你能解開堡壘之謎嗎? - 亨利·皮西奧托:英語精讀講義
TED-Ed
影片簡介:一個王國必須找出最長的整數公尺牆段,讓6公尺、9公尺與20公尺攻城器械的任何組合都無法將它摧毀。影片借用埃拉托斯特尼篩法,成批排除可被攻破的長度,並從數學上證明答案是43公尺。 主要英語學習重點: 1. To you, 和 To everyone else, — 篇章、敘事與修辭。理解這兩個平行的觀點標記如何形成鮮明對比:守護者把微型恐龍視為神聖之物,入侵者卻只把牠們當成食物。學會後,可用相同結構說明兩個群體為何會對同一個人、事物或決定做出不同評價,讓立場差異清楚又有力。 2. only divisible by 1 and themselves. — 詞彙意義與語域。理解質數定義中的核心英文表述,並辨認 divisible by 是表示「一個數可被另一個數整除」的標準數學搭配。這有助於準確閱讀英語數學定義,並跟上以定義為基礎展開的判斷與推理,而不會把它誤解為一般的除法動作。 3. We can use a similar technique with our wall problem to eliminate entire groups of numbers at once. — 篇章、敘事與修辭。觀察科普解說如何利用類比搭橋,從古老的篩法自然轉回目前的城牆問題。可以運用這個句型把先前說明過的方法轉移到新問題,同時交代應用目的,以及它為何能一次排除整組候選數。
本篇講解
are at the gate:威脅已近在眼前
從字面畫面來看,are at the gate 表示敵人已經來到王國的入口處。在本句中,這個畫面讓危險顯得非常接近而且十分緊迫。 同一個畫面也可以用作比喻:當 trouble is at the gate 時,麻煩馬上就會影響到你,即使現實中並沒有城門。
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在本句中,are at the gate 主要傳達什麼意思?
- 敵人正禮貌地等候邀請。
- 威脅已經近在眼前。
- 危險已經過去。
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威脅已經近在眼前。
fledgling kingdom:初建且仍在發展中的王國
Fledgling 原本指剛長出飛行所需羽毛的幼鳥。這裡放在 kingdom 前作比喻,表示這個王國才剛建立,還沒有完全發展成熟。 這個形容詞也可以描述處於早期階段的公司、計畫、產業或政府。它通常暗示經驗或穩定性有限,而不只是年齡小。
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哪一項描述最符合 fledgling company?
- 一家擁有百年歷史且地位穩固的公司
- 一家剛成立、仍在累積經驗的公司
- 一家用幼鳥作為標誌的公司
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一家剛成立、仍在累積經驗的公司
To you, ... To everyone else, ...:對比不同視角
To you 和 To everyone else 分別表示「從你的角度看」和「從其他所有人的角度看」。這裡的 to 用來設定後面判斷所依據的視角,不表示朝某人移動。 在句首重複 To + 人或群體,能把同一個對象放入兩種相反的評價中。這個平行結構可以用來比較不同的人如何理解或看待同一件事的價值。
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哪一句使用 To + 人或群體 來設定兩個相互對照的視角?
- Maya took the old watch to everyone else.
- Everyone gave the old watch to Maya.
- To Maya, the old watch is priceless. To everyone else, it's broken.
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To Maya, the old watch is priceless. To everyone else, it's broken.
have all teamed up:所有團體都已聯手
team up 是片語動詞,表示為了共同目標與其他人或團體聯手、合作。在 teamed up 中,up 是動詞片語的一部分,不表示向上移動。 have teamed up 是現在完成式:聯手已經發生,而且合作關係與目前情況有關。all 放在 have 後面,表示三個國家無一例外都加入了。常見結構有 team up with someone 和 team up to do something。
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使用 team up 的現在完成式,並把 all 放在 have 後面,完成句子:The three clubs ____ to organize the fair.
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have all teamed up
in what they call ...:把名稱歸給他人
在 in what they call an alliance of the hungry 中,what they call X 表示「他們稱為 X 的事物或名稱」。整個 what 子句是介系詞 in 的受詞,因此 what 並不是在引出直接問句。 說話者使用這個結構,是把該名稱歸給 they 所指的群體,而不是當成自己的說法。這可以只是中性轉述,但在特定語境中也可能表示說話者與這個名稱保持一點距離,不一定是在否定它。
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in what they call 在句中有什麼作用?
- 它直接詢問這個名稱是什麼。
- 它把這個名稱歸給正在談論的群體。
- 它表示有人正在打電話。
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它把這個名稱歸給正在談論的群體。
an alliance of the hungry:誇張而戲謔的名稱
alliance 是為了共同目標而聯手的群體或聯盟。the hungry 意為「飢餓的人或角色」;the + 形容詞把具有這種特點的成員視為一個整體。 把正式、嚴肅的 alliance 和飢餓這種單純動機放在一起,會讓名稱顯得比實際情況更宏大。在這裡,它是故事中誇張、戲謔的稱呼,不是現實政治組織的正式名稱。
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在本句中,an alliance of the hungry 產生了什麼效果?
