數學核心的悖論：哥德爾不完備定理 - 馬庫斯·杜·索托伊：英語精讀講義

補上用來引出待分析句子的完整目標表達：____: "Water freezes at zero degrees Celsius."

在這個邏輯題中，為什麼 “This statement is false.” 會形成悖論？

1. 這個句子沒有主詞。
2. “false” 這個字只能用於數學。
3. “This statement” 指的是這個句子本身。

請用本課所學、表示「如果那是真的」的兩個英文單字完成句子：The library may still be open. ____, we can return the books tonight.

請用 would make + 受詞 + 形容詞完成這個假設結果：Removing the warning label ____ the box unsafe.

用 if ... then ... 完成這個邏輯陳述：____ a number ends in zero, ____ it is divisible by ten.

用 by 加上 read 的 -ing 形式完成句子：____ the instructions carefully, Mia finished the project correctly.

哪一種情況最適合用 an unresolvable paradox 描述？

1. 一條規則讓同一個陳述既是真的又是假的，而且規則本身沒有提供出路。
2. 一個問題還沒有人回答，因為尚未有人查證。
3. 一道數學題很難，但它有已知答案。

在這個語境中，標出的問題在論述中的主要功能是什麼？

1. 它詢問這個陳述實際位於什麼地方。
2. 它宣告這個陳述一定是假的。
3. 它顯示一般的真假分類已經失效，並引出下一個觀點。

用表示委婉第一印象的三個字目標片語完成句子：This shortcut ____ a good idea, but it creates more work.

下面哪一項是思想實驗，而不是現實中實際進行的實驗？

1. Imagine that nobody needed sleep and reason through how schools and jobs would change.
2. Measure how long three batteries power the same flashlight.
3. Plant two seeds and record which one grows faster.

請用 lead 的過去式和必要的介系詞完成句子：A strange clue ____ the detective ____ an important discovery.

在句子 She found an idea that would change her life 中，would change 表示什麼？

1. 禮貌地請求那個想法改變她的人生。
2. 從故事中較早的時間點看日後發生的改變。
3. 從現在出發，預測尚未發生的改變。

請用 have to do with 的過去式完成句子：The delay ____ a damaged cable.

哪個片語表示證明系統能夠確立什麼的邊界，而不是單一證明中的錯誤？

1. steps in mathematical proofs
2. mistakes in mathematical proofs
3. limitations of mathematical proofs

哪一句採用相同的資訊組織方式：術語 + is + 類別 + 描述其功能的 that 子句？

1. An algorithm can solve a specific problem very quickly.
2. Can an algorithm solve this specific problem?
3. An algorithm is a set of steps that solves a specific problem.

哪一句在嵌入式 why 子句中使用了正確的語序？

1. The teacher explained why the answer was correct.
2. The teacher explained why was the answer correct.
3. Why was the answer correct?

用本課中表示「基本組成部分」的兩個單字片語完成句子：Trust and communication are the ____ of a strong team.

用被動命名結構 be called 完成句子：Closed shapes with three sides ____ triangles.

在片語 the numbers involved 中，involved 是什麼意思？

1. 難以計算的數字
2. 已經獲得證明的數字
3. 與目前事項相關的數字

用 from ... to ... 完成句子，表示完整範圍：The workshop welcomes participants ____ complete beginners ____ experienced designers.

使用 built 和 constructed 完成句子：The platform is ____ open-source technology and ____ reusable modules.

哪一句表達的是基於條件對能力的合理預期，而不是直接陳述能力或提出要求？

1. If the code is correct, the user must sign in.
2. If the code is correct, the user should be able to sign in.
3. If the code is correct, the user can sign in.

請用本課中表示「證明為真或證明為假」的成對表達完成句子：A second measurement could ____ the scientist's claim.

請用本課中表示「毫無疑問地」的片語完成句子：After checking the original file, Maya could identify the author ____.

請用本課中表示「開始在那個專業領域工作」的三個英文單字完成句子：After finishing her cybersecurity training, Ava ____.

