帕斯卡三角形的数学秘密 - 瓦伊迪·穆罕默德·拉特米 (Wajdi Mohamed Ratemi):英语精读讲义
TED-Ed
视频简介:本视频讲解帕斯卡三角形的生成规则、各行与二项式展开系数的对应关系,以及它在幂、几何、分形、概率和组合问题中呈现的规律。 主要英语知识点: 1. which seems a bit unfair since he was clearly late to the party. — 语法与句型:理解 which 如何承接前文事实并补充略带幽默的评价,同时由 since 说明评价的原因;学会在科普或历史讲述中,把客观信息、说话者态度和理由自然地组织在同一个句子结构里。 2. Shade in — 短语动词:识别它是“给指定区域涂色或加阴影”的操作指令,并能在讲解练习题、图表、几何图形或可视化演示时准确使用,例如通过涂出奇数区域来呈现分形图案,而不只是笼统地表达“画画”或“上色”。 3. 12 choose five, — 词义与语域:掌握组合数的标准英语读法,把它与“不考虑顺序,从十二个对象中选出五个”的数学含义对应起来;从而能听懂在数学符号、计算公式和日常选择情境之间转换的组合问题讲解。
本篇讲解
look like:表示外观和第一印象
look like 表示“从外观或第一印象来看像……”。这里的 look 是系动词,like 引出用来比较的名词短语 a neatly arranged stack of numbers。 may 表示这种第一印象并不确定。后面的 but it's actually 构成转折,说明外观并不代表全部真相。
练习
用 look like 的正确形式完成句子:At first, the device ____ a toy, but it is a real camera.
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looks like
mathematical treasure trove:蕴藏丰富想法的数学宝库
treasure trove 在这里是比喻,指包含许多珍贵或有趣内容的来源。在 a mathematical treasure trove 中,mathematical 说明领域,因此这里的“宝物”是数学规律和想法,而不是金币或珠宝。 把它称为 treasure trove 是很强的赞美。说话人的意思是,这个看似简单的内容中有许多值得探索的东西。
练习
用本课中表示“拥有大量珍贵内容的丰富来源”的表达完成句子:The science museum's website is a ____ of ideas for simple experiments.
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treasure trove
staircase of Mount Meru:一个历史数学名称
在这句话中,the staircase of Mount Meru 是印度数学传统里对所讨论的三角形排列使用的一个历史名称。它是在给这个数学对象命名,并不是在描述真实的楼梯。 Mount Meru(须弥山)是印度文化和宗教传统中的一座神圣山峰。这个名称借用了“通向这座山的阶梯”这一意象。
练习
在这句话中,the staircase of Mount Meru 指什么?
- 这个数学三角形在印度的一个历史名称。
- 数学家们攀登过的一条路线。
- 建在须弥山上的一座真实楼梯。
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这个数学三角形在印度的一个历史名称。
be known as + 名称:介绍名称或身份
be known as + 名称或身份表示“被称为……”或“以这个名称为人所知”。这里用它来介绍 Pascal's triangle 是西方世界许多地方使用的名称。 结构是“主语 + be 的适当形式 + known as + 名称或身份”。虽然 known 来自动词 know,但这个被动结构并不是说主语“知道”某件事。
练习
使用 known 和正确的介词完成句子:In astronomy, Mars is ____ the Red Planet.
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known as
after Blaise Pascal:指出名称取自谁
在这个命名语境中,after French mathematician Blaise Pascal 的意思是“以法国数学家布莱兹·帕斯卡命名”。这个短语指出,Pascal's triangle 这个名称取自谁的名字。 更完整、可复用的结构是 be named after someone,例如 The school was named after its founder. 这里的 after 不表示时间上的“在……之后”。
练习
哪句话用 after 表示名称的来源?
- The community center opened after a local teacher retired.
- The community center was named after a local teacher.
- A local teacher named the community center.
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The community center was named after a local teacher.
which ... since ...:评论前述情况并说明原因
which 回指前面整个情况:这个对象被称为 Pascal's triangle。它并不只指 Blaise Pascal 本人。which seems a bit unfair 这个分句给该情况加上说话人的温和评价。 since 接着引出这一评价的原因。这里 since 相当于 because,而 late to the party 是比喻说法,表示帕斯卡比别人更晚接触这个想法或加入相关讨论。信息顺序是:先给出事实,再评论这个事实,最后说明评论的理由。
练习
这里的 which ... since ... 如何组织信息?
- 它说帕斯卡参加一场真实的社交聚会迟到了。
- 它描述布莱兹·帕斯卡本人,然后说明命名发生的时间。
- 它评论前面整个命名情况,然后给出这一评论的理由。
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它评论前面整个命名情况,然后给出这一评论的理由。
late to the party:比别人更晚加入
late to the party 是一个习语,表示某人在许多其他人已经注意、加入或开始做某件事之后,才注意到、加入或开始做。这里是说,帕斯卡进入这一研究领域的时间晚于更早的数学传统。 它不是在描述真实的派对。这个说法带着轻微的调侃,仿佛这项活动在他到来时早已开始。
练习
用表示“比别人更晚加入趋势”的习语补全句子:Most local shops began taking mobile payments years ago, but our store is ____.
