你能解開達文西的謎題嗎? - 塔尼婭·霍瓦諾娃 (Tanya Khovanova):英語精讀講義
TED-Ed
影片簡介:一道以達文西祕密金庫為背景的謎題帶出「自傳數」:每一位數字都在說明各數字於該數中出現的次數。講解者把定義轉換成總和、零與非零數字的限制,逐步推導出唯一的十位數答案,最後再以首尾呼應的文字巧思收束尋寶故事。 主要英語學習重點: 1. what's called — 慣用語塊與搭配:學會在給予定義之前,自然帶出一個聽眾尚不熟悉的數學術語。這個說法適合用於解說、簡報與課堂教學,能清楚提示接下來介紹的是概念名稱。 2. if it included a six and a seven, then some digit would have to appear six times — 文法與句型:理解 if–then 如何建立假設條件,以及 would have to 如何表達該條件必然造成的結果,進而在數學證明或一般論證中清楚指出推理上的矛盾。 3. long-lost autobiography. — 篇章、敘事與修辭:辨識 long-lost 如何為發現增添神祕感,並理解 autobiography 對 autobiographical numbers 的回扣;這種結尾把金庫尋寶的故事設定與數字謎題的答案精簡地連結起來。
本篇講解
You’ve found Leonardo da Vinci's secret vault secured by a series of combination locks. 講解
0:07你找到了李奧納多·達文西的秘密金庫,它由一系列密碼鎖保護著。
Leonardo da Vinci's:文化聯想與所有格
Leonardo da Vinci(李奧納多・達文西)是文藝復興時期的藝術家與發明家。他的名字常讓人聯想到非凡的創造力、發明與神祕感,因此這裡使用這個名字,會營造出巧妙的歷史謎題氛圍。 所有格 's 把祕密金庫和他連結起來:Leonardo da Vinci's secret vault 表示「被設定為屬於他或與他有關的祕密金庫」。da Vinci 是人名的一部分,不是地點或物品名稱。這只是故事設定,並不是在宣稱歷史上真的存在這座金庫。
練習
這個人名和所有格形式在句中有什麼作用?
- 它表示 da Vinci 是金庫所在的地點。
- 它表示 Leonardo 是這些密碼鎖的品牌名稱。
- 它把金庫和李奧納多・達文西連結起來,並讓人聯想到創造力、發明與神祕感。
查看答案
它把金庫和李奧納多・達文西連結起來,並讓人聯想到創造力、發明與神祕感。
a series of + 複數名詞
a series of 表示「若干彼此相關、被視為一組或依序排列的事物」。在 a series of combination locks 中,鎖不只一把,而且這些鎖構成挑戰中彼此銜接的多個環節。 常見結構是 a series of + 複數可數名詞,例如 a series of questions、a series of tests。series 表示整個組別,後面的複數名詞則表示組內的各個項目。
練習
使用本課學到的三個單字組成的表達完成句子:The safety check includes ____ simple tests.
查看答案
a series of
combination locks:用密碼開啟的鎖
combination lock 是用正確的數字、字母或符號序列開啟的鎖。在這個複合名詞中,combination 指開鎖密碼,並不是說把好幾把鎖組合在一起。 複數 combination locks 表示不只一把這種鎖。
練習
哪一句正確使用了 combination lock,並表達這裡所教的意思?
- A combination lock opens when the correct code is entered.
- A combination lock is made by fastening several locks together.
- A combination lock is a key that fits several doors.
查看答案
A combination lock opens when the correct code is entered.
appears to be missing:謹慎判斷「似乎不見了」
appears to be missing 的意思是某樣東西似乎不在了或遺失了。說話人根據現有跡象作出判斷,但沒有表示自己完全確定。 結構是 subject + appear(s) to be + 狀態或描述。它可以讓你謹慎地說明一種很可能的情況,例如:The box appears to be empty.
練習
你找不到檔案,但還沒有確認它真的遺失了。哪一句最合適?
- The file appears to miss.
- The file is definitely missing.
- The file appears to be missing.
查看答案
The file appears to be missing.
Looks like + 子句:引出推測
Looks like + 子句用來引出根據眼前跡象或目前情況作出的推測。這裡,說話者不是在描述外表,而是在表示後面的情況現在看來很可能發生。 在日常口語中,它常是完整形式 It looks like... 的省略說法。like 後面可以直接接完整子句,例如 you're going to have to...。說話者是在判斷整個情況,而不是說一個東西「長得像」另一個東西。
練習
你看到空蕩蕩的運動場和一張取消通知。哪一句能自然地引出推測?
- Looks to the game has been canceled.
- The game looks like canceled.
- Looks like the game has been canceled.
查看答案
Looks like the game has been canceled.
be going to have to + 原形動詞:未來的必要性
be going to have to + 原形動詞把未來的時間意思和「必須做」的必要性結合起來。be 要配合主詞變化:I am、you/we/they are,以及 he/she/it is。 例句中的 you're 就是 you are,所以 going to have to figure 是一個完整的動詞鏈。它表示因為實際情況,接下來必須把事情弄明白,而不是把 going 和 having 理解成兩個獨立動作。
練習
使用完整且正確的片語 going to have to 完成句子:Because one player is sick, we're ____ change the lineup.
查看答案
going to have to
figure it out:弄懂或想出解決方法
Figure something out 表示透過思考、調查或嘗試來弄懂某件事,或找到解決方法。本句中的 it 指需要解決的問題。 Figure out 是可分開的片語動詞。受詞是 it、them 等代名詞時,要放在 figure 和 out 之間:應說 figure it out,不能說 figure out it。
練習
用 figure ... out 完成句子,並把代名詞放在正確的位置:This riddle is tricky, but I can ____.
