你能解開失竊紅寶石的謎題嗎? - 丹尼斯·沙沙 (Dennis Shasha):英語精讀講義
TED-Ed
影片簡介:國王把30顆藏起來的紅寶石之沒收數量,變成一道對抗策略題。面對三個盒子的數量限制,顧問從最壞情況推理,並用反證法說明:每個盒子都要求8顆,就能替受害者保證取回16顆。 主要英語學習重點: 1. a game of wits — 慣用語與比喻表達。理解它並非字面上的一般遊戲,而是雙方試圖預判並勝過對手的智慧與策略較量;可自然用來描述談判、競爭或需要鬥智的謎題。 2. as if the merchant already knew your move — 文法與句型。看懂 as if 如何設定想像中的最壞條件:商人其實不知道你的選擇,但解題時假設他彷彿早已知道。藉此學會在策略說明中建立假設或與事實不符的情境。 3. Since that's less than 30, — 文法與句型。辨認 Since 在此表示原因而非時間,並學會把數值觀察銜接到下一個邏輯結論,尤其適合用來說明某項假設與題目給定的總數或規則互相矛盾。
本篇講解
One of the kingdom's most prosperous merchants has been exposed for his corrupt dealings. 片語搭配
0:06王國裡最富有的商人之一因貪腐交易而被揭發。
exposed for his corrupt dealings:因不當行為遭揭發
在 has been exposed for 中,exposed 表示原本隱藏的不當行為被揭開並公諸於世。被動形式把焦點放在行為遭揭發的商人身上,而 for 引出被揭發的不當行為。 Corrupt dealings 指不誠實或違法的商業交易或安排。be exposed for + 名詞或 -ing 形式這個結構常見於醜聞與調查報導。
練習
這裡的 has been exposed for his corrupt dealings 是什麼意思?
- 他在商業交易中被置於毫無保護的狀態。
- 他獲得了接觸新商業機會的介紹。
- 他不誠實的商業活動已遭揭發。
查看答案
他不誠實的商業活動已遭揭發。
Nearly all of his riches are invested in a collection of 30 exquisite Burmese rubies, 片語搭配
0:13他的幾乎所有財富都投資在30顆精美的緬甸紅寶石上,
invested in:財富配置於某項資產
在 are invested in 中,被動形式表示商人的財富被投入並以某種特定資產的形式持有,也就是這批紅寶石收藏。 可套用的財務結構是:資金或資源 + be invested in + 資產、公司、基金或計畫。主動形式是 someone invests money in something。
練習
請用表示「資金被配置到某項投資中」的片語完成這個財務句子:Most of the fund is ____ clean-energy companies.
查看答案
invested in
clamoring for their confiscation:強烈公開要求沒收
Clamor for something 表示大聲而持續地要求某事,主詞通常是一群人。這裡的群眾是在公開向有關單位施壓,要求沒收這些物品,並不是平靜地提出請求。 在 their confiscation 中,their 指前面提到的物品;confiscation 指由官方強制沒收財產。整個片語說明群眾正在強烈要求什麼。
練習
用 clamor for 的正確 -ing 形式完成句子:After repeated delays, passengers are ____ a full investigation.
查看答案
clamoring for
to reimburse his victims:說明目的並補還損失
To reimburse his victims 是表示目的的不定詞,說明為什麼要沒收這些財產:這些財產預計用來補還那些被他傷害之人的損失。 Reimburse someone 表示把某人已經支出或損失的金錢或價值補還給他。收款人直接放在動詞後面;同時說明費用或損失時,使用 reimburse someone for something。
練習
下面哪一句正確表示「公司會補還一名員工的差旅費」?
- The company will reward the employee for the travel costs.
- The company will reimburse the employee for the travel costs.
- The company will refund the employee to the travel costs.
查看答案
The company will reimburse the employee for the travel costs.
at least some of:把主張限縮在整體的一部分
At least some of 把主張限制在一個較大整體中的最低一部分。本句只主張他的一部分財富是以正當方式取得,並沒有說全部財富都合法。 結構是 at least some of 加上一個特定的群體或數量。at least 標出說話者願意確定的最低範圍,some of 則從這個整體中選出一部分。
練習
請用本課中表示「至少一部分,不一定是全部」的四字詞組完成句子:The filter removes ____ the dust.
查看答案
at least some of
have made a convincing case:提出有說服力的論證
To make a convincing case 表示提出理由或證據,讓某個主張顯得可信。這裡的 case 指「論證」,不是箱子,也不是訴訟案件本身。 後面的 that 子句說明他們支持的主張。現在完成式 have made 表示這套論證已經提出,而且與目前的情況仍有關。
練習
在 “Jordan made a convincing case for changing the schedule,” 中,喬丹做了什麼?