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late to the party
had a lot to contribute:有很多价值可以贡献
had a lot to contribute 表示他能够带来许多有价值的想法、技能或成果。这里的 contribute 含义很广,指通过想法或工作为这个数学主题增加价值。 基本结构是 have + a lot/something/much + to contribute。后面可以接以 to 开头的短语,说明价值要贡献给哪个群体、讨论或领域,例如 have a lot to contribute to the team。这里的 had 是过去式,而 still 强调:进入得晚并不代表他没有价值。
练习
用 have a lot to contribute 中缺少的部分补全句子:Although Leo is new, he has ____ to the design team.
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a lot to contribute
So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over? 講解
0:37那么,究竟是什么让全世界的数学家都对它如此着迷呢?
What is it about ... that ...?:询问什么特质造成了结果
What is it about X that Y? 这一结构用于询问 X 的哪种特质或特点造成了 Y 中的反应或结果。说话人已经知道这个结果存在,现在想找出它的来源。 这里的 X 是 this,that 从句给出结果:it has so intrigued mathematicians the world over。so 加强 intrigued 的程度,因此整句实际是在问:“这究竟有什么特点,让世界各地的数学家如此着迷?”
练习
哪个问题是在询问这本书的什么特质让人们产生了这种反应?
- What is it about this book that makes it so popular?
- What is this book about?
- What do you think about this book?
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What is it about this book that makes it so popular?
the world over:世界各地
the world over 表示“全世界各地”或“世界各处的人”。在 mathematicians the world over 中,它放在名词短语后面,说明这些数学家来自全球不同国家和地区。 这里的 over 表示范围遍及一个区域,并不是处在世界上方。这个短语简洁,并带有一点修辞色彩。
练习
哪个句子正确放置了 the world over,用来表示“世界各地的科学家”?
- The discovery fascinated scientists over the world.
- The discovery fascinated the world over scientists.
- The discovery fascinated scientists the world over.
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The discovery fascinated scientists the world over.
In short:引出简洁总结
In short 是一个总结标记,意思是“简要说出核心要点”。它告诉听者,前面的细节将被压缩成一个清晰的结论。 In short 后面的分句承载这个结论。这里的 short 指措辞简短,而不是某件事持续的时间短。
练习
用本课中由两个单词组成的总结标记补全句子:____, the movie was fun but too long.
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In short
First and foremost:标出最高优先级
First and foremost 引出一个在顺序上最先、在重要性上也最高的要点。它不只是开始列举,还提醒听者应特别优先关注这一点。 在本句中,the pattern 被放在其他细节之前,作为首先要考虑的核心内容。
练习
用本课中表示“首先且最重要”的三词标记补全句子:____, check that everyone is safe.
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First and foremost
on either side of:在某物的两侧
on either side of something 表示“在某物的两侧”,通常指左边有一个事物或一组事物,右边也有一个。在本句中,要想象数字 1 的旁边各放着一个 0,一边一个。 虽然 either 在其他结构中可以表示“二者中的任意一个”,但 on either side of 通常描述两侧都涉及的布局。理解时要把整个短语看作“两侧都……”。
练习
哪一句自然地表示床的两侧各有一盏灯?
- There is a lamp on one side of the bed.
- There is a lamp at the end of the bed.
- There is a lamp on either side of the bed.
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There is a lamp on either side of the bed.
in pairs:每两个为一组
in pairs 表示“成对分组”或“两人一组进行”。这里先把数字每两个分成一组,再把每组中的两个数相加。 这个短语说明的是分组方式,而不只是总数刚好是两个。它可以描述每个人和一名搭档一起做事,也可以描述把物品整理成相配的两件一组。
练习
哪一句要求人们组成两人小组?
- Please work in pairs for this activity.
- Please work alone for this activity.
- Please work as one large group for this activity.
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Please work in pairs for this activity.
Keep going:继续当前操作
这里的 Keep going 是祈使表达,让听者继续正在进行的操作。在这个教程语境中,它表示“继续重复上一步”,不是“继续走路”。 在 Keep going, and you'll... 这个结构中,前半句推动操作说明继续进行,后半句说明继续操作会产生的结果。更一般地说,keep 后接 -ing 形式表示“继续做某事”。
练习
在教程中,Keep going 通常是让学习者做什么?
- 开始完全不同的操作。
- 继续当前的操作流程。
- 一直向前走。
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继续当前的操作流程。
wind up with:最终得到某种结果
Wind up with 表示“经过一个过程后,最终拥有或得到某种结果”。with 后面的名词短语说明最后得到的东西;在本句中就是 something like this。 这个表达把重点放在过程最终导向哪里。结果可以是计划内的,也可以是意外的,不过当过程或结果并非完全在预料之中时,这个表达很常见。在这里,它只是预测继续这些步骤会产生的结果。
练习
哪一个句子正确使用了 wind up with 来描述一个过程的最终结果?