查看答案
figure it out
have ... in common:擁有共同特點
Have ... in common 表示兩個或多個人或事物擁有共同的特點。把共同特點或數量放在 have 和 in common 之間,例如 have one hobby in common 或 have a lot in common。 本句中,something 表示共同特點,those first two numbers 是擁有這個特點的兩個對象。這個結構是在提示你找出一個對這兩個數字都成立的性質。
練習
用 have ... in common 的兩個部分完成句子:Maya and Leo ____ one hobby ____.
查看答案
have · in common
what's called:中性地帶出名稱或術語
what's called 是 what is called 的縮寫,用來帶出某個事物公認的名稱、標籤或類別。在本句中,它把 autobiographical numbers 當作這些數所屬類別的名稱。 這裡的 called 表示「被稱為」,不是「被打電話聯絡」。可套用的結構是 be + what's called + 名稱或術語:This is what's called X; They're what's called X。
練習
用表示 what is called 的中性縮寫完成句子:In music, this silence is ____ a rest.
查看答案
what's called
autobiographical numbers:各個數位描述自身數量的數
自傳數是一種用自身各個數位說明自身數字數量的數。從左往右看,第一個數位表示整個數中有幾個 0,第二個表示有幾個 1,第三個表示有幾個 2,依此類推。 這裡的 autobiographical 是比喻用法:這個數會提供關於自身組成的資訊,並不是指某個人的人生故事。
練習
以下哪一項正確說明了為什麼 1210 是 autobiographical number(自傳數)?
- 它的各個數位加起來等於 4。
- 它從前往後讀和從後往前讀都一樣。
- 它有一個 0、兩個 1、一個 2,而且沒有 3。
查看答案
它有一個 0、兩個 1、一個 2,而且沒有 3。
whose structure describes itself:用 whose 表示事物的所屬關係
whose structure describes itself 是修飾 number 的關係子句。這裡 whose 表示所屬關係:structure 屬於這個數,而子句說明這個結構會描述自身。 whose 不只可以指人,也可以指事物。它後面接名詞,因此 whose structure 可以理解為「那個數的結構」。
練習
用表示所屬關係的關係詞完成句子:We toured a building ____ roof collects rainwater.
查看答案
whose
corresponding to that position:與該位置相對應
片語 corresponding to that position 位於 digit 後面,用來說明具體指哪一個數字:也就是與那個位置相配的數字。 它是 that corresponds to that position 的簡略形式。可以延伸使用的結構是「名詞 + corresponding to + 參照項目」,適用於位置、標籤或編號之間有固定對應關係的情況。這裡的 correspond 表示「相配、對應」,不是「寫信或互傳訊息」。
練習
用表示「與列標籤相配」的片語完成句子:Select the value ____ the row label.
查看答案
corresponding to
Each of ... digits indicates:Each 後面使用單數動詞
Each of an autobiographical number's digits 表示這組數位中的每一個。主詞的文法核心是 Each,而不是複數名詞 digits。 因為 Each 是單數,所以動詞要用第三人稱單數形式 indicates。可以記住這個結構:Each of + 複數名詞片語 + 單數動詞。
練習
用 require 的正確形式完成句子:Each of the machines ____ a password.
查看答案
requires
occurs within the number:出現在這個數中
在 occurs within the number 中,occurs 表示「出現」或「可以在其中找到」,而不只是表示某件事「發生」。數字、字母、單字或模式都可以出現在一個更大的序列中。 Within the number 劃定了搜尋範圍,也就是在整個數的內部。這種表達適合說明某個項目出現在哪裡,以及出現了幾次。
練習
用本課中表示「出現在……裡面」的表達完成句子:The digit 7 ____ the number 7070.
查看答案
occurs within
the quantity of zeros:正式的數量表達
在本句中,the quantity of zeros 意思是「有幾個零」。quantity of 這個表達把個數當作正式的數值量來呈現,適合數學說明。 因為 zeros 是可數的,日常英文通常用 the number of zeros 更自然。不過,當語境把這個個數視為測量值時,the quantity of zeros 仍然清楚而且可以接受。
練習
哪一句使用 quantity of 在技術語境中描述個數?
- The lab records the location of samples in each container.
- The lab records the quality of samples in each container.
- The lab records the quantity of samples in each container.
查看答案
The lab records the quantity of samples in each container.
And so on:依同一規律繼續
And so on 是一個固定詞組,表示後面還有項目或步驟會依照同一個清楚的規律繼續,因此說話者不必全部列出。應把它當成一個整體理解,不要逐字翻譯。 在本句句首,And 承接前面已經說明的規律。Until the end 指出停止點:要一直把這個規律套用到最後一項。
練習
哪一句表示同一個數字規律會繼續,而不必列出後面的每個數字?
- The pattern continues: 2, 4, 6, 8, and so on.
- The pattern stops at 8 and cannot continue.
- The numbers after 8 follow a completely different rule.
查看答案
The pattern continues: 2, 4, 6, 8, and so on.
takes a 10-digit number:take 表示接受輸入
這裡的 takes 表示「接受或需要作為輸入」,不是把某個東西拿走。lock 被描述成一個有輸入要求的系統:它接受的輸入是一個十位數。 10-digit 放在 number 前面作複合形容詞時,digit 要用單數,而且中間要加連字號。a 10-digit number 就是「由十個數字組成的數」。
練習
請用表示「接受輸入」的 take 的正確形式完成句子:The keypad ____ a six-digit code。
查看答案
takes
and it just so happens that there's exactly one 10-digit autobiographical number. 講解
1:02而且恰好只有一個 10 位數的自述數。
it just so happens that:引出相關巧合
it just so happens that... 是一個固定表達,用來帶出一項碰巧發生,而且和目前情況特別相關的事實。它接近「碰巧……」或「正好……」,不能逐字理解成「它只是這樣發生」。 這句話中,這個表達把「正好只有一個符合條件的數」呈現成一項出乎意料、卻很有用的巧合。that 後面的子句提供具體事實,也是句子的主要資訊。
練習
請用引出相關巧合的固定表達完成句子:I need a charger, and ____ Mia has a spare one。
查看答案
it just so happens that
exactly one:精確表示「有且只有一個」
在這句話中,exactly one 表示「有且只有一個」。exactly 把數量嚴格限定為 1,因此既排除 0,也排除 2 個或更多。 這種說法明確表達唯一性。在數學或邏輯推理中,省略 exactly 會讓結論不夠精確。
練習
用表示「有且只有一個」的片語完成規則:Each player must choose ____ option.
