样多时,我是什么意思?

表達脈絡

用 What do I mean when I say ...? 自我澄清

What do I mean when I say ...? 是一个说话者问自己的问题。说话者在 when I say 后重述一个说法,再询问这个说法应该怎样理解。 在教学中,说话者通常已经知道答案。这个问题用于组织讲解,提示接下来会给出定义、例子或检验这一说法的方法。

练习

一位演讲者想停下来澄清自己所说的“计划很灵活”。哪个问题表达了正确的意思?

  1. What do I mean when I say the plan is flexible?
  2. What do you mean when you say the plan is flexible?
  3. When do I say that the plan is flexible?
查看答案

What do I mean when I say the plan is flexible?

Of course,

0:44

当然,

I have five fingers on each.

0:44

我每只手都有五根手指。

But it's actually simpler than that.

0:46

但实际上比这更简单。

I don't have to count. 語法

0:48

我不需要去数。

語法

don't have to count:表示没有必要,而不是禁止

don't have to + 动词原形表示没有必要或没有义务做这个动作。这个动作仍然可以做。本句中,数数只是可选方法,因为还可以用另一种方法完成判断。 否定词 don't 去掉的是 have to 表达的必要性,并没有形成禁止。这个结构把“不必做”和“不许做”区分开来。

练习

午餐已经提供,但自己带食物也可以。哪句话表示带食物没有必要,而不是被禁止?

  1. You can't bring food; lunch is provided.
  2. You don't have to bring food; lunch is provided.
  3. You mustn't bring food; lunch is provided.
查看答案

You don't have to bring food; lunch is provided.

I only need to see that I can match them up one to one. 講解

0:49

我只需要看到我可以将它们一一对应起来。

短語動詞

can match them up:把项目正确配对

can match them up 表示能够把这些项目配成对,让每个项目都和另一个项目对应。本句中,说话人只需确认能否建立一一对应关系。 match up 是可分开的短语动词。宾语是 them 这样的代词时,代词要放在 match 和 up 之间:match them up。两组事物都明确说出时,可以用 match A up with B,例如 match the names up with the photos。

练习

你有一份姓名列表和一组照片。哪条指令正确地使用代词 them,表示把姓名与照片配对?

  1. Match them out with the correct photos.
  2. Match them up with the correct photos.
  3. Match up them with the correct photos.
查看答案

Match them up with the correct photos.

用詞

one to one:两组项目一一配对

这里,one to one 说明项目如何配对:第一组中的每个项目都与第二组中一个不同的项目配成一对。在本句语境中,说话人是在检查两组是否能完全配对,没有项目被重复使用,也没有项目剩下。 这个短语位于 match them up 之后,起副词作用,回答“怎样配对”。放在名词前时通常加连字符,例如 a one-to-one match 或 a one-to-one relationship。

练习

哪一句表示每条客户记录都与一条不同的账户记录配对?

  1. Customer records are checked one by one before lunch.
  2. Each customer record is matched one to one with an account record.
  3. Each customer record is matched with every account record.
查看答案

Each customer record is matched one to one with an account record.

In fact,

0:52

事实上,

we think that some ancient people,

0:53

我们认为一些古代人,

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three, 語法

0:54

那些说着没有大于三的数字词汇的语言的人,

used this sort of magic.

0:58

就使用了这种魔法。

語法

who spoke languages that didn't have ...:两层嵌套定语从句

由逗号标出的 who spoke ... 从句补充说明 some ancient people。这个从句内部,that didn't have words for numbers greater than three 修饰的是 languages,而不是 people。外层关系代词 who 指人,内层关系代词 that 指 languages。 分析时,先把 we think that 后面的内容缩成主干 some ancient people used this sort of magic,再把 [who spoke languages [that didn't have ...]] 接回 people。由外向内读,就不容易把两层说明接错名词。

练习

哪一句包含外层修饰 scientists 的关系从句,并在其中嵌套了修饰 language 的第二个关系从句?

  1. The scientists studied a language that has no written form, and they recorded its stories.
  2. The scientists, who studied a language that has no written form, recorded its stories.
  3. The scientists, who carried audio recorders, studied a language and recorded its stories.
查看答案

The scientists, who studied a language that has no written form, recorded its stories.

For instance,

0:59

比如,

if you let your sheep out of a pen to graze, 講解

1:00

如果你把羊放出羊圈去吃草,

短語動詞

let your sheep out of a pen:让人或动物离开一个地方

let your sheep out of a pen 表示允许或放出羊,让它们从羊圈里面移动到外面。结构是 let + 宾语 + out of + 地点:your sheep 是宾语,a pen 是它们离开的地方。 如果起点已经很清楚,可以说 let the sheep out。宾语是代词时,仍放在 let 后面:let them out of the pen。

练习

一只狗正在门边等着,可以自己走到外面。哪一句是在请别人允许它离开屋子?

  1. Please let the dog out of the house.
  2. Please take the dog out of the house.
  3. Please get the dog out of the house.
查看答案

Please let the dog out of the house.

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one, 講解

1:02

你可以通过为每只羊留下一块石头来记录出去了多少只羊,

短語搭配

can keep track of:持续掌握变化中的信息

keep track of 表示持续了解或记录会变化的信息,比如数量、位置或进度。在本句中,can keep track of how many went out 表示可以一直准确掌握出去的数量。 把 keep track of 作为一个整体短语来理解。of 后可以接名词短语,如 the score,也可以接说明信息内容的从句,如 how many went out。

练习

用表示“持续掌握”的短语完成句子:Use this chart to ____ your weekly reading time.

查看答案

keep track of

語法

by setting aside a stone:用 by + -ing 表示方法

by setting aside a stone 说明用来完成计数的方法:每出去一个,就把一块石头放到一边,从而得到前面的结果。 要说明某事是“用什么方法”完成的,可以用 by + -ing 形式:应说 by setting,不能说 by set 或 by to set。在这里,set aside 表示把某物单独放在一边,或留作特定用途。

练习

用 by + set aside 的 -ing 形式完成句子:You can save for the trip ____ a little money each week.

查看答案

by setting aside

and then putting those stones back one by one when the sheep return, 短語搭配

1:06

然后在羊回来时把这些石头一块一块放回去,

短語搭配

one by one:逐个按顺序进行

one by one 表示一组中的人或事物按顺序分别被处理:一个接一个,而不是同时全部进行。本句中,羊回来时,石头被逐块放回。 one by one 放在它所描述的动作之后。它可以用于人、物品或任务,表示同一个动作按顺序逐一发生在每个对象上。

练习

请用表示“分别、按顺序”的重点短语完成句子:The coach checked the helmets ____.

查看答案

one by one

so that you know if any are missing without really counting. 語法

1:09

这样你不用去数就能知道是否有羊走丢了。

語法

if you let your sheep out ... to graze:设置条件并说明目的

if 从句构建了一个具体、可想象的情境:假设你把羊放出羊圈。主句接着说明在这种情境下可以采用什么方法。这是把抽象解释变成直观例子的常见方式。 在这个条件中,to graze 说明把羊放出去的目的:它们出去是为了吃草。可迁移的模式是 if + 情境,后接结果或方法,再用 to + 动词原形说明做某个动作的目的。

练习

哪一句自然地用 if 设置情境,并用 to + 动词说明目的?

  1. If you to put the seed by the window give it more light, check the soil each day.
  2. If you put the seed by the window for give it more light, check the soil each day.
  3. If you put the seed by the window to give it more light, check the soil each day.
查看答案

If you put the seed by the window to give it more light, check the soil each day.

語法

so that you know if any are missing:说明目的并引出间接“是否”问句

在这句话中,so that 引出前一个动作的目的:用这种方式处理石头,是为了让你能判断是否少了任何一个。结构“动作 + so that + 完整从句”把一种做法和它想达到的结果连接起来。 在这个从句里,if 表示“是否”,不是“如果……就……”的条件。它在 know 后引出一个答案为“是或否”的间接问句:if any are missing。这里的 any 指这组中的任何一个成员。

练习

哪一个句子正确地把一个动作与其目的连接起来,然后间接询问是否有遗漏?

  1. Check the list so that you know if any names are missing.
  2. Check the list for you know if any names are missing.
  3. Check the list so that knowing if any names are missing.
查看答案

Check the list so that you know if any names are missing.

As another example of matching being more fundamental than counting, 表達脈絡

1:12

匹配比数数更基础的另一个例子是,

表達脈絡

As another example of ...:为同一观点补充例证

As another example of ... 表示说话人正在补充第二个或后续例子,而不是转换话题。新例子会继续支持同一个观点;这里的观点是 matching 比 counting 更为根本。 这个短语一方面回指前面已经讲过的例子,另一方面预告接下来要出现的新例子。another 告诉听者:此前至少已经有一个例子。

练习

在这句话中,As another example of ... 表示什么?