- If we keep adding files, we'll wind up with a cluttered folder.
- If we keep adding files, we'll wind with up a cluttered folder.
- If we keep adding files, we'll wind up from a cluttered folder.
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If we keep adding files, we'll wind up with a cluttered folder.
Though really:用于温和修正
这里的 Though really 表示对刚才所说内容作温和修正:说话人从简化的图示或说法转向更准确的事实。really 强调后面的陈述才是更精确的版本。 这里的 though 并不引出完整的让步从句。放在这段口语补充的开头时,Though really 用来组织信息,意思是“前面的简化说法有用,但这样说更准确”。
练习
Though really 在这个句子中起什么作用?
- 它转向一个完全无关的话题。
- 它温和地修正前面的描述,使其更准确。
- 它解释帕斯卡三角形存在的原因。
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它温和地修正前面的描述,使其更准确。
goes on infinitely:没有终点地延续
go on 表示“继续”,infinitely 表示“没有任何终点”。合起来,goes on infinitely 表示某事会一直继续或延伸,永不停止。 这里,这个短语描述的是没有最后一行的数学结构。图中只能画出有限的一部分,但这个规律本身不会停止。
练习
使用本课中表示“无止境地继续”的准确短语完成句子:The number pattern ____.
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goes on infinitely
row corresponds to:在两个系统之间建立对应
在 A corresponds to B 这一结构中,correspond to 表示 A 按位置、含义、数值或功能与另一个系统中的 B 相匹配。这里是说,每一行都与二项式展开的一组系数相对应。 each row 在语法上是单数,所以动词要加 -s,写成 each row corresponds to。这里的 correspond 描述事物之间的对应关系,不表示人与人之间的通信。
练习
请用 correspond 表示对应关系的两词形式完成句子:In the key, each color ____ one category.
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corresponds to
what's called the coefficients:正确配合单复数来引入术语
What's called X 是 what is called X 的缩约形式。它用于引出某个事物的名称或专业术语,语气通常中性,带有解释作用。在例句中,它提示听者,后面的词是即将介绍的数学术语。 原句中,这个短语后面接复数 coefficients。如果说话人指的是多个数本身,经过编辑的规范英语通常用 what are called the coefficients。自发口语中,有时会把后面的整个短语当作一个标签来说 what's called the coefficients,但这不是在复数术语前最稳妥的仿用模式。
练习
在严谨英语中,哪句话能中性地引出一个复数专业术语?
- These numbers are so-called coefficients.
- These numbers are what are called coefficients.
- These numbers are what's called coefficients.
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These numbers are what are called coefficients.
a binomial expansion:展开一个两项式
这里的 a binomial expansion 指把两项代数式的乘方(如 (x + y)^n)改写成若干项之和所得的展开。binomial 是“二项式”;expansion 在这里是代数运算,不是物体或空间变大。 在这个短语中,expansion 也可以指展开后得到的式子,其中各项带有系数和幂。
练习
在数学课上,a binomial expansion 描述的是什么?
- 把两项式的乘方改写成若干项之和
- 让几何图形在物理尺寸上变大
- 把两个数字放进表格
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把两项式的乘方改写成若干项之和
of the form:引出结构模式
Of the form 表示“具有这种结构或模式”。这里它引出代数模板 (x + y)^n,说明正在讨论的是哪一类表达式。 模式通常直接放在 form 后面,例如 numbers of the form 2n + 1。这里的 form 是“形式、结构”,不是要填写的表格。
练习
选择最适合补全这句技术说明的短语:The equation is ___ ax + b = 0.
- of the form
- in the form of
- on the form
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of the form
raised to the n:表达指数
这里,raised to the n 表示乘方运算:前面的底数取 n 次方。字母 n 是指数,所以 A raised to the n 对应 A^n。 Raised 在这里不是把东西实际抬高。指数是具体数字时,英语通常使用序数词,例如 raised to the third power、raised to the fourth power,依此类推。
练习
哪个表达表示 2^5?
- two multiplied by five
- two raised to the fifth power
- two raised by five
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two raised to the fifth power
where n is ...:在公式后定义变量
这里的 where 不表示地点。在数学表达式之后,where n is the number of the row 用来定义变量 n 代表什么。 and 从句补充了一条单独的计数规则:行号从零开始。这种结构先给出表达式,再定义符号,并补充理解该表达式所需的规则。
练习
用引出变量定义的词补全公式说明:The area is A = lw, ____ l is the length and w is the width.
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where
if you make n equal two and expand it:先设值,再运算
if 从句给出一个由两个步骤组成的条件。make n equal two 表示“把 n 设为 2”,expand it 表示“把这个表达式写成展开后的形式”。 在 make + variable + equal + value 结构中,make 表示人为给变量选定一个值,不是变量自己发生变化。这个结构适合用于讲解计算、实验或假设情况。
练习
使用 make + variable + equal + value 补全指令:To test the case n = 2, ____ and expand the expression.