哪一個句子中的 threaten 與例句採用了相同的抽象用法？

1. The child whispered a warning to her friend.
2. The speaker threatened the audience with punishment.
3. Several errors threatened confidence in the report.

用 be eager to 的過去式完成句子：The researchers ____ confirm the result.

在 mathematics had no contradictions 這句話中，哪一種理解正確？

1. 數學家在每個問題上都意見一致。
2. 這個系統無法推出彼此衝突的結論。
3. 數學問題從來都不難。

哪一項解釋最符合 Gödel himself wasn't so sure？

1. 哥德爾完全不了解這個問題。
2. 哥德爾本人有所懷疑，與更有信心的那群人不同。
3. 哥德爾堅決反對所有數學方法。

使用 even + confident 的比較結構來表示信心進一步下降：After two more errors, the reviewers were ____ that the figures were accurate.

用表示「適合這項任務的方法」的目標片語完成句子：A survey may be ____ understand why customers leave.

哪個句子中的 while 和例句一樣表示讓步？

1. While the instructions look simple, the machine is difficult to operate.
2. While I was washing the dishes, the doorbell rang.
3. Please wait here while I check the schedule.

以下哪項描述最符合 a self-referential paradox？

1. 一個陳述因指向自身而產生矛盾。
2. 一個句子指向另一本書中的事實。
3. 一個人拒絕與他人分享。

這裡的 numbers don't typically talk about themselves 是什麼意思？

1. 人們大聲讀出數字時，數字通常保持安靜。
2. 數字比較喜歡討論其他數字。
3. 數字通常不會指向或描述自身。

標示的子句在這個句子中有什麼作用？

1. 先建立熟悉的「真或假」框架，再讓句子轉向新的方向。
2. 表示數學的每個部分都很容易。
3. 詳細說明哥德爾的想法。

but Gödel had an idea 在敘事中有什麼作用？

1. 重複「真或假」的規則，不改變方向。
2. 從背景規則轉向接下來將說明的新想法。
3. 證明哥德爾的想法已經正確。

完成 translate A into B 結構：The scanner translates printed pages ____ searchable text.

用 so that 和 understand 的正確被動形式完成句子：The safety message was rewritten ____ it could ____ by children.

例句中的 This meant that 有什麼作用？

1. 它把前面的編碼步驟與由此產生的後果連接起來。
2. 它為 mathematics 這個字提供字典式定義。
3. 它引入一個與前一步完全無關的事實。

在 encoded statements of mathematics 中，encoded 說明了什麼？

1. 這些陳述肯定已被隱藏起來以保守祕密。
2. 這些陳述已經被轉換成編碼形式。
3. 這些陳述已經從編碼形式還原成原始形式。

在這句話中，allowed mathematics to talk about itself 是什麼意思？

1. 它讓數學能夠表達關於自身的陳述。
2. 它讓數學真的出聲說話。
3. 它允許數學家討論編碼。

引號中的陳述提出了什麼主張？

1. 它表示任何人都不被允許寫出證明。
2. 它表示在該系統中，這個陳述本身無法被證明。
3. 它表示這個陳述無法證明另一個方程式。

用 as 和 make 的 -ing 形式完成目標結構：She rewrote the results ____ a chart, ____ the pattern easier to see.

使用目標結構 However, unlike + 名詞片語 完成句子：____, ____ the old model, this one uses less energy.

在 mathematical statements must be true or false 中，must 表達的是什麼？

1. 有人在命令這些陳述選擇如何表現。
2. 這些陳述正在承諾說實話。
3. 邏輯框架要求每個陳述具有這兩個值中的一個。

在已經提出兩種可能性後，So, which is it? 發揮什麼作用？

1. 它讓討論重新回到從這些可能性中做出選擇。
2. 它表示兩種可能性一定都正確。
3. 它引入了與前面推理無關的新話題。

閱讀這個句子：「If the screen is blank, that means the computer is not receiving a signal.」「that means」有什麼作用？

1. 它翻譯「blank」這個字。
2. 它開始一個不相關的新話題。
3. 它引出根據條件得到的結論。

使用強調結構 does + 原形動詞 have 完成糾正：「You said the plan has no benefit, but it ____ one important advantage.」

請用準確的 if ..., then it must ... 結構完成句子：____ an integer ends in 0, ____ it ____ divisible by 10.