查看答案
exactly one
Blindly trying different combinations 作主詞
Blindly trying different combinations 是一個動名詞片語。整個片語作主詞,表示正在討論的「盲目嘗試不同組合」這項活動。trying 不是現在進行式的一部分,因為它前面沒有任何形式的 be 動詞。 Blindly 修飾 trying,different combinations 是 trying 的受詞。句子的主要述語是 would take forever。動名詞片語作主詞時通常視為單數;如果改用簡單現在式,take 要變成 takes。
練習
把 “check every answer” 變成作主詞的動名詞片語:____ takes too much time.
查看答案
Checking every answer
would take forever:誇張地表示耗時很久
在這句話中,would take forever 表示「會花非常久的時間」。forever 是刻意的誇張,並不是說這件事真的永遠做不完。 something would take forever 這個結構描述某種可能或設想中的做法會帶來的結果。這裡的 would 表示,說話者是在判斷「盲目嘗試各種組合」這種假設做法的後果。
練習
「Checking every file would take forever」在這裡是什麼意思?
- 這件事可能永遠無法開始。
- 這會花非常久的時間。
- 這會立刻發生。
查看答案
這會花非常久的時間。
let's analyze:包含說話者和聽者的建議
Let's 是 let us 的縮寫。在 let's analyze 中,說話者提議自己和聽者一起檢查資訊;這是把雙方都包含在內的建議,而不只是命令別人去做。 結構是 let's + 動詞原形,所以 analyze 保持原形。在解說中,這個表達也能引導聽者進入下一步推理。
練習
用 let's 和 analyze 的動詞原形完成共同建議:____ the results together.
查看答案
Let's analyze
to see what kinds of patterns we can find:目的與嵌入式疑問語序
不定詞片語 to see... 說明前面某個動作的目的:做某件事是為了看看能否找出規律。這裡的 see 表示「弄清楚」或「發現」,不只是用眼睛看。 其中,what kinds of patterns we can find 是嵌入式疑問,在句中作 see 的受詞。嵌入式疑問使用陳述句語序 we can find,不能使用 can we find。
練習
哪一句正確表達「檢視資料是為了看看能否找出規律」?
- We reviewed the data to see what patterns we could find.
- We reviewed the data to see what patterns could we find.
- We reviewed the data for see what patterns we could find.
查看答案
We reviewed the data to see what patterns we could find.
By adding ... together:用 by + -ing 表示方法
By adding all the digits ... together 說明得出結果的方法:把這些數字相加以得到總數。在這種用法中,by 表示「透過某個動作」,不是「在旁邊」。 by 後面使用動詞的 -ing 形式,也就是 by adding。Add ... together 表示把幾個數相加,得到一個總數。
練習
使用 by + -ing 和英文詞組 compare the two maps 完成句子:____, we found the shorter route.
查看答案
By comparing the two maps
the total number of:完整總數
the total number of + 複數可數名詞,表示把所有相關項目都算進去之後得到的總數。total 很重要:它強調完整合計,而不是不確定的某個數量。 在本句中,the total number of digits 進一步說明 four:four 表示這裡所討論的數字的完整總數。
練習
用表示「把所有頁面合計起來」的片語完成句子:There are twelve pages, so ____ pages is twelve.
查看答案
the total number of
This makes sense since:連結結論與理由
This 回指前面得到的結果,makes sense 判斷該結果合乎邏輯或合理,since 接著引出支持這項判斷的原因。這個框架按照「結論合理 → 原因如下」的順序組織資訊。 本句中的 since 表示 because(因為),不是「從過去某個時間起一直到現在」。since 後面的內容提供原因,而不是起始時間。
練習
哪一句使用這個框架,先說明前面的結果合理,再給出原因?
- This has been true since last Monday.
- This makes sense since both sides have the same value.
- This makes sense, but no reason is given.
查看答案
This makes sense since both sides have the same value.
must add up to:總和必須等於
add up to + 數字表示「各部分加總後得到這個數字」。主詞是要合併的各部分,to 後面的數字是加總結果。 must 表示必要性:根據規則或邏輯,這些數字的總和必須是 10。在 add up to 中,up 是片語動詞的一部分,不表示向上移動。
練習
使用本課中表示「加總後必須是」的四個字片語完成句子:The three percentages ____ 100.
查看答案
must add up to
This tells us another important thing:推進講解
這裡的 This 指向剛剛確定的事實或結論。Tells us 不是指有人開口告訴我們,而是表示前面的資訊讓我們看出或推論出某件事。 整句是講解中的銜接訊號。它預告同一份依據還能支持另一項重要結論,而這項結論應該緊接著出現。
練習
在講解中,“This tells us another important thing.”通常表示什麼?