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make n equal two
numbers in front of the variables:用通俗说法解释系数
numbers in front of the variables 用日常语言重新解释了 coefficients。在 3x 中,3 写在 x 前面,是与 x 相乘的系数。 in front of 在这里描述的是书面表达式中的位置,不是现实空间中的位置。or 用来引出对专业术语的通俗解释。
练习
在表达式 7y 中,哪一部分是“number in front of the variable”?
- 7y
- 7
- y
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7
You'll see the same thing with n equals three, which expands to this.
1:38在n等于3时你也会看到同样的情况,它展开是这样的。
So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients. 短語搭配
1:43所以这个三角形是一种快速简便查找所有这些系数的方法。
a quick and easy way to look up:描述便捷的查询工具
在 a quick and easy way to look up ... 中,a way to + 动词原形说明一种工具或方法能用来做什么。quick 和 easy 都修饰 way,因此整个短语把这个三角形说成查找这些系数的便捷方法。 这里的 look up 表示从参考资料中查找特定信息,例如查图表、词典或数据库。它不是“抬头看”。
练习
填入表示“词汇表让查询定义变得快速又简单”的短语:The glossary is ____ technical terms.
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a quick and easy way to look up
But there's much more:提示后面还有更多信息
But there's much more. 是一个转场句。But 把刚提到的一个要点与后面还要介绍的大量信息形成转折,从而推动讲解继续向前。 More 代替了由上下文补全的更多事实、特点、用途或其他内容。它通常不是说还有更多实体三角形或其他物品。
练习
演讲者介绍了一个应用功能,接下来还要讲几个功能。哪个转场句最合适?
- But there's much more.
- But there are much more.
- But there's one more.
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But there's much more.
For example:引出具体例子
For example 是例证标记。在这里,它告诉听者,后面的指令是用来说明先前总体观点的一个具体例子,而不是新的主要论点。 它放在句首时,后面通常加逗号。用它可以从概括性陈述转到一个具体情况。
练习
选择最合适的连接语:Many materials can be reused. ___, glass jars can become storage containers.
- In other words
- For example
- However
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For example
add up:计算总数
这里的 add up 表示把几个数字相加并算出总数。在 add up the numbers 中,the numbers 是宾语,说明要合计哪些数值。 up 在这里不表示向上。在其他语境中,add up 可以表示“说得通”,但 the numbers 这样的直接宾语明确表明本句说的是计算总和。
练习
填入表示“计算总数”的目标短语动词,完成指令:Please ____ these four prices and write the total.
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add up
successive powers of two:连续的 2 的幂
连续的 2 的幂,是指指数按顺序一个接一个的幂,例如 2⁰、2¹、2² 和 2³。它们的值是 1、2、4 和 8;每前进到下一个幂,数值就乘以 2。 这里的 successive 表示“按顺序一个接一个”。它不是 successful;power 在这里指重复相乘的数学概念“幂”,不是力量。
练习
哪一组数是连续的 2 的幂?
- 1, 2, 4, 8
- 1, 4, 9, 16
- 2, 4, 6, 8
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1, 2, 4, 8
treat each number as part of ...:把每个数视为……的一部分
treat A as B 表示为了完成某项任务,把 A 看作、归类为或按照 B 来处理。在这句话中,每个数都被理解为十进制展开式的一部分,而不是一个独立的数值。 在技术说明中,treat 描述应采用的方法或假设。这里不是给某人进行治疗的医学含义。
练习
补全 treat A as B 结构:For this calculation, treat each empty square ____ zero.
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as
In other words:用不同说法重述同一意思
In other words 表示说话人接下来会用另一种通常更清楚或更具体的说法表达相同的核心意思。在本句中,它引出一个加法算式,用来重新说明第二行是怎样表示的。 它通过连接两个核心意思相同的解释来组织信息。它通常不会引出无关的新观点,因此可以借助后面的重述来理解或确认前面的内容。
练习
In other words 表示听众接下来会听到什么?
- 较大概念的一个例子。
- 与前一个观点形成对比的观点。
- 用不同说法表达相同的核心意思。
查看答案
用不同说法表达相同的核心意思。
And take a look at what happens when you do the same thing to row six. 短語搭配
2:11再看看对第6行做同样的事情会发生什么。
take a look at what happens:邀请别人观察结果
Take a look at 表示看一看或观察。这里的 what happens 是一个从句,说明要观察什么;when 从句则给出结果出现的条件。 整体来看,take a look at what happens 是一种友好的指示,用来把注意力引向某个结果。它常见于演示、教程和实验。
练习
请用本课中的准确短语完成讲解者的观察邀请:____ when I switch on the fan.