- 它表示這個聯盟本身正在被吃掉。
- 它以戲謔方式為因飢餓而聚在一起的群體取了一個宏大的聯盟名稱。
- 它提供了某個國際組織的標準法定名稱。
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它以戲謔方式為因飢餓而聚在一起的群體取了一個宏大的聯盟名稱。
to smash open:用力砸擊並造成打開的結果
在 to smash open your walls 中,smash 表示用力砸擊的動作,open 表示這個動作造成的結果:城牆被砸出足夠大的缺口。open 不是之後又發生的另一個動作。 這種結果結構可用 smash open something 或 smash something open 的語序。受詞是代名詞時,要說 smash it open,不說 smash open it。
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哪個句子明確表示猛烈砸擊使一個上鎖的容器打開了?
- The hikers knocked on the locked box.
- The hikers smashed open the locked box.
- The hikers smashed the locked box.
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The hikers smashed open the locked box.
will hold off:暫時擋住威脅
在 will hold off their armies 中,hold off 是及物片語動詞,意思是「擋住軍隊」或「延緩其前進」。will 表示防禦工事預計會在之後發揮這種作用。 hold off 通常表示暫時有效,而不是徹底解決。for now 明確說出這項限制:防線目前能阻止敵軍,但不一定能永遠擋住他們。
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哪個句子中的 will hold off 表示「暫時擋住威脅」?
- The firefighters will hold out against the heat.
- The crew will hold off testing the alarm until Friday.
- The fire door will hold off the flames for twenty minutes.
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The fire door will hold off the flames for twenty minutes.
won't stand a chance:幾乎不可能成功
stand a chance 表示有實際的成功、獲勝或生存可能。won't stand a chance 是它強烈的未來否定形式,表示成功的可能性極低。 這裡的 chance 指成功防守的整體可能性,不是某一次具體機會。這個表達也不是字面上的「站立」。
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用表示「幾乎沒有獲勝可能」的目標表達完成句子:Without our best players, we ____ against the champions.
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won't stand a chance
If ..., may be able to ...:條件成立時可能但不確定的結果
if 子句提出條件:這台機器必須整夜運轉。主要子句表示,符合這個條件後,加固邊境這件事或許做得到。 可重複使用的結構是 If + 現在簡單式,... may be able to + 原形動詞。may 讓結果保持不確定,因此這個條件只會提高成功的可能性,並不保證結果。
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用表示「在某個條件下或許能做到」的目標片語完成句子:If Mia follows the map, she ____ find the campsite before dark.
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may be able to
a specific whole number size:某個明確的整數尺寸
這個片語表示,尺寸必須是一個明確的值,而且這個值必須是 whole number,也就是 0、1、2、3 等,不能是分數或小數。這裡的 whole number 是數學用語,不是「完整的數字」。 由於這裡說的是實際長度,可用的尺寸通常會是正整數,例如 8。specific 表示必須選定一個值,而不是保留一個範圍或多個可能的尺寸。
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哪個選項表示一個明確的整數尺寸?
- A size of 8.5 meters
- A size of three quarters of a meter
- A size of 8 meters
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A size of 8 meters
must determine ... ahead of time:必須事先決定
determine 在這裡表示「決定、確定」,ahead of time 表示在需要做出選擇之前,或在流程開始之前。must 使這個事前決定成為必要要求,因此不能等到生產已經開始後才決定。 在完整句子中,that 指的是要決定的尺寸。可套用的結構是 determine + 受詞 + ahead of time:受詞放在 ahead of time 前面,例如 determine the size ahead of time。
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用目標片語完成句子,表示必須在生產開始前做出選擇:The final color is something you ____.
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must determine ahead of time
in close consultation with:正式場合中的密切專業協作
Be in close consultation with someone 表示為了制定計畫或做出決定,與某人密切交換專業資訊和意見。close 強調溝通審慎而且持續,並不是隨意聊天。 在本句中,have been in close consultation with 表示工程師先前已開始諮詢情報主管,而且這種協作現在仍然重要。可套用的結構是 be in close consultation with + 人或團體。
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請用表示「密切合作並交換專業意見」的正式片語完成句子:The hospital developed the emergency plan ____ local doctors.
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in close consultation with
come in one specific size:描述固定規格
Come in + 尺寸、顏色、款式或版本,表示某物以該形式生產或供應。這裡的 come in one specific size 表示每個王國的破牆裝置都只有一種固定尺寸;come in 並不是「走進某個地方」。 That come in one specific size 是修飾 wall busters 的關係子句。同樣的結構也可以描述商品或零件可提供的規格和選項。
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請用 come in 的正確形式完成句子,描述產品可提供的尺寸:This helmet ____ one specific size, so check the fit before buying.
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comes in
can level a wall segment:level 表示「摧毀」
這裡的 level 是動詞,表示「把建築或其他結構嚴重摧毀,使其變平或幾乎被夷平」。它的受詞是 wall segment,因此 can level a wall segment 表示「能摧毀那一段牆」。 這裡不是形容詞 level 所表示的「平的、處於同一高度」。在 level + 建築或地點這種結構中,語境可以讓 level 表示嚴重摧毀。
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哪一句中的 level 表示「幾乎徹底摧毀」?
- The two shelves are level with each other.
- The carpenter leveled the table before dinner.
- The blast leveled the empty warehouse.
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The blast leveled the empty warehouse.
take out:摧毀目標或使其失效
在這個攻擊情境中,take out 表示「摧毀目標或使其無法運作」。牆是被攻擊的目標,因此 can take out a 12 m wall 表示「能摧毀那道牆」,而不是「能把它搬到外面」。 這個片語動詞的具體結果取決於受詞:設備可能停止運作,防禦設施可能遭到摧毀,對手也可能無法繼續行動。必須根據情境判斷意思。
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哪一句中的 take out 表示「使設備停止運作」?