- 喬丹提出了有說服力的理由來支持更改行程。
- 喬丹證明了法律要求必須更改行程。
- 喬丹把行程表放進了一個箱子。
查看答案
喬丹提出了有說服力的理由來支持更改行程。
the crown:君主或王室權威
在君主制中,the crown 可以代表君主、王室體制,或以君主名義行使的權力。這是轉喻:與王權相關的物品代替了它所象徵的權力。 這裡的 service to the crown 指為君主或王室權威效力,而不是替一頂實體王冠做事。
練習
在句子“The royal guards served the crown for many years,”中,the crown 最可能指什麼?
- 衛兵頭頂的位置
- 君主或王室權威
- 一件實體珠寶
查看答案
君主或王室權威
Because there's no way to know which portion of the rubies were bought with ill-gotten wealth, 講解
0:39因為無法確定哪些紅寶石是用不義之財購買的,
ill-gotten wealth:透過不正當手段取得的財富
ill-gotten wealth 指透過欺騙、不道德或非法手段取得的金錢或貴重財產。這裡的 ill-gotten 修飾 wealth;ill 是指取得方式「不好」或「不正當」,不是「生病」。 這個片語對財富的來源帶有強烈的負面評價,但不會具體指出是哪一種不當行為。
練習
下列哪一句正確使用了 ill-gotten wealth?
- Leo called his savings ill-gotten wealth because he earned them while he was sick.
- The police seized the fraudster's ill-gotten wealth.
- Nora called her honestly earned salary ill-gotten wealth.
查看答案
The police seized the fraudster's ill-gotten wealth.
Because there's no way to know:引出無法確定的原因
Because there's no way to know ... 是放在主要子句之前的原因子句。Because 引出原因,主要子句則說明由此產生的決定或結果。 There's no way to know 後接疑問子句,如 which portion ...,表示答案無法確定。這裡 because 說明的是後面整個決定的原因,而不只是修飾附近的 which 子句。
練習
請用本課的確切目標片語完成句子:____ who wrote the anonymous note, the teacher will not blame anyone.
查看答案
Because there's no way to know
will be determined through:結果將透過某個過程決定
will be determined 是未來式的被動結構,表示某個結果「將被決定」。through 引出產生該結果的方法、程序或機制,而不是指穿過某個空間。 這個結構把重點放在結果以及結果將如何產生,而不是做出決定的人。
練習
請用一個表示「將透過某種方式決定」的四字英文片語完成規則:The winner ____ a final round of questions.
查看答案
will be determined through
a game of wits:一場鬥智
a game of wits 指人們運用巧妙的推理、判斷或策略,設法在思考上勝過對方的智力較量。在這個表達中,wits 指敏捷的思考與良好的判斷力,不是多個彼此分開的「智慧」。 在本句中,罰金金額將由商人與顧問之間的智力較量決定,而不是透過普通的娛樂遊戲決定。
練習
哪一種情境最適合用 a game of wits 描述?
- 兩名偵探預測對方的下一步行動,試圖智取彼此。
- 一名玩家靠猜硬幣的正反面獲勝。
- 兩名跑者比賽看誰速度最快。
查看答案
兩名偵探預測對方的下一步行動,試圖智取彼此。
in advance:在後續事件發生前
in advance 表示在預定的事件、行動或截止時間之前,也就是「提前、事先」。在本句中,兩個人都會在較量開始前得知規則。 這個片語用作時間表達,常放在子句末尾。它強調為了做好準備而提早做某件事,不表示空間上的向前移動。
練習
用本課中表示「在活動前」的兩字片語完成句子:Please reserve your seat ____.
查看答案
in advance
The merchant will be allowed to discreetly divide his rubies among three boxes, 講解
0:54商人將被允許將他的紅寶石悄悄分成三隻盒子,
will be allowed to:將獲准做某事
will be allowed to + 動詞原形表示規則或有權限的人將在未來允許某人做某事。這是 allow 的未來式被動形式,所以重點是獲得許可的人,而不是由誰給予許可。 在本句中,獲准進行的動作從 to 後面開始:discreetly divide his rubies among three boxes。這個片語表達的是許可,不是能力或義務。
練習
用 allow 表示未來被動許可的結構完成規則:After the tour, visitors ____ take photos.
查看答案
will be allowed to
discreetly divide ... among three boxes:暗中分放進三個盒子
discreetly 表示以謹慎、隱密、不引人注意的方式做事。它修飾商人進行動作的方式;不是說紅寶石本身彼此分離。 divide something among several recipients or destinations 表示把某物分配給一組接收者,或分放到多個去處。這裡 his rubies 是被分配的東西,three boxes 是三個去處。 合起來,本句表示他可以在別人不容易看清每個盒子裡放了什麼的情況下決定具體分法。
練習
哪一句表示主持人在不引人注意的情況下,暗中把線索卡分給三支隊伍?
- The host discreetly divided the clue cards into three teams.
- The host discreetly divided the clue cards among three teams.