- 另一個人開始說話了。
- 說話者正在轉向無關的主題。
- 前面的資訊支持另一項結論。
查看答案
前面的資訊支持另一項結論。
can't have too many:超過數量上限
在這句話中,can't have 表示依照這個數所受的限制,這種情況不可能成立,不是在說某人拒絕給予許可。too many 表示數量超過允許或可行的上限。 在有數量限制的語境中,can't have too many + 複數可數名詞表示不能超過數量上限。拿掉 too 後意思會改變:many 只表示數量多。
練習
哪一句表示重物的數量不能超過安全上限?
- The box has many heavy items, but that is not a problem.
- The box can't have too many heavy items, or the bottom may break.
- The box doesn't have many heavy items right now.
查看答案
The box can't have too many heavy items, or the bottom may break.
would have to:假設情況下的必要結果
would have to + 動詞原形表示:如果設想的條件成立,某件事就會成為必要的結果。這裡,正在討論的數字排列會使某個數字必然出現六次,另一個數字必然出現七次。 這裡的 would 標示假設結果,並不是把句子變成禮貌的請求。
練習
用 have to 的正確形式完成假設結果:If the backup server failed, we ____ restore the data manually.
查看答案
would have to
if it included ..., then ... would have to ...:由假設推出必要結果
if 子句提出一個想像中的假設,並不是在說這個數確實包含 6 和 7。這裡的過去式 included 把情況表示為假設。 then 子句說明這項假設造成的結果。would have to 表示如果條件成立,這個結果就是必要的,而不只是可能發生。then 讓條件與結果之間的關係更清楚,不過通常也可以省略。
練習
哪一句提出假設條件,並說明接著會出現的必要結果?
- The library included a recording studio, and the floor plan changed.
- Because the library includes a recording studio, the floor plan has to change.
- If the library included a recording studio, then the floor plan would have to change.
查看答案
If the library included a recording studio, then the floor plan would have to change.
making more than 10 digits:用 -ing 片語表示結果
Making more than 10 digits 是一個表示結果的 -ing 分詞片語,用來說明剛才所述情況造成的結果。它的意思接近 which would make more than 10 digits。 這個片語依附於前面的子句;making 不是新的主要動詞,也不是另一個獨立動作。這種結構可以把結果簡潔地接在逗號後面。
練習
哪一句在逗號後使用 -ing 片語來說明前面情況造成的結果?
- Making breakfast, Lee listened to the radio.
- The roads froze overnight, making travel dangerous.
- Making a model takes patience.
查看答案
The roads froze overnight, making travel dangerous.
We can conclude that:標示經推理得出的結論
We can conclude that 用來引出根據推理或證據得到的陳述。本句中,它表示對數字數量的限制來自前面的分析;that 後面接一個完整子句,說明結論內容。 這裡的 conclude 是「得出判斷」,不是「使某件事結束」。這個片語幫助聽者分辨推理在哪裡結束、結論從哪裡開始。
練習
用 We can conclude that 引出證據所支持的結果:The method gave the correct result in every trial. ____ the method is reliable.
查看答案
We can conclude that
no more than:設定包含端點的上限
no more than + 數量用來設定包含該數值在內的上限。在 no more than one digit 中,符合條件的數字可以有零個或一個,但不能有兩個以上。 要把 no more than 當成一個完整的數量片語理解,意思是「至多」,不要把其中的單字分開解釋。
練習
某個俱樂部允許每位會員最多帶五位客人。用 no more than 完成規則:Each member may bring ____ guests.
查看答案
no more than five
So out of:限定結論所針對的群組
在 out of the four digits ... 中,out of 表示「在這個群組的成員之中」。它把 6、7、8、9 設定為進行計數或選取的完整範圍。 So 把這一步和前面的推論連接起來。So out of ... 合起來表示:「根據剛才推導出的結果,現在來看這個群組之中。」這裡的 out of 不是指從裡面移動到外面。
練習
哪一句中的 out of 用來限定進行選取或計數的群組?
- Out of the eight teams, two reached the final.
- Maya walked out of the library after lunch.
- The printer is out of paper.
查看答案
Out of the eight teams, two reached the final.
if any:保留「可能一個也沒有」
這裡的 if any 是簡短插入語,意思是「如果真的有的話」。在 only one, if any 中,它改變了 only one 的理解:一個是上限,但也可能一個都沒有。 這個片語讓說法更謹慎,並沒有另起一個新的主要條件。逗號表示它是插入的補充說明;把它刪掉後,句子的基本文法仍然完整。
練習
以下句子的正確意思是哪一個:Only one applicant, if any, will be selected.
- 必須至少選中一名申請者。
- 肯定會正好選中一名申請者。
- 最多會選中一名申請者,也可能一名都不選。
查看答案
最多會選中一名申請者,也可能一名都不選。
make the cut:通過篩選
make the cut 是一個慣用語,表示達到要求的標準,並在篩選後入選或被保留下來。在這句話中,最多只有一個候選項目符合條件。 這個片語要當成一個整體來理解。這裡的 cut 不是實際的切割動作,而是指區分「被接受」和「被淘汰」的篩選界線。
練習
用本課慣用語完成句子:After all the auditions, only five singers will ____.
查看答案
make the cut
And there will be zeros in the positions corresponding to the numbers that aren't used.
2:15而未使用的數字所對應位置的數字將會是 0。
at least three:包含三在內的最低數量
at least three 設定一個包含三在內的數量下限。三個符合要求,四個、五個或更多也都符合要求;兩個則不符合。 在這句話中,說話者確定的是零的最少數量,而不是確切總數。at least three 並不等於 exactly three。
練習
用本課表示「最少三個」的表達完成句子:The science club needs ____ members to start.
查看答案
at least three
which also means that:引出進一步推論
在這句話中,which 指的是前面「這個數必須至少包含三個零」這整件事,而不只是指 zeros。which also means that 引出由這項事實進一步得到的結論。 它把推理組織成「已知事實 → 進一步含意」。that 後面接一個完整子句:the leading digit must be three or greater。
練習
哪一句使用 which also means that,把改道說成道路封閉造成的結果?