- Mia will take her cousin out for lunch.
- Please take the recycling out tonight.
- A power surge could take out the whole network.
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A power surge could take out the whole network.
hold fast against:在壓力下牢牢撐住
這裡,hold fast against 表示面對攻擊或外力時仍保持穩固,不退讓,也不被突破。against 引出施加壓力的對象。 在 hold fast 中,fast 表示「牢固地、穩穩地」,不是「快速地」。這個結構也可用於立場或原則,表示在壓力下不動搖。
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用表示「在壓力下仍牢牢撐住」的三個英文單字完成句子:During the storm, the sea wall ____ the heavy waves.
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held fast against
aren't necessarily protected:不一定受到保護
在 aren't necessarily protected 中,necessarily 限定了否定的範圍。這句話是說,牆體大並不能保證它受到保護;有些大型牆體可能受到保護,有些則可能沒有。 not necessarily 用來修正過度肯定的結論,但並不是說相反情況一定成立。
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有人說:「Mia finished first, so her answer must be correct.」哪個回答否定了這種必然推論,同時又沒有聲稱最先完成的人都答錯了?
- Not necessarily; finishing first does not guarantee a correct answer.
- No; people who finish first are never correct.
- Yes; the first person is always correct.
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Not necessarily; finishing first does not guarantee a correct answer.
Here's how:引出方法說明
Here's how 指向接下來的內容,告訴聽者後面的解釋或示範會呈現具體方法。它把訊息從結論或問題推進到步驟或證據。 這裡的 how 引出的是嵌入句中的子句,不是直接問句。要使用直述句語序:說 Here's how they could take it down,不說 Here's how could they take it down。
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哪個句子自然地使用 Here's how 引出方法?
- Here's how can you unlock the door: enter the four-digit code.
- Here's how you can unlock the door: enter the four-digit code.
- Here's why the door is locked: the code expired.
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Here's how you can unlock the door: enter the four-digit code.
could take down:能夠攻破或使目標失效
這裡的 take down 表示擊敗、摧毀目標,或使目標無法繼續發揮作用。could 表示在所呈現的條件下有這種能力或可能結果,並不表示攻擊已經發生。 70、71 和 72 m 在句中代指相應長度的城牆或牆段。因此,這個片語表示能夠攻破這些防禦,不是把這些數字「拿下來」。
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哪個句子中的 could take down 與例句一樣,表示摧毀目標或使其失效?
- We could take down the posters after lunch.
- The receptionist could take down your phone number.
- A strong cyberattack could take down the hospital's network.
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A strong cyberattack could take down the hospital's network.
no matter its length:不改變結果的條件
its length 這幾個字指出一個可能改變的因素。在 no matter its length 中,這個名詞片語表示「不論牆段有多長」。它加入了一個讓步條件:長度可以改變,但製造時間保持不變。 這裡的 no matter 並不是在提出真正的問題。可套用的結構 no matter + 名詞片語 表示所提到的因素不會影響結果,例如 no matter the cost。
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The price stays the same no matter the package size 這句話是什麼意思?
- 只有一種大小的包裹是這個價格。
- 因為不知道包裹大小,所以價格也無法確定。
- 包裹大小不會影響價格。
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包裹大小不會影響價格。
in time:趕在太遲之前
in time 表示夠早,能避免錯過截止點、事件或造成某種後果。在本句中,finish the wall in time 是指在逼近的威脅讓修牆變得太遲之前把牆完成。 這個片語強調還剩下足夠的時間,而不是剛好符合預定的鐘點。它常用於 in time to + 動詞,例如 in time to catch the bus。
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選擇最適合的片語:The doctor reached the patient ___ to prevent serious harm.
- in time
- on time
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in time
the longest segment that can't be destroyed:最高級名詞+限定 that 子句
這個片語分兩步選出一個區段。the longest 表示要取最高程度,that can't be destroyed 是限定關係子句,為比較設定條件。判斷哪個最長時,只考慮那些無法被摧毀的區段。 可套用的結構是 the + 最高級形容詞 + 名詞 + that + 條件。它用來指出符合必要條件的最大、最小或最佳對象。
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圖書館裡有很多箱子。哪個片語表示「仍然能裝下所有書的最小箱子」?
- the largest box that can hold all the books
- the smallest box that can hold all the books
- the smallest box that can hold only one book
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the smallest box that can hold all the books
any combination of the siege ...:沒有任何組合能成功
完整片語是 any combination of the siege weapons,其中 combination 指把可用的武器種類或數量搭配使用的方式。這裡不是密碼或鎖的號碼組合。 由於這個片語接在 can't be destroyed by 後面,any 把否定擴大到每一種允許的組合:沒有任何攻城武器組合能摧毀該區段。可套用的模式 can't/not + 動詞 + any combination of X 會排除 X 的所有組合。
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這些設定的每一種可能搭配都必須無法繞過系統。完成句子:The system cannot be bypassed by ___.
- every combination of these settings
- any combination of these settings
- a combination of these settings
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any combination of these settings
which ... have hundreds of:of 留在句尾的關係子句
在 which your enemies have hundreds of 中,which 指回前面提到的 siege weapons(攻城武器)。先看一般句子 Your enemies have hundreds of them. 變成關係子句後,which 取代 them 並移到子句前面。 of 留在句尾,因為它屬於數量結構 hundreds of。這裡並沒有漏掉受詞;which 就是 of 所對應的受詞。
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在 which your enemies have hundreds of 中,句尾的 of 與什麼連接?