- The host discretely divided the clue cards among three teams.
查看答案
The host discreetly divided the clue cards among three teams.
placed in front of you:被動放置和空間位置
這裡的 placed 是被動結構 will be placed 中的過去分詞。物品是動作的承受者,至於是誰移動它並不重要。 in front of you 說明物品相對於你的空間位置,也就是你前方的區域。這裡不是「為你」或「代表你」的意思。
練習
在句子 "The box was placed in front of me," 中,這個片語描述了什麼?
- 盒子被放在我前方的空間裡。
- 盒子事先準備好了。
- 盒子是特別為我製作的。
查看答案
盒子被放在我前方的空間裡。
between 1 and 30 on each:數字範圍加逐項要求
between 1 and 30 設定了允許的數字範圍。on each 表示「在每張卡片上」;each 代替了前面提到的單數名詞 card。 這項要求分別適用於每一張卡片。每張卡片都要有一個符合指定範圍的數字,而不是所有卡片共用一個數字。
練習
老師說:"Write a number between 1 and 30 on each card." 你必須怎麼做?
- 在每張卡片上同時寫 1 和 30。
- 在每張卡片上寫一個指定範圍內的數字。
- 選一個數字,整組卡片只寫一次。
查看答案
在每張卡片上寫一個指定範圍內的數字。
you will receive exactly as many rubies as the number written on the corresponding card. 文法
1:16你將獲得與對應卡片上所寫數字完全一樣多的紅寶石。
exactly as many rubies as:可數數量完全相等
exactly as many + 可數名詞複數 + as 用來比較兩個數量,表示兩者相等。這裡,收到的紅寶石數量與卡片上的數字一致。 exactly 強調嚴格相等:不多也不少。rubies 可以逐一計數,所以用 many。
練習
用 exactly as many ... as 完成句子:There are 18 players, and the coach brought 18 jerseys. The coach brought ____.
查看答案
exactly as many jerseys as players
at least that many:以前面提到的數量為下限
at least that many 表示「前面提到的數量或更多」。that many 不是固定數字,而是回指語境中已知的可數數量。 at least 設定下限。如果前面的數字是 8,那麼 8、9、10 以及更大的數都符合條件,但 7 不符合。
練習
選擇能完成第二句的片語。We need ten chairs, and having more is fine. The hall has ____.
- at most that many
- at least that many
- exactly that many
查看答案
at least that many
but if your number is greater than the number of rubies actually there, 文法
1:24但是,如果你寫的數字大於盒子裡實際的紅寶石數量,
greater than the number of:比較兩個數量
在 A is greater than B 這個結構中,greater than 表示 A 的數值比 B 大。這裡,your number 是 A,the number of rubies actually there 是 B。 the number of + 可數名詞複數表示一個數量,例如 the number of rubies。整個片語是在比較兩個數字,而不是比較紅寶石的品質、價值或重要性。
練習
哪一句使用了正確的結構來比較票的數量和座位的數量?
- The number of tickets is greater than the number of seats.
- The number of tickets is greater the number of seats.
- The number of tickets is better than the number of seats.
查看答案
The number of tickets is greater than the number of seats.
gets to keep:獲得保留某物的許可或機會
get to + 動詞原形表示有機會或獲准做某事,通常是因為規則、選擇或某種情況讓這件事成為可能。在 gets to keep 中,gets 與單數主詞 the scoundrel 一致,keep 在 to 後面使用原形。 這裡的規則讓那個惡棍有權保留整個盒子。它不是說他到達某個地方;與單純的 keeps 相比,它還帶有「獲得許可或有利結果」的意思。
練習
用表示「獲准保留」的目標片語完成句子:Under the contest rules, the winner ____ the trophy for one year.
查看答案
gets to keep
The king puts just two constraints on how the scoundrel distributes his rubies. 片語搭配
1:31國王對無賴如何分配紅寶石只加了兩個限制。
puts just two constraints on:只設下兩項限制
put constraints on something 表示設定條件,限制可以做什麼。這裡,國王制定的是分配紅寶石時必須遵守的規則,不只是提出建議。 在 just two 中,just 表示「只有」,強調限制總共只有兩項。on 後面的子句說明受限制的內容:這個惡棍如何分配紅寶石。
練習
在 The policy puts just two constraints on the design. 中,這句話表達什麼意思?
- 這項政策取消了設計上的所有限制。
- 這項政策為設計提供兩項可自由採納的建議。
- 這項政策只對設計設下兩項限制。
查看答案
這項政策只對設計設下兩項限制。
and one of the boxes must contain exactly six more rubies than another, 文法
1:41並且其中一個盒子的紅寶石數量必須比另一個盒子多正好六顆,
exactly six more rubies than another:表達精確差值
結構 exactly + number + more + plural noun + than 表示精確的正差值。在本句中,一個盒子裡的紅寶石比另一個盒子多六顆;兩個數量的差剛好是六。 Exactly 表示這個差值不多不少,就是六。Another 代替 another box,指同一組中拿來比較的另一個盒子,而不是額外的數量。
練習
依照給出的結構 exactly + number + more + plural noun + than 完成句子:One shelf has ____ three more books ____ the other.