- The road, which is closed, also needs repairs.
- The road is closed, which also means that the bus must take another route.
- The bus must take another route, which also means that the road is closed.
查看答案
The road is closed, which also means that the bus must take another route.
leading digit:一個數的第一位數字
leading digit 指一個寫出的數中最左邊的數字。例如,5,207 的 leading digit 是 5。 這裡的 leading 表示「位於最前面」或「第一個」,不是「擔任領導的」。在原句中,leading digit 必須是 3 或更大。
練習
哪個術語表示一個寫出的數最左邊的數字?
- final digit
- leading digit
- decimal point
查看答案
leading digit
three or greater:包含 3 的數值下限
three or greater 表示 3 是允許的最小值,而 greater 表示任何大於 3 的數。因此,這個片語的意思是「至少為 3」,並且包含 3 本身。 這裡的 or 是把起始數值和整個範圍連接起來,不是讓人從 3 和某個固定選項中二選一。在這句話中,這個片語說明了首位數字的下限,而且包含這個下限。
練習
哪一句表示允許的數值包括 3 以及所有大於 3 的數值?
- The value must be three or less.
- The value must be greater than three.
- The value must be three or greater.
查看答案
The value must be three or greater.
every digit after it counts how many times a particular non-zero digit occurs. 用詞
2:34它後面的每個數字計算的是特定非零數字出現的次數。
while this first digit counts ... every digit after it counts ...:用 while 對照兩種功能
這裡的 while 引出的是對比,不是時間子句。它把第一個數字的功能和後面每一個數字的功能放在一起比較:第一個數字計算零的數量,而後面的數字計算某個特定非零數字出現的次數。 while A does X, B does Y 這個結構把兩個平行的事實放進同一個句子。當兩個子句說明不同的作用或特點時,可以理解成「A 做 X,而 B 做 Y」。
練習
哪一句中的 while 明確是在比較兩個不同的功能,而不是表示兩個動作同時發生?
- Please read while you wait.
- While the basic plan includes email support, the premium plan includes phone support.
- While I was cooking, my brother set the table.
查看答案
While the basic plan includes email support, the premium plan includes phone support.
particular non-zero digit:某個特定的非零數字
片語 a particular non-zero digit 指「某一個特定的、數值不為 0 的數字」。這裡 particular 表示「特定的」,不是「挑剔的」;non-zero 排除了 0。 particular 和 non-zero 都修飾 digit,把範圍從任意數字縮小到 1 到 9 中某個指定的數字。
練習
在指令 "Circle every occurrence of a particular non-zero digit," 中,你需要尋找什麼?
- 任意數字,包括 0
- 從 1 到 9 的每一個數字
- 一個不是 0 的特定數字
查看答案
一個不是 0 的特定數字
besides the first one:排除第一個數字
在這句話中,besides the first one 表示「排除第一個數字」。這項指示要把其他所有數字相加,而第一個數字不算在內。one 代替 digit,因此不必重複這個名詞。 在其他句子裡,besides 也可以引出額外的一項。這裡 all the digits 先建立一個集合,而計算語境清楚表明應採用「排除」的理解。
練習
哪一項指示與例句的計算範圍相同?
- 把第一個以外的所有數字相加。
- 只把第一個數字相加。
- 把第一個數字和其他所有數字都相加。
查看答案
把第一個以外的所有數字相加。
don't increase the sum:及物動詞 increase
don't increase the sum 表示「不會讓總和變大」。加上零之後,總和保持不變。 這裡的 increase 是及物動詞:zeros 是可能引起變化的事物,the sum 是它的直接受詞。主詞不一定是人;數字、費用、獎勵或其他因素都可以讓總數增加。
練習
用標示出的原文完成句子:Zeros ____.
查看答案
don't increase the sum
If we add together ..., we get ...:連結計算步驟與結果
if 子句先設定一個運算步驟:把第一個數字以外的所有數字相加。主要子句 we get ... 說明執行該步驟後得到的結果。 If we do X, we get Y 這種結構常用於數學和科學講解。這裡 if 引導聽者依照「條件步驟→結果」進行推導,並不表示說話者懷疑能不能完成這個加法。
練習
請使用 "If we do X, we get Y" 結構完成說明:For four test scores, ____ the total by four, ____ the average.
查看答案
If we divide · we get
a count of how many:把數量問題變成名詞片語
在 a count of how many non-zero digits appear... 中,a count 表示計算後得到的數字結果。of how many non-zero digits appear 具體說明正在計算什麼。 結構 a count of how many + 複數名詞 + 子句,會把「有多少……?」這個問題變成名詞片語。整個片語可以放在 get、give 或 record 等動詞後面當受詞。
練習
用本課由五個英文單字組成的目標片語完成句子:The survey gives ____ families use the service.
查看答案
a count of how many
including that leading digit:標明必須計入的部分
句末的 including that leading digit 把那個首位數字加入正在計算的非零數字範圍。它是放在主要陳述之後的補充資訊,告訴聽眾這個數字也在計算範圍內。 這裡的 including 說明一個重要界線,並不是隨意舉例。如果漏掉首位數字,計算結果可能會改變。
練習
判斷下面對英文句子「The price covers every activity, including the boat trip.」的理解:乘船活動包含在價格內。
- 正確
- 錯誤
查看答案
正確
subtract one:將目前的數減 1
Subtract one 表示將目前的數或數量減 1。在本句中,起始數可以從前面的計算得知,因此不必重複說明。 如果要說出兩個量,可以使用 subtract A from B:A 是被減去的量,B 是起始量。例如,subtract one from ten 表示 10 − 1。
練習
用本課學到的兩個詞表達完成指示:To change 12 to 11, ____.