查看答案
Take a look at what happens
do the same thing to + 对象
do the same thing to + 对象表示对另一个对象重复同一动作或过程。本句把前面已经说明的过程应用到第六行,因此不必再次描述整个过程。 介词 to 引出接受该操作的对象。在 to row six 中,to 不表示移动或方向。
练习
请用目标结构补全句子,表示把同样的操作应用到新对象上:After resizing the first photo, ____ the second photo.
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do the same thing to
adds up to + 总数
add up to + 总数表示几个数字或金额合在一起后得到某个总数。这里是在报告结果 1,771,561。 因为主语 it 是单数代词,add 要加 -s,变成 adds。to 后面的数字是最终总数。
练习
用 add up 的正确形式补全句子:The cost of the three repairs ____ $120.
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adds up to
and so on:省略可推断的后续模式
and so on 表示更多项目或步骤会按同样的方式继续,但说话人不把它们全部列出。听者能够推断出重复规律时,就可以使用这个短语。 这里它指后面还有同类的数学情况,并不是又引入一个具体的数字或对象。
练习
用本课学到的三词短语完成句子,表示还有更多同类项目会继续出现:The workshop covers drawing, painting, sculpture, ____.
查看答案
and so on
geometric applications:在几何学中的用途
geometric applications 指一个想法、方法或结果在几何学中的使用方式。geometric 是说明所属领域的形容词,applications 是表示这些用途的复数名词。 在这个学术语境中,applications 不是手机应用程序,也不是为申请某事而提交的表格。
练习
在学术说明中,geometric applications 最自然的意思是什么?
- 一个想法或方法在几何学中的使用方式
- 用于申请几何课程的表格
- 用于学习几何的手机应用程序
查看答案
一个想法或方法在几何学中的使用方式
also known as natural numbers:引出另一个名称
also known as + 名称用于补充同一个人、事物或概念的另一个名称。这里的 natural numbers 是前面所讨论的那些数的另一种名称。 known 是被动表达中的过去分词,表示主语以这个名称为人所知。它并不是说这些数“也知道”某件事。
练习
用表示“另一个名称是”的短语补全句子:Sodium chloride is ____ table salt.
查看答案
also known as
if you take that many dots, you can...:连接条件与结果
if 从句给出一个可以执行的条件:取出前面刚刚提到的数量的点。带 can 的主句给出可能的结果:把这些点排列成等边三角形。if ...,can ... 这个框架说明满足条件后可以实现什么结果。 that many + 复数名词指回已经说过或语境中明确的数量,本身并不表示某个固定数字。这里的 stack them into 表示排列这些点,使它们形成所说的形状。 在完整句子中,because 把整个“条件—结果”陈述作为前面说法的理由。
练习
用 if 引出条件,用 can 引出可能的结果:The rack holds twelve bottles. ____ you take that many bottles, you ____ fill the rack.
查看答案
If · can
“because similarly,”——连接运作方式相似的新例子
在这段讲解中,because 延续说话人给出的理由,similarly 则提示你把接下来的例子与刚讲过的例子联系起来。它把信息组织成一个平行案例:这些球体可以按照相似的模式堆叠。 similarly 意为“以类似的方式”。它强调方法或关系有共同点,并不表示两个对象或结果在每个细节上都完全相同。
练习
“because similarly,” 在句中建立了怎样的信息联系?
- 它把接下来的例子呈现为以类似方式运作的案例。
- 它表示说话人正在否定前面的例子。
- 它表示这些对象在各方面都完全相同。
查看答案
它把接下来的例子呈现为以类似方式运作的案例。
“Or how about this?”——引出另一个例子
这里的 Or how about this? 是一个用来推进展示的问句。Or 表示转向另一种可能性,this 则指说话人马上要展示的例子。 说话人的主要目的不是询问观众喜欢什么。这个问句创造了更有互动感的转场,并把注意力引向新的模式或演示。
练习
演讲者说完 “Or how about this?” 后展示了一个新模式。这个问句起什么作用?
- 它在请观众选择最喜欢的内容。
- 它在引出另一个例子。
- 它在结束展示。
查看答案
它在引出另一个例子。
Shade in:给指定区域涂色
Shade in 是用于指令中的短语动词,意思是用颜色、铅笔线条或阴影填满图形、方格或其他明确区域的内部。本句中,要填涂的是与奇数对应的区域。 这里的 shade 是动词,不是表示暗处的名词;in 强调填涂所选区域的内部。
练习
用表示“填涂所选图形内部”的目标短语动词完成指令:____ the three circles at the bottom.
查看答案
Shade in
Doesn't look like much:乍看不起眼
在 doesn't look like much 中,much 表示“任何令人印象深刻或重要的东西”。整个短语表示某物乍看普通、微小或不太有希望,并不是在描述数量。 这里,这个短语在三角形还很小时降低了期待。这种表达常为反差作铺垫:某物现在看起来简单,之后却可能变得更引人注目。
练习
哪句话能自然地表示这家小店乍看不起眼,但实际上很不错?
- The small shop doesn't look like many from outside, but the food is excellent.
- The small shop doesn't look like much from outside, but the food is excellent.