查看答案
exactly · than
Which numbers should you choose in order to guarantee the largest possible fine for the scoundrel 講解
1:54為了保證對這個無賴處以最大可能的罰款,你應該選擇哪些數字
the largest possible fine:條件允許的最高罰款
the largest possible fine 表示在相關規則與條件下能夠達到或施加的最高罰款。the + 形容詞最高級 + possible + 名詞這個結構表示可達到的極限。 這裡的 possible 不是說罰款可能存在,也可能不存在。它限制的是 largest:目標是讓策略能夠確保最高的罰款。
練習
哪個片語表示「規則或條件允許的最高罰款」?
- the largest fine so far
- the largest possible fine
- a large fine
查看答案
the largest possible fine
in order to guarantee:說明目的並確保結果
in order to + 動詞原形表示一個動作的目的。這裡,選擇數字是行動,確保所述結果則是這個行動的目的。 guarantee 比 hope 或 try 語氣更強。在這個策略問題中,它表示在規則範圍內讓結果確定,而不只是讓結果更有可能發生。
練習
請用本課的目的片語完成句子:We reserved every seat in advance ____ space for the whole team.
查看答案
in order to guarantee
overshoot by being too greedy:因過於貪心而超出合適目標
本句中,overshoot 指在策略上超出安全或有用的目標點。這裡是比喻用法:要求太多可能越過最佳範圍,反而造成更差的結果。 by + -ing 結構說明 overshoot 發生的方式或原因。這裡 by being too greedy 表示,正是因為想要得太多,目標才訂得過高。
練習
在這個句子中,overshoot by being too greedy 是什麼意思?
- 這個人正好達到了最安全的目標。
- 因為粗心,射出的東西越過了某個實體物體。
- 因為想要得太多,要求超出了有用的目標範圍。
查看答案
因為想要得太多,要求超出了有用的目標範圍。
but there is a way you can guarantee to get more than half of the scoundrel's stash. 講解
2:14但有一種方法可以保證你拿到無賴藏匿紅寶石的一半以上。
more than half of:嚴格超過 50%
More than half of + 名詞表示某個整體中嚴格超過 50% 的數量。of 後面的名詞指出正在計數或分割的整體。 它不包括剛好 50%。只要比一半多一點,也符合 more than half of。
練習
哪一個句子表示裝滿的箱子嚴格超過總數的 50%?
- More than half of the boxes are full.
- Half of the boxes are full.
- At least half of the boxes are full.
查看答案
More than half of the boxes are full.
scoundrel's 在 scoundrel's stash 中:隱藏財物屬於誰
在 scoundrel's stash 中,scoundrel's 是單數名詞 scoundrel 的所有格形式,表示這批東西屬於這個惡棍。這裡的 's 不是 is 的縮寫,因為後面接著名詞 stash。 Stash 指藏起來或另外存放的一批錢或物品。因此,整個片語表示「屬於這個惡棍的一批隱藏財物」:隱藏的意思來自 stash,而 scoundrel's 說明財物屬於誰。
練習
片語 the pirate's stash 是什麼意思?
- 這個海盜此刻正在藏東西
- 幾個海盜站在一些物資旁邊
- 屬於這個海盜的一批隱藏物品
查看答案
屬於這個海盜的一批隱藏物品
adversarial game:目標衝突且主動對抗的雙方
Adversarial game 指一種遊戲或策略局面:各方的目標互相衝突,而且可以選擇傷害或阻礙對方的行動。Adversarial 強調有對手在主動對抗,而不只是任務本身很難。 把這種情況比作西洋棋,表示你必須預料對方會聰明地回應。一個好策略需要在對手選擇對你不利的反制行動時仍然有效。
練習
哪種情況最適合描述為 an adversarial game?
- 兩名玩家各自選擇行動,而且都試圖擊敗對方。
- 一群人合作完成一個模型。
- 一個孩子獨自解決一道很難的謎題。
查看答案
兩名玩家各自選擇行動,而且都試圖擊敗對方。
only here:在比較後引出關鍵差異
在這句話中,only here 相當於「但在這個情況中」或「有一個重要差異」。它把說明從與西洋棋的類比轉到目前情況的特殊之處:你看不到對手的位置。 here 指的是「目前這個情況」,不一定是實際地點。這個結構能幫助組織說明:先做比較,再用 only here 引出限制、例外或關鍵差異。
練習
only here 在這句話中有什麼作用?