  1. 说话人正在转向一个无关的话题。
  2. 说话人正在添加一个支持同一观点的新例子。
  3. 说话人正在纠正前面的观点。
查看答案

说话人正在添加一个支持同一观点的新例子。

if I'm speaking to a packed auditorium, 用詞

1:15

如果我在一个座无虚席的礼堂里演讲,

用詞

a packed auditorium:挤满人的礼堂

在 a packed auditorium 中,packed 表示礼堂里挤满了人,几乎没有空座或空余空间。它生动地呈现出人群密集的感觉;这里不是说这栋建筑被“打包”了。 a packed + 场所也可用于 theater、stadium 或 train 等地点,表示那里通常挤满了人。

练习

哪句话中的 packed 表示一个场所里挤满了人?

  1. We packed our costumes into two suitcases.
  2. The lunches were packed before sunrise.
  3. The auditorium was packed with excited families.
查看答案

The auditorium was packed with excited families.

where every seat is taken and no one is standing, 語法

1:17

所有的座位都被占满了,也没有人站着,

語法

where every seat is taken ...:用关系从句描述地点

这里的 where 引导关系从句,描述前面提到的 auditorium(礼堂)。它相当于“在那个礼堂里”,并不是在询问地点。 where 后面的 every seat is taken 和 no one is standing 都是完整分句,用来说明该地点内部的状态。可以用“地点名词 + where + 主语 + 动词”补充那里发生的事或存在的情况。

练习

哪一句在地点名词后直接使用 where,说明那里发生的事?

  1. The room that we reserved for meetings is upstairs.
  2. The room where we hold our meetings is upstairs.
  3. We asked where the meeting was.
查看答案

The room where we hold our meetings is upstairs.

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

1:20

我就知道椅子的数量和观众的数量一样多,

even though I don't know how many there are of either. 語法

1:23

尽管我不知道具体有多少把椅子或多少名观众。

語法

even though I don't know ...:承认限制但保留结论

even though 引出让步关系。说话者承认一个真实存在的限制——自己不知道两组各自的确切数量——但同时表示前面的结论仍然成立。这个结构把已承认的事实与一个不受其影响的主要观点连接起来。 在 how many there are of either 中,either 指前面提到的两组中的任意一组。这个短语谈的是这两组各自的数量,而不是让人从中选择一组。

练习

哪一句承认确切总数未知,但仍保留“可以比较”这一结论?

  1. Because the exact total is unknown, the two groups cannot be compared.
  2. Even though the exact total is unknown, the two groups can still be compared.
  3. Even if the exact total becomes known, the two groups can be compared.
查看答案

Even though the exact total is unknown, the two groups can still be compared.

So what we really mean when we say that two sets are the same size, 表達脈絡

1:25

所以当我们说两个集合大小相同时,我们真正的意思是,

is that the elements in those sets can be matched up one by one in some way.

1:29

这些集合里的元素可以通过某种方式一一对应。

表達脈絡

what we really mean ... is that ...:给出精确定义

what we really mean when we say X is that Y 这个框架把一个熟悉但较宽泛的说法 X 转成精确定义 Y。what 从句是 is 的主语,that 从句说明准确含义。 在这里,X 是 two sets are the same size,Y 是其中的元素能一一配对这一规则。So 把听者从前面的讨论带到这个定义。

练习

在这句话中,is that 后面的信息起什么作用?

  1. 它为 two sets are the same size 这个说法给出精确定义。
  2. 它引入一个与该说法无关的独立话题。
  3. 它表示说话者不确定这个说法是否有任何含义。
查看答案

它为 two sets are the same size 这个说法给出精确定义。

So my fourth grade teacher showed us the whole numbers laid out in a row, 短語動詞

1:33

所以我四年级的老师向我们展示了一排排列的整数,

短語動詞

laid out in a row:排列并展示成一行

laid out in a row 表示“被排好并以一条直线展示”。在本句中,它说明这些非负整数是怎样呈现的:一个接一个排成一行。 laid out 是放在所修饰名词后面的过去分词短语。the whole numbers laid out in a row 可以展开为 the whole numbers that were laid out in a row。lay 的过去分词是 laid,不是 layed。

练习

哪句话表示卡片被排列并展示成一条直线?

  1. The cards were put back into a box on the table.
  2. The cards were laid out in a row on the table.
  3. The cards were spread randomly across the table.
查看答案

The cards were laid out in a row on the table.

and below each we have its double.

1:36

并在每个数字下面写上它的两倍。

As you can see, 表達脈絡

1:37

如你所见,

the bottom row contains all the even numbers,

1:39

底下一排包含所有的偶数,

表達脈絡

As you can see:把注意力引向可见证据

As you can see 是演示或讲解中的提示语。它让听者查看已经看得到的证据,并为后面的观察结论做铺垫。 在本句中,它先把注意力引向画面中的底部一行,然后说明这一行包含什么。它用于组织讲解,并不是在询问听众能不能看见。

练习

演讲者正在展示一张图表。哪句话最自然地把听众的注意力引向看得到的趋势?

  1. I cannot show you the chart, but the red line rises after June.
  2. To change the subject, the red line rises after June.
  3. As you can see, the red line rises after June.
查看答案

As you can see, the red line rises after June.

and we have a one-to-one match.

1:41

我们有了一一对应。

That is,

1:42

也就是,

there are as many even numbers as there are numbers. 語法

1:43

偶数的数量和所有数字的数量一样多。

語法

there are as many A as there are B:数量相同

there are as many A as there are B 表示 A 类事物的数量与 B 类事物的数量相同。many 用于复数可数名词;第二个 there are 让比较的另一边也成为完整分句。 本句中 A 是 even numbers,B 是 numbers。它比较的是两组中项目的数量,而不是比较某个数字本身的大小或数值。

练习

哪句话正确表示铅笔和笔记本的数量相同?

  1. There are as much pencils as there are notebooks.
  2. There are as many pencils than there are notebooks.
  3. There are as many pencils as there are notebooks.
查看答案

There are as many pencils as there are notebooks.

But what still bothers us is our distress over the fact 語法

1:45

但仍然困扰我们的是,我们对这个事实感到苦恼:

that the even numbers seem to be only part of the whole numbers. 語法

1:48

偶数似乎只是整数的一部分。

語法

What still bothers us is ...:把困扰放在句首

“what still bothers us”是一个由 what 引导的从句,在句中整体作主语。这里的 what 相当于“the thing that(……的事情)”,所以这个从句表示“仍然困扰我们的事情”。后面的 is 再指出这件事具体是“our distress over the fact ...”。 把 what 从句放在句首,会形成 What ... is ... 的焦点结构:先提出困扰,再说明它的具体来源。想让听者关注某种反应或问题的确切原因时,可以使用这种结构。

练习

哪句话正确使用了 what 从句,把主要的担忧放在句首?

  1. The missing safety report concerns the team.
  2. The team is concerned about the missing safety report.
  3. What concerns the team is the missing safety report.
查看答案

What concerns the team is the missing safety report.

語法

seem to be:表达表象,而非确定结论

seem to be 后接补足成分,表示某个结论只是表面现象或当前印象,而不是已经确认的事实。在原句中,“seem to be only part”表示偶数看起来只构成全体非负整数的一部分。 这种距离感在论证中很重要:说话人可以先描述事物看上去是什么样子,而不把它直接说成最终或完整的结论。

练习

你还没有测试这个新方法,只想描述初步印象。哪句话最合适?

  1. The new method used to be effective.
  2. The new method seems to be effective.
  3. The new method is definitely effective.
查看答案

The new method seems to be effective.

But does this convince you 語氣意圖

1:51

但这能让你相信

that I don't have the same number of fingers on my right hand as I do on my left?

1:53

我右手的手指数量和左手不一样多吗?

語氣意圖

“But does this convince you ...?”:质疑证据是否充分

Does this convince you that ...? 是在问,证据是否足以让听者接受后面的主张。convince 后接被说服的人 you,that 从句说明要让对方相信的主张。 这里是反问,讲者预期的答案是“不”。句首的 But 反驳前面的推理,引导听者自己检验推理,而不是直接接受结论。

练习

讲者使用“But does this convince you ...?”主要是在做什么?

  1. 他在表示这个主张已经得到证明。
  2. 他在确认听者是否听清了这些词。
  3. 他在要求听者判断证据是否真的支持这个主张。
查看答案

他在要求听者判断证据是否真的支持这个主张。

Of course not.

1:56

当然不能。

It doesn't matter if you try to match the elements in some way and it doesn't work, 語法

1:57

如果你试图用某种方式匹配元素但没有成功,那是无关紧要的,

that doesn't convince us of anything.