查看答案
subtract one
we have a count of how many non-zero digits there are after the first digit,
3:02就能得到首位數字之後有多少個非零數字,
Why go through all that?:從步驟轉回目的
Why go through all that? 是在問:為什麼要完成或經歷剛才提到的整個過程?這裡的 go through 表示執行或處理一連串步驟,不是從某個物體中穿過去。 在講解中,這個問題會把注意力從具體細節拉回那些步驟的目的。說話者往往會緊接著自己回答,所以它可以作為反問式轉場,而不是真的要求聽眾回答。
練習
在講解中,說話者問 Why go through all that? 是在做什麼?
- 詢問哪條實際路線會穿過某個東西
- 詢問前面那些步驟為什麼有必要
- 宣告每個步驟都已經失敗
查看答案
詢問前面那些步驟為什麼有必要
is equal to:完整的等值結構
在 A is equal to B 中,is equal to 表示 A 和 B 的數值相同。equal 在這裡是形容詞:is 連接主詞和 equal,而 equal 後面接 to。 這個結構中的三個單字都要保留。A is equal B 並不完整。動詞 equals 使用另一種結構:A equals B。
練習
用表示「與……數值相同」的三個單字結構完成句子:The perimeter ____ 20 centimeters.
查看答案
is equal to
minus one:從一個數量減去 1
在 the sum of these digits minus one 中,minus one 表示從總和減去 1。順序是 X minus one = X − 1,因此 X 是起始值。 這裡的 minus 表示減法運算。它可以放在數字或數量表達後面,用於簡潔的數學說明。
練習
哪個表達表示「從頁數開始,再減去 1」?
- negative one page
- one minus the number of pages
- the number of pages minus one
查看答案
the number of pages minus one
And how can you get a distribution where ...:作為引導推理的問題
And how can you get a distribution where ... 用問題形式呈現下一步推理。這裡的 distribution 指數值的安排方式,where 則帶出這種安排必須符合的條件。 在引導式數學講解中,這類問題會邀請聽者先跟著思考,之後再由講解者繼續推導。它通常不表示講解者要停下來要求立即回答;開頭的 And 也把這一步與前面的推理連接起來。
練習
在這段講解中,And how can you get a distribution where ... 的主要話語功能是什麼?
- 宣布推理已經結束。
- 引導聽者進入推理中下一個需要處理的條件。
- 詢問某種分布的實際位置。
查看答案
引導聽者進入推理中下一個需要處理的條件。
one greater than:恰好大一
在 one greater than X 中,one 表示確切的差值,greater than 表示比較方向。整個片語的意思是 X + 1。 因此,one greater than 8 恰好是 9,而不是任何大於 8 的數。在字幕原句中,總和恰好比非零正整數的個數多 1。
練習
哪一個句子表示「九恰好比八大一」?
- Nine is one greater than eight.
- Seven is one greater than eight.
- Nine is greater than one.
查看答案
Nine is one greater than eight.
being added together:名詞後的被動 -ing 片語
在 non-zero positive integers being added together 中,being added together 描述前面的 integers。這是被動 -ing 片語:這些整數承受「相加」的動作。它可以展開為 non-zero positive integers that are being added together。 這個片語不是問句的主要動詞。它放在名詞後面,用來限定計算的是哪些整數;同樣的結構也可用來描述正在承受某個動作的名詞。
練習
哪個句子使用被動 -ing 片語,表示名詞承受動作?
- The scientists testing the samples are in the lab.
- The samples being tested are in the lab.
- The test begins in the lab.
查看答案
The samples being tested are in the lab.
The only way is for ... to be ...:說明唯一安排
The only way is for one of the addends to be ... 把某種安排說成唯一可行的方案。for one of the addends to be ... 子句補充說明 the only way 的具體內容。 在 for + 名詞 + to 不定詞結構中,for 後面的名詞是不定詞的邏輯主詞:這裡必須是 2 的是 one of the addends。這裡的 for 不表示目的。
練習
請用指定的 for 和 to 完成句子。The password must be reset, and only the owner can do it: The only way is ____ the owner ____ reset the password.
查看答案
for · to
the rest ones:表示其餘加數的省略結構
在本句中,the rest 指除已經指出的那個加數以外,剩下的所有加數。ones 是數字 one 的複數名詞形式,因此這部分表示其餘加數的值全都是 1。 and the rest ones 是壓縮表達,完整形式是 and the rest to be ones,其中重複的 to be 被省略。這裡 rest 用來把加數分成「一個」和「其餘所有」,不是「休息」的意思。
練習
在例句中,the rest ones 是什麼意思?
- 其餘加數需要休息。
- 只剩下一個加數。
- 其餘所有加數的值都是 1。
查看答案
其餘所有加數的值都是 1。
Turns out:帶出後來發現的結果
Turns out 用來帶出經過查證、推理或看到實際情況後才明確的事實或結論。在本句中,它表示得出的結論是只可能有兩個。 它是 It turns out that + 子句的口語省略形式,開頭的 it 被省略,that 也常被省略。這個表達描述的是一項發現,不是身體或物體真的轉向。
練習
用 It turns out 的兩字省略形式完成句子:____, the museum is closed on Mondays.
查看答案
Turns out
Any more would require ...:表達超過目前上限
在本句中,any more 表示「再多的數量或個數」。因為所計算的對象在上下文中已經很清楚,所以被省略了;這裡不是「不再」的意思。 would require 說明假設數量增加後會產生的結果。簡潔結構 Any more (of them) would require ... 表示目前數量仍在上限內,但再增加就會產生新的需求。
練習
哪一句中的 any more 和例句一樣,表示額外的數量?
- The hotel requires every guest to show identification.