- 在比較後引出目前情況的關鍵差異。
- 表示只存在一個地點。
- 表示這種遊戲只能在這個實際地點進行。
查看答案
在比較後引出目前情況的關鍵差異。
figure out:透過思考解決或弄懂
Figure out 是一個片語動詞,表示透過思考、推理、調查或計算得到答案或弄懂一件事。在這裡,它表示計算或確定一定能贏得的紅寶石最少有多少顆。 要把 figure out 看成一個整體。後面可以接名詞片語,如 figure out the answer;也可以接以疑問詞開頭的子句,如 figure out why it happened 和 figure out how it works。
練習
使用含 figure、表示「透過思考解決」的片語動詞完成句子:We need to ____ why the alarm keeps ringing.
查看答案
figure out
worst case scenario:最不利的可能情況
worst case scenario 是一個名詞片語,指正在考慮的各種可能性中最不利、但仍可能發生的結果。它是用來檢驗或預先準備的情況,並不是一定會發生的預測。 在這裡,找出 worst case scenario 就是找出會讓你贏得最少紅寶石的排列方式。scenario 指一組可能出現的情況,不是實體舞台或表演場景。
練習
用本課中表示「最不利但仍可能發生的情況」的三個單字補完整句子:In the ____, the repair will take a full week.
查看答案
worst case scenario
as if the merchant already knew your move and could arrange the rubies to minimize your winnings. 講解
2:34就好像商人已經知道你的動作,並能透過安排紅寶石來使你的收益最小化。
as if ... already knew:引出想像中的假設
as if 用來把現實情況與一個想像或假定的情形作比較。本句並沒有把商人知道你的選擇當成事實;推理時只是暫時視為真的,以檢驗最安全的策略。 這裡的過去式 knew 有助於表示與現實的距離。它不只是說「知道」發生在更早的時候;as if the merchant already knew your move 表示按照商人已經事先知道你的選擇這項假設來推理。
練習
用表示想像中假設的兩個單字補完整句子:Lock the files away ____ someone already knew the code.
查看答案
as if
minimize your winnings:讓你贏得的數量盡可能少
在「minimize your winnings」中,minimize 表示把贏得的數量降到盡可能低,而不只是稍微減少。在策略或最佳化的語境中,目標是達到可實現的最低值;它不一定表示降到零。 winnings 指在遊戲、比賽、彩券或類似活動中贏得的金錢或物品。在本句中,它指你可能贏得的紅寶石。
練習
在本句中,「minimize your winnings」是什麼意思?
- 清點你贏得的所有東西
- 確保你贏得最大的獎品
- 讓你贏得的數量盡可能少
查看答案
讓你贏得的數量盡可能少
Because you have no way of knowing which boxes will have more or fewer rubies,
2:40因為你無從得知哪些盒子裡紅寶石更多或更少,
Suppose you write three nines:用 Suppose 引入假設情境
句首的「Suppose + 子句」會引入一個暫時的假設:先把子句中的情況當作真的,以便繼續理解下一步推理。它為接下來的例子設定條件。 這裡,說話者並不是在說你真的已經寫下了這些數字。「three nines」指三個數字 9,而不是單一數字 999。
練習
在「Suppose you write three nines」中,「Suppose」有什麼作用?
- 它為接下來的推理引入一個暫時情境。
- 它提出一條聽者必須永遠遵守的規則。
- 它斷言聽者肯定已經寫下了這些數字。
查看答案
它為接下來的推理引入一個暫時情境。
allocated the rubies as:按計畫列出數字分配方案
在 allocated the rubies as 8, 14, and 8 中,allocated 表示依照計畫刻意劃分或分配有限資源。重點是分配方案,而不只是「給」這個動作。 這裡的 as 引出擬定分配的數字形式:8、14、8 是分給三個相關位置的數量。
練習
在這句話中,allocated the rubies as 8, 14, and 8 是什麼意思?
- 把所有紅寶石都交給一個人
- 把紅寶石命名為 8、14 和 8
- 按照列出的三個數量分配紅寶石
查看答案
按照列出的三個數量分配紅寶石
In that case, you'd receive 9 from the middle box and no others. 表達脈絡
2:54在這種情況下,你只會從中間的盒子收到9顆,其他盒子什麼也得不到。
In that case:連接一種情況與相應結果
In that case 回指剛才提到的情況或假設。這裡,它指前面提出的 8、14、8 分配方案。 它放在下一句開頭,表示後面的內容是該情況造成的結果:按照這個方案,聽者會從中間的盒子拿到 9 顆。這個表達可以自然地從條件轉到結果或決定。
練習
哪一句把 In that case 當作連接前述情況與其結果的表達?
- I saw the words In that case on a poster.
- The pool is closed. In that case, let's play basketball instead.
- She put her phone in that case, and it fit.
查看答案
The pool is closed. In that case, let's play basketball instead.