- 什麼也沒有連接;of 是應該刪掉的多餘字
- which,指回前面提到的武器
- enemies,表示有數百名敵人
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which,指回前面提到的武器
by trial and error:透過反覆嘗試來學習
by trial and error 表示嘗試不同方法、發現哪裡不對,再持續調整,直到找到有效的方法。介系詞 by 在這裡引出解決問題所採用的方式。 在這個固定用語中,trial 表示「嘗試」或「試驗」,不是法律上的「審判」。談論學習操作、排除故障、進行實驗或尋找正確設定時,都可以使用這個用語。
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請用表示「透過反覆嘗試並修正」的固定用語完成句子:We found the right setting by ____.
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trial and error
一個快得驚人又簡潔巧妙的解法
這個片語從兩個方面稱讚這種方法。remarkably 會加強評價,表示它的速度令人驚訝或特別值得注意。quick 表示這種方法能很快執行或得出結果。 在數學、工程和程式設計中,an elegant solution 指的是簡潔、巧妙而且沒有多餘步驟的解法。這裡的 elegant 評價的是方法本身,不是外表或舉止優雅。
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在技術討論中,a remarkably quick and elegant solution 是什麼意思?
- 一種因為書寫頁面看起來很時尚而被選中的方法。
- 一種速度突出、簡潔又巧妙的方法。
- 一種使用許多多餘步驟的複雜方法。
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一種速度突出、簡潔又巧妙的方法。
受到……啟發
inspired by 表示一個想法、設計或方法從某個來源得到創意方向。它指出新想法的靈感來自哪裡,但不表示新成果和來源完全相同,也不表示原來源直接解決了這個新問題。 這裡的 inspired by 是過去分詞片語,用來說明前一句剛提到的解法。完整說法可以是 The solution is inspired by the sieve of Eratosthenes.
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請用 inspired by 完成句子:The costume design was ____ traditional paper art.
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inspired by
the sieve of Eratosthenes:埃拉托斯特尼篩法
the sieve of Eratosthenes 是一種尋找質數的方法名稱。從 2 開始列出整數,依序劃掉每個質數中大於它本身的倍數;沒有被劃掉的數就是質數。 這裡的 sieve 是一個比喻:就像真正的篩子會分離材料一樣,這種方法會篩除合數。認出這個名稱後,就能理解數字被篩掉或移除的說法。
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哪一項正確解釋了 the sieve of Eratosthenes?
- 它篩除倍數,讓質數留下來。
- 它按照字母順序排列數字的英文名稱。
- 它用廚房裡的實體篩子測量數字。
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它篩除倍數,讓質數留下來。
a 3rd century BCE:西元前 3 世紀的
在 a 3rd century BCE mathematician 中,3rd century BCE 表示這位數學家生活在西元前 3 世紀。BCE 是 Before Common Era 的縮寫,用來標示 CE 之前的年份。 英語用序數表示世紀:說 third century,而不是 three century。西元前 3 世紀從西元前 300 年到西元前 201 年,因為隨著時間向 CE 推進,BCE 的年份數字會逐漸減小。
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一份文獻的日期是 250 BCE。它屬於哪個時期?
- the 2nd century BCE
- the 3rd century CE
- the 3rd century BCE
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the 3rd century BCE
that is:引出等義解釋或定義
在這句話中,that is 引出對 prime numbers 的改述和解釋。後面的內容更精確地說明同一類數,並不是另外舉一個例子。 使用 that is,可以把聽者從一個術語或說法帶到與它等同的釐清或定義。這裡它表示「也就是說」,不是字面上的「那個是」。
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哪一句使用 that is 引出等義解釋?
- The trail is inaccessible; that is, hikers cannot use it.
- The trail has many sights; that is, it passes a waterfall.
- The trail is long; that is, it is easy to follow.
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The trail is inaccessible; that is, hikers cannot use it.
only divisible by 1 and themselves:只能被 1 和自身整除
A is divisible by B 表示「A 可以被 B 整除」,也就是 A 除以 B 沒有餘數。除數放在 by 後面:18 is divisible by 3 表示 18 ÷ 3 = 6,而不是 3 ÷ 18。 在 numbers only divisible by 1 and themselves 中,這個形容詞片語修飾 numbers,可以理解為省略了 that are。Only 把可能的除數限制為 1 和每個數本身。Themselves 指回前面的複數名詞 numbers。
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用表示「可以被……整除」的標準雙詞形容詞片語完成句子:Eighteen is ____ 3 because 18 divided by 3 is 6.
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divisible by
he grew bored of:厭煩感逐漸形成
在 he grew bored of 中,grew 是連綴動詞,表示「隨著時間逐漸變得……」。它說明狀態從不厭煩變成厭煩,不是指他的身體長大了。 Bored of 後面說明是什麼引起這種感受,可以接名詞或 -ing 形式。這裡接 manually checking,表示手動檢查這項活動逐漸讓他感到厭煩。
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哪一句自然地表示厭煩感是逐漸形成的?
- After a month, Nina grew up of the same routine.
- After a month, Nina grew bored of the same routine.
- After a month, Nina grew boring of the same routine.