- The small shop doesn't look much from outside, but the food is excellent.
查看答案
The small shop doesn't look like much from outside, but the food is excellent.
but if you add ..., you get ...:用条件引出反差结果
but if ..., you get ... 把转折与条件—结果说明连接起来。but 表明扩大规模后的结果与前面不太明显的小规模结果形成反差;if you add thousands of rows 给出条件,you get a fractal 给出结果。 这里的 you 是泛指,表示任何执行这项操作的人。这个结构可以用来说明改变某个条件后会产生怎样的可观察结果。
练习
哪一句正确地用 but 表示反差、用 if 给出条件,并用 you get 引出结果?
- The change is hard to see, but if you repeat the step many times, you get a clear pattern.
- But you repeat the step many times if a clear pattern gets you.
- The change is hard to see because if you repeat the step, but you get a clear pattern.
查看答案
The change is hard to see, but if you repeat the step many times, you get a clear pattern.
a fractal known as Sierpinski's triangle:先说类别,再说名称
在 a fractal known as Sierpinski's triangle 中,fractal 说明类别,known as Sierpinski's triangle 则给出这个对象的名称。known as 是 that is known as 的被动式缩短形式,意思是“被称为”;并不是说这个分形主动“知道”什么。 谢尔宾斯基三角形是一种著名分形,它的三角形图案会在更小的尺度上重复。了解这一点,就能看出这个短语为什么先说明对象的类别,再给出名称。
练习
哪一句最准确地改述 a fractal known as Sierpinski's triangle?
- Every fractal has the name Sierpinski's triangle.
- It is a fractal that knows about Sierpinski's triangle.
- It is a fractal called Sierpinski's triangle.
查看答案
It is a fractal called Sierpinski's triangle.
isn't just ..., it's also ...:补充第二个重要特点
结构 isn't just A, it's also B 先否定“A 就是全部”的看法,再补充另一个重要特点 B。这里的三角形既有艺术价值,也有实用价值。 在这个结构中,just 表示“仅仅”,不是“刚刚”。更对称的形式是 not just A but also B;口语中,第二个分句也可以用 it's also 开头。
练习
完成目标结构,表示这台相机同时具备两个特点:This camera ____ small; ____ powerful.
查看答案
isn't just · it's also
when it comes to probability:限定话题范围
when it comes to probability 表示“说到概率”或“在概率方面”。它把陈述限定在一个特定话题上,而不是描述所有方面。 when it comes to 是固定短语,不表示真的移动到某处。这里的 to 是介词,后面可以接名词、代词或 -ing 形式,例如 when it comes to solving problems。
练习
完成本课中含 comes、意为“说到/关于”的四词固定短语:Leo is careful ____ sharing personal information online.
查看答案
when it comes to
in the domain of combinatorics:正式指明学科领域
in the domain of combinatorics 表示“在组合数学这一领域中”。这个介词短语修饰 calculations,说明这些计算属于哪个研究领域。 这里的 domain 指知识或活动的领域,不是互联网域名或网站地址。
练习
in the domain of combinatorics 在这句话中是什么意思?
- 归 combinatorics 所有
- 在一个名为 combinatorics 的网站上
- 在组合数学这一领域中
查看答案
在组合数学这一领域中
Say you want to ...:引出假设例子
Say you want to ... 在这里表示“假设你想……”。Say 引出一个让听者想象的假设场景,并不是要求听者开口说话。 这种开场把抽象说明变成具体例子。接下来,说话人可以添加条件、提出问题或进行计算。
练习
用笔记中的短语补全这个假设场景的开头:____ compare two phone plans before choosing one.
查看答案
Say you want to
would like to know:礼貌地表达信息需求
would like to know 表示“想知道”,但 would 会减弱请求或需求表达的直接程度。本句用它礼貌地表达希望获得信息;这里的 would 不表示过去。 would like to know 后面可以接名词短语或从句,例如 would like to know the probability、would like to know whether... 和 would like to know when.... 在直接对话中,常用缩写形式 I'd like to know。
练习
哪句话能礼貌地表达想要了解信息?
- Tell me when registration closes right now.
- I knew when registration closed.
- I'd like to know when registration closes.
查看答案
I'd like to know when registration closes.
dream family:dream + 名词表示“理想中的”
在 dream family 中,dream 修饰名词 family,表示“理想中的”或“最向往的”,不是指睡觉时做的梦。这里特指设想中由三个女孩和两个男孩组成的家庭。 dream + 名词的结构也出现在 dream job、dream home 和 dream vacation 中。它表示后面的事物是某个人非常希望拥有或体验的。
练习
哪句话使用 dream + 名词表示“理想中的”或“最向往的”?
- After years of saving, they finally bought their dream home.
- They often dream about the home they hope to buy.
- Their dream is to buy a home after years of saving.