On the other hand:引出對比觀點的連接語
On the other hand 是一個語篇連接語,用來引出與前一點形成對比的觀點或另一項考量。它提醒聽者把接下來的內容和剛剛提到的觀點互相比較。 在這裡,它把推理從一個可能無法成立的較強結果,轉向一個仍然能夠保證的較弱結果。這個詞組用來組織論證;hand 在這裡不是字面上的「手」。
練習
哪一句用 On the other hand 引出了真正形成對比的考量?
- The route is longer. On the other hand, it takes extra time.
- The route is longer. On the other hand, we checked the map.
- The route is longer. On the other hand, it is much safer.
查看答案
The route is longer. On the other hand, it is much safer.
at least two boxes ... a minimum of 8:兩個下限
At least two boxes 為符合條件的盒子數量設定了包含端點的下限:兩個符合條件,但三個或更多也可以。 A minimum of 8 rubies 為每個符合條件的盒子設定了另一個包含端點的下限:每個盒子有 8 顆或更多。合起來,這個子句保證符合條件的盒子有兩個或更多,而不是剛好兩個盒子各有剛好 8 顆。
練習
對 at least two boxes have a minimum of 8 rubies 的哪一種理解是正確的?
- 兩個或更多盒子,每個都有 8 顆或更多紅寶石。
- 剛好兩個盒子,每個剛好有 8 顆紅寶石。
- 每個盒子都有超過 8 顆紅寶石。
查看答案
兩個或更多盒子,每個都有 8 顆或更多紅寶石。
assuming the opposite:從相反命題開始
assuming the opposite 表示暫時把你想證明的命題的反面當作真的。在反證法中,接著沿著這個假設推理,看看它是否會導致不可能的結果。 這裡,逗號後的 that 子句具體說明「相反命題」是什麼:有兩個盒子各有七顆或更少。這個片語用來標示推理的下一步,並不是指物理方向。
練習
在證明中,start by assuming the opposite 要求你做什麼?
- 先走到另一邊再繼續。
- 暫時把相反命題當作真的,並繼續推導它的結果。
- 不經檢驗就接受原命題。
查看答案
暫時把相反命題當作真的,並繼續推導它的結果。
differ by six:說明差值大小
X and Y differ by six 表示 X 和 Y 的數值差是六。介系詞 by 引出差值的大小。 這個表達沒有說明哪一個數值較大。在本句中,它描述的是一對紅寶石數量相差六顆的盒子。
練習
請用 differ 和表示差值大小的介系詞完成句子:The two scores ____ six points.
查看答案
differ by
at most 13 rubies:包含 13 在內的上限
at most 13 rubies 把 13 設為最高數量。盒子裡可以有 13 顆,也可以更少,但不能有 14 顆或更多。 at most + 數字表示包含該數字在內的上限,常用於數學、規則和規劃。它不表示「大約」。
練習
哪一個意思符合 at most 13 rubies?
- 大約是 13。
- 不超過 13;可以剛好是 13。
- 不少於 13;可以剛好是 13。
查看答案
不超過 13;可以剛好是 13。
Add up:計算總數
這裡的 add up 表示「計算總數」。這句話要求把三個盒子裡的數量合在一起計算,而不是移動盒子。 在這個用法中,add up 是可分片語動詞:add up the scores 和 add the scores up 都很自然。受詞是代名詞時,要放在中間:add them up。
練習
用 add up 的正確形式完成句子:Please ____ the three scores.
查看答案
add up
the most that could equal is:表示可能的最大值
在這句話中,the most 表示「可能達到的最大量」,that 指把三個方格中的數字相加後得到的總數。could 把這個說法限定在目前假設的範圍內:總數可能會變動,但不會大於 27。 結構 the most + 主詞 + could equal/be + is + 數值 表示上限,而不是一定會出現的結果。
練習
標示的部分說明了這個總數的什麼資訊?
- 在給定條件下,總數不可能超過 27。
- 總數必須永遠等於 27。
- 大多數方格裡都有 27。
查看答案
在給定條件下,總數不可能超過 27。
Since that's less than 30:表示原因的 since
這裡的 Since 表示「因為」或「既然」,而不是「從過去某個時間起」。子句 that's less than 30 把一個已知事實當成後續結論的理由。 在推理句的開頭,表示原因的 since 常按照 Since + 理由,結論 的方式組織資訊。
練習
在句子「Since the library is closed, we'll study at home.」中,Since 是什麼意思?
- 因為
- 從……時候起
- 儘管
查看答案
因為
proof by contradiction:數學中的反證法
proof by contradiction 是一種數學證明方法。先假設要證明的結論是錯的;如果這個假設會導致不可能的結果,或與已知事實矛盾,那麼該假設就必須是錯的,原本的結論因此得到支持。 句中的 by what's called a proof by contradiction 說明這個結論是如何得出的。它不是說證明本身互相矛盾。
練習
哪一項最準確地描述 proof by contradiction?