在這個論證中，This contradiction means ... 有什麼作用？

1. 它為 contradiction 這個字提供字典定義。
2. 它概括一個不一致之處，並引出由此得出的結論。
3. 它把話題轉到一個無關的例子。

在「The answer can't be false because it follows from the rule」中，can't 是什麼意思？

1. 這個答案在邏輯上不可能是錯的。
2. 說話者沒有能力讓這個答案變成錯的。
3. 不允許這個答案是錯的。

請補上表示正式結論的句型：The machine accepts only valid tickets. This ticket was accepted, ____ this ticket is valid.

句中標示的開頭有什麼作用？

1. 它表示這個結果還沒有發生。
2. 它帶出理由，但沒有和前面的觀點形成轉折。
3. 它與前面的觀點形成轉折，加強評價，並帶出理由。

在數學討論中，這裡的 a true equation 是什麼意思？

1. 數學斷言為真的方程式。
2. 確實存在的方程式，不論它的數學斷言是否為真。
3. 只使用實數的方程式。

在這句話中，asserts 表明這個方程式在做什麼？

1. 它正式提出一項可以判斷真假的主張。
2. 它用支持理由證明了這項主張。
3. 它用很大的聲音說話。

使用本課慣用語完成句子：Trust is ____ a healthy friendship.

在 Gödel's incompleteness theorem 這個名稱中，incompleteness 指什麼？

1. 一份還需要再寫幾頁的未完成證明。
2. 某些形式系統的一種限制：有些為真的陳述無法在該系統內獲得證明。
3. 宣稱數學中不存在有效的證明。

請用表示非限定補充說明的關係詞完成句子：The update adds a search tool, ____ makes old files easier to find.

在這個句子中，paradigm 是什麼意思？

1. 一條數學公式
2. 理解和組織思想的整體架構
3. 一個說明性的案例

用 either ... or ... 完成配對結構：A binary answer is ____ yes ____ no.

在這個句子中，標示的片語說明了什麼？

1. 可證明性是依據某一組指定的公理來判斷的。
2. 這個命題在物理空間中被公理包圍。
3. 每一組公理都能證明這個命題。

哪一個選項正確保留了 unprovable true statements 的意思？

1. 它們是真命題，只是證明還沒被找到，但以後一定會找到。
2. 它們是假的，因為不存在證明。
3. 它們是真的，但系統無法證明它們。

用目標結構完成句子，表示窗戶無法打開：The broken handle ____ open the window.

使用 there be 的未來形式和 always 完成句子，表示這項限制會持續存在：____ cases the rule does not cover.

完成「讓步—方法—角色」結構。Even if、by 和 as 各使用一次：____ you improve the plan ____ adding a checklist ____ a safety tool, some risks may remain.

在原句中，account for 是什麼意思？

1. 依賴這些命題
2. 在系統中納入並處理這些命題
3. 解釋這些命題為什麼是真的

在句子 “That very decision caused the delay,” 中，very 表達什麼？

1. A different decision prevented the delay.
2. The exact decision already mentioned caused the delay.
3. The decision was extremely difficult.

請用一個以 No 開頭、表示「不論數量多少」的四字詞組完成句子：____ books you read, there will always be more to discover.