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After years of saving, they finally bought their dream home.
girl + boy to the fifth power:读出二项式的五次方
在这个数学语境中,girl 和 boy 是两种可能结果的标签。这个表达式表示 (girl + boy)^5:整个和都取五次方,用来表示五次相互独立的选择,也就是每个孩子一次。它不是把女孩人数和男孩人数做普通加法。 to the fifth power 表示指数是 5。如果作用范围可能不清楚,可以说 the quantity girl plus boy, raised to the fifth power,明确告诉听者五次方作用于整个和。
练习
哪一种标准读法与 x⁵ 相符?
- x at the fifth power
- x to the fifth power
- x to five power
- the fifth power to x
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x to the fifth power
where the first number ... and the last ...:解释一行中的位置
where 回指 row five,并引出关于这一行内部有什么或什么情况成立的信息。这里相当于“在这一行中”,不是在询问实际地点。用这种结构可以解释表格、列表、图示等结构中的内容或组织方式。 the first number ... and the last ... 构成平行结构。第二部分省略了 number,因为听者能从前文补出;the last 就是 the last number。随后用 corresponds to 把每个位置与它的含义对应起来。
练习
哪句话自然地使用 where 来解释图表某一部分中的信息?
- We checked the final column, which the top value represents Monday and the bottom represents Friday.
- We checked the final column, where the top value represents Monday and the bottom represents Friday.
- We checked where the final column because the top value represents Monday.
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We checked the final column, where the top value represents Monday and the bottom represents Friday.
what we're looking for:指出要找的答案
这里,what we're looking for 表示“我们正在设法找到的东西或答案”。what 引导一个功能类似名词的从句,整个从句位于 is 之后,用来说明第三个数字是什么。 look for 的目标也可以是抽象的。在数学题中,它可以表示求出某个答案或数值,而不一定是用眼睛寻找实物。
练习
填入表示“我们正在设法找到的答案”的从句:The missing number is ____.
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what we're looking for
10 out of the sum of ...:表示部分与总数
在 10 out of the sum of ... 中,10 是所计算的部分,out of 后面的数量是整体。在概率计算里,这个表达可以看作一个分数:10 是分子,所有可能情况之和是分母。 这里的 out of 表示部分与整体的关系,不是指从某个东西内部向外移动。
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填入一个表示“部分占总体”的两个英文单词:In the survey, twelve ____ thirty people chose the red logo.
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out of
pick ... out of a group:从一个集合中挑选
在 pick A out of B 结构中,A 是被选中的人或物,B 是选择所来自的完整集合。这里,球队是从十二位朋友中选出的;out of 表示来源群体,不表示离开某个地方的移动。 randomly 表示没有刻意偏向某个人。five-player 在 team 前整体作形容词,所以 player 用单数。
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哪句话自然地表示从一份有二十个名字的名单中选出三个名字?
- We randomly added three names to a list of twenty.
- We randomly picked three names out of a list of twenty.
- We randomly removed three names from a list of twenty.
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We randomly picked three names out of a list of twenty.
In combinatorial terms:用专业语言重新表述
In combinatorial terms 表示使用组合数学的语言和概念来表述。它是一个转场信号:说话人接下来会用更专业的数学方式重新说明同一个情境。 这里的 terms 指专业用语或表达方式,不是协议中的条件或条款。
练习
开头的 In combinatorial terms, 向听者传递了什么信息?
- 说话人正在列举合同中的条款。
- 说话人将用组合数学的语言重新表述同一个概念。
- 说话人要转到一个无关的话题。
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说话人将用组合数学的语言重新表述同一个概念。
would be phrased as:引出标准表述
在这句话中,would be phrased as 表示某个内容会用接下来的形式表达。phrase 在这里是动词,被动结构 be phrased 把重点放在问题采用的措辞上,而不是谁选择了这些词。 当一个情境、问题或想法被转换成某种具体措辞、专业名称、公式读法或标准问法时,可以使用 would be phrased as。这里的 would 说明这个问题按照数学惯例会怎样表述,并不表示过去时间。
练习
请用目标被动表达补全句子:In a math lesson, the problem would ____ a question about combinations.
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be phrased as
12 choose five:组合数的英语读法
在数学中,12 choose five 是组合数 C(12, 5) 的英语读法,也叫二项式系数。它表示从12个对象中选出5个且不考虑所选对象顺序时,一共有多少种选法。 这里的 choose 是固定数学读法的一部分。整个表达表示一个数值;它不是让某人现在挑出5个对象的指令,也不表示答案是5。
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组合数 C(10, 3) 通常用英语怎样读?
- ten choose three
- ten to the third power
- choose three out of ten
- ten divided by three
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ten choose three
could be calculated with this formula:表示可行计算方法的情态被动结构
Could be calculated 由情态动词 could、be 的原形和过去分词 calculated 构成。这是被动结构:主语是数值被算出的对象,而实际进行计算的人没有说出。 这里的 could 把公式作为一种可行的方法提出,不一定表示过去。With this formula 说明计算所使用的方法或工具。
练习
使用 could、calculate 的被动形式和正确的介词完成句子:The area ____ this formula.