2:01

那不能证明任何事情。

語法

“It doesn't matter if ...”:排除不影响结论的条件

It doesn't matter if ... 表示 if 从句中的情况不会改变当前的判断或结论。在本句中,某一种元素匹配方式可能失败,但这次失败本身并不是有用的证据。 这里的 if 接近 even if 或 whether or not。它不是设定一个决定结果的条件,而是先承认一种可能性,再把它作为无关因素排除。

练习

请用本课的四词表达补全句子,表示这个可能的失败无关紧要:____ our first plan fails; we can try a different one.

查看答案

It doesn't matter if

If you can find one way 語法

2:02

如果你能找到一种方式,

in which the elements of two sets do match up,

2:04

让两个集合的元素能够匹配,

then we say those two sets have the same number of elements.

2:06

那我们就说这两个集合拥有相同数量的元素。

語法

If you can ..., then we say ...:设定判定标准

If you can ..., then we say ... 这一结构先给出判定条件,再给出满足条件后使用的名称或结论。if 从句说明条件,then we say 引出对事物的描述。 这里,只要找到一种能让元素对应起来的方式,就满足了条件。we say 表示共同采用的数学定义或约定,而不只是“我们开口说”。

练习

哪一句先给出条件,再说明满足条件时所使用的名称?

  1. If every side is equal, then we say the triangle is equilateral.
  2. If every side is equal, then we measure the triangle carefully.
  3. We say every side is equal if the triangle is equilateral.
查看答案

If every side is equal, then we say the triangle is equilateral.

Can you make a list of all the fractions? 短語搭配

2:10

你能列出所有的分数吗?

短語搭配

make a list of ...:说明清单包含什么

Make a list of X 表示把 X 收集起来或逐项写成清单。of 后面的名词短语说明清单里包含什么。 在 Can you make a list of ...? 中,Can you...? 在这里是中性地提出任务或请求,不只是在询问对方有没有能力。

练习

请使用以 make 开头、表示“列出并组成清单”的四词短语完成句子:Can you ____ the materials we need for the experiment?

查看答案

make a list of

This might be hard.

2:12

这可能很难。

There are a lot of fractions,

2:13

有很多的分数,

and it's not obvious what to put first 語法

2:15

而且不清楚该把什么放第一,

or how to be sure all of them are on the list.

2:17

或者如何确保所有的分数都在列表上。

語法

it's not obvious what to ... or how to ...:并列两个未解决的问题

这里,it's not obvious 表示答案无法轻易看出或确定。它引出两个尚未解决的问题:what to put first 询问选择或顺序,how to be sure 询问检查是否完整的方法。 在 not obvious 后面,可以用“疑问词 + to + 动词原形”简洁地表达一个悬而未决的问题。这两个从句用 or 连接,因为两方面都可能不清楚,例如 what to do、where to start 或 how to check。

练习

哪句话在 not obvious 后正确使用了两个并列的“疑问词 + to + 不定式”从句?

  1. It's not obvious to where begin or to how organize the files.
  2. It's not obvious where begin or how organizing the files.
  3. It's not obvious where to begin or how to organize the files.
查看答案

It's not obvious where to begin or how to organize the files.

Nevertheless, 表達脈絡

2:19

尽管如此,

there is a very clever way

2:20

还是有一种非常聪明的方法

that we can make a list of all the fractions.

2:22

让我们列出所有的分数。

表達脈絡

Nevertheless:从困难推进到形成对比的结果

Nevertheless 表示“尽管刚才说的是那样”。它作为句首连接副词,告诉听者:前面提到的困难并不会推翻后面的陈述。 这里,它把说明从问题推进到形成对比的解决办法:列出所有分数看起来很难,但巧妙的方法仍然存在。

练习

The trail was steep. 哪句话最适合引出一个与这个困难形成对比的结果?

  1. Nevertheless, we reached the top before sunset.
  2. Therefore, we reached the top before sunset.
  3. For example, we reached the top before sunset.
查看答案

Nevertheless, we reached the top before sunset.

This was first done by Georg Cantor in the late 1800s. 語法

2:24

这是乔治·康托尔在1800年代末首次做到的。

語法

This was first done by ... in the late 1800s:用被动语态说明首创者和年代

这句话使用一般过去时的被动语态:This 指前面已经提到的事物或方法,was done 表示有人完成了它,by Georg Cantor 说明执行者。first 标明这是已知最早的一次。 这种语序把方法或成果作为主要话题,再补充人物和历史时间。in the late 1800s 把时间定位在19世纪晚期。介绍某事最早由谁实施、发展或提出时,可以使用这种结构。

练习

哪句话先突出发明物,再说明研发者?

  1. A small research team was first developed by the safety device in 2005.
  2. The safety device first developed a small research team in 2005.
  3. The safety device was first developed by a small research team in 2005.
查看答案

The safety device was first developed by a small research team in 2005.

First,

2:28

首先,

we put all the fractions into a grid. 短語搭配

2:28

我们把所有的分数放进一个网格里。

短語搭配

put ... into a grid:把项目排入网格

put + 宾语 + into a grid 表示把一组项目按行和列排列。这里 all the fractions 是被排列的对象,into a grid 说明排列后的新布局。 into 在这里不一定表示把实体物品移进容器。在说明数据、图片或数字的处理步骤时,它可以表示把这些内容整理成某种格式。

练习

使用 put ... into a grid 完成这个英语句子:Please ____ to make the menu easier to scan.

查看答案

put the buttons into a grid

They're all there.

2:31

它们全在这里。

For instance, you can find, say, 語氣意圖

2:32

比如,你可以找到,比方说,

117 over 243 用詞

2:33

243分之117

in the 117th row and 243rd column.

2:36

在第117行第243列。

語氣意圖

插入语 say:表示“比如说”

这里的 say 是插入语,表示“比如说”或“假设选取”。它把 117 over 243 作为一个可能的值引出来,并不是要求任何人把它说出声。 去掉 say,主句在语法上仍然完整。逗号表明 say 是插入的补充语,后面的数字只是为了说明而选取的例子,并非特殊或必须使用的值。

练习

哪句话用插入语 say 引出了一个例子?

  1. Choose a number, say, ten, and double it.
  2. Say the number ten clearly.
  3. The display says ten.
查看答案

Choose a number, say, ten, and double it.

用詞

117 over 243:用 over 朗读分数

在 117 over 243 中,over 表示分数关系:117 是分子,243 是分母。这个短语代表 117/243,over 前面的数字写在分数线上方,后面的数字写在下方。 这种结构适合朗读含有较大数字的分数:先完整读出分子,再读 over,最后完整读出分母。

练习

听英文句子,选择你听到的分数。注意 over 前后的两个数字语块。

  1. The fraction is one hundred seventy over two hundred forty-three.
  2. The fraction is one hundred seventeen over two hundred thirty-four.
  3. The fraction is one hundred seventeen over two hundred forty-three.
查看答案

The fraction is one hundred seventeen over two hundred forty-three.

Now, we make a list out of this 短語動詞

2:39

现在,我们从中创建一个列表,

短語動詞

make a list out of this:make A out of B 结构

在本句中,make a list out of this 表示“把现有的排列或信息转换成列表”。结果是 a list,而 this 是被重新整理的来源。 可迁移的结构是 make + 结果 + out of + 原材料或原有内容。它既能表示用实体材料制作物品,例如用盒子做玩具,也能表示把信息重新组织成新的形式。

练习

用构成 make A out of B 结构的两个英文单词补全句子:The children made a puppet ____ a paper bag.

查看答案

out of

by starting at the upper left

2:41

从左上角开始,

and sweeping back and forth diagonally, 短語搭配

2:42

沿对角线来回扫视,

短語搭配

back and forth:在相反方向之间来回移动

Back and forth 表示先朝一个方向移动,再朝相反方向移动,并不断重复。这里描述的是一条沿对角线扫过、持续反转方向的路线。 这个短语也能描述人与人或地点之间的反复往来,例如消息来回传递。

练习

哪个句子用 back and forth 表示在相反方向之间反复移动?

  1. The fan stayed in one position all afternoon.
  2. The fan turned back and forth as it cooled the room.
  3. The fan turned once and then stopped.
查看答案

The fan turned back and forth as it cooled the room.

skipping over any fraction like 2 over 2 短語動詞

2:44

跳过任何像2分之2这样的分数,

that represents the same number as one we've already picked. 用詞

2:46

因为它代表的数字和我们已经选出的数字一样。

短語動詞

skipping over:不处理某项并继续往下

这里,skipping over 表示有意不处理某一项,然后继续看下一项。像 2 over 2 这样与已选数值重复的分数会被略过。 结构是 skip over + 名词短语。它常用于逐项查看文本、列表、步骤或一系列选项时。

练习

用本课的短语动词补全指令:When checking the list, ____ any names that appear twice.