哪一種解釋最符合這個句子？

1. 這個系統中的每個真命題都已經得到證明。
2. 這個系統中必然會有一些為真、卻無法在系統內證明的命題。
3. 這個系統中或許會有一些可能為真的命題。

It's Gödels all the way down 在這裡是什麼意思？

1. 好幾個叫哥德爾的人正在往下移動。
2. 一個定理解決了系統所有可能的擴充。
3. 隨著系統不斷擴充，哥德爾式的限制會反覆出現。

在這句話中，rocked the foundations of the field 是什麼意思？

1. 它實際破壞了一棟建築的地基。
2. 它對這個領域的基本信念造成了深刻衝擊。
3. 它為這個領域帶來了一項小而日常的變化。

哪一句使用句尾 -ing 片語補充前面事件造成的結果？

1. The storm closed the airport and hundreds of travelers waited nearby.
2. Because the storm closed the airport, hundreds of travelers were stranded.
3. The storm closed the airport, leaving hundreds of travelers stranded.

用 would one day 和 solve 的被動形式完成句子：In 1995, researchers believed the puzzle ____.

while 在這個句子中有什麼作用？“While most neighbors supported the plan, some opposed it.”

1. 它說明一些人反對該計畫的原因。
2. 它對比兩組人的反應。
3. 它表示兩個動作持續了完全相同的時間。

在 “Some fervently debated it,” 中，fervently 說明了什麼？

1. 他們爭論了很多次。
2. 他們為了避免引起注意而輕聲爭論。
3. 他們帶著強烈的情感和信念進行爭論。

哪個句子使用 others still 引出另一群人持續的反應？

1. Most families went home, but others still waited for the final announcement.
2. The families stood still while they waited for the final announcement.
3. Most families went home, and every family left at the same time.

newly uncovered hole in the heart of their field 在本句中是什麼意思？

1. 這個學術領域核心新揭露的嚴重限制
2. 農田中央最近挖出的一個實體洞
3. 影響研究人員心臟的疾病

哪一個句子中的 as 與醒目標示的子句相同，表示情況隨時間發展？

1. She works as an engineer.
2. The box is as heavy as the chair.
3. As more evidence emerged, the team grew more confident.

哪一句把擔憂開始出現的時刻作為重點？

1. After an hour with no reply, Leo had stopped worrying that something was wrong.
2. After an hour with no reply, Leo began to worry that something was wrong.
3. After an hour with no reply, Leo never worried that something was wrong.

在例句中，their life's work 指的是什麼？

1. 他們每天處理的日常任務
2. 他們計畫用一個下午完成的工作
3. 他們投入多年從事的主要事業

哪個句子最恰當地使用「門」的比喻，表示一項規定帶來的機會和限制大致一樣多？

1. The new rule opened a door after the office closed.
2. The new rule opened as many doors as it closed.
3. The new rule closed every door and created no new options.

使用 inspire + key innovations + in 這個四字結構，並把 inspire 改成過去式：The discovery ____ battery design.

用 dedicate her career to 的過去式完成句子：Maria ____ improving rural health care.

provably unprovable statements 最準確的意思是哪一個？

1. 可以透過證明顯示這些陳述不可證明。
2. 這些陳述很可能很難證明。
3. 這些陳述已經被證明是錯的。

哪一項最適合補完這個讓步式總結，並提出正面的主要結論：「So while the trip may have cost more than expected, ...」？

1. the tickets had blue numbers printed on them.
2. we still made memories we will always value.
3. it also took two hours longer than planned.

用一個表示「因為……，並帶有正面歸功」的兩字目標片語完成句子：____ Noah's quick repair, the robot worked again.

哪個選項最能正確解釋這句話？

1. 他們能夠避開沒有答案的問題，直到所有事實都獲得證明。
2. 他們能夠把不確定性視為追求真理的核心部分並加以接納。
3. 他們能夠在旅途中用手抱住某個未知的東西。

在 Pythagorean theorem 這個名稱中，theorem 說明了什麼？

1. 它是經過證明的數學命題。
2. 它是一般的課堂規則。
3. 它是關於所有三角形、未經檢驗的猜想。

原句中的 in the first place 有什麼作用？

1. 它在問這個證明最初是如何確立的。
2. 它在問這個證明是否獲得了第一名。
3. 它在問第一個證明具體位於哪裡。

請用結構 one of the cornerstones of 補完整句子：Reliable evidence is one ____ good research.