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After a month, Nina grew bored of the same routine.
checking whether a given number was ...:嵌入式問句的語序
Checking whether a given number was prime 表示檢驗一個是非問題:「這個數是質數嗎?」whether 引出要檢查的具體內容,而 was 符合原句的過去時間觀點。 這種嵌入式問句使用直述句語序,也就是主詞 + 動詞,如 a given number was prime。whether 後面不能使用直接問句的倒裝語序。Given 在這裡表示「選定的」或「指定的」。
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哪一句在 checking 後面正確使用了 whether?
- The technician is checking whether the cable connected is.
- The technician is checking whether is the cable connected.
- The technician is checking whether the cable is connected.
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The technician is checking whether the cable is connected.
came up with:想出點子或方法
came up with 是片語動詞 come up with 的過去式。這裡表示經過思考「想出或構思」一種方法。作為想法被提出的內容放在 with 後面。 要把 come up with 當成一個完整單位來理解。它不是說某人拿著東西往上移動;同一結構也能搭配 idea、plan、solution、name 或 method。
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請用表示「想出」的三字片語完成句子:After discussing the problem, the team ____ a simple backup plan.
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came up with
the following technique:指向接下來要說明的內容
在 the following technique 中,following 是形容詞,意思是「接下來將呈現或說明的」。這個片語告訴聽者,這句話之後馬上會說明這種方法。 這個結構藉由指向後文來組織資訊。它常出現在操作說明和講解中,並搭配 steps、example、rules 或 method 等名詞。
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在操作說明中,the following technique 通常表示什麼?
- 接下來將說明這種方法。
- 這種方法前面已經完整說明過了。
- 這種方法正在某個人後面移動。
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接下來將說明這種方法。
X out:用 X 標掉某個項目
這裡把 X 當作動詞使用。X out 的意思是「在某個項目上或穿過它畫一個 X 來做記號」,因此該項目會被視為從清單或考量範圍中排除。 這個片語常用於清單、表格和學習單上的指示。它描述的是看得見的標記動作,不只是說出或寫下字母 X。
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有人說:「X out the wrong answers.」對方要求你做什麼?
- 大聲讀出錯誤答案。
- 把錯誤答案抄到一張新清單上。
- 在錯誤答案上畫 X,把它們排除。
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在錯誤答案上畫 X,把它們排除。
the multiples of 2:乘以 2 得到的數
在數學中,the multiples of 2 表示「2 的倍數」,也就是可以寫成 2 乘以某個整數的數,例如 2、4、6、8。這裡的 multiple 是可數名詞,表示一個數與另一個數相乘得到的數。 表示一個結果時使用 a multiple of + 數字;表示多個結果時使用 multiples of + 數字。of 後面的數字就是用來產生這些倍數的數。
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用 multiples of + 數字完成句子:8, 16, and 24 are the first three positive ____.
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multiples of 8
except 2 itself:把 2 本身標為例外
在這個片語中,except 帶出規則不適用的對象:2。反身代名詞 itself 用來加強語氣,所以意思是「2 這個數本身是例外」。 當你需要把某個對象本身和與它相關的其他對象區分開時,可以使用 except + 名詞 + 相符的反身代名詞。這裡可以劃掉 2 的倍數,但要保留 2 本身。
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用 except + 5 + 相符的反身代名詞完成這項規則:Cross out every number in the row ____.
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except 5 itself
Now do the same with ...:對新對象重複上一步
Now do the same with 用來帶出流程中的下一個步驟。the same 指剛才說明的動作,with 則帶出接受該動作的新人物、物品或群組。 這裡是把前面「劃掉」的步驟套用到 3 的倍數上,並不是說這些數字相同。這個說法能讓指示繼續往下進行,而不必重述完整動作。
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用 do the same with 完成指示:First label the top shelf. Then ____ the bottom shelf.
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do the same with
have already been eliminated:現在完成式被動語態
have been eliminated 使用 have + been + 過去分詞構成現在完成式被動語態。主詞 the even multiples 是動作的承受者,而不是執行者。 現在完成式把較早發生的動作與目前情況連結起來。already 強調排除工作在這個步驟之前已經完成,因此不必再做一次。
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請依照 have + already + been + eliminate 的過去分詞這個結構完成句子:The duplicate entries ____, so only one copy of each remains.
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have already been eliminated
already accounted for:已經納入或處理
在 be accounted for 中,account for 表示在計算或流程裡將某個項目納入、涵蓋或處理。被動語態說明 4 在處理 2 的倍數時已經被涵蓋。 already 表示這件事發生在目前步驟之前,所以現在不必再單獨處理 4。
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請依照 already + account 的過去分詞 + for 這個結構完成句子:The travel costs were ____ in the original budget, so do not add them again.
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already accounted for
so move on to:轉到下一項
move on to 表示離開目前的項目、階段或話題,開始處理 to 後面指出的下一項。在本句中,5 是接下來要考慮的新數字,而不是繼續處理的原有項目。 so 把這個轉場和前文連起來:一個步驟完成了,所以說話者接著進行下一步。可套用的結構是 move on to + 名詞;如果下一項是一個活動,則使用 move on to + -ing 形式。
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請用標示出的轉場表達完成句子:We've finished the warm-up, so let's ____ the main activity.