查看答案

skip over

用詞

represents the same number as:不同形式表示相同数值

Represents the same number as 表示一种数学形式与另一种形式具有相同的数值。写法可以不同:例如 2/2 和 1 的值都是 1。 当 A 是需要解释其数值的分数、小数、符号或其他形式时,可用结构 A represents the same number as B。英语使用 the same ... as 结构,其中要用 as。

练习

哪句话正确描述了 2/4 和 1/2 的关系?

  1. The fraction two fourths is written exactly the same way as one half.
  2. The fraction two fourths represents a different number from one half.
  3. The fraction two fourths represents the same number as one half.
查看答案

The fraction two fourths represents the same number as one half.

And so, we get a list of all the fractions,

2:49

这样,我们得到了一个所有分数的列表,

which means we've created a one-to-one match between the whole numbers 講解

2:51

这意味着我们在整数和分数之间建立了

and the fractions,

2:54

一一对应,

表達脈絡

which means we've created...:把结果转化为结论

这里,which means 回指前面整个结果,也就是得到一份包含所有分数的列表。它引出这个结果说明了什么:已经建立了一一对应关系。 “情况, which means + 结论”这个结构能让说话人从具体步骤或观察过渡到它的意义。关系代词 which 指前面整个情况,而不只是离它最近的名词。

练习

本句中的 which means 起什么作用?

  1. 纠正并否定前面的结果。
  2. 解释刚刚提到的结果具有什么意义。
  3. 引入一个与过程无关的新步骤。
查看答案

解释刚刚提到的结果具有什么意义。

用詞

a one-to-one match between A and B:两个集合一一对应

结构 a one-to-one match between A and B 表示把两个集合中的成员逐个配对:A 中每个成员只对应 B 中一个成员,B 中每个成员也只使用一次。本句中,A 是非负整数,B 是分数。 one-to-one 在名词 match 前作复合形容词,所以要加连字符。between 用来引出被配对的两个集合。

练习

哪个短语能正确补全句子?The database needs ___ customer records and account numbers.

  1. a one-to-one match among
  2. a one-to-one match between
  3. a one-on-one match between
查看答案

a one-to-one match between

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions. 語法

2:55

尽管我们原本以为也许分数的数量应该更多。

語法

despite the fact that + 完整从句

despite the fact that 引出一个可能让人预期不同结果的事实。它表示“虽然这件事是真的”,但主要观点仍然成立。 这个短语后接完整从句,结构是 despite the fact that + 主语 + 动词。在本句中,它把“我们当时的想法”作为让步条件,而不是说话人的最终结论。

练习

请用由四个单词组成的正式让步短语完成句子:The outdoor concert continued ____ heavy rain was falling.

查看答案

despite the fact that

Okay.

2:58

好了。

Here's where it gets really interesting. 表達脈絡

2:59

真正有趣的地方来了。

表達脈絡

Here's where it gets really interesting:标记关键转折

Here's where... 在这里指讲解中的一个阶段,不一定是实际地点。它像路标一样,把内容从铺垫或背景带到特别值得关注的部分。 it gets really interesting 通过预告接下来的观点会很重要、意外或揭示关键信息来制造期待。整句话组织后续内容,并鼓励听众继续听下去。

练习

说话人说 "Here's where it gets really interesting" 时,主要在做什么?

  1. 给出去往实际地点的方向
  2. 表示讲解已经彻底结束
  3. 表示下一部分值得特别注意
查看答案

表示下一部分值得特别注意

You may know that not all real numbers, 語法

3:01

你可能知道不是所有的实数,

that is,

3:03

也就是说,

not all the numbers on a number line, 用詞

3:03

数轴上的所有数字不都是

用詞

numbers on a number line:用 on 表示“数轴上的数”

numbers on a number line 表示“数轴上的数”。英语使用 on,因为点和数值被看作标示或定位在这条线上。 number line 是数学中的标准术语,指用位置表示数的直线,并不是普通的一行数字。

练习

补全标准数学表达:Mark the point ____ the number line.

查看答案

on

are fractions.

3:05

分数。

語法

not all ... are ...:部分否定

Not all A are B 表示“All A are B”这一说法不成立:至少有一个 A 不是 B。这是部分否定,并不是更强的“No A are B”。它仍允许一部分 A 是 B。 在本句中,说话者否定的是“每个实数都是分数”。that is 用 numbers on a number line 重新说明前面的内容,但不会改变 not all 的否定范围。

练习

“Not all real numbers are fractions”表示什么?

  1. 至少有一个实数不是分数;这句话并没有说所有实数都不是分数。
  2. 没有任何实数是分数。
  3. 每个实数都是分数。
查看答案

至少有一个实数不是分数;这句话并没有说所有实数都不是分数。

The square root of 2 and pi,

3:06

比如根号2和圆周率。

for instance.

3:07

举个例子。

Any number like this is called irrational, 語法

3:09

任何像这样的数字被称为无理数(irrational),

語法

is called irrational:用 be called 命名类别

在 A is called B 这个结构中,被动形式 is called 为 A 命名,或把 A 归入某个类别。这里,any number like this 是 A,irrational 是数学类别名称 B。 这种表达常用于下定义,因为它把重点放在被分类的事物上,而不是命名者身上。在本句中,irrational 是数学术语,不是日常所说的“不理性”或“不讲道理”。

练习

用 call 的被动形式完成定义:A shape with three sides ____ a triangle.

查看答案

is called

not because it's crazy or anything, 講解

3:11

不是因为它疯狂还是什么,

but because the fractions are ratios of whole numbers, 用詞

3:13

而是因为分数是整数的比例(ratio),

語氣意圖

it's crazy or anything 中用于弱化否定的 or anything

这里的 or anything 接在 crazy 后面,把否定范围扩大为“不是因为它很疯狂,也不是因为任何类似的日常理由”。anything 并不是字面上的“任何东西”。 这个尾语还会弱化纠正的语气。说话人不是生硬地否定一个具体观点,而是在用 but because 给出真正原因前,随意排除一整类可能的误解。

练习

请用本课中用于弱化语气的确切短语完成这句非正式澄清:I'm not angry ____; I just need a minute.

查看答案

or anything

用詞

ratios of whole numbers:非负整数之比

在这个数学短语中,a ratio of whole numbers 指一个非负整数除以另一个非负整数所得的商,例如 3/4。分母不能为 0。原句用复数 ratios,是为了与泛指多个分数的 fractions 呼应。 of whole numbers 说明每个比的两个数来自哪一类。在初等分数语境里,whole numbers 通常指 0、1、2、3……,不包括小数或分数。

练习

请用本课的确切目标短语完成句子:Fractions such as 3/4 are ____.

查看答案

ratios of whole numbers

and so are called rationals,

3:16

所以被称为有理数(rationals),

meaning the rest are non-rational,

3:17

意味着其余的不是有理数,

that is, irrational.

3:19

也就是无理数。

語法

not because ... but because ...:纠正错误原因

not because X, but because Y 这个框架先否定 X 是原因,再用 Y 取代它。两个 because 从句解释的是同一个结果,重点落在 but because 后面的内容上。 这里,crazy or anything 是对 irrational 的一种日常、带玩笑意味的理解,说话人先把它排除,然后通过 ratio、rational 和 irrational 之间的联系给出这里想表达的数学解释。一般来说,当别人可能想错了原因时,可以用这个框架来纠正。

练习

寒冷不是原因,下雨才是真正原因。哪个句子表达了这种纠正?

  1. The picnic moved indoors not only because it was cold, but also because it started to rain.
  2. The picnic moved indoors not because it was cold, but because it started to rain.
  3. The picnic moved indoors because it was cold, but not because it started to rain.
查看答案

The picnic moved indoors not because it was cold, but because it started to rain.

Irrationals are represented by infinite non-repeating decimals. 用詞

3:21

无理数由无限不循环小数表示。

用詞

infinite non-repeating decimals:无限不循环小数

在 infinite non-repeating decimals 中,decimals 是中心名词。infinite 表示小数位无限延伸,non-repeating 表示没有固定的数字块会永远重复。 理解时要把这些修饰语合在一起:infinite + non-repeating + decimals。两个性质都不可缺少;这个短语描述的是永不终止、也不会形成固定循环节的小数。non-repeating 在名词前作为一个整体修饰语,因此使用连字符。

练习

哪一项描述符合 infinite non-repeating decimal?

  1. 它的小数位无限延伸,但没有固定循环节。
  2. 它的小数位在有限位之后终止。
  3. 它的小数位无限延伸,并按固定循环节重复。
查看答案

它的小数位无限延伸,但没有固定循环节。

So,

3:25

那么,

can we make a one-to-one match between the whole numbers

3:25

我们能在一边是整数,

and the set of all the decimals,

3:27

另一边是所有小数的集合,

both the rationals and the irrationals? 語法

3:29

包含有理数和无理数之间建立一一对应吗?