- Any more guests would require a larger room.
- We don't meet there anymore.
查看答案
Any more guests would require a larger room.
So now we have the leading digit of three or greater counting the zeros,
3:46所以現在我們有首位數字 3 或以上來計算 0 的個數,
And speaking of that:轉到相關話題
And speaking of that 是對話中的轉場表達。that 指向剛剛提到的內容,整個片語把這項已知資訊當作橋梁,引出下一個相關觀點。 它不是在字面描述「說話」這個動作。開頭的 And 強調與前文的延續關係;說話者實際上是在表示「這讓我想到一件相關的事」。
練習
朋友剛剛提到下週的比賽。哪一句能自然承接前面的話題,並帶出一個相關問題?
- To sum up, have you bought your ticket yet?
- And speaking of that, have you bought your ticket yet?
- On the other hand, have you bought your ticket yet?
查看答案
And speaking of that, have you bought your ticket yet?
it's time to find out:從準備轉入揭曉
在這句話中,it's time to find out 表示階段發生了變化:準備和先前的推理已經完成,說話者現在要進入找出答案的階段。它不只是在談鐘錶時間。 可重複使用的句型是 It's time to + 原形動詞。Find out 表示透過查證、觀察或推理得知某個事實,因此這裡後接間接問句 what the leading digit is。
練習
請用本課片語完成句子,表示從檢查線索轉入尋找答案:We have checked every clue. Now ____ who sent the message.
查看答案
it's time to find out
Since we know that the two and the double ones have a sum of four, 講解
4:02因為我們知道這個 2 和那兩個 1 的總和是 4,
Since we know that:提出一個已知理由
這裡的 Since we know that 先引出說話者已經確認的資訊,並把它當作下一步計算的理由。它按照「先說已知事實,再說結論或行動」的順序組織講解。 在這種用法中,since 表示 because 或 given that,也就是「因為/既然」。它不表示過去的時間起點;後面的子句是在推論中使用的事實。
練習
在句子 Since we know that the road is closed, we'll take the train. 中,since 有什麼作用?
- 它標示道路最初封閉的時間。
- 它表示儘管有這個計畫,道路仍然開放。
- 它引出搭火車這個決定的已知理由。
查看答案
它引出搭火車這個決定的已知理由。
the double ones:出現兩次的數字 1
本句中,the double ones 指成對出現的兩個數字 1。ones 是數字 1 的複數說法,double 用來描述這一對數字。 這裡的 double 像修飾語一樣,用來指出已經存在的數字。它不是要人把 1 加倍,也不是要求進行新的計算。
練習
在本句中,the double ones 指什麼?
- 把 1 乘以 2 的指令
- 數字 1 出現兩次
- 數字 2 寫了兩次
查看答案
數字 1 出現兩次
subtract A from B to get C:從 B 減去 A 得到 C
Subtract that from 10 表示先以 10 為起點,再減去 that。在 subtract A from B 中,B 是起始數,所以運算順序是 B − A。這裡的 that 指前面得到的 4,因此算式是 10 − 4 = 6。 To get six 說明結果是 6。可套用的結構 subtract A from B to get C 依序給出被減去的數、起始數和結果。
練習
填入能表示正確減法方向的單字:Subtract 8 ____ 30 to get 22.
查看答案
from
it's just a matter of + -ing:只剩一個步驟
just a matter of + 名詞或 -ing 形式把某件事或某個行動說成唯一還需要處理的內容。在本句中,說話者把「將所有部分放到正確位置」視為剩下的任務,just 則讓這項任務聽起來比較直接、容易處理。 這裡的 matter 表示「需要處理的事情」,不是物理意義上的「物質」。因為 of 是介系詞,後面要接名詞或 -ing 形式,例如 a matter of timing 和 a matter of checking the answer。
練習
請用表示「只剩一個明確步驟」的目標片語完成句子:The guest list is final; now ____ sending the invitations.
查看答案
it's just a matter of
putting them all in place:把每一項正確安排到位
putting them all in place 表示把所有項目分別安排到正確的位置或作用中。them 指前面已經確定的那些數字,all 強調一個也不能漏。 put something in place 可以指擺放實體物品,也可以用於步驟、計畫或規則等抽象事物。重點是各部分都安排妥當,而不只是隨便把它們移到某處。
練習
在句子「The final task is putting all the labels in place,」中,putting all the labels in place 是什麼意思?
- 把每個標籤安排到正確的位置
- 把所有標籤從展示板上移走
- 讓每個標籤都留在原來的位置
查看答案
把每個標籤安排到正確的位置
The safe swings open and inside you find Da Vinci's long-lost autobiography. 表達脈絡
4:25保險箱打開了,你在裡面發現了達文西失落已久的自傳。
long-lost autobiography:呼應 autobiographical numbers
long-lost autobiography 指失蹤或長期找不到的自傳。在這裡,這個片語還透過呼應前面出現的 autobiographical numbers 來收束謎題:autobiography 和 autobiographical 屬於同一個詞族。 這個重複出現的詞族連結,把數學線索和結尾找到的物品串在一起。它讓最後的發現成為刻意安排的前後呼應,而不是保險箱裡隨意出現的一件物品。
練習
在謎題結尾,long-lost autobiography 還發揮了什麼作用?
- 它透過同一詞族呼應前面的 autobiographical numbers。
- 它表示保險箱寫了自己的一生。
- 它引入了一條解開這些數字的新規則。
查看答案
它透過同一詞族呼應前面的 autobiographical numbers。
For today's bonus riddle:帶入加碼環節
放在句首時,For today's bonus riddle 會為後面的內容設定活動範圍:接下來的指示是針對今天的加碼謎題。這裡的 for 表示指示適用於哪個活動,不是在說明原因。 這個片語在課堂、節目或影片中就像一個環節標籤。末尾的逗號表示主要指示還在後面。
練習
請使用課程中的完整開場片語補上指示:____, find the missing number.