- 先假設相反情況,再證明它會導致不可能的結果。
- 檢查幾個例子,並把它們當成完整證明。
- 用不同的說法把結論重複兩遍。
查看答案
先假設相反情況,再證明它會導致不可能的結果。
8 or more:包含 8 的數量下限
在 8 or more 中,8 包含在內。這個片語設定了數量下限,因此 8、9、10 以及更大的數量都符合條件。 數字 + or more 是表示「至少達到這個數字」的簡潔結構。
練習
完成句子,表示 8 是包含在內的最低分數:To enter the final round, a team must score ____ points.
查看答案
8 or more
ask for 8 from all three boxes:從每個來源各要 8 個
在這句話中,ask for 8 表示「要求取得數量為 8 的東西」。ask for 後面接想取得的物品、服務、協助或數量;它不是「問一個問題」的意思。 from all three boxes 指出來源。這裡三個盒子的要求數量相同:第一個盒子要 8 個、第二個盒子要 8 個,第三個盒子也要 8 個。
練習
使用 ask for 補完句子,使其表示「向導遊要兩張地圖」:At the visitor center, you can ____ the guide.
查看答案
ask for two maps from
that's the best you can guarantee:能確保的最高結果
that's the best you can guarantee 表示:在已經說明的條件下,這是能夠確定達成的最高結果。實際結果可能更好,但無法保證會有更好的結果。 the best + 主詞 + can guarantee 這個結構表示「能夠保證的最高水準」。它總結有根據的最強承諾或策略保底成果,而不是實際上可能出現的絕對最大結果。
練習
判斷對「A draw is the best we can guarantee」的以下理解:「獲勝是不可能的。」
- 錯誤
- 正確
查看答案
錯誤
You've recovered more than half the scoundrel's fortune as restitution for the public. 用詞
3:51你已經追回了無賴一半以上的財富作為對公眾的賠償。
as restitution for the public:彌補公眾的損失
本句中,as 說明追回的財產所扮演的角色:它被視為對公眾的 restitution。restitution 指為了彌補不當行為造成的損失而歸還或支付的金錢、財物。 這個片語不是在說贈禮。它把追回的財富與補償公眾遭受的損害連結起來。
練習
在本句中,as restitution for the public 說明追回的財產有什麼作用?
- 它是與先前損害無關的自願贈禮。
- 它是給追回財產者的獎品。
- 它被用來彌補公眾遭受的損害或損失。
查看答案
它被用來彌補公眾遭受的損害或損失。
hold on to:繼續保有某物
在這句話中,hold on to 表示「成功保住或繼續擁有」。他原本可能失去這些紅寶石,但最後仍保住了一些。這裡不是在描述他用手怎麼拿著紅寶石。 結構是 hold on to + 物品、職位、機會或信念。它可以表示實際抓牢某物,也常延伸為不失去或不放棄某物。
練習
用本課中表示「繼續擁有」的表達完成句子:During the reorganization, Maya managed to ____ her job.
查看答案
hold on to
though he's managed to:承認艱難取得的成功後再讓步
Though 引出讓步關係:說話者先承認他確實成功保住了一些紅寶石,接著再說明一個不符合正面預期的主要結果。邏輯是「這件事確實如此,但相反的結果仍然存在」。 這裡的 he's 是 he has,而不是 he is,因為後面接的是過去分詞 managed。Manage to + 動詞表示成功完成某事,通常也暗示過程中有困難;它不只是表示曾經嘗試。
練習
使用 though、he has 的縮寫形式和 manage to 完成句子:____ save some money, he still cannot afford the trip.
查看答案
Though he's managed to
lost some of its shine:變得不再那麼光彩奪目
這裡的 lost some of its shine 是比喻,表示這筆財富變得沒那麼耀眼、體面或有吸引力。some 表示只失去了一部分光彩,並不是一切都消失了。 shine 可以指實際的亮光,也可以比喻特別的魅力或聲望。由於這筆財富中有真的會閃光的紅寶石,這種說法形成了一個小雙關:它讓人想到實物的光澤,但重點是這筆財富帶來的地位和榮耀已經減弱。
練習
在句子 “The award lost some of its shine after the voting scandal,” 中,標示的表達是什麼意思?
- 它變得沒那麼有聲望或吸引力了。
- 它被徹底毀掉了。
- 它開始發出更少的實際光線。
查看答案
它變得沒那麼有聲望或吸引力了。
try out this variation:實際測試改動過的版本
「try out this variation」是在邀請對方實際測試或體驗一個改動過的版本,看看效果如何。這裡的 variation 指同一個謎題或活動經過一項或多項改動的版本。 和單獨使用 try 相比,try out 往往更明確地強調親自試用或測試。
練習
用表示「透過使用來測試」的兩字片語動詞完成句子:We should ____ the new plan before Friday.