That is,

3:31

也就是说,

can we make a list of all the decimal numbers?

3:32

我们能列出所有的小数吗?

語法

both the rationals and the irrationals:同时包括有理数和无理数

Both A and B 表示“A 和 B 两者都包括”。这里的 both the rationals and the irrationals 说明了 all the decimals 的范围:问题把有理数和无理数这两个类别都包括在内,而不是只包括其中一个。 both 放在第一项前,and 放在第二项前。A 和 B 要保持语法形式平行;这里两项都是带 the 的复数名词短语。

练习

用 both ... and ... 补全句子:The course covers ____ grammar ____ pronunciation.

查看答案

both · and

Cantor showed that you can't.

3:34

康托尔证明了你不能。

Not merely that we don't know how, 語法

3:36

不仅仅是我们不知道怎么做,

but that it can't be done.

3:38

而是这根本做不到。

語法

Not merely ..., but ...:从知识不足推进到不可能

Not merely A, but B 先把 A 作为不完整或力度不够的说法,再用 B 给出更强的重点。本句中,we don't know how 表示我们的知识有限,而 it can't be done 表示这件事本身不可能完成。 两个 that 从句结构平行:that we don't know how 和 that it can't be done。这样的平行结构清楚地呈现了从较弱想法到更强结论的推进。

练习

原句强调了哪个更强的结论?

  1. 我们知道方法,只是决定不做这项任务。
  2. 我们只是暂时不知道方法,但任务仍可能完成。
  3. 任务本身不可能完成,而不只是我们不知道怎么做。
查看答案

任务本身不可能完成,而不只是我们不知道怎么做。

Look,

3:40

看,

suppose you claim 語法

3:40

假设你声称

you have made a list of all the decimals.

3:41

你已经列出了所有小数。

語法

suppose you claim:设置一个待检验的主张

Suppose 引入一个为了推理而暂时接受的情形。在 suppose you claim ... 中,说话人并没有同意这个主张是真的,而是把它放进一个假设情形里。 Claim 表示声称某事为真,而且常常把这个说法标记为仍需支持或检验。合在一起,suppose you claim 常用来开始检验一个断言,例如继续推导,看它是否会导致矛盾或出现反例。

练习

suppose you claim 在论证中起什么作用?

  1. 指责听者故意撒谎。
  2. 暂时设定一个主张,以便检验它会产生什么后果。
  3. 宣布这个主张已经得到证明。
查看答案

暂时设定一个主张,以便检验它会产生什么后果。

I'm going to show you that you didn't succeed 表達脈絡

3:44

我将通过给出一个不在你列表上的小数来

by producing a decimal that's not on your list. 語法

3:46

证明你没有成功。

表達脈絡

I'm going to show you that ...:预告将要证明的主张

I'm going to show you that ... 会先预告说话人接下来要证明的结论。that 从句先提出主张,让听众知道后面的步骤是为了证明什么。 这里的 show 不只是“展示”,而是“通过推理或证据来证明”。这个表达是一种组织信息的路标:先说结论,再给出证明或解释。

练习

在讲解中,I'm going to show you that ... 起什么作用?

  1. 预告后续步骤将要证明的主张。
  2. 引出一个无关的故事。
  3. 表示所有证明步骤都已经被省略。
查看答案

预告后续步骤将要证明的主张。

語法

by producing ... that's not ...:说明采用的方法

by + -ing 形式说明用来实现某个结果或证明某件事的方法。本句中,by producing ... 与 I'm going to show you 相连:构造一个不在列表中的小数,就是证明该主张所采用的方法。 that's not on your list 是修饰 a decimal 的关系从句。它限定了要让这个方法成立,必须构造出哪一种小数。

练习

用 by 和 calculate 的正确形式完成句子,说明采用的方法:We checked the result ____ it twice.

查看答案

by calculating

I'll construct my decimal one place at a time. 短語搭配

3:48

我将逐位构造我的小数。

短語搭配

one place at a time:one ... at a time 结构

one + 单数可数名词 + at a time 表示先只处理一个单位,再处理下一个。本句中的 place 指小数里的数位位置,所以这句话表示逐位构造小数。 同一结构可用于描述按顺序、一步步进行的过程,例如 one question at a time、one page at a time 或 one step at a time。

练习

用 one ... at a time 结构中缺少的词补全句子:Let's solve the problem one step ____.

查看答案

at a time

For the first decimal place of my number,

3:51

对于我的数字的小数点后第一位,

I'll look at the first decimal place of your first number.

3:53

我会看你第一个数字的小数点后第一位。

If it's a one,

3:55

如果它是1,

I'll make mine a two.

3:57

我就把我的变成2。

Otherwise, 表達脈絡

3:58

否则,

I'll make mine a one.

3:58

我就把我的变成1。

表達脈絡

Otherwise:if 条件不成立时的分支

Otherwise 引出前面 if 条件不成立时会发生的情况。这里,如果对方的数字不是1,说话人就把自己的数字设为1。 它把规则组织成两个互不重叠的分支:If A, do B. Otherwise, do C. 因此,第二条指令适用于第一项条件没有涵盖的所有情况。

练习

用表示“如果那个条件不成立”的连接词补全第二个分支:If the card is red, put it in pile A. ____, put it in pile B.

查看答案

Otherwise

For the second place of my number,

4:00

对于我数字的第二位,

I'll look at the second place of your second number.

4:02

我会看你第二个数字的第二位。

Again,

4:05

同样,

if yours is a one, I'll make mine a two,

4:05

如果你的是1,我就把我的变成2,

and otherwise, I'll make mine a one.

4:07

否则,我就把我的变成1。

See how this is going? 語氣意圖

4:10

看到这是怎么回事了吗?

語氣意圖

See how this is going?:确认对方是否跟上

在这个问句里,see 是“理解、看出”的意思,不只是用眼睛看。说话人把注意力引向一个已经逐渐显现的规律或过程。 这个问题用于确认听众是否跟得上,并邀请对方想一想接下来会发生什么。它通常是维持互动的简短确认,不一定要求详细回答。

练习

在课堂上,讲解者已经展示了前三个步骤,然后问:“See how this is going?”讲解者最可能是在做什么?

  1. 请听众汇报自己总体过得怎么样
  2. 询问听众能否看见远处的物体
  3. 宣布这个过程已经失败
  4. 确认听众是否看出了正在形成的规律
查看答案

确认听众是否看出了正在形成的规律

The decimal I've produced can't be on your list. 短語搭配

4:11

我造出的小数不可能在你的列表上。

短語搭配

can't be on your list:用 on 表示“被列入”

Be on a list 表示“作为列表中的一项被收录”。这里的 can't be on your list 是说,这个小数不可能属于听众列出的那些数。 介词 on 表示属于或被收录,并不是说这个小数实际位于列表的上方。Your 只是说明所指的是谁的列表。

练习

用表示“被列入宾客名单”的标准短语补全句子:The host checked and said, “Yes, your name is ____.”

查看答案

on the list

Why?

4:14

为什么?

Could it be, say,

4:15

它可能是,比方说,

your 143rd number?

4:16

你的第143个数字吗?

No,

4:17

不,

because the 143rd place of my decimal

4:18

因为我的小数的第143位

is different from the 143rd place of your 143rd number. 短語搭配

4:20

与你的第143个数字的第143位是不同的。

短語搭配

different from + 比较对象

different from 表示“与……不同”。本句把说话者小数中的一个数位,与另一个数中对应的数位进行比较。 这里的常见结构是 A + be + different from + B。from 后面引出作为比较基准的人或事物。

练习

完成 A is different from B 结构:This answer is ____ mine.

查看答案

different from

I made it that way.

4:24

我就是这么构造的。

Your list is incomplete.

4:26

你的列表是不完整的。

It doesn't contain my decimal number.

4:27

它不包含我的小数。

And no matter what list you give me, 語法

4:29

无论你给我什么列表,

I can do the same thing and produce a decimal that's not on that list.

4:31

我都可以做同样的事,造出一个不在那个列表上的小数。

語法

no matter what + 名词:结果仍然成立

no matter what list you give me 表示,具体给出哪一份列表可以改变,但结果不会因此改变。它先提出一个可以变化的条件,主句再说明始终成立的内容。 这里 what 修饰名词 list。可复用结构是 no matter what + 名词 + 主语 + 动词,后面接主句。

练习

哪句话表示路线可以改变,但结果仍然相同?

  1. Because we took this route, we got home before dark.
  2. We will get home before dark only if we take this route.
  3. No matter what route we take, we will get home before dark.
  4. What route should we take to get home before dark?
查看答案

No matter what route we take, we will get home before dark.