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could be calculated with
or you could just look at the sixth element of row 12 on the triangle 表達脈絡
4:07或者你也可以直接查看三角形第12行的第6个元素,
or you could just look at:引出更简单的替代方法
Or 把这个方法与前面的方法连接起来,并说明它是另一个选择。这个短语能组织讲解内容,把听者从一种可行的步骤带到另一种更直接的步骤。 Could 让建议显得温和,而且保留选择。Just 表示听者只需要查看指定位置,强调步骤更少;它不是在贬低这个方法。
练习
说话人已经介绍了一种很长的计算方法。哪句话能自然地引出一个更简单的选项?
- Therefore, you must rebuild the table.
- However, the table was checked yesterday.
- Or you could just check the table.
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Or you could just check the table.
get your answer:得到所需结果
在 get your answer 中,get 表示“得到、获得”,answer 是你需要的结果。这里不是“购买”,也不是 get 表示移动或到达的用法。 这个短语常用于一连串说明的结尾:做完前面的步骤后,你就会得到答案。
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哪个句子表示完成计算后就会得到结果?
- Finish the calculation to get your answer.
- Write your answer before you calculate.
- Ask a different question after the calculation.
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Finish the calculation to get your answer.
The patterns in Pascal's triangle are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics. 講解
4:13帕斯卡三角中的规律证明了数学优雅交织的结构。
a testament to:某种品质的有力证明
A is a testament to B 表示 A 是 B 的有力证据,或清楚地体现了 B。本句把这些规律说成证据,用来说明数学的各个部分优美地联系在一起。 这里的 testament 不是法律意义上的“遗嘱”。这个表达带有评价作用:前面的事物有力地展示了 to 后面所说的品质、努力或事实。
练习
填入含 testament、表示“是……的有力证据”的短语:Her recovery is ____ the team's careful work.
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a testament to
elegantly interwoven fabric of mathematics:数学思想优美交织的隐喻
这个短语是一个隐喻,把数学描绘成许多线交织而成的织物:interwoven 表示不同思想和规律彼此连接、相互支持,fabric 则表示这些联系共同形成的更大体系。 Elegantly 带有赞美意味。说话人认为这些联系不仅紧密而复杂,而且组织得十分优美;这里并没有真实的布料。
练习
这里的隐喻“the elegantly interwoven fabric of mathematics”是什么意思?
- 每一种数学规律都与其他规律完全分离。
- 不同的数学思想紧密相连,构成一个优美有序的整体。
- 数学主要是一种设计编织布料的方法。
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不同的数学思想紧密相连,构成一个优美有序的整体。
to this day:从过去一直持续到现在
to this day 表示“从过去一直到现在,同一种情况或影响仍在持续”。它回顾较早的时间,并强调某件事现在依然成立;它不是指某一个特定的日期。 本句中的 still 进一步强调了这种持续性:即使经过很长时间,新的奥秘仍在不断被揭示。
练习
请用一个由三个英语单词组成、以 day 结尾,并表示“从过去一直持续到现在”的表达完成句子:Although the law was written two centuries ago, it still affects court decisions ____.
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to this day
For example, mathematicians recently discovered a way to expand it to these kinds of polynomials. 短語搭配
4:23比如,数学家最近发现了一种方法,可以将其扩展到这类多项式上。
discover a way to expand A to B:找到把 A 扩展到 B 的方法
在 discovered a way to expand it to ... 中,discovered a way to + 动词表示某人找到了一种此前未知的做事方法。不定式 to expand 说明这种方法能够实现什么。 结构 expand A to B 表示扩展 A,使它适用于或包含 B。这里的 it 指代前面提到的数学概念,而 these kinds of polynomials 是新扩展到的范围。
练习
用本课重点结构完成句子:The team ____ the service ____ small towns.
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discovered a way to expand · to
What might we find next?:用面向未来的问题收束讲解
What might we find next? 把观众的注意力从刚刚讲完的内容转向未来可能出现的发现。放在讲解结尾时,它把信息组织成面向未来的收束,而不是继续补充一个事实。 might 表示不确定性,为多种结果保留可能。说话人通常是在激发好奇心、邀请观众思考,而不是询问一个已有确定答案的问题。
练习
在科普讲解之后,结尾问题 What might we find next? 主要起什么作用?
- 它激发人们对未来可能发现的事物产生好奇。
- 它要求观众列出已经取得的发现。
- 它确认接下来究竟会发现什么。
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它激发人们对未来可能发现的事物产生好奇。
that's up to you:把决定权交给对方
在 That's up to you 中,that 指的是正在讨论的选择或下一步行动,up to you 意为“由你决定”。这里的 up to 不表示向上的方向。 这个表达把决定权交给听话人。在这句收尾语中,它是一种鼓励性的邀请:观众可以选择接下来探索什么或做什么。
练习
用本课中以 that's 开头、表示“由你决定”的短语完成句子:We can meet at three or four; ____.
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that's up to you