查看答案
try out
The king has pitted you against another scoundrel with a new challenge. 片語搭配
4:07國王讓你面對另一個無賴,迎接新的挑戰。
pitted you against:安排雙方成為對手
pit A against B 表示安排 A 和 B 成為比賽、衝突或考驗中的對手。本句中,國王是做出安排的人,you 是 A,another scoundrel 是 B。 has pitted 是主動語態的現在完成式動詞片語。這裡的 pit 不是「挖坑」。
練習
哪一句表示辯論主辦者讓 Maya 和 Leo 成為對手?
- The organizer pitted Maya against Leo in the final debate.
- The organizer compared Maya with Leo after the final debate.
- The organizer paired Maya with Leo for the final debate.
查看答案
The organizer pitted Maya against Leo in the final debate.
comes courtesy of our sponsor:由贊助商提供
在這句話中,comes courtesy of our sponsor 表示「由我們的贊助商提供或促成」。courtesy 是固定表達 courtesy of 的一部分,在這裡不是指禮貌行為。 something comes courtesy of someone 這個結構用來指出提供、支持或安排某件事的人或機構。
練習
請使用包含 come 和 courtesy 的媒體式表達完成句子:This week's prizes ____ a local bookstore.
查看答案
come courtesy of
build your intuition:培養有根據的直覺理解
Build your intuition 表示逐漸形成對事物運作方式的可靠直覺。在這裡,簡單問題能幫助學習者發現規律,並在能夠正式解釋每個步驟之前做出更好的判斷。 學習情境中的 intuition 來自例子和練習,並不是隨便猜。Build 強調這種理解會隨著時間逐步建立。
練習
哪一句表示這些例子能幫助你逐漸形成對分數的直覺理解?
- These examples tell you to memorize every fraction.
- These examples ask you to guess without looking for patterns.
- These examples help build your intuition for fractions.
查看答案
These examples help build your intuition for fractions.
ramp up to + 終點:逐步進階到
這裡,ramp up to 表示逐步增加或推進,直到到達某個事物。介系詞 to 引出終點,也就是更能引起興趣的題目。 這個說法來自沿著斜坡向上的意象,但通常用於比喻。它可以描述難度、強度、數量或活動隨時間逐漸增加。
練習
一項學習計畫從簡短練習開始,逐步進入完整的模擬測驗。哪一句最準確地表達這種遞進?
- The plan jumps to full practice tests immediately.
- The school ramps up the number of full practice tests.
- The plan ramps up to full practice tests.
查看答案
The plan ramps up to full practice tests.
different ways of solving problems:ways of + -ing 結構
Different ways of solving problems 表示為了找到答案而採用不只一種方法或思路。在本句中,develop 表示把這些方法逐漸培養成技能。problems 可以指學校裡的題目,也可以指更廣泛的難題。 ways of + -ing 結構用來表示做某件事的方法。of 後面要用 -ing 形式,因此要說 ways of solving,不能說 ways of solve。
練習
使用 solve 的正確形式完成句子:We compared different ways of ____ the puzzle.
查看答案
solving
previously out of your grasp:以前超出你的能力範圍
在這句話中,previously out of your grasp 表示這些問題以前超出了你能夠理解或解決的範圍。grasp 的字面意思是「用手抓住」,但這裡用來比喻理解或處理某件事。 previously 把這種困難放在過去,並且常暗示現在的情況可能已經不同。out of someone's grasp 可以描述某個人暫時無法理解、實現或獲得的想法、技能、目標或機會。
練習
這裡的 "The puzzle was previously out of Leo's grasp" 是什麼意思?
- 里奧以前已經解開了這個謎題。
- 里奧以前正用手拿著這個謎題。
- 里奧以前無法理解或解開這個謎題。
查看答案
里奧以前無法理解或解開這個謎題。
hone your capacity to think critically:磨練批判性思考能力
這裡的 hone 表示透過專注、反覆的練習來提升某項能力,就像把刀刃磨得更鋒利一樣。To hone your capacity to think critically 表示加強自己仔細分析理由和證據的能力。 結構是 hone + 技能或能力;capacity to + 原形動詞說明一個人有能力做什麼。think critically 表示經過思考後進行分析和判斷,不是「批評別人」。
練習
用本課中表示「透過專注練習來提升」的動詞完成句子:Regular debate can help you ____ your capacity to think critically.
查看答案
hone
discount off the annual subscription:年度訂閱折扣
這裡的 a 20% discount off the annual subscription 表示從該方案原本的年度價格中扣除 20%。購買者需要支付原價的 80%。 在價格用語中,off 表示從原價中扣減,並不是「離開」或「取消」訂閱。the annual subscription 指明享有折扣的是年度訂閱方案。
練習
在句子「You will get a 20% discount off the annual subscription,」中,折扣後還需支付年度訂閱原價的百分之多少?
- 一般月繳價格
- 年度訂閱原價的 120%
- 年度訂閱原價的 80%
- 年度訂閱原價的 20%
查看答案
年度訂閱原價的 80%