So we're faced with this astounding conclusion. 短語搭配

4:35

所以我们面临这个惊人的结论。

短語搭配

be faced with this astounding conclusion:面对这个惊人的结论

在这句话中,we're faced with 表示“我们现在必须正视并应对”。它描述的是面对 this astounding conclusion 这个抽象结果,而不是身体转向某个方向。 So 表明这个结论是由前面的推理得出的。这样的说法把它呈现为一个令人惊讶、不能轻易忽略的结论。

练习

用 be faced with 的正确形式完成句子:After reading the report, we are ____ a difficult decision.

查看答案

faced with

The decimal numbers cannot be put on a list. 語法

4:37

小数不能被放到一个列表里。

語法

cannot be put on a list:情态动词的被动结构

Cannot be put 是“情态动词 + 被动语态”结构:cannot + be + 过去分词。这里的 put 是过去分词,the decimal numbers 是动作的承受者,而不是执行者。 Put something on a list 表示“把某物作为一项列入清单”。被动表达把重点放在这些数字能否接受这种操作上,而不是谁来制作清单。

练习

用 cannot + put 的被动形式完成句子:These records ____ the public list.

查看答案

cannot be put on

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

4:40

它们代表的无穷大比整数的无穷大还要大。

So even though we're familiar with only a few irrationals,

4:44

所以尽管我们只熟悉几个无理数,

like square root of 2 and pi,

4:46

像根号2和圆周率,

the infinity of irrationals is actually greater than the infinity of fractions.

4:48

无理数的无穷大实际上比分数的无穷大还要大。

Someone once said that the rationals, the fractions,

4:52

有人曾经说过有理数、分数,

are like the stars in the night sky. 習語

4:55

就像夜空中的星星。

The irrationals are like the blackness.

4:58

而无理数就像那片黑暗。

習語

are like the stars ... are like the blackness:视觉明喻

重复使用 A are like B 这一结构,构成了两个相互呼应的明喻。有理数被比作星星,无理数被比作星星周围的黑暗。平行的表达方式让听者可以同时比较这两类数。 这个画面让抽象事实更容易想象:星星可能很多,但黑暗似乎占满了几乎整片天空。它暗示无理数远多于有理数。

练习

关于星星和黑暗的这组明喻,主要起什么作用?

  1. 它表示无理数的颜色真的就是黑色。
  2. 它声称有理数只能用于天文学。
  3. 它把两类数之间的抽象差异转化成视觉对比。
  4. 它证明每颗星星都恰好代表一个分数。
查看答案

它把两类数之间的抽象差异转化成视觉对比。

Cantor also showed that for any infinite set, 用詞

5:01

康托尔还证明了,对于任何无限集合,

forming a new set made of all the subsets of the original set, 用詞

5:03

用原集合的所有子集组成一个新集合,

represents a bigger infinity than that original set.

5:07

将代表一个比原集合更大的无穷大。

用詞

for any infinite set:数学中的全称范围

在 for any infinite set 中,any 具有全称作用:无论选择哪个无限集合,后面的陈述都应成立。它不是只指一个方便举出的例子。 for any + 单数可数名词用来限定数学命题的适用范围。这里可以简洁地理解为 for every infinite set。

练习

在这条数学陈述中,for any infinite set 是什么意思?

  1. 说话人不确定无限集合是否存在。
  2. 该命题只适用于有限集合。
  3. 该命题适用于每一个无限集合。
  4. 该命题只适用于选中的一个无限集合。
查看答案

该命题适用于每一个无限集合。

用詞

subsets of the original set:原集合的子集关系

在集合论中,一个集合的子集,是指其中每个元素也都属于作为参照的那个集合。因此,subsets of the original set 指的是只由原集合中的元素构成的集合。 of 标出用作参照的集合。all the subsets 包括空集和原集合本身,并不只包括元素较少且非空的集合。

练习

哪一项正确说明了原集合的子集?

  1. 子集只包含属于原集合的元素。
  2. 子集必须至少包含一个不属于原集合的元素。
  3. 子集的元素数量必须始终少于原集合。
查看答案

子集只包含属于原集合的元素。

This means that once you have one infinity, 語法

5:10

这意味着一旦你有一个无穷大,

you can always make a bigger one

5:12

你总是可以制造一个更大的无穷大,

by making the set of all subsets of that first set.

5:14

通过制造那个初始集合的所有子集的集合。

語法

once you have ..., you can ...:让下一步成为可能的条件

在这句话中,once 引出一个条件:拥有一个无穷是让下一步成为可能的起点。这里的 once 不是“一次”,也不是“曾经”。 可迁移的结构是 once + 现在时条件,后面接结果或下一步行动:once you have X, you can do Y。它适合用来解释这样的流程:条件满足后,下一步就可以开始。

练习

用表示“条件一满足”的目标词完成这个流程句:____ you know the password, you can log in.

查看答案

Once

And then an even bigger one by making the set of all subsets of that one,

5:17

然后通过制造那个集合的所有子集的集合来制造一个甚至更大的无穷大,

and so on. 短語搭配

5:21

以此类推。

短語搭配

and so on:延续可预测的规律

and so on 告诉听者,后面还有更多项目或步骤,会按照前面已经提到的同一可预测规律继续。 这里它表示同一个集合构造步骤可以反复进行。后续阶段能够推断出来,所以说话人不再一一列举。

练习

用表示“同一规律继续”的三个词补全句子:Count by twos: 2, 4, 6, 8, ____.

查看答案

and so on

And so,

5:22

并且因此,

there are an infinite number of infinities of different sizes. 用詞

5:22

有无限个不同大小的无穷大。

用詞

an infinite number of infinities of different sizes:拆解多层名词短语

这个短语以 an infinite number of 开头,意思是“无穷多个”。复数名词 infinities 才是被计数的对象。 最后的 of different sizes 修饰的是 infinities,而不是 number。可以按 an infinite number of [infinities of different sizes] 来分组:存在无穷多个无穷,而且这些无穷的大小并不全都相同。

练习

哪项正确拆解了 an infinite number of infinities of different sizes?

  1. 只有有限多个无穷,而且它们的大小都相同。
  2. 存在无穷多个无穷,而且这些无穷的大小不同。
  3. 一个普通数字里包含几个大小不同的无穷。
  4. 只有一个无穷,它由无穷多个大小构成。
查看答案

存在无穷多个无穷,而且这些无穷的大小不同。

If these ideas make you uncomfortable, 語法

5:26

如果这些想法让你感到不舒服,

語法

make you uncomfortable:make + 宾语 + 形容词

在“make you uncomfortable”中,make 表示“使、让”,不是“制造”。结构是 make + 宾语 + 形容词:you 是受到影响的人,uncomfortable 表示由此产生的感受或状态。 句首的 If 把这种反应作为一种可能的条件。这个结构还可以用来表达某事让某人开心、紧张或困惑。

练习

哪句话正确使用了 make + 宾语 + 形容词来描述某事造成的感受?

  1. The sudden silence made nervous everyone.
  2. The sudden silence made everyone nervous.
  3. The sudden silence made everyone nervously.
查看答案

The sudden silence made everyone nervous.

you're not alone. 語氣意圖

5:28

你并不是唯一的一个。

語氣意圖

You're not alone:别人也有相同的感受或经历

这里的“you're not alone”是一种安慰,意思是其他人也有同样的感受、担忧或困难。它主要不是在说附近真的有另一个人。 这个表达把对方的反应说成一种常见或可以理解的体验,从而减轻对方的孤立感。

练习

朋友说:“This new school feels scary.” 在这种回应中,“You're not alone”最自然的作用是什么?

  1. 确认附近正站着另一个人。
  2. 批评朋友不该感到害怕。
  3. 安慰朋友,说明别人也有同样的感受。
  4. 让朋友不要寻求帮助,自己解决问题。
查看答案

安慰朋友,说明别人也有同样的感受。

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day were very upset with this stuff. 用詞

5:29

在康托尔时代,一些最伟大的数学家对这些东西非常反感。

用詞

of Cantor's day:康托所处的时代

这里的 of Cantor's day 意思是“来自乔治·康托生活和从事研究的那个时期”。day 不是指二十四小时的一天,而是指与某个人相关的时代。 of Cantor's day 在句中修饰 mathematicians。更一般地说,people or ideas of someone's day 指某人那个时代的人或思想。

练习

在句子“The writers of Shakespeare's day performed for very different audiences,”中,of Shakespeare's day 是什么意思?

  1. 只在白天,而不是在夜里
  2. 来自莎士比亚生活和创作的那个时代
  3. 与莎士比亚生日是同一个公历日期
查看答案

来自莎士比亚生活和创作的那个时代

They tried to make these different infinities irrelevant, 語法

5:33

他们试图让这些不同的无穷大变得无关紧要,

to make mathematics work without them somehow.