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move on to
show up:在規律中顯現出來
show up 在這裡表示「變得可見或明顯」。主詞是 5 和 7 的倍數,因此這個片語描述的是這些數字在圖表中沿著對角線顯現,並不是說有人抵達某個地方。 當主詞是 pattern、difference、error 或 mark 等非人物時,show up 常表示某個東西現在可以被看見或偵測到。本句中的 conveniently 進一步說明,這種對角線排列讓這些倍數很容易被發現。
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請使用表示「變得可見」的標示片語動詞完成句子:Tiny cracks may ____ under a bright light.
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show up
eliminates ..., leaving ... behind:表達動作造成的結果
主句 This method eliminates all possible composite numbers 說明動作。逗號後的 leaving 片語說明該動作造成的結果:合數被排除後,只剩下質數。 在「主句, leaving ...」結構中,leaving 是現在分詞,不是另一個命令,也不是帶有時態的第二個動詞。這個結構可以把一個動作直接連到它所留下的狀態或事物。
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請用 leave 的正確形式完成句子,以表達前面動作造成的結果:The storm blew away the clouds, ____ a clear sky behind.
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leaving
go higher and higher:表示持續上升的趨勢
Higher and higher 用 and 重複比較級 higher。這個結構表示變化持續朝同一方向發展:每一個階段所達到的高度、數量或程度都比之前更高。 這裡的 go higher 是指把這個方法延伸到更大的數字,而不是身體實際往上移動。一般結構是「比較級 + and + 重複的比較級」,例如 faster and faster 和 more and more difficult。
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請用 high 的重複比較級形式完成句子:The balloon floated ____ until it disappeared into the clouds.
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higher and higher
We can use a similar technique ... to eliminate ...:銜接前後思路的類比橋梁
這句話是用類比來銜接前後內容。We can use a similar technique 指回先前的方法,而 with our wall problem 把注意力轉到目前的問題。similar 只表示核心思路可以沿用,不代表兩個問題完全相同。 to eliminate ... 是表示目的的 to 不定詞,說明套用這個方法要達成什麼;at once 則突顯可以一次處理整組數字。整句依照「先前方法—新應用—用途」的順序組織資訊。
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這句話在解說中主要有什麼作用?
- 它不再談先前的方法,轉而開始一個無關的主題。
- 它把先前的方法連到牆面問題,並說明目的。
- 它表示牆面問題與先前的問題完全相同。
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它把先前的方法連到牆面問題,並說明目的。
is to be deliberate about:說明一個經過慎重規畫的步驟
is to ... 說明第一個關鍵步驟的具體內容。在 be deliberate about 中,deliberate 是形容詞,表示有意識並經過仔細考量。這裡的意思是,欄數應該有理由地選擇,而不是隨意決定。 使用 be deliberate about + 名詞或 -ing 形式,可以指出需要仔細思考的選擇或行動。和 simply choose 相比,它更強調明確意圖和策略。
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使用本課表達完成句子:The first step ____ which sources to trust.
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is to be deliberate about
be exactly 6 apart:正好相差 6
在本句中,will be exactly 6 apart 表示同一欄中相鄰數字的差是 6。apart 描述的是它們之間的間隔大小。 可套用的結構是 be + (exactly) + 數字或度量 + apart。exactly 強調間隔不多也不少;像這裡談數字時,如果單位已經很清楚,就可以省略。
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使用 exactly 和 be + 度量 + apart 結構表示正好相隔三十分鐘:The two appointments are ____.
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exactly thirty minutes apart
number vulnerable to ...:用 vulnerable to 指出風險來源
在 a number vulnerable to the wall busters 中,vulnerable to 表示「容易受到……傷害或被……擊敗」。這個形容詞片語放在 number 後面,說明要找的是哪一類數字;它可以展開為 a number that is vulnerable to the wall busters。 可套用的結構是「某人或某物 + be vulnerable to + 威脅或有害影響」。to 後面的內容指出風險來源,而 vulnerable 表示存在這種可能性,不代表一定會發生。
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請用標示的表達補完整句子,表示「容易受到……傷害」:The device is ____ water damage.
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vulnerable to
What that means is that if ... then ...:解釋一個結果
What that means is that 是一個陳述句框架,用來回指前面提到的事實或規則,並引出它的實際含義。它不是在提出新問題。 在這段解釋中,if 引出條件,then 標出結果,也就是 if X, then Y。then 通常可以省略,但在較長的推論中保留它,會讓邏輯更容易理解。
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使用完整的 What that means is that if ... then ... 框架改述這條規則:The rule says every red warning requires evacuation. ____ a red warning appears, ____ everyone must leave.
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What that means is that if · then
In other words:標示更清楚的重述
In other words 表示說話者接下來會用更清楚、更簡單或更具體的方式表達同一個基本觀念。這裡的 9、15、21 和 27 讓前面的規則更容易看懂。 作為組織資訊的表達,它提示聽者把後面的內容理解為換一種說法,而不是相反觀點或另一個獨立結論。
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In other words 會讓聽者預期接下來出現什麼內容?
- 提出反對前面觀點的論點。
- 轉到新主題,介紹一個無關的事實。
- 對同一個核心觀念進行更清楚的重述。
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對同一個核心觀念進行更清楚的重述。
and so on:表示同一規律繼續
and so on 放在清單或數列末尾,表示後面還有項目會以相同方式繼續。本句在 9、15、21、27 之後省略的數字仍然每次增加 6。 and so on 本身不是一個數字。要根據它前面的例子,判斷哪些同類項目或哪種規律被省略了。
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用表示「同一規律繼續」的三個英文單字完成句子:The robot moves two steps, then four, then six, ____.