查看答案
For today's bonus riddle
Here's what we'd like you to do:禮貌引出任務
Here's what ... 表示說話人接下來要說明一項任務或一組指示。在 what we'd like you to do 中,what 表示「……的事」,所以整個子句意為「我們希望你做的事」。 We'd 是 we would 的縮寫。would like + 人 + to + 原形動詞 這個結構比直接命令更柔和地表達請求或要求;這裡的 would 表示禮貌,而不是過去時間。
練習
用本課中完整的禮貌開場語補上指示:____: choose one topic and write two sentences.
查看答案
Here's what we'd like you to do
If you're not sure where to start:體貼地引出協助
If you're not sure where to start 預想到聽者可能不知道第一步該做什麼。作為 if 條件子句,它通常會引出建議、資源或其他協助,使引導顯得體貼,而不是認定對方一定遇到了問題。 where to start 是「疑問詞 + to 不定詞」子句,意思是「選擇哪個起點」。它內嵌在 sure 之後,不是直接問句,所以不能使用 where should you start 這樣的疑問句語序。
練習
哪一句正確使用 where to start 來引出有幫助的建議?
- If you're not sure where should you start, list the steps you already know.
- If you're not sure where starting, list the steps you already know.
- If you're not sure where to start, list the steps you already know.
查看答案
If you're not sure where to start, list the steps you already know.
our partners at brilliant.org have created an exploration to help you.
4:39我們在 brilliant.org 的合作夥伴創建了一個探索內容來幫助你。
Brilliant can show you how to solve new and unfamiliar problems 文法
4:45Brilliant 可以向你展示如何解決新穎和不熟悉的問題,
show you how to solve:show + 人 + how to + 動詞結構
show someone how to do something 表示教某人,或示範做某件事的方法與步驟。這裡,show 後面的 you 是接受指導的人,how to solve 則引出所教動作的方法。 how to solve 是嵌入整句的「疑問詞 + to 不定詞」結構,不是直接問句。solve 的受詞是 new and unfamiliar problems。
練習
使用 show + 人 + how to + 動詞結構,以及 me 和 solve 完成句子:Can you ____ this equation?
查看答案
show me how to solve
by using:用 by + V-ing 表示方法
by + -ing 形式的動詞用來說明達成某個結果的方法或手段。這裡,by using critical reasoning skills 說明解決全新且不熟悉的問題所採用的方法。 在這個結構中,by 後面接動詞的 -ing 形式,所以 by using 正確,by use 和 by to use 都不正確。這裡的 by 引出方法,並不是在被動句中引出動作執行者的 by。
練習
使用 by 和 use 的 -ing 形式完成句子:You can protect your account ____ a strong password.
查看答案
by using
critical reasoning skills:以證據為基礎的思考
critical reasoning skills 指檢視資訊、檢驗理由與證據,並得出有充分依據的結論所需的能力。在教育語境中,複數名詞 skills 表示這是一組可以訓練的思考方法,而不是單一才能。 這裡的 critical 表示作判斷時仔細分析、審慎辨別。它不是「嚴重的、危險的或緊急的」,也不只是批評別人。
練習
以下哪種做法最能展現 critical reasoning skills?
- 未經檢視就說每個觀點都是錯的
- 在決定相信什麼之前比較證據
- 因為情況危險而迅速作出反應
查看答案
在決定相信什麼之前比較證據
provide frameworks to think about:說明思考架構的用途
在這句話裡,frameworks 指有條理地分析問題的方式,而不是實體框架。provide frameworks 表示提供一些有用的思考結構,協助人們整理資訊和問題。 to think about problems 這個不定詞片語說明 frameworks 的用途:它們是用來思考問題的架構。可套用的結構是 provide + 工具或資源 + to + 動詞,其中不定詞說明該工具或資源能幫助人做什麼。
練習
請用本課中表示「考慮」的三個詞補完句子:The checklist provides a framework ____ possible risks.
查看答案
to think about
relate to each other:表示彼此相互關聯
在這句話中,relate to each other 表示這些概念彼此有連結。複數主詞 concepts 指出被連結的事物,each other 表明這些概念之間存在相互關係。 可以用「複數主詞 + relate to each other」說明想法、事件或組成部分如何互相連結。這裡的 relate 不是「講述故事」的意思。
練習
哪個句子表示三個想法彼此都有連結?
- The diagram shows that the three ideas are unrelated.
- The diagram shows how the three ideas relate to each other.
- The diagram shows how one idea relates to the main topic.
查看答案
The diagram shows how the three ideas relate to each other.
20% off:價格降低 20%
20% off 表示從原價減去原價的 20%。你支付原價的 80%;因此,在不計稅金或其他費用的情況下,原價 100 美元的訂閱方案實際支付 80 美元。 常見結構是 get 20% off + 商品或服務,以及 be 20% off。off 表達「從價格中減去」;20% 本身只表示一個比例。
練習
一款遊戲原價為 60 美元,現在有 20% off 的優惠。不含稅時需要支付多少?
- $48
- $72
- $12
查看答案
$48
annual premium subscription:找出核心名詞
在 annual premium subscription 中,subscription 是核心名詞,也就是所購買的項目。premium 表示這是較高階的方案,annual 表示該方案的期限為一年或採用年度計費週期。 理解這類連續修飾語時,可以從右往左讀:subscription → premium subscription → annual premium subscription。整個片語是指年度方案中的高級訂閱。
練習
在片語「annual premium subscription」中,哪個詞是表示所購買項目的核心名詞?
- annual
- premium
- subscription
查看答案
subscription