5:35

试图以某种方式让数学在没有它们的情况下也能运作。

語法

tried to make these different infinities irrelevant:make + 宾语 + 形容词

make + object + adjective 表示“使宾语具有形容词所描述的状态”。这里 these different infinities 是宾语,irrelevant 是形容词;他们的目标是让数学不再需要这些不同的无穷。 tried to make 表示试图达成某个结果,并不说明结果一定实现了。它告诉我们他们希望做到什么。

练习

哪句话正确使用了 tried to make + object + adjective 来描述试图达成的结果?

  1. They tried to make the old rule irrelevantly.
  2. They tried to make irrelevant to the old rule.
  3. They tried to make the old rule irrelevant.
查看答案

They tried to make the old rule irrelevant.

Cantor was even vilified personally, 用詞

5:38

康托尔甚至在个人层面受到诋毁,

用詞

was even vilified personally:甚至遭到针对个人的严厉诋毁

was vilified 是被动语态:康托遭到了严厉、充满敌意的言语攻击,被描述成一个很坏的人。vilify 的强度远高于 criticize,通常暗示不公正或恶意的谴责。 personally 表明攻击针对康托本人,而不只是他的数学思想。even 则把这种人身攻击呈现为更极端、更出人意料的一步。

练习

哪种情况最符合“The scientist was vilified personally”?

  1. 这位科学家收到了一条关于某项计算的礼貌建议。
  2. 这位科学家被公开描述成一个非常坏的人。
  3. 这位科学家的论文得到了不带评价的概述。
查看答案

这位科学家被公开描述成一个非常坏的人。

and it got so bad for him that he suffered severe depression 語法

5:40

情况对他来说变得非常糟糕,以至于他患上了严重的抑郁症,

and spent the last half of his life in and out of mental institutions. 短語搭配

5:42

并进出精神病院度过了他生命的一半时间。

語法

got so bad ... that ...:程度高到引出结果

在 it got so bad for him that ... 中,it 指康托的整体处境,got bad 表示情况变糟。 so + 形容词 + that + 结果 表示某种程度高到引出后面的后果。这里,处境恶化与他患上重度抑郁症这一结果相连。

练习

用构成 so + 形容词 + that + 结果结构的两个词补全句子:The backpack was ____ heavy ____ Mia could not lift it.

查看答案

so · that

短語搭配

in and out of mental institutions:反复入住又离开精神医疗机构

in and out of + 地点表示在一段时间内反复进入又离开那个地方,而不是只进出一次。本句是说,他在后半生里多次入住精神医疗机构,之后又离开。 这个结构也可以表示某种处境反复发生变化,并不只用于实际的进出动作。句中的时间表达通常能帮助你判断这种变化发生了不止一次。

练习

请用表示“反复入住”的表达完成句子:Because of recurring complications, Maya was ____ the hospital for several months.

查看答案

in and out of

But eventually,

5:46

但最终,

his ideas won out. 短語動詞

5:47

他的想法胜出了。

短語動詞

his ideas won out:他的思想最终占了上风

Won out 是 win out 的过去式,表示在竞争、分歧或阻力之后最终胜出或占上风。本句是说他的思想最终得到了接受,并不是说这些思想真的赢得了奖品。 Win out 通常是不及物短语动词:方案、思想或力量可以 wins out。要说明它战胜了什么,可以使用 win out over + 名词,例如 Safety won out over speed.

练习

请用表示“最终占上风”的过去式短语动词完成句子:After weeks of debate, the safer plan ____.

查看答案

won out

Today,

5:48

今天,

they are considered fundamental and magnificent. 語法

5:49

它们被认为是基础且宏伟的。

語法

are considered fundamental and magnificent:用被动语态表达评价

这里的 are considered 表示“被判断为”或“通常被看作”。被动语态把重点放在 they,也就是被评价的事物上,而不需要说明评价者是谁。 结构是“主语 + be + considered + 形容词或名词短语”。Fundamental 和 magnificent 是两个并列形容词,都用来描述主语。可以用这个结构报告一种评价,例如 The method is considered reliable 或 The book is considered a classic。

练习

请用 consider 的一般现在时被动形式完成句子:The treatment ____ safe.

查看答案

is considered

All research mathematicians accept these ideas, 表達脈絡

5:51

所有的研究型数学家都接受这些想法,

every college math major learns them,

5:54

每一个大学数学专业的学生都会学习它们,

and I've explained them to you in a few minutes.

5:56

而我只用了几分钟就把它们解释给你听了。

表達脈絡

All ..., every ..., and ...:用并列分句扩大主张范围

这句话按特定顺序安排了三个完整分句:所有从事数学研究的人都接受这些思想,每个大学数学专业的学生都会学习它们,最后说话人已经向听众解释了它们。All 和 every 扩大了前两项陈述的范围,而 and 引出最后一步。 信息顺序从专家推进到学生,再到当前听众。这种并列递进为同一个观点不断补充依据,并以说话人的亲身行为收尾,把这些思想呈现为已经得到认可、而且可以快速讲解的内容。不过,这句话并不能证明听众已经理解了它们。

练习

哪句话最恰当地使用三个并列分句,把主张的范围从专家扩大到学习者,再扩大到新手?

  1. The checklist is detailed, but some volunteers find it confusing.
  2. All senior engineers use the checklist, every trainee learns it, and even first-time volunteers can follow it.
  3. Senior engineers use the checklist because trainees learn it.
查看答案

All senior engineers use the checklist, every trainee learns it, and even first-time volunteers can follow it.

Someday, perhaps,

5:58

或许有一天,

they'll be common knowledge. 短語搭配

5:59

它们会成为常识。

短語搭配

they'll be common knowledge:将成为广为人知的信息

common knowledge 指相关群体中的大多数人已经知道、通常无须再解释的信息。本句中的 they'll be common knowledge 表示,前面提到的那些想法也许有一天会广为人知。 在 be common knowledge 中,knowledge 是不可数名词。可以说 It is common knowledge 或 The facts are common knowledge;不要在 knowledge 前加 a。

练习

哪句话正确使用 common knowledge 表示“许多人已经知道的事实”?

  1. It is common sense that the library closes at six.
  2. It is a common knowledge that the library closes at six.
  3. It is common knowledge that the library closes at six.
查看答案

It is common knowledge that the library closes at six.

There's more. 表達脈絡

6:01

还有更多。

表達脈絡

There's more:提示还有更多信息

There's more. 是一个简短的转场句,告诉听众前面的要点还不是全部。它让听众准备接收另一个事实、理由、例子或更复杂的一层内容。 more 可以单独出现,因为上下文已经让人明白它省略了“还有要说、要知道或要解释的内容”。这句话通过保持听众的注意力并引向下一点来组织信息。

练习

请用本课中表示“后面还有信息”的两个词的准确转场补全句子:I found one clue. ____. Another clue is hidden under the table.

查看答案

There's more

We just pointed out that the set of decimal numbers, 短語動詞

6:02

我们刚刚指出,小数的集合,

that is, the real numbers,

6:04

也就是实数,

短語動詞

just pointed out:回指刚才的陈述

point out 表示明确说出一个事实、细节或问题,或让别人注意它。这里 just pointed out 表示“刚刚明确说过”,把听众的注意力带回前面的讲解。 常见结构是 point out + 名词,或 point out that + 从句。本句中的 that 引出刚才说过的事实。这里 just 表示时间上“刚刚”,不是“只是”。

练习

请用表示“刚才已经清楚说明”的目标短语完成句子:As I ____, the rule has one exception.

查看答案

just pointed out

is a bigger infinity than the set of whole numbers.

6:05

是一个比整数集合更大的无穷大。

Cantor wondered whether there are infinities of different sizes between these two infinities. 語法

6:08

康托尔想知道在这两个无穷大之间是否还有不同大小的无穷大。

語法

wondered whether ...:转述间接的是非疑问

wondered whether 引出一个间接的是非疑问:康托尔在思考某种可能性是否成立。这句话是在转述他的问题,而不是直接向听众提问。 whether 后要使用陈述语序:whether there are ...,不能说 whether are there ...。这个结构适合提出答案尚不确定的问题或研究课题,同时不暗示答案是什么。

练习

哪一句正确转述了一个间接疑问?

  1. She wondered whether was the result correct.
  2. She wondered whether did the result seem correct.
  3. She wondered whether the result was correct.
查看答案

She wondered whether the result was correct.

He didn't believe there were,

6:12

他不相信有,

but couldn't prove it.