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and so on
So right away:前面推理立刻產生的結果
So 把這句話連接到前面的推理,表示接下來是推理結果。right away 表示「立刻」或「毫不延遲」。So right away 合在一起,表示一套用前面的規則,結論就能立刻得出。 在這段說明中,它描述的是多快能知道結果,而不是向右移動。
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哪一句使用 right away 表示根據證據立刻得出結論?
- Lena is standing right now beside the door.
- Lena walked to the door on the right and then went away.
- After checking the footprints, Lena knew right away which door the dog had used.
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After checking the footprints, Lena knew right away which door the dog had used.
so we can focus on combinations of 20s and 9s:縮小分析範圍
在這句話中,so 表示結果關係:與 6 有關的情況處理完後,下一步就可以把分析範圍縮小到由 20 和 9 構成的組合。它把已完成的步驟和新的關注重點連接起來,讓推理順序更清楚。 focus on + 名詞片語表示把注意力或分析集中在該對象上。combinations of A and B 表示 A 與 B 的不同組合方式。這裡的 20s 和 9s 指多個數值為 20 和 9 的單位,focus 表示思考和分析,不是視覺對焦。
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用本課片語完成句子;該片語表示「把分析集中在……的不同組合上」:To narrow our choices, let's ____ price and battery life.
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focus on combinations of
make 20 + 9:組合出數值結果
這裡的 make 表示把現有數值或單位組合起來形成一個數值結果,而不是製造實體物品。make 20 + 9 表示用一個數值為 20 的單位和一個數值為 9 的單位組成一種搭配,兩者合計為 29。 可移用的結構 make + 目標數字或結果表示利用現有數字、部件或數量湊出某個值。make 20 + 9 這種簡略說法需要依靠周圍的遊戲情境,才能明確看出組合的是什麼。
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使用本課中表示「組合現有數值以湊出總數」的動詞完成句子:In this number game, the 20 card and the 9 card can ____ 29.
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make
Using this approach:套用前面提到的方法
Using this approach 是放在句首的 -ing 片語,用來說明主要子句採用的方法。這裡的 this approach 回指前面已經說明的規則或方法。 它把說明從介紹方法推進到套用方法後得到的新結果:列出的選項可以透過這個方法排除。這裡的 approach 指處理問題的方法,不是靠近某物。
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Using this approach 放在句首時有什麼作用?
- 表示後面的結果來自套用剛才提到的方法。
- 表示後面的結果與前面的方法無關。
- 表示說話者正在實際靠近某個東西。
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表示後面的結果來自套用剛才提到的方法。
without having to do...:省去不必要的步驟
without having to do any calculations 表示即使不需要進行計算,也能得到相應結果。結構是 without having to + 原形動詞。 have to 表示必要性,因此 without having to 表示省去某項要求或步驟。它不是說禁止計算,這裡的 having 也不表示擁有。
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使用 without having to 和動詞 print 完成句子:You can show the ticket on your phone ____ it.
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without having to print
49 jumps out as:表示一眼就能看出的解讀
這裡,49 jumps out as 2 * 20 + 9 表示說話者查看這些數字時,很容易注意到 49 可以這樣寫。數字並沒有真的「跳出來」。 在 X jumps out as Y 中,jump out 表示 X 立刻顯得很醒目,as 引出對 X 的解讀、類別或形式 Y。當證據讓某種理解一眼就很明顯時,可以使用這個結構。
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選出能自然完成句子的片語:In the table, 36 ___ the only value divisible by both numbers.
- jumps out
- jumps out at
- jumps out as
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jumps out as
There's no way to make 43:表示不可能
There's no way to make 43 表示按照目前規則無法湊出 43。way 在這裡指得到結果的方法或可能途徑,不是實際的道路。 可以延伸使用的結構是 There is/There's no way to + 原形動詞。它明確斷定某個動作或結果不可能實現,通常是因為有限制、規則或已知事實。
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用目標結構完成句子,表示時間限制使這項任務不可能完成:____ finish this project in five minutes.
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There's no way to
must be:根據證據作出高度確定的推論
這裡的 must be 表示根據現有證據作出的高度確定推論。較大的候選都已經被排除,所以說話者得出結論:這個牆段一定是最大的可行選擇。 在「主詞 + must be + 名詞、形容詞或地點片語」這類結構中,must be 可以推論身分或狀態。在本句中,它不是命令,也不是「必須成為」的意思。
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哪一句中的 must be 表示根據證據作出的高度確定推論?
- You must be at the gate by eight.
- Visitors must be quiet in the reading room.
- The door is locked and the lights are off, so the shop must be closed.
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The door is locked and the lights are off, so the shop must be closed.
And there you have ...:呈現最後結果
And there you have ... 表示一段解說、計算或示範已經得到結果。它把前面的步驟收束成清楚的結尾,並把聽者的注意力引向答案或成品。 這裡的 have 主要不是指「擁有」。have 後面通常還需要受詞;最常見的完整收束句是 And there you have it,大致相當於「結果就是這樣」或「完成了」。
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計算完成後,補上這個固定收束語缺少的部分:"The answer is 48, and there ____."
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you have it
plug 43 into:輸入數值 43
在本句中,plug 43 into 表示輸入或代入數值 43。牆體製造機是接收這個數字的機器;這裡與插頭或通電無關。 可延伸使用的結構是 plug A into B:A 是資料或數值,B 是使用它的公式、程式、計算機或系統。
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使用 plug ... into 和數值 12 完成指令:To find the output, ____ the formula.