6:13

但无法证明。

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis. 短語搭配

6:15

康托尔的猜想被称为连续统假设。

短語搭配

became known as:后来形成的名称

become known as + 名称、称号或身份,表示某人或某事后来被人们用这个标签来认识。本句中的 became 表示随时间发生的变化:Cantor's conjecture 后来获得了 the continuum hypothesis 这个名称。 只说明现在的名称时,用 be known as。要强调这个名称是后来形成的,用 become 或 became known as。

练习

将 became、known 和 as 按正确顺序填入句子:The old bridge ____ the Friendship Bridge.

查看答案

became known as

In 1900,

6:19

1900年,

the great mathematician David Hilbert listed the continuum hypothesis 短語搭配

6:20

伟大的数学家大卫·希尔伯特列出了连续统假设,

as the most important unsolved problem in mathematics.

6:23

称其为数学中最重要的未解决问题。

短語搭配

listed ... as ...:把某事物列为某个类别或等级

list A as B 表示把 A 放入清单、记录或排名中,并把它界定为 B。本句中,A 是 the continuum hypothesis,B 是 the most important unsolved problem in mathematics。 as 后面的部分说明赋予 A 的类别、身份或等级;它不只是表示 A 出现在某份清单上。

练习

将 listed、the novel 和 as 按正确顺序填入句子:The magazine ____ one of the year's best books.

查看答案

listed the novel as

The 20th century saw a resolution of this problem, 表達脈絡

6:26

20世纪见证了这个问题的解决,

表達脈絡

The 20th century saw ...:用时间段作主语

在这句话中,saw 不是指用眼睛“看见”。时间段 The 20th century 是语法上的主语,a resolution of this problem 是这一时期发生的事件。 time period + saw + event 这一结构围绕某个时代组织信息。它能在不说明具体责任人的情况下,简洁地呈现一项重要的历史发展。

练习

哪句话自然地用时间段作主语来组织一项历史变化?

  1. The 1990s saw rapid growth in internet use.
  2. The 1990s saw the internet with their eyes.
  3. The 1990s looked rapid growth in internet use.
查看答案

The 1990s saw rapid growth in internet use.

but in a completely unexpected, 用詞

6:29

但以一种完全出乎意料的、

paradigm-shattering way.

6:30

颠覆范式的方式。

用詞

completely unexpected, paradigm-shattering way:完全出乎意料、打破范式的方式

completely unexpected 和 paradigm-shattering 都修饰 way。前者表示这种方法完全出乎预料;后者表示它打破了理解这个主题的既有框架。 paradigm-shattering 是由 paradigm 和 shattering 构成的复合形容词。它把“打破范式”这一强烈含义压缩到名词前,因此表示这种方法不仅令人意外,还从根本上带来了转变。

练习

哪句话恰当地使用了 paradigm-shattering?

  1. The discovery was paradigm-shattering because it forced scientists to replace the basic theory.
  2. The meeting was paradigm-shattering because it started five minutes late.
  3. The font change was paradigm-shattering because the letters became slightly larger.
查看答案

The discovery was paradigm-shattering because it forced scientists to replace the basic theory.

In the 1920s,

6:32

在1920年代,

Kurt Gödel showed that you can never prove that the continuum hypothesis is false. 語法

6:34

库尔特·哥德尔证明了你永远无法证明连续统假设是错的。

語法

showed that ... prove that ...:嵌套的 that 从句

在这句话里,showed that 表示“通过推理证明了……”,不是“把……展示出来”。第一个 that 从句说明哥德尔得出的总体结果:有一件事永远无法被证明。 在这个结果内部,prove 又带了自己的 that 从句,用来说明无法证明的具体命题:连续统假设是错误的。结构是 showed [that ... prove [that + 命题]],因此一个被转述的结论里又包含另一个命题。

练习

哪个句子在 showed 和 prove 后正确使用了嵌套的 that 从句?

  1. The experiment showed that could not we prove that the drug caused the change.
  2. The experiment showed that we could not prove that the drug caused the change.
  3. The experiment that showed we could not prove that the drug caused the change.
查看答案

The experiment showed that we could not prove that the drug caused the change.

Then in the 1960s,

6:38

然后在1960年代,

Paul J. Cohen showed that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

6:39

保罗·寇恩证明了你永远无法证明连续统假设是对的。

Taken together, 表達脈絡

6:44

综合来看,

these results mean that there are unanswerable questions in mathematics, 用詞

6:45

这些结果意味着数学中存在无法回答的问题,

表達脈絡

Taken together:先综合证据,再得出结论

Taken together 是置于句首的补充语,意思是“把这些结果作为一个整体来看”。它回指前面提到的多项结果,提示读者先把它们合并考虑,再理解后面的内容。 这里的信息顺序是从多项结果推进到一个总体结论。它相当于缩短后的被动从句:When taken together, these results mean something. 名词短语 these results 明确了被综合考虑的对象。

练习

哪个句子使用 Taken together 在得出结论前综合多项证据?

  1. Taken together, the rainfall data and river levels show a growing flood risk.
  2. Taken together, Leo carried the box into the kitchen.
  3. Taken together, this one isolated number has no other evidence to combine.
查看答案

Taken together, the rainfall data and river levels show a growing flood risk.

用詞

are unanswerable questions:没有可能答案的问题

在本句中,are unanswerable questions 表示这类问题确实存在,而且在所讨论的数学体系内无法得到答案。它不只是说目前还没有人解出这些问题。 Unanswerable 由 answer、表示“可以被……”的 -able 和表示否定的 un- 构成。因此,它的语气比 difficult 更强:difficult question 可能仍有答案,而 unanswerable question 在相关规则或假设下没有答案。

练习

哪一句准确使用了 unanswerable?

  1. No answer is possible within the rules of the system, so the question is unanswerable.
  2. I solved the question after one minute, so it was unanswerable.
  3. The problem is hard, but its solution appears at the back of the book.
查看答案

No answer is possible within the rules of the system, so the question is unanswerable.

a very stunning conclusion.

6:48

这是一个非常令人震惊的结论。

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning, 習語

6:50

数学理所当然地被认为是人类推理的顶峰,

習語

the pinnacle of human reasoning:人类理性的最高体现

Pinnacle 的字面意思是建筑物或山峰的最高点。这里使用了隐喻:the pinnacle of human reasoning 把数学描述为人类推理能力的最高体现。 可迁移的结构是 the pinnacle of + 领域、职业生涯、时期或过程。它不只是表示“非常好”,而是指相关范围内的最高水平或最大成就。

练习

使用所学的准确目标短语完成句子:After years of research, the discovery was ____ her scientific career.

查看答案

the pinnacle of

but we now know that even mathematics has its limitations. 短語搭配

6:53

但我们现在知道,即便是数学也有其局限性。

短語搭配

has its limitations:承认自身的边界

has its limitations 表示某事物有能力或适用范围上的边界:它不能做到一切,也不适用于所有情况。这并不表示它毫无价值。 本句中的 even 把数学标记为一个出人意料的例子。可迁移的结构是 X has its limitations;主语为复数时,用 X have their limitations。

练习

哪句话用 has its limitations 作出了平衡评价?

  1. The study is helpful, but it has its limitations.
  2. The study failed once, so it can never teach us anything.
  3. The study is helpful, so it has no limitations.
查看答案

The study is helpful, but it has its limitations.

Still, 表達脈絡

6:57

尽管如此,

mathematics has some truly amazing things for us to think about. 語法

6:57

数学仍然有一些真正令人惊叹的东西值得我们去思考。

表達脈絡

Still,:转向一个形成对照的观点

句首的 Still, 意为“尽管如此”或“不过”。它先承认前一句为真,再引出一个与预期形成对照、但仍然重要的观点。 这里并没有收回“数学有局限”这一点。Still 把注意力从局限转到数学的积极一面,从而把结尾组织成一个平衡的结论。

练习

哪句话用 Still, 先承认困难,再补充一个积极的转折点?

  1. The test was hard. Still, I learned a lot from it.
  2. The test was hard. As a result, several people needed extra time.
  3. The test was hard. For example, the final question had three parts.
查看答案

The test was hard. Still, I learned a lot from it.

語法

things for us to think about:名词 + for + 宾语 + to-infinitive

“things for us to think about”使用“名词 + for + 宾语 + to-infinitive”结构。for 后面的宾语指出谁执行动作,所以这里要用 us,而不能用 we。整个 for us to think about 放在 things 后面修饰它,表示这些是我们可以或应该思考的事物。 about 要保留在 think 后面,因为通常说 think about something。这里的 things 就是意义上的“something”。同样的结构也见于 a problem for you to solve 和 a book for children to read。

练习

Nora 应该回答这个问题。用代词指代 Nora,并使用动词 answer 和“名词 + for + 宾语 + to-infinitive”结构补全句子:This is a question ____.

查看答案

for her to answer