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plug 12 into
and after a tense night:推進故事時間
After a tense night 是放在句首的時間片語。它略過這一夜中的具體事情,直接把聽者帶到之後發生的事件。開頭的 and 把這個時間轉場連接到前一個事件。 這裡的 tense 是形容詞,表示這一夜充滿擔憂、壓力或不確定感,不是文法中的「時態」。
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哪一句使用 after + 名詞片語推進故事,並用 tense 描述令人焦慮的氣氛?
- The night after the rescue was tense.
- The rescue team discussed the past tense after dinner.
- After a tense night, the rescue team finally found the missing hikers.
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After a tense night, the rescue team finally found the missing hikers.
the sun rises on:用黎明揭示一個場景
這裡的 the sun rises on your now impregnable fortress 表示清晨到來,讓已經完成的堡壘呈現在眼前。日出的畫面就像一個鏡頭,用來呈現先前事件所造成的結果。 在 the sun rises/rose on + 場景 這個結構中,on 帶出黎明時顯現的人、地點或局面。它不是說太陽真的接觸或停在某個東西上。
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在故事裡,The sun rose on a silent town 最自然的意思是什麼?
- 太陽真的接觸了小鎮。
- 小鎮朝太陽移近了。
- 清晨到來,一座寂靜的小鎮呈現在眼前。
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清晨到來,一座寂靜的小鎮呈現在眼前。
now impregnable fortress:如今已無法攻下的堡壘
在 now impregnable fortress 中,impregnable 表示防禦極為嚴密,敵人無法將它攻下或闖入。這個片語描述的是行動後的結果:這座堡壘已經無法被攻破。 Now 在名詞片語內修飾 impregnable,強調狀態已經改變——堡壘以前沒有這麼安全,但現在已經堅不可摧。雖然拼字中有相似的字母,impregnable 與 pregnant 的意思完全無關。
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哪一個字專門描述敵人無法攻下的防禦陣地?
- impenetrable
- indestructible
- impregnable
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impregnable
unhappy meals:反轉 Happy Meal 的改寫
這裡,won't become unhappy meals 的意思是這群動物不會被吃掉。句子把動物想像成可能變成一頓餐,而不是說食物本身有「不開心」的情緒。 這個笑話改寫了速食名稱 Happy Meal,把 happy 換成 unhappy。這種反轉把「被吃掉」的危險變成帶有黑色幽默的文字遊戲,因此認出這個文化指涉是理解笑點的關鍵。
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為什麼 unhappy meals 在這句話中構成雙關?
- 它是某家餐廳「悲傷菜單」的正式名稱。
- 它把 Happy Meal 改成 unhappy meals,用這群動物可能被吃掉來製造黑色幽默。
- 它只是表示這群動物不喜歡自己的晚餐。
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它把 Happy Meal 改成 unhappy meals,用這群動物可能被吃掉來製造黑色幽默。
If you're looking to arm yourself with ...:讓自己具備所需技能
在這句話中,arm yourself with skills 是比喻,意思是「讓自己具備有用的技能,從而做好準備」,並不涉及真正的武器。可套用的結構是 arm + 與主詞相符的反身代名詞 + with + 知識、事實、技能或工具,例如 arm myself、arm yourself 或 arm themselves。 If you're looking to ... 表示「如果你想要或計畫……」,用來較委婉地帶出建議。合起來,這種說法把學習描述成應對未來問題的有力準備。
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請用本課的比喻片語完成句子:Before the interview, ____ a few facts about the company.
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arm yourself with
you can't do much better than X:表示某選擇幾乎最佳的推薦
在推薦句型 you can't do much better than X 中,這句話表示 X 是現有選項中幾乎最好的選擇。它強力推薦 X,但不是從字面上斷言絕對不可能有更好的選項。 這裡的 do better than 指「選擇或找到比……更好的選項」。它評價的是選擇的好壞,不是在說聽者沒有能力把某件事做得更好。
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哪一句是在強力推薦這個型號作為第一輛腳踏車?
- This model is one possible choice for a first bike.
- For a dependable first bike, you could do better than this model.
- For a dependable first bike, you can't do much better than this model.
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For a dependable first bike, you can't do much better than this model.
even if you've visited before, you'll find something new:條件成立,結果仍不變
Even if 引出讓步條件:「以前造訪過」被當成一種可能情況,但它不會改變「你會發現新內容」這個結果。even 強調這個看似不利的條件仍然無法阻止結果發生。 可套用的結構是 even if + 條件,結果。這裡 you've visited 使用現在完成式,表示截至現在的過往經驗;you'll find 則說明之後會發生的結果。
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用一個由兩個單字組成的連接詞完成句子,表示下雨只是個不會改變結果的可能條件:____ it rains, the match will continue indoors.
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Even if
Try it out:透過實際使用來測試某物
Try it out 表示「實際使用或測試,看看它是什麼樣子或效果如何」。在這句中,it 指學習平台 Brilliant;out 帶有「透過實際使用來測試」的意思,不表示方向。 try out 是可分開的片語動詞。受詞是代名詞時,要放在 try 和 out 之間:try it out,不能說 try out it。受詞是名詞時,try out the app 和 try the app out 都可以。
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使用片語動詞 try out 和代名詞 it 完成這句建議:Before you buy the camera, ____ in the store.